精校版人教版高中数学选修2-3检测试题 综合检测

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综合检测

(时间:120分钟,满分:150分)

一、选择题(每小题5分,共60分)

1.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色 、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3
张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不 同取法的种数为( ).

A.232
答案:C
解析:完成这件事可分为两类,第一类3张卡片颜色各不相同共有=256种;第二 类3张卡片
有两张同色且不是红色卡片共有=216种,由分类加法计数原理得共有472种,故选C.
2.(2014重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目
的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( ).
A.72
答案:B
解 析:解决该问题分为两类:第一类分两步,先排歌舞类,然后利用插空法将剩余3个节目排
入左边或右边 3个空,故不同排法有·2=72.第二类也分两步,先排歌舞类,然后将剩余3个节
目放入中间两空排 法有,故不同的排法有=48,故共有120种不同的排法,故选B.
3.(x
2
+2)的展开式中的常数项是( ).
A.-3
答案:D
解析:的通项为T
r+1
=(-1)
r
=(-1 )
r
x
2r-10
.要使(x
2
+2)的展开式中存在常数 项,须令2r-10=-2或0,
此时r=4或5.故(x
2
+2)·的展开式中的常 数项是(-1)
4
×+2×(-1)
5
×=3.
4.小明同学在网 易上申请了一个电子信箱,密码由4位数字组成,现在小明只记得密码是由2
个6,1个3,1个9组成 ,但忘记了它们的顺序.那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密
码,则他恰好能输入正确进入邮箱 的概率是( ).
A.
答案:C
B. C. D.
B.-2 C.2 D.3
B.120 C.144 D.168
B.252 C.472 D.484

解析:由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成=12种不同的 密码顺序,因此小明试着
输入由这样4个数组成的一个密码,他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P=.
5.将三颗骰子各掷一次,设事件A=“三个点数都不相同”,B=“至少出现一个6点”,则概率P(A|B)等于( ).
A.
答案:A
解析:P(B)=1-P()=1-,
P(AB)=,
故P(A|B)=.
6.已知随机变量X服从二项分布,X~B,则P(X=2)等于( ).
A.
答案:D
解析:P(X=2)=··.
7.6个电子产品中有2个次品,4个合格 品,每次从中任取一个测试,测试完后不放回,直到两
个次品都找到为止,那么测试次数X的均值为( ).
A.
答案:D
解析:测试次数X为随机变量,其可能的取值为2,3,4,5,6,其分布列如下:
X 2
P
3

4 5

6

B. C. D.
B. C. D.
B. C. D.

∴E(X)=2×+3×+4×+5×+6×.
8.某次语文考试中考生的分数X~N(80 ,100),则分数在60~100分的考生占总考生数的百分比
是( ).
A.68.26%
C.99.74%
答案:B
解析:由题意得μ=80,σ=10,μ-2σ=60,μ+2σ=100,
故60~100分之间的考生占总考生数的百分比是95.44%.
B.95.44%
D.31.74%

9.已知x,y之间的一组数据
x 1.08 1.12 1.19 1.28
y 2.25 2.37 2.40 2.55

x与y之间的线性回归方程x必过( ).
A.(0,0)
C.(0,2.392 5)
答案:D
解析:回归直线过样本中心点().
∵=1.167 5,=2.392 5,
∴x必过点(1.167 5,2.392 5).
10.已知(x+)
10
=a
0
+a
1
x +a
2
x
2
+…+a
10
x
10
,则(a
0
+a
2
+a
4
+a
6
+a
8< br>+a
10
)
2
-(a
1
+a
3
+a
5
+a
7
+a
9
)
2
的值为
( ).
A.0
答案:B
解析:令x=1,得a
0
+a
1
+a
2
+…+a
10
=(1+)
10
.
令x=-1,得a
0
-a
1
+a
2
-a
3
+…-a
9
+a
10
=(-1)
10
.
∴(a< br>0
+a
2
+a
4
+a
6
+a
8+a
10
)
2
-(a
1
+a
3
+a< br>5
+a
7
+a
9
)
2

=(a0
+a
1
+a
2
+…+a
10
)(a
0
-a
1
+a
2
-a
3
+…+a
8
-a
9
+a
10
)
=(1+)
10
·(1-)
10
=1.
11.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:

爱好
男 女 总计
40 20 60
B.(1.167 5,0)
D.(1.167 5,2.392 5)
B.1 C.-1 D.2
不爱好
20 30 50
总计
60 50 110

由K
2
=算得,K
2
=≈7.8.

附表:
P(K
2
≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828

参照附表,得到的正确结论是( ).
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
答案:C
解析:∵K< br>2
≈7.8>6.635,∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,即犯错误的 概
率不超过1%.
12.抛一枚均匀硬币,正反面出现的概率都是,反复这样投掷,数列{a
n
}定义如下:a
n
=若
S
n
=a
1+a
2
+…+a
n
(n∈N
*
),则事件“S
8
=2”的概率,事件“S
2
≠0,S
8
=2”的概率分别是( ).
A.
C.
答案:B
解析:根据定义事件“S
8
=2”是指8次投掷中5次正面3次反面,其概率为P=;事件
“S
2
≠0,S
8
=2”是指:(1)前2次都是正面,后6次中3正3反;(2)前2次都是反面,后6次中5正< br>1反,故其概率为P=.
B.
D.
二、填空题(每小题4分,共16分)

13.5名男性驴友到某旅游风景区游玩,晚 上入住一家宾馆,宾馆有3间客房可选,一间客房为
3人间,其余为2人间,则5人入住两间客房的不同 方法有 种(用数字作答).
答案:20
解析:依题可知这5人只能入住一间3人间 及一间2人间,第一步先确定在2个2人间中选
择哪一间有种;第二步确定哪三个人入住3人间有种,剩 下的2人住2人间,故这5人入住两
间空房的不同方法有=20种.
14.(2014大纲全国高考)的展开式中x
2
y
2
的系数为 .(用数字作答)

答案:70
解析:设的第r+1项中含有x
2
y
2
,则T
r+1
=·(-1)
r
·,
因此8-r-=2,r-=2,即r=4.
故x
2
y
2
的系数为×(-1)
4
==70. < br>15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常
工 作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:h)均服从正态分布N(1 000,50
2
),且
各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率
为 .

答案:
解析:设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A,B,C,显然
P(A)=P(B)=P(C)=,
∴该部件的使用寿命超过1 000的事件为(AB+AB)C.
∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P=.
16.甲、乙两队进行排球比赛,已知在一局比赛中甲队获胜的概率是,没 有平局,若采用三局两
胜制比赛,即先胜两局者获胜且比赛结束,则甲队获胜的概率等于 .
答案:
解析:甲队2∶0获胜的概率为,甲队2∶1获胜的概率为···,故甲队获胜的概率为.
三、解答题(共6小题,共74分)

17.(12分)在研究某种新药对小白兔的治疗效果时,得到如下数据:

存活数 死亡数 合计
38
20
58
139
149
288
未用新药
101
用新药
合计
129
230


试分析新药对治疗小白兔是否有效?

解:由公式计算得,随机变量K
2
的观测值
k=≈8.65 8,由于8.658>6.635,故有99%的把握可以判断新药对治疗小白兔是有效的.
18.(12分)已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.
(1)求展开式中的所有有理项;
(2)求展开式中系数绝对值最大的项;
(3)求n+9+81+…+9
n-1
的值.
解:(1)由(-2)
4
∶(-2)
2
=56∶3,解得n=10.
因为通项T
r+1
=)
10-r
=(-2)
r
,
当5-为整数时,r可取0,6,
于是有理项为T
1
=x
5
和T
7
=13 440.
(2)设第r+1项系数绝对值最大,则
解得于是r=7.
所以系数绝对值最大的项为T
8
=-15 360.
(3)10+9+81+…+9
10-1

=
=
=.
19.(12分)在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先 后
抽得两张卡片的标号分别为x,y,设O为坐标原点,点P的坐标为(x-2,x-y),记ξ=|x -2|+|y-x|.
(1)求随机变量ξ的最大值,并求事件“ξ取得最大值”的概率;
(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望.
解:(1)∵x,y可能的取值为1,2,3,
∴|x-2|≤1,|y-x|≤2.
∴ξ≤3,且当x=1,y=3或x=3,y=1时,ξ=3.
因此,随机变量ξ的最大值为3.
∵有放回抽两张卡片的所有情况有3×3=9种,
故P(ξ=3)=,即事件“ξ取最大值”的概率是.

(2)随机变量ξ可能取值为0,1,2,3,
∵当ξ=0时,x=2,y=2,
∴P(ξ=0)=;
∵当ξ=1时,x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3,
∴P(ξ=1)=;
∵当ξ=2时,x=1,y=2或x=3,y=2,
∴P(ξ=2)=;
由(2)知P(ξ=3)=,
∴随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P


随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×.
20.(12分)假设关于某设备使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料:
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0


若由资料知,y对x呈线性相关关系,试求:
(1)回归直线方程;
(2)估计使用年限为10年时,维修费用约是多少?
解:(1)依题列表如下:
i
x
i

y
i

1
2
2
3
3
4
5.5
4
5
6.5
5
6
7.0 2.2 3.8

x
i
y
i
4.4 11.4 22.0 32.5 42.0
=4,=5,
=90,x
i
y
i
=112.3


=1.23.
=5-1.23×4=0.08.
∴回归直线方程为
=1.23x+0.08.
(2)当x=10时,=1.23×10+0.08=12.38(万元).
即估计用10年时,维修费约为12.38万元.
21.(12分)现在要对某个学校今年将 要毕业的900名高三毕业生进行乙型肝炎病毒检验,可
以利用两种方法.①对每个人的血样分别化验, 这时共需要化验900次;②把每个人的血样分
成两份,取其中m个人的血样各一份混合在一起作为一组 进行化验,结果为阴性,那么对这m
个人只需这一次检验就够了;结果为阳性,那么再对这m个人的另一 份血样逐个化验,这时
对这m个人一共需要m+1次检验.据统计报道,对所有人来说,化验结果为阳性 的概率为0.1.
(1)求当m=3时,一个小组经过一次检验就能确定化验结果的概率是多少?
(2)试比较在第二种方法中,m=4和m=6哪种分组方法所需要的化验次数更少一些?
解 :(1)当m=3时,一个小组有3个人,经过一次检验就能确定化验结果是指经过一次检验,结
果为阴 性,所以概率为P=(1-0.1)
3
=0.729.
(2)当m=4时,一个小组 有4个人,这时每个人需要检验的次数是一个随机变量η
1
,其分
布列为
η
1

P

0.9
4
1-0.9
4



所以E(η
1
)=×0.9< br>4
+×(1-0.9
4
)≈0.59;

当 m=6时,一个小组有6个人,这时需要检验的次数是一个随机变量η
2
,其分布列为
η
2

P

0.9
6
1-0.9
6



所以E(η
2
)=×0.9< br>6
+×(1-0.9
6
)≈0.64,
由于E(η
2
)>E(η
1
),因此当每4个人一组时所需要的化验次数更少一些.
22.(1 4分)一次小测验共有3道选择题和2道填空题,每答对一道题得20分,答错或不答得0
分.某同学答 对每道选择题的概率均为0.8,答对每道填空题的概率均为0.5,各道题答对与否
互不影响.
(1)求该同学恰好答对2道选择题和1道填空题的概率;
(2)求该同学至多答对4道题的概率;
(3)若该同学已经答对了两道填空题,把他这次测 验的得分记为X,求X的概率分布列及数学
期望.
解:(1)P=.
(2)该同学至多答对4道题的概率为1-·.
(3)X的可能取值为40,60,80,100.
P(X=40)=,
P(X=60)=,
P(X=80)=,
P(X=100)=.
∴X的概率分布列为
X 40
P
60

80

100



E(X)=40×+60×+80×+100×
=88.

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