高中数学选修2-3习题及答案

。
[基础训练A组]
一、选择题
1．将
3
个不同的小球放入
4
个盒子中，则不同放法种数有（ ）
A．
81
B．
64
C．
12
D．
14

2．从
4
台甲型和
5
台乙型电视 机中任意取出
3
台，其中至少有甲型与乙型电视机
各
1
台，则不同的取法共有（ ）
A．
140
种 B.
84
种 C.
70
种 D.
35
种
3．
5
个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）
523
3323113
A．
A
3
B．
4A
3
C．
A
5
?A
3
A
3
D．
A
2
A
3
?A
2
A
3
A
3

4．
a,b,c,d,e
共
5
个人，从中选1名组长1名副组长 ，但
a
不能当副组长，
不同的选法总数是（ ）
A.
20
B．
16
C．
10
D．
6

5．现有男、女学生共
8
人，从男生中选
2
人，从女生中选
1
人分别参加数学、
物理、化学三科竞赛，共有
90
种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）
A．男生
2
人，女生
6
人 B．男生
3
人，女生
5
人
C．男生
5
人，女生
3
人 D．男生
6
人，女生
2
人.
?
x1
?
6 ．在
?
?
?
的展开式中的常数项是（ ）
3
2
x
??
A.
7
B．
?7
C．
28
D．
?28

5
3
7．
(1?2x)(2?x)
的展开式中
x
的项的系数 是（ ）
A.
120
B．
?120
C．
100
D．
?100

8
2
??8．
?
x?
2
?
展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式 中的常数项是（ ）
x
??
A．
180
B．
90
C．
45
D．
360


二、填空题
1．从甲、乙，……，等
6
人中选出
4
名 代表，那么（1）甲一定当选，共有 种
选法．（2）甲一定不入选，共有 种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有
种选法.
2．
4
名男生，
4
名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法.
3．由
0,1,3,5,7,9
这六个数字组成_____个没有重复 数字的六位奇数.
10
6
4．在
(x?3)
的展开式中，
x
的系数是 .
n
5．在
(1?x)
展开式中，如果第
4r
项和第r?2
项的二项式系数相等，
则
r?
，
T
4r
?
.
6．在
1,2,3,... ,9
的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这
样的四位数有__ _______________个？
7．用
1,4,5,x
四个不同数字组成四位 数,所有这些四位数中的数字的总和为
288
,则
x
.
8．从
1,3,5,7,9
中任取三个数字，从
0,2,4,6,8
中任取 两个数字，组成没有重复数字的五位
-可编辑修改-
220

。
数，共有________________个？
三、解答题
1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.
（1）高三年级学生会有
11
人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一
次手，共握了多少次手？
（2）高二年级数学课外小组
10
人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种 不同的
选法？②从中选
2
名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
（3） 有
2,3,5,7,11,13,17,19
八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多 少种不同的
商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？
2．
7
个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲排头，
（2）甲不排头，也不排尾，
（3）甲、乙、丙三人必须在一起，
（4）甲、乙之间有且只有两人，
（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，
（6）甲在乙的左边（不一定相邻），
（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，
（8）甲不排头，乙不排当中。
43
3．解方程
(1)A
2x?140A
x
;

n?1n?1nn?2
(2)C
n

?3
?C
n ?1
?C
n?1
?C
n
1
??
7
4．已知
?
x
2
?
?
展开式中的二项式系数的和比
(3a? 2b)
展开式的二项式系数的和大
128
,
x
??
n
1
??
求
?
x
2
?
?
展开式中的系数最 大的项和系数量小的项.
x
??
n
（1+x）
5．（1）在
的展开式中，若第
3
项与第
6
项系数相等，且
n
等于多少 ？
1
??
（2）
?
xx?
?
的展开式奇数项的二 项式系数之和为
128
，
3
x
??
则求展开式中二项式系数最大项。
6．已知
(2 ?3x)
50
?a
0
?a
1
x?a
2
x< br>2
?L?a
50
x
50
,
其中
a
0
,a
1
,a
2
L,a
50
是常数,计算
n
n
(a
0
?a
2
?a
4
?L?a
50
)
2
?(a
1
?a
3
?a
5
?L?a
49
)
2

(数学选修2--3) 第一章 计数原理
[综合训练B组]
一、选择题
1．由数字
1
、< br>2
、
3
、
4
、
5
组成没有重复数字的五位数 ，
其中小于
50000
的偶数共有（ ）
A．
60
个 B．
48
个
C．
36
个 D．
24
个
2．
3
张不同的电影票全部分给
10
个人,每人至多一张,则有
-可编辑修改-

。
不同分法的种数是( )
A．
1260
B．
120

C．
240
D．
720

3．
n?N
且
n?55
,则乘积
(55?n)(56?n)L(69?n)
等于
A．
A
69?n
B．
A
69?n

C．
A
55?n
D．
A
69?n
< br>4．从字母
a,b,c,d,e,f
中选出4个数字排成一列，其中一定要选出
a
和
b
，
并且必须相邻（
a
在
b
的前面），共有排列方法（ ）种.
A.
36
B．
72

C．
90
D．
144

5．从不同号码的
5
双鞋中任取
4
只，其中恰好有
1
双的取法种数为（ ）
A．
120
B．
240

C．
280
D．
60

10
6．把
(3i?x)
把二项式定理展开，展开式的第
8
项的系数是（ ）
1514
55?n15
A．
135
B．
?135

C．
?3603i
D．
3603i

1
??
2
7．
?
2x?
?
的展开式中，
x
的系数是
224
，
2x
??
1
则
2
的系数是（ ）
x
A.
14
B．
28

C．
56
D．
112

310
5
8．在
(1?x)(1?x)
的展开中，
x
的系数是（ ）
A.
?297
B．
?252

C．
297
D．
207

二、填空题
1．
n
个人参加某项资格考试，能否通过，有 种可能的结果？ 2．以
1，2，3L，9
这几个数中任取
4
个数，使它们的和为奇数，则 共有 种不同取法.
出不同的点共有_____个.
nnn
4．
n ,k?N
且
n?k,
若
C
k?1
:C
k
: C
k?1
?1:2:3,
则
n?k?
______.
2n
3．已知集合
S?
?
?1,0,1
?
,
P?
?
1,2,3,4
?
,从集合
S
,
P
中各取一个 元素作为点的坐标,可作
1
??
5．
?
x??1
?
展开式中的常数项有
x
??
6．在
50
件产品
n
中有
4
件是次品，从中任意抽了
5
件，至少有
3
件是次品的抽法共有
______________种（用数字作答）.
3
7．
(x?1)?(x?1)?(x?1)?(x?1)?(x?1)
的展开式中的
x
的系数是___________
2345
5
8．
A?
?
1,2,3,4,5,6,7,8,9
?
，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的 子集个数为_____.
三、解答题
-可编辑修改-

。 1．集合
A
中有
7
个元素，集合
B
中有
10< br>个元素，集合
A
I
B
中有
4
个元素，集合
C
满足
（1）
C
有
3
个元素； （2）
C
2973
2．计算：（1）
C
100
；
?C
100
?A
101
333
（2）
C
3
?C
4
?L?C
10
.
A
U
B

（3）
C
I
B
?
?
，
C
I
A
?
?
求这样的集合
C
的集合个数.
??
mn?m?1
C
n
C
n?1
（3）
m
?
n?m

C
n
C
n
3．证明：
A
n
?mA
n
4．求
(x?
mm?1m
?A
n?1
.
1
?2)
3
展开式中的常数项。
x
2
5．从
?
?3,?2,?1,0,1,2,3,4
?
中任选三个不 同元素作为二次函数
y?ax?bx?c
的系数,问
能组成多少条图像为经过原点且顶 点在第一象限或第三象限的抛物线?
6．
8
张椅子排成,有
4
个人 就座,每人
1
个座位,恰有
3
个连续空位的坐法共有多少种?
(数学选修2--3) 第一章 计数原理
[提高训练C组]
一、选择题
34
1．若
A
n
?6C
n
，则
n
的值为 （ ）
A．
6
B．
7
C．
8
D．
9

2．某班有
30
名男生，
30
名女生，现 要从中选出
5
人组成一个宣传小组，
其中男、女学生均不少于
2
人的选法为（ ）
21555
A ．
C
30
C
20
C
46
B．
C
50
?C
30
?C
20

51441
3223
C．
C
50
?C
30
C20
?C
30
C
20
D．
C
30
C
20
?C
30
C
20

2
3．
6
本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（ ）
22
C
6
2
C
4
C
2
33< br>A．
CC
B．
C．
6A
3
D．
C
6

3
A
3
2
6
2
4
4．设含有
10
个元素的集合的全部子集数为
S
，其中由
3
个元素
组成的子集数为
T
，则
A.
T
的值为（ ）
S
2015
B．
128128
1621
C． D．
128128
5．若
(2x?3)
4
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?a
3
x
3
?a
4
x
4
，
22
则
(a
0< br>?a
2
?a
4
)?(a
1
?a
3
)
的值为（ ）
A.
1
B．
?1

C．
0
D．
2

6．在
(
x?y
)
的展开式中，若第七项系数最大，则
n
的值可能等于（ ）
n
A.
13,14
B．
14,15

-可编辑修改-

。
C．
12,13
D．
11,12,13

7．不共面的四个定点到平面
?
的距离都相等，这样的平面
?
共有（ ）
A．
3
个 B．
4
个
C．
6
个 D．
7
个
8．由
0, 1,2,3,...,9
十个数码和一个虚数单位
i
可以组成虚数的个数为（ ）
A.
100
B．
10

C．
9
D．
90

二、填空题
1 ．将数字
1,2,3,4
填入标号为
1,2,3,4
的四个方格里，每格填一 个数字，则每个方格的标号
与所填的数字均不同的填法有 种？
2．在△AOB
的边
OA
上有
5
个点，边
OB
上有6
个点，加上
O
点共个点，以这
12
个点为
顶点的三角 形有 个.
3．从
0
,
1,2,3,4,5,6
这七个 数字中任取三个不同数字作为二次函数
y?ax?bx?c
的系数
2
a,b, c
则可组成不同的函数_______个,其中以
y
轴作为该函数的图像的对称轴的函 数有
______个.
?
ax
?
9
3
?
4．若
?
的展开式中
x
的系数为
，则常数
a
的值为 .
?
?
x2
?
4
??
2222
5．若< br>C
3
?C
4
?C
5
?L?C
n
?3 63,
则自然数
n?
_____.
117
m
C?__________
.
6．若
m
?
m
?
,则
8
m
C
5
C
6
10C
7
7．
0.991
的近似值（精确到
0.001
） 是多少？
72
8．已知
(1?2x)?a
o
?a
1
?a
2
x?L?a
7
x
7
,那么
a
1< br>?a
2
?L?a
7
等于多少?
9
5
三、解答题
1．
6
个人坐在一排
10
个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2)
4
个空位只有
3
个相
邻的坐法有多少种?(3)
4
个空位至多有
2
个相邻的坐法有多少种?
2．有
6个球,其中
3
个黑球,红、白、蓝球各
1
个，现从中取出
4个球排成一列，共有多少种
不同的排法？
3．求
(1?2x)(1?3x)展开式中按
x
的降幂排列的前两项.
4．用二次项定理证明
C
n
54
2n?2
?8n?9
能被
64
整除
?
n?N
?
.
3
02nnn?1
5．求证：
C
n
?2C
n
?L?(n?1)C
n
?2?n?2
.
6．(1)若
(1
?x
)
的展开式中，
x
的系数是
x
的系数的
7
倍，求
n
；
324
(2)已知
(ax?1)(a?0)
的展开式中,
x
的系数是
x< br>的系数与
x
的系数的等差中项,求
a
;
7
(3) 已知
(2x?x
lgx8
)
的展开式中,二项式系数最大的项的值等于
1120
,求
x
.
离散型随机变量解答题精选（选修2--3）
1． 人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，
试 求下列事件的概率：
（1）第
3
次拨号才接通电话；
（2）拨号不超过
3
次而接通电话.
-可编辑修改-

。
解：设
A
i
?
{第
i
次拨号接通电话}，
i?1,2,3

（1）第
3
次才接通电话可表 示为
A
1
A
2
A
3
于是所求概率为
P(A
1
A
2
A
3
)?
9
?
8
?
1
?
1
;

109810
（2）拨号不超过3
次而接通电话可表示为：
A
1
?A
1
A
2< br>?A
1
A
2
A
3
于是所求概率为
1919813

P(A
1
?A
1
A
2
?A
1
A
2
A
3
)?
P(A
? ?????.
1
)?P(A
1
A
2
)?P(A
1< br>A
2
A
3
)?
1

2． 出租车司机从饭店 到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相
互独立的，并且概率都是
.

（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。
解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，
所以
P?(1?
1
)(1?
1
)?
1
?
4.

33327
1
3
1
（2）易知
?
~B(6,
).
∴
E
?
?6?
1
?2.

D
?
?6?
1
?(1?
1
)?
4
.

3
3
333

3． 奖器有
10
个小球，其中8
个小球上标有数字
2
，
2
个小球上标有数字
5
，现摇出
3
个小
球，规定所得奖金（元）为这
3
个小球上记号之和 ，求此次摇奖获得奖金数额的数学期
望
解：设此次摇奖的奖金数额为
?
元，
当摇出的
3
个小球均标有数字
2
时，
?
?6
；
当摇出的
3
个小球中有
2
个标有数字
2
，1 个标有数字
5
时，
?
?9
；
当摇出的
3
个小球有
1
个标有数字
2
，
2
个标有数字
5
时，
?
?12
。
3
12
21
C
C7
8
8
CC
7
所以，
P(
?
?6)?

P(
?
?9)?
82
?

P(
?
?12)?
C
2
?
1

?
3
3
3
15
15
C
10
C
10
15
C
10

E
?
?6?(
7
?9?
7
?12?
1
?
39
)

1515155
答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是
39
元
5
4．某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为
0 .9
，
数学为
0.8
，英语为
0.85
，问一次考试中
（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少
解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为
A,B,C
，
则
P(A)?0.9,P(B)?0.8,P(C)?0.85

（Ⅰ）
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)

?[1?P(A)][1 ?P(B)][1?P(C)]
?(1?0.9)(1?0.8)(1?0.85)

?0.003
答：三科成绩均未获得第一名的概率是
0.003

-可编辑修改-

。
（Ⅱ）（
P(A?B?C?A?B?C?A?B?C)
）

?P(A?B?C)?P(A?B?C)?P(A?B?C)


?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P(C)

?[1?P(A)]P(B)P(C)?P(A)[1?P(B)]P(C)?P(A)P(B)[1? P(C)]

?(1?0.9)?0.8?0.85?0.9?(1?0.8)? 0.85?0.9?0.8?(1?0.85)

?0.329
答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是
0.329

5．如图，
A,B
两点之间有
6
条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为
1,1,2,2,3,4
.现
从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.
（I）设选取的三条网线由
A
到
B
可通过的信息总量为
x
，当
x?6
时，则保证信息畅通.
求线路信息畅通的概率；
（II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.





1
2
3
6
1
2
1?C?C
1
?< br>
4
C
51
?1?2?4?2?2?3?7,?P(x?7)??204
3
?1?3?4?2?2?4?8,?P(x?8)?
20

21
?2?3?4?9,?P(x?9)??
2010
11313
? P(x?6)?????
4420104
13
（II）
?1?1?2?4,P(x?4)?

,?1?1?3?1?2?2?5,P (x?5)?
1020
解：（I）
?1?1?4?1?2?3?6,?P(x?6)?
∴线路通过信息量的数学期望
131131
?5??6??7??8??9??
6.5

1020442010
3
答：（I）线路信息畅通的概率是. （II）线路通过信息量的数学期望是
6.5

4
133
6．三个元 件
T
1
,T
2
,T
3
正常工作的概率分别为
,,,
将它们中某两个元件并联后再和第三
244

?4?
元件串联接入电路.
（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时
电路图，并 说明理由.

-可编辑修改-

。



解：记“三个元件
T
1
,T
2
,T
3< br>正常工作”分别为事件
A
1
,A
2
,A
3
， 则
133
,P(A
2
)?,P(A
3
)?.
< br>244
（Ⅰ）不发生故障的事件为
(A
2
?A
3
)A
1
.
P(A
1
)?
∴不发生故障的概率为
P< br>1
?P[(A
2
?A
3
)A
1
]?P(A< br>1
?A
3
)?P(A
1
)
?[1?P(A
2
)?P(A
3
)]?P(A
1
)
11115
?[1 ??]??
44232




（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下：
图1中发生故障事件为
(A< br>1
?A
2
)A
3

∴不发生故障概率为


P
2
?P[(A
1
?A
2
)A
3
]?P(A
1
?A
2
)?P(A
3
)?[1?P (A
1
)?P(A
2
)]P(A
3
)?
?P
2
?P
1

图2不发生故障事件为
(A
1
?A< br>3
)A
2
，同理不发生故障概率为
P
3
?P
2
?P
1

21

32
7．要制造一种机器零件， 甲机床废品率为
0.05
，而乙机床废品率为
0.1
，而它们
的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率.
解：设事件
A?
“从甲机床抽得的一件是废品”；
B?
“从乙机床抽得的一件是废品”.
则
P(A)?0.05,P(B)?0.1

（1）至少有一件废品的概率
P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)

?1?0.95?0.90?0.145
（2）至多有一件废品的概率
P?P(A?B?A?B?A?B)

?0.05?0.9?0.95?0.1?0. 95?0.9?0.995
8．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为
0.6
，被甲或乙解出的
概率为
0.92
，（1）求该题被乙独立解出的概率 ；（2）求解出该题的人数
?
的数学期望和方
差
解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为
A,B
.
设甲独立解出此题的概率为
P
1
，乙为
P
2
.
-可编辑修改-

。
则
P(A)?P
1
?0.6,P(B)?P
2

P (A?B)?1?P(A?B)?1?(1?P
1
)(1?P
2
)?P
1
?P
2
?PP
12
?0.92
?0.6?P
2
?0.6P
2
?0.92
则0.4P
2
?0.32即P2
?0.8
(2)P(
?
?0)?P(A)?P(B)?0.4?0.2 ?0.08
P(
?
?1)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.6?0.2? 0.4?0.8?0.44
P(
?
?2)?P(A)?P(B)?0.6?0.8?0 .48

?
的概率分布为:
?

0

1

0.08

0.44

P

E
?
?0?0.08?1?0.44?2?0.48?0.44?0.96?1.4
D
?
?(0?1.4)
2
?0.08?(1?1.4)
2
?0 .44?(2?1.4)
2
?0.48
?0.1568?0.0704?0.1728 ?0.4
或利用D
?
?E(
?
2
)?(E
?
)
2
?2.36?1.96?0.4

2

0.48

9．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件
E
发生，该公司要赔偿
a
元．设在
一年内
E
发生的概率为
p
，为使公司收益的期望值等于
a
的百分之十，公司应要求顾客交
多少保险金？
解：设保险公司要求顾客交
x
元保险金，若以
?

表示公司每年的收益额，则
?
是一个
随机变量，其分布列为：
?

P

x

1?p

x?a

p









因此，公司每年收益的期望值为
E
?
?x( 1?p)?(x?a)p?x?ap
．
故可得
x?a(p?0.1)
．
为使公司收益的期望值 等于
a
的百分之十，只需
E
?
?0.1a
，即
x? ap?0.1a
，
即顾客交的保险金为
a(p?0.1)
时，可使公司期望获益
0.1a
．
厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是
0.2
．
（1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；
(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．
514
解：(1)这批食品不能出厂的概率是：
P?1?0.8?C
5
?0.8?0.2?0.263
．
10．有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出

(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：
13

P
1
?C
4
?0.2?0.8?0.8


五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：
13

P
2
?C
4
?0.2?0.8?0.2

由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批
-可编辑修改-

。
13
?P?C?0.2?0.8?0.4096
．
产品是否出厂的概率是：
P?P
124

11．高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛. 比
赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛； ②代表队中每名队员至少参加一
盘比赛，不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为
.



（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
解：（I）参加单打的队员有
A
3
种方法.
参加双打的队员有
C
2
种方法.
21
所以，高三 （1）班出场阵容共有
A
3
?C
2
?
12
（种）
2
1
2
1
（II）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两
盘胜，
111113
?????
.

222228
12．袋中有大 小相同的
5
个白球和
3
个黑球，从中任意摸出
4
个，求下列 事件发生的概率.
所以，连胜两盘的概率为
(1)摸出
2
个或
3
个白球 (2)至少摸出一个黑球.
解： （Ⅰ）设摸出的
4
个球中有
2
个白球、
3
个白球分别为事件
A,B
，则
1
C
5
2
?C
3
2
3
C
5
2
?C
3
3

P(A)?

?,P(B)??
44
77
C
8
C
8
∵
A,B
为两个互斥事件 ∴
P(A?B)?P(A)?P(B)?
即摸出的
4
个球中有
2
个或
3
个白球的概率为
（Ⅱ）设摸出的
4
个球中全是白球为事件
C
，则
6

7
6

7
C
5
4
1

P(C)?
4
?
至少摸出一个黑球为事件
C
的对立事件
C
8
14
113
其概率为
1??

1414
练习：
1． 抛掷
2
颗骰子，所得点数之和记为
?
，那么
?
?4
表示的随机试验结果为____________。
2． 设某项试验的成功概率是失败概率的
2
倍，用随机变量
?
描述
1
次试验的成功次数，
则
P(
?
?0)?
_______________。
3．若
?
的分布列为：
?
P
0
p
1
q
其中
p?(0,1)
，则
E
?
?
____________________，
D
?

?
____________________，
数学选修2-3 第一章 计数原理 [基础训练A组]
一、选择题
-可编辑修改-

。
1．B 每个小球都有
4
种可能的放法，即
4?4?4?64

2．C 分两类：（1）甲型
1
台，乙型
2
台：
C
4
C5
；（2）甲型
2
台，乙型
1
台：
C
4
C
5

1221
1221

C
4
C
5
?C
4
C
5
?70

523
523
3．C 不考虑限制条件有
A
5
，若甲， 乙两人都站中间有
A
3
A
3
，
A
5
?A< br>3
A
3
为所求
21
21
4．B 不考虑限制条 件有
A
5
，若
a
偏偏要当副组长有
A
4
，
A
5
?A
4
?16
为所求
213
5．B 设男学生有
x
人，则女学生有
8?x
人，则
C
x
C
8?x
A
3
?90,

即
x(x?1)(8?x)?30?2?3?5,x?3

14
8?r?r8 ?r
x
8?r
1
rr
1
8?rrr
1
8? rr
3
?(?1)()C
8
x
3

6．A < br>T
r?1
?C()(?
3
)?(?1)()C
8
x< br>222
x
4
6
1
8?66
令
8?r?0,r?6,T
7
?(?1)()C
8
?7

32
5553322
7．B
(1?2x)(2?x)?2(1?2x) ?x(1?2x)?...?2C
5
(?2x)?xC
5
(?2x)?...

r
8
2333

?(4C
5
?16C
5
)x?...??120x?...

8．A 只有第六项二项式系数最大，则
n?10
，

T
r?1
?C(x)
二、填空题
3
444
1．（1）
10

C
5
?10
；（2）
5

C
5
?5
；（3）
14

C
6
?C
4
?14

r
10
10 ?r
5
5?r
2
r
5
rr
2
(
2
)?2C
10
x
2
，令
5?r?0,r?2,T
3
?4C
10
?180

x
2
4444
2．
8640
先排女生有
A< br>6
，再排男生有
A
4
，共有
A
6
?A
4
?8640

15
15
3．
480

0
既不能排首位，也不能排在末尾，即有
A
4
，其余的有
A
5
，共有
A
4
?A
5
?480

46
r10?r
x?1890x
6

4．
1890

T
r?1
?C
10
x (?3)
r
，令
10?r?6,r?4,T
5
?9C
10< br>4r?1r?1152151530
1530
5．
4,?C
20
x

C
20
?C
20
,4r?1?r?1?20,r? 4,T
16
?C
20
(?x)??C
20
x

22
22
6．
840
先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有
A
5
，其余的
A
7
，共有
A
5
? A
7
?840

4
7．
2
当
x?0< br>时，有
A
4
?24
个四位数，每个四位数的数字之和为
1?4 ?5?x


24(1?4?5?x)?288,x?2
；当x?0
时，
288
不能被
10
整除，即无解
314
325
8．
11040
不考虑
0
的特 殊情况，有
C
5
C
5
A
5
?12000,
若
0
在首位，则
C
5
C
4
A
4
? 960,

325314

C
5
C
5
A
5
?C
5
C
4
A
4
?12000?960?11040

三、解答题
2
2
1．解：（ 1）①是排列问题，共通了
A
11
?110
封信；②是组合问题，共握手C
11
?55
次。
22
（2）①是排列问题，共有
A
10
?90
种选法；②是组合问题，共有
C
10
?45种选法。
22
（3）①是排列问题，共有
A
8
?56
个商；②是组合问题，共有
C
8
?28
个积。
66
2．解 ：（1）甲固定不动，其余有
A
6
?720
，即共有
A
6< br>?720
种；
6
116
（2）甲有中间
5
个位置供 选择，有
A
5
，其余有
A
6
?720
，即共有A
5
A
6
?3600
种；
（3）先排甲、乙、丙三人 ，有
A
3
，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当
53
5< br>于
5
人的全排列，即
A
5
，则共有
A
5A
3
?720
种；
3
（4）从甲、乙之外的
5
人中选
2
个人排甲、乙之间，有
A
5
，甲、乙可以交换有
A
2
，
22
把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于
4
人的全排列，
-可编辑修改-

。
224
则共有
A
5< br>A
2
A
4
?960
种；
（5）先排甲、乙、丙之外 的四人，有
A
4
，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排
334
这 五个空位，有
A
5
，则共有
A
5
A
4
?1 440
种；
4
（6）不考虑限制条件有
A
7
，甲在乙的左 边（不一定相邻），占总数的一半，
7
1
7
A
7
?2520
种；
2
4
（7）先在
7
个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有
A
7
，留下三个空位，甲、乙、丙
即
4
三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱 排的，即
A
7
?840

（8）不考虑限制条件有
A
7
，而甲排头有
A
6
，乙排当中有
A
6
，这样重 复了甲排头，
765
5
乙排当中
A
5
一次，即
A< br>7
?2A
6
?A
5
?3720

766?
2x?1?4
?
x?3
?
43
3．解：
(1 )A
2x?1
?140A
x
?
?

?
x? N
?
?
(2x?1)2x(2x?1)(2x?2)?140x(x?1)(x?2)
?
x?3
?
?
?
x?N
?
(2x?1)( 2x?1)?35(x?2)
?
?
x?3
?
?
?
x ?N
?
4x
2
?35x?69?0
?
得
x?3


22122122
(2)C
n?3< br>?C
n?1
?C
n?1
?C
n
,C
n?2< br>?C
n?2
?C
n?2
?C
n
C
1
n?2
n(n?1)
?C,n?2?,n?4
2
2
n
1
r
1
??
r28?rrr16?3r
4．解：
2?2 ?128,n?8
，
?
x
2
?
?
的通项
T
r?1
?C
8
(x)(?)?(?1)C
8
x
< br>x
x
??
4
当
r?4
时，展开式中的系数最大，即< br>T
5
?70x
为展开式中的系数最大的项；
n7
7
当
r?3,或5
时，展开式中的系数最小，即
T
2
??56x,T< br>6
??56x
为展开式中
8
的系数最小的项。
25
5．解：（1）由已知得
C
n
?C
n
?n?7

135n?1
（2）由已知得
C
n
?C
n
?C
n< br>?...?128,2?128,n?8
，而展开式中二项式
系数最大项是
T
4?1
?C
8
(xx)(
44
1
44
3< br>2
)?70xx
。
3
x
50
50
6．解： 设
f(x)?(2?3x)
，令
x?1
，得
a
0
? a
1
?a
2
?L?a
50
?(2?3)

令
x??1
，得
a
0
?a
1
?a
2
?L?a
50
?(2?3)
50

(a
0
?a< br>2
?a
4
?L?a
50
)
2
?(a
1
?a
3
?a
5
?L?a
49
)
2
?

(a
0
?a
1
?a
2
?L?a50
)(a
0
?a
1
?a
2
?L?a
50
)?(2?3)
50
(2?3)
50
?1

-可编辑修改-

。
新课程高中数学训练题组参考答案（咨询）
数学选修2-3 第一章 计数原理 [综合训练B组]
一、选择题
113113
1．C 个位
A
2
，万位
A
3< br>，其余
A
3
，共计
A
2
A
3
A3
?36

3
2．D 相当于
3
个元素排
10
个位置，
A
10
?720

3．B 从
5 5?n
到
69?n
共计有
15
个正整数，即
A
69 ?n

15
4．A 从
c,d,e,f
中选
2
个，有
C
4
，把
a,b
看成一个整体，则
3
个元素 全排列，
A
3

23
23
共计
C
4
A
3
?36

5．A 先从
5
双鞋中任取
1
双，有
C
5
，再从
8
只鞋 中任取
2
只，即
C
8
，但需要排除
12
12
2

4
种成双的情况，即
C
8
?4
，则共计
C
5
(C
8
?4)?12 0

7
6．D
T
8
?C
10
(3i )
3
(?x)
7
?3603ix
7
，系数为
360 3i

1
rr2n?2r
，令
2n?2r?2,r?n?1

)?2
2n?r
C
2n
x
2x
C
8
3
?2
14
2n?1n?1
x?
2

则
2C
2n
?224,C
2n
?56,n?4
，再令
8?2r??2,r?5,T
6
?
4x
31
8．D
(1?x)(1?x)?(1?x)?x(1?x)?(C
10
?C
10
)x ?...?207x?...

7．A
T
r?1
?C
2n
(2x)
r2n?r
(
二、填空题
1．
2
每个人都有通过或不通过
2
种可能，共计有
2
?
2
?
...
?
2(
n个
2)
?
2

n
n
1331
2．
60
四个整数和为奇数分两类：一 奇三偶或三奇一偶，即
C
5
C
4
?C
5
C
4
?60

112
3．
23

C
3< br>C
4
A
2
?1?23
，其中
(1,1)
重复 了一次
4．
3

n?1,k?2

1
5? r
1
5?r
1
??
5r
5．
?51
< br>?
(x?)?1
?
的通项为
C
r
(x?)(?1),
其中
(x?)
的通项为
xx
x
??
'
r
'
5?r?2r
'
rrr
'
5?r?2r
'

C
5
，所以通项为
，令
5?r?2r?0

x(? 1)CCx
?r55?r
5?r
'
''
得
r?
，当
r?1
时，
r?2
，得常数为
?30
；当
r?3< br>时，
r?1
，得常数为
?20
；
2
'
当< br>r?5
时，
r?0
，得常数为
?1
；
??30?(? 20)?(?1)??51

3241
6．
4186

3
件次品，或
4
件次品，
C
4
C
46
?C
4
C
46
?4186

(x?1)[1?(x?1)
5
](x?1)?(x?1)
6
6
4
?
7．
15
原式
?
，
(x?1)
中含有
x
的项是
1?(x?1)x
2424
3

C
6x(?1)?15x
，所以展开式中的
x
的系数是
15

5
8．
105
直接法：分三类，在
4
个偶数中分别选
2
个，
3
个，
4
个偶数，其余选奇数，
2332415541

C
4
C
5
?C
4
C
5
?C
4
C
5
?105
；间接法：
C
9
?C
5
?C
5
C
4?105

三、解答题
1．解：
AUB
中有元素
7?10?4?13

333

C
13
?C
6
?C
3
?286?20?1?265
。
2．解：（1）原式
?(C
2< br>100
3
A
101
1
33
?C)?A?C?A?3
?A
101
?1?A
3
?
。
A
3
6
3
100
3
101
3
101
3
101
-可编辑修改-

。
34444444
（2） 原式
?C
3
?C
5
?C
4
?C
6
?C
5
?L?C
11
?C
10
?C
11
? 330
。
433333
另一方法：
原式?C
4
?C4
?C
5
?L?C
10
?C
5
?LC
10

433434

?C
6
?C
6
?L?C
10
?L?C
10
?C
10?C
11
?330

mm?1m?1m?1m?1
C
n
?C
n
C
n
C
n
C
n
（3）原式
??
m
?1?
m
?
m
?1
< br>m
C
n
C
n
C
n
C
n
n! m?n!(n?m?1)?n!?m?n!
??
3．证明：左边
?

(n?m)!(n?m?1)!(n?m?1)!
(n?1)!
m
??A
n? 1
?
右边
[(n?1)?m]!
所以等式成立。
(1?x)
1
3
33
6
C(?1)??20
?2)
3
?
4．解：
(x?
，在中，的系数
x
(1?x)
6
3
x
x
就是展开式中的常数项。
另一方法：
原式?(
6
x?
1
x
3
(?1)
3
??20

)
6
，
T
4
?C
6
5．解：抛物线经过原点，得
c?0
，
?
a?0
b
11< br>当顶点在第一象限时，
a?0,?
，则有
C
3
C
4< br>种；
?0,即
?
2a
?
b?0
?
a?0< br>b
2
当顶点在第三象限时，
a?0,?
，则有
A
4< br>种；
?0,即
?
2a
?
b?0
112
共计 有
C
3
C
4
?A
4
?24
种。
6．解：把
4
个人先排，有
A
4
，且形成了
5
个缝 隙位置，再把连续的
3
个空位和
1
个空位
4
242
当成两个不同的元素去排
5
个缝隙位置，有
A
5
，所以共计有
A
4
A
5
?480种。
新课程高中数学训练题组参考答案（咨询）
数学选修2-3 第一章 计数原理 [提高训练C组]
一、选择题
n!n!
?6?,n?3?4,n?7

(n?3)!(n?4)!?4!
2332
2．D 男生
2
人， 女生
3
人，有
C
30
C
20
；男生
3人，女生
2
人，有
C
30
C
20

1．B
2332
共计
C
30
C
20
?C
30
C
20

3．A 甲得
2本有
C
6
，乙从余下的
4
本中取
2
本有
C
4
，余下的
C
2
，共计
C
6
C
4

222
22
4．B 含有
10
个元素的集合的全 部子集数为
S?2
，由
3
个元素组成的子集数
10
3T
C
10
15
?
10
?
为
T?C
S2128
22
5．A
(a
0
?a
2
?a
4
)?(a
1
?a
3
)?(a
0?a
1
?a
2
?a
3
?a
4
)(a< br>0
?a
1
?a
2
?a
3
?a
4)

3
10
，
44

?(2?3)?(2?3)?1

6．D 分三种情况：（1）若仅
T< br>7
系数最大，则共有
13
项，
n?12
；（2）若
T
7
与
T
6
系数
相等且最大，则共有
12
项 ，
n?11
；（3）若
T
7
与
T
8
系数相 等且最大，则共有
14
项，
-可编辑修改-

。
n?13
，所以
n
的值可能等于
11,12,13

7．D 四个点分两类：（1）三个与一个，有
C
1
4
1
（2）平均分二个与二个，有
4
；
2
C
4

2
2
C
4
?7

共计有
C?
2
8．D 复数
a?bi,(a,b?R)
为虚数， 则
a
有
10
种可能，
b
有
9
种可能，共计
90
种可能
二、填空题
1．
9
分三类：第一格填
2
，则第二格有
A
3
，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；
1
第一格填
3
，则第三格有
A
3
，第一、四格自动 对号入座，不能自由排列；
1
第一格填
4
，则第撕格有
A
3
，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；
1
1
共计有
3A
3
?9

333
2．
165

C
12
?C
6
?C
7
?165

1112
3．
180,30

a?0
，
C< br>6
C
6
C
5
?180
；
b?0,A
6
?30

a
9?r
x
r
2
r9?rr< br>3
2
r
?9
3r
r
)?(?1)()aC
9
x
4．
4

T
r?1
?C()(?
，令
?9?3,r?8

x 22
2
r
9
2
88
99
)aC
9
?a?,a?4

2164
322223222
5．
13

C
3
?C
3
?C
4
?C
5
?L? C
n
?363?1,C
4
?C
4
?C
5
? L?C
n
?364,


(?1)(
8
3223

C
5
?C
5
?L?C
n
?...?C
n?1
?364,n?13
5!6!77!
???,m
2
?23m?42?0

m!(5?m)!m!(6?m)!10m!(7?m)!
m2
而
0?m?5
，得
m?2,C
8
?C
8
?28

6．
28

7．
0.956

0. 991
5
?(1?0.009)
5
?1?5?0.009?10?(0.00 9)
2
?...?1?0.045?0.00081?0.956

7
n
8．
?2
设
f
(
x
)
?
(1
?
2
x
)
，令
x?1
，得
a
0
?a
1
?a
2
?L?a
7
? (1?2)??1

令
x?0
，得
a
0
?1
，
a
1
?a
2
?L?a
7
? ?1?a
0
??2

三、解答题
1．解：
6
个人排有
A
6
种,
6
人排好后包括两端共有
7
个“间隔”可以插入空位.
6
4
(1)空位不相邻相当于将
4
个空位安插在上述
7
个“间隔”中, 有
C
7
?35
种插法，
6
C
7
4
?25200
种。
故空位不相邻的坐法 有
A
6
g
(2)将相邻的
3
个空位当作一个元素,另一空位 当作另一个元素,往
7
个“间隔”里插
262
有
A
7种插法,故
4
个空位中只有
3
个相邻的坐法有
A
6A
7
?30240
种。
(3)
4
个空位至少有
2
个相邻的情况有三类：
①
4
个空位各不相邻有
C
7
种坐法;
4
②
4
个空位
2
个相邻，另有
2
个不相邻有
C
7
C
6
种坐法;
12
③
4
个空位分两组,每组 都有
2
个相邻,有
C
7
种坐法.
2
64122< br>综合上述,应有
A
6
(C
7
?C
7
C
6
?C
7
)?118080
种坐法。
4
2．解：分三类 ：若取
1
个黑球，和另三个球，排
4
个位置，有
A
4
?24
；
-可编辑修改-

。
若取
2
个黑球，从另三个球中选
2
个排
4
个位置，
2
个黑球是相同 的，
22
自动进入，不需要排列，即有
C
3
A
4
?36
；
若取
3
个黑球，从另三个球中选
1
个排
4
个位置，
3
个黑球是相同的，
11
自动进入，不需要排列，即有
C
3
A
4
?12
；
所以有
24?36?12?72
种。
3．解：
(1?2x)(1?3x)??(2x?1)(3x?1)

514413

??[(2x)?C
5
(2x)?. ..][(3x)?C
4
(3x)?...]

5454

??(32x?80x?...)(81x?108x?...)


5443
??(2592x
9
?81?80x
8
?32?1 08x
8
?...)
98
??2592x?3024x?...
2n ?2
?8n?9?9
n?1
?8n?9?(8?1)
n?1
?8n? 9

4．解：
3
0n?11nn?12nn?1
?C
n?C
n?1
8
?1
8?
L
?C
n?1
8?C
n?1
8?C
n?1
?8n?9
0n?11n?2n?1?64(C
n
?C
n
?
L
?C
n?1
8
?1
8
?1
)?8(n?1)?1?8n?9

0n?1 1n?2n?1
?M?64(
记
M?C
n
?C
n
?
L
?C
n?1
8
?1
8
?1
)

QM为整数
，
?64M能被64整除.

012n
5．证明 ：
C
n
?2C
n
?3C
n
?...?(n?1)C
n

012n12n

?(C
n
?C
n
?C
n
?...?C
n
)?(C
n
?2C
n
?...?nC
n
)


12n?1
?2
n
?n(1?C
n
?C?...?C
?1n ?1n?1
)
?2?n?2
3
nn?1
1

6．解 ：（1）
C
n
?7C
n
,
n(n?1)(n?2)
?7n,n
2
?3n?40?0,由n?N
*
,得n?8
；
6
523443243
（2）
C
7
a?C
7
a? 2C
7
a,21a?35a?70a,a?0

得
5a?10a?3 ?0?a?1?
44lgx44(1?lgx)
（3）
C
8
(2x) (x)?1120,x
2
10
；
5
?1,lg
2
x?lgx?0

得
lgx?0
，或
lgx??1

所以
x?1,或x?










1
。
10
-可编辑修改-

。






































-可编辑修改-

。

-可编辑修改-

。






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-可编辑修改-