人教版高中数学选修2-3 模块综合检测

摄氏温度
饮料瓶数

－1
3
3
40
8
52
12
72
17
122
^^^^
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为6，据此模型预测气温为30 ℃时销售饮料瓶
数为( )
A．141
C．211
解析：选B 由题意，x＝
y＝
B．191
D．241
－1＋3＋8＋12＋17
＝7．8，
5
3＋40＋52＋72＋122
＝57．8，
5
^^^^^因为回归方程y＝bx＋a中的b为6，所以57．8＝6×7．8＋a，
^^^
所以a ＝11，所以y＝6x＋11，所以x＝30时，y＝6×30＋11＝191，故选B．
10．如图 ，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，
要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不 能涂相同的颜色，则不同的涂色
种数有( )
A．72
C．108
B．96
D．120
解析：选B 颜色都用上时，必定有两块同色，在图中，同色的可 能是1,3或1,5或2,5
或3,5．对每种情况涂色有A
4
4
＝24种， 所以一共有96种．
11．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有 故障是
独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2个引擎飞机要
2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4个引擎飞机更安全，则p的取值范围是
( )
2
?
A．
?
?
3
，1
?

2
0，
?
C．
?
?
3
?
1
，1
?
B．
?
?
3
?
1
0，
?
D．
?
3
??
34,
解析：选B 4个引擎飞机成功飞行的概率为C
3
4
p(1－p)＋p2个引擎飞机成功飞行的
1
342
概 率为p
2
，要使C
3
4
p(1－p)＋p>p，必有3
12．(全国丙卷)定义“规范01数列”{a
n
}如下：{a
n< br>}共有2m项，其中m项为0，m项为
1，且对任意k≤2m，a
1
，a
2
，…，a
k
中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范
01 数列”共有( )

A．18个 B．16个

C．14个 D．12个
解析：选C 由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项
为1，且必有a
1
＝0，a
8
＝1．不考虑限制条件“对任意k≤2 m，a
1
，a
2
，…，a
k
中0的个数不
少于1的 个数”，则中间6个数的情况共有C
3
6
＝20(种)，其中存在k≤2m，a
1
，a
2
，…，a
k
中0的个数少于1的个数的情况有：①若a< br>2
＝a
3
＝1，则有C
1
4
＝4(种)；②若a2
＝1，a
3
＝0，
则a
4
＝1，a
5
＝1，只有1种；③若a
2
＝0，则a
3
＝a
4
＝a5
＝1，只有1种．综上，不同的“规
范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有1 4个．故选C．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
1 3．(四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这
次试验成功，则 在2次试验中成功次数X的均值是__________．
13
解析：法一：由题意可知每次 试验不成功的概率为，成功的概率为，在2次试验中
44
成功次数X的可能取值为0,1,2， 则P(X＝0)＝
3
?
2
91133
，P(X＝1)＝C
1
P(X＝2)＝
?

2
××＝，
?
4
?< br>＝
16
．
16448
所以在2次试验中成功次数X的分布列为
X
P
0
1

16
1
3

8
2
9

16
则在2次试验中成功次数X的均值为
1393
E(X)＝0×＋1×＋2×＝．
168162
3
法二： 此试验满足二项分布，其中p＝，所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)
4
33
＝np＝2×＝．
42
3
答案：
2
14．为了调查患慢性气管 炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果
如表

吸烟
不吸烟
总计

根据列联表数据，求得K
2
≈__________．
解析：由计算公式K＝
2
患慢性气管炎
43
13
56
未患慢性气管炎
162
121
283
总计
205
134
339
a＋b
nad－bc
2
c＋da＋cb＋d
，

得K
2
≈7．469．
答案：7．469
15． 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为
_ _______．
解析：十个数中任取七个不同的数共有C
7
10
种情况， 七个数的中位数为6，那么6只有
处在中间位置，有
1
答案：
6
1 6．某射手射击1次，击中目标的概率是0．9，他连续射击4次，且各次射击是否击
中目标相互之间没 有影响，有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0．9；
②他恰好击中目标3次的概率是0．9
3
×0．1；
③他至少击中目标1次的概率是1－0．1
4
．
其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．
解析：①因为各次射 击是否击中目标相互之间没有影响，所以第3次击中目标的概率
是0．9，正确；
②恰好击中目标3次的概率应为C
3
0．9
3
×0．1；
4
×
③4次射击都未击中的概率为0．1
4
；
所以至少击中目标1次的概率为1－0．1
4
．
答案：①③
三、简答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
C
3
6
种情况，于是所求概率
C
3
1
6
P＝
7
＝．
C
10
6
?
16
2
1
?
5
的展开17．(本小题满分10分)已知(a
2
＋1)
n
展开式中的各项系数之和等于
5
x＋
x
??
式的常数项 ，而(a
2
＋1)
n
的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
?
16
2
1
?
5
的展开式的通项为 解：
5
x＋
x
??
?
16
2
?
5
－< br>r
?
1
?
r
T
r
＋
1
＝ C
r
5
?
5
x
?
?
x
?
16
?
5
－
rr
20－5r
＝
?
?
5
?
C
5
x
2
，
令20－5r＝0，得r＝4，
16
故常数项T
5
＝C
4
5
×＝16．
5
又(a
2
＋1)
n
展开式的各项系数之和等于2
n
，
由题意知2
n
＝16，得n＝4．
由二项式系数的性质知，(a2
＋1)
n
展开式中系数最大的项是中间项T
3
，

4
故有C
2
4
a＝54，解得a＝±3．
18．(本小题满分12分)(全国甲卷)某险种的基本保费为a(单元：元)，继续购买该险种
的投保 人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出
险次数
保费
0
0．85a
1
a
2 3 4 ≥5
2a
1．25a 1．5a 1．75a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出
险次数
概率

(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
解：(1)设A表示事件“一续保人本 年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当
一年内出险次数大于1，故P(A)＝1－(0．3 0＋0．15)＝0．55．
(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”， 则事件B发生当且仅
当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0．1＋0．05＝0．15．
又P(AB)＝P(B)，
PABPB
0.153
故P(B|A)＝＝＝＝．
PAPA0.5511
3
因此所求概率为．
11
(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为
X
P

EX＝0．85a×0．30＋a×0．15＋1．25a×0．20＋1．5a×0．20＋1．75 a×0．10＋2a×0．05
＝1．23a．
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1．23．
19．(本小题满分12分)退 休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种
趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成， 按1%的比例从年龄在20～80岁(含20岁和
80岁)之间的市民中随机抽取600人进行调查，并 将年龄按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，
[60,70)，[7 0,80]进行分组，绘制成频率分布直方图，如图所示．规定年龄在[20,40)岁的人为
“青年人 ”，[40,60)岁的人为“中年人”，[60,80]岁的人为“老年人”．
0．85a
0．30
a
0．15
1．25a 1．5a 1．75a
0．20 0．20 0．10
2a
0．05
0 1 2 3 4 ≥5
0．30 0．15 0．20 0．20 0．10 0．05

< br>(1)根据频率分布直方图估计该城市60岁以上(含60岁)的人数，若每一组中的数据用该
组 区间的中点值来代表，试估算所调查的600人的平均年龄；
(2)将上述人口分布的频率视为该城市 年龄在20～80岁的人口分布的概率，从该城市年
龄在20～80岁的市民中随机抽取3人，记抽到“ 老年人”的人数为X，求随机变量X的分布
列和数学期望．
解：(1)由频率分布直方图可知 60岁以上(含60岁)的频率为(0．01＋0．01)×10＝0．2，
故样本中60岁以上(含 60岁)的人数为600×0．2＝120，故该城市60岁以上(含60岁)
的人数为120÷1%＝ 12 000．
所调查的600人的平均年龄为
25×0．1＋35×0．2＋45×0． 3＋55×0．2＋65×0．1＋75×0．1＝48(岁)．
1
(2)由频率分布直方图知，“老年人”所占的频率为，
5
1
所 以从该城市年龄在20～80岁的市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为，
5
分析可知X的所有可能取值为0,1,2,3，
1
?
0
?
4
?
3
64
?
P(X＝0)＝C
0
，
3
?
5
??
5
?
＝
125
?1
?
1
?
4
?
2
48
， P(X＝1 )＝C
1
3
?
5
??
5
?
＝
12 5
?
1
?
2
?
4
?
1
12
， P(X＝2)＝C
2
3
?
5
??
5
?
＝
125
?
1
?
3
?
4
?
0< br>1
． P(X＝3)＝C
3
3
?
5
??
5< br>?
＝
125
所以X的分布列为
X
P
0
64

125
1
48

125
2
12

125
3
1

125
64481213
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
55
?
或EX＝3×
1
＝
3
?

55
??
20．(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年 宣传
费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣 传

费x
i
和年销售量y
i
(i＝1,2，…，8)数 据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

88
x y w
i
＝
1
?
(x
i
－x)
2
i
＝
1
?
(w
i
－w)
2
i
＝
1
?
(x
i
－x)(y
i
－y)
8
i
＝
1
?
(w
i
－w)(y
i
－y)
108．8
8
46．6
563
6．8 289．8 1．6
1 469
1
8
表中w
i
＝x
i
，w＝
?
w
i
．
8
i
＝
1
(1)根据散点图判断，y＝a＋ bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x
的回归方程类型？(给出判断即可，不必 说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．
(3)已 知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0．2y－x．根据(2)的结果回答下列问
题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u
1
， v
1
)，(u
2
，v
2
)，…，(u
n
， v
n
)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截
^
i
＝
1?

n
u
i
－u
n
v
i
－v
^
2
^
距的最小二乘估计分别为β＝
i
＝
1
，α＝v－β u．
u
i
－u
?

解：(1)由散点图 可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程
类型．
(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．
^
i
＝
1
?

8
w
i
－ w
8
y
i
－y
2
由于d＝
i
＝
1
108.8
＝＝68，
1.6
?
w
i
－w

^^
c＝y－dw＝563－68×6．8＝100．6，
^
所以y关于w的线性回归方程y＝100．6＋68w，
^
因此y关于x的回归方程为y＝100．6＋68x．
(3)①由(2)知，当x＝49时，
^
年销售量y的预报值y＝100．6＋6849＝576．6，
^
年利润z的预报值z＝576．6×0．2－49＝66．32．
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
^
z＝0．2(100．6＋68x)－x＝－x＋13．6x＋20．12．
^
13.6
所以当x＝＝6．8，即x＝46．24时，z取得最大值．
2
故年宣传费为46．24千元时，年利润的预报值最大．
21．(本小题满分12 分)PM2．5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称
为可吸入肺颗粒物．我国PM2． 5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2．5日均值
在35微克立方米以下空气质量为一级；在3 5微克立方米～75微克立方米之间空气质量
为二级；在75微克立方米以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2015年全年每天的PM2．5监测数据中随机抽取15天
的数据作为 样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)

(1)从这15天的PM2．5日均监 测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一
级的概率．
(2)从这15天的数据中 任取三天数据，记ξ表示抽到PM2．5监测数据超标的天数，求
ξ的分布列及数学期望．
( 3)以这15天的PM2．5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算)中
平均有多 少天的空气质量达到一级或二级．
解：(1)记“从15天的PM2．5日均监测数据中，随机抽出三 天，恰有一天空气质量达
2
C
1
45
5
C
10到一级”为事件A，P(A)＝
3
＝．
C
15
91
( 2)依据条件，ξ服从超几何分布：ξ的可能值为0,1,2,3，

其分布列为： < br>k3k
C
5
C
10
P(ξ＝k)＝
3
(k＝ 0,1,2,3)．
C
15
－
ξ
P

0
24

91
1
45

91
2
20

91
3
2

91
2445202
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1，
9191 9191
(3)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P＝
一年中空气质量 达到一级或二级的天数为η，
2
360，
?
， 则η～B
?
3
??
2
所以E(η)＝360×＝240，
3
所以一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级．
22．(本小题满分12分)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 50 0人，
为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每
周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生样本数据？
( 2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所
示)，其中样 本数据分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计 该校学生
每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．
102
＝，
153

(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时． 请完成每周平
均体育运动时间与性别的列联表，并判断在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为“该 校
学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

P(K
2
≥k
0
)
k
0


0．10 0．05 0．010 0．005
2．706 3．841 6．635 7．879

附：K＝
2
a＋b
nad－bc
2c＋da＋cb＋d

4 500
解：(1)由分层抽样得收集的女生样本数据为300×＝90，
15 000
所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得2×(0．150＋0．125＋0．075＋0．025)＝0．75，
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0．75．
(3)由(2) 知，300名学生中有300×0．75＝225人的每周平均体育运动时间超过4个小
时．75人的每 周平均体育运动时间不超过4个小时．又因为样本数据中有210份是关于男
生的，90份是关于女生的 ，所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下：
平均体育运动时间与性别列联表

不超过4个小时
超过4个小时
总计

2
300×－
结合列联表可算得K的观测值k＝
≈4．762>3．841．
75×225×210×90
2
男生
45
165
210
女生
30
60
90
总计
75
225
300
在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为“该校学生的每周平均 体育运动时间与性别
有关”．