怎么写高中数学作业-高中数学导数应用 构造方程
高中数学选修2-2模块测试卷
考试时间：120分钟
满分：150分
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
xx1．因指数函数
y?a
x
是增函数（大前提）,而
y?()
是指
数函数（小前提），所以
y?()
是增函数（结论）”，
11
33
上面推理的错误是（ ）
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
2．设
O
是原点，向量
???
OAOB
?
，
????
对应的复数分别为
2?3i，?3?2i，那么向量
???
BA
?
对应的复数是（
A．
?5?5i
B．
?5?5i
C．
5?5i
D．
5?5i
3．函数
f(x)?xlnx
，则（ ）
A．在
(0，?)
上递增
B．在
(0，?)
上递减
C．在
(0，
1
)
上递增
D．在
(0，
1
ee
)
上递减
4．如右图，阴影部分面积为（ ）
A．
?
b
a
[f(x)?g(x)]dx
B．
?
c
[g(x)?f(x)]dx?
?
b
ac
[f(x)?
g(x)]dx
C．
?
c
[f(x)?g(x)]dx?
?
b
ac
[g(x)?f(x)]dx
D．
?
b
a
[g(x)?f(x)]dx
5．证明：n?2
2
?1?
1
2
?
111
3
?<
br>4
???
2n
?n?1(n?1)
，当
n?2
时，中
间式子等于（ ）
A．
1
B．
1?
1
2
C．
1?
1
2
?
1
3
D．
1?
11
2
?
3
?
1
4
6．
?
4
x
?2
edx
的值等于（ ）
A．
e
4
?e
?2
B．
e
4
?e
2
C．
e
4
?e
2
?2
D．
e
4
?e
?2
?2
7．函数
y?sin(2x
2
?x)
导数是（ ）
A．
cos(2x
2
?x)
B．
2xsin(2x
2
?x)
C．
(4x?1)cos(2x
2
?x)
D．
4cos(2x
2
?x)
1
）
，2)
处的切线与其平行直线
bx?y?c?0
间的距离是（ ）
8．抛物线
y?x
2
?bx?c
在点
(1
A．
2
4
B．
2
2
C．
32
2
D．
2
9．
f
'
(x)
是
f(x)的导函数，
f
'
(x)
的图象如右图所示，则
f(x)
的图象只可能是（ ）
A．
B． C． D．
'
10．对于
R
上可
导的任意函数
f(x)
，若满足
(x?1)f(x)?0
，则必有（
）
A．
f(0)?f(2)?2f(1)
B．
f(0)?f(2)?2f(1)
C．
f(0)?f(2)?2f(1)
D．
f(0)?f(2)?2f(1)
二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）
22
11．若复数
m?5m
?6?m?3mi
是纯虚数，则实数
m?
_________．
????<
br>12．一质点沿直线运动，如果由始点起经过
t
秒后的位移为
s?
1<
br>3
3
2
t?t?2t
，那么速度为零的时刻是_________．
32
13．若函数
y?f(x)
的图象在
x?4
处的切线方
程是
y??2x?9
，则
f(4)?f
?
(4)?
____
_____．
2
??)
上是增函数，则
a
的取值范围是_________． 1
4．已知
f(x)?ln(x?ax?2a?2)(a?0)
，若
f(x)
在
[1，
l
2
15．通过类比长方形，由命题“周长为定值
l
的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，可猜想关于长方
16
体的相应命题为：
．
三、解答题（共6小题，共75分）
(1?i)
2
?3(1?i)2
16．（本小题满分10分）已知复数
z?
，若
z?az?b?1?i
(a，b?R)
，求
a?b
的值．
2?i
2
π
?
x
2
(x≤0)，
17．（本小题满
分11分）设
f(x)?
?
试求
?
2
f(x)dx
．
?1
?
cosx?1 (x?0)，
18．（本小题满分12分）设
a，b，c
均为大于1的正数，且
ab?10
．求证：
log
a
c?log<
br>b
c≥4lgc
．
19．（本小题满分14分）在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?
（1）写出此数列的前5项；
（2）归纳猜想
?
a
n
?
的通项公式，并加以证明．
3
1
，且前
n
项的算术平均数等于第
n
项的
2n?1
倍
(n?N
*
)
．
3
20．（
本小题满分14分）已知函数
f(x)?
1
2
x?lnx
．
2
（1）求函数
f(x)
在区间
[1，e]
上的最大、最小值；
（2）求证：在区间
(1，??)
上，函数
f(x)
的图象在函数
g
(x)?
<
br>3
21．（本小题满分14分）已知函数
f(x)?x?3ax?1
，
g(x)?f
?
(x)?ax?5
，其中
f
?
(x)
是
f(x)
的导函数．
2
3
x
的图象的下方．
3
（1）对满足
?1≤a≤1
的一切
a
的值，都有<
br>g(x)?0
，求实数
x
的取值范围；
（2）设
a?
?m
，当实数
m
在什么范围内变化时，函数
y?f(x)
的图象与直
线
y?3
只有一个公共点．
2
参考答案
4
一、选择题
题号
答案
二、填空题
11．2 12．1秒或2秒 13．3
14．
1?a≤2
15．表面积为定值
S
的长方体中，正方
体的体积最大，最大值为
?
三、解答题
16．解：
z?
1
A
2
D
3
D
4
B
5
D
6
C
7
C
8
C
9
D
10
C
?
S
?
?
6
??
2
3
2i?3?3i3?i
??1?i
，
2?i2?i
?(1
，
i?i
2
)?a?(1?ib)??1
(2?
?(
a?b)??
17．解：
2?i)?1
，
?a?b?1
．
0
π
2
0
0
2
π
2
0
?
π
2
?1
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(
x)dx?
?
xdx?
?
(cosx?1)dx
?1?1
1
2
?x
3
?
0
??
?(sinx?x)
π
2
0
1π4π
?1???
．
3232
18．证明：由于
a?1
，
b?1
，故要证明
log
ac?log
b
c≥?lgc
，
只需证明
lgclgc
?≥4lgc
，又
c?1
，
lgc?0
，
lgalgb
11lga?lgb
?≥?
，即
≥4
．
lgalgblgalgb
所以只需证明
因为
ab?10
，所以
lga?lgb?1
，
故只需证明
1
≥4
．
lgalgb
①
由于a?1
，
b?1
，所以
lga?0
，
lgb?0
，
?
lga?lgb
?
1
所以
0?lgalgb≤
??
?
．
2
??
4
5
2
即①式成立，所以原不等式成立．
1
a
1
?a
2
?a3
?
?
?a
n
111
3，4，5
，得
a
2
?a
1
??(2n?1)a
n
，分别取
n?2
，
?
，，
3n53?515
111111
(a
1
?a)??a?(a?a?a)??
a
3
?
，，
24123
145?735277?963
111
(a
1
?a
2
?a?a)??
a
5
?
，
34
449?1199
1111
1
所以数列的前5项是a
1
?
，
a
2
?
，
a
3?
，
a
4
?
，
a
5
?
； <
br>15356399
3
19．解：（1）由已知
a
1
?
（2）由（1）中的分析可以猜想
a
n
?
下面用数学归纳法证明：
①当
n?1
时，猜想显然成立．
②假设当
n?k
时猜想成立，即
a
k
?
1
．
(2n?1)(2n?1)
1
．
(2k?1)(2k?1)
那么由已知，得
a
1
?a
2
?a
3
?
?<
br>?a
k
?a
k?1
?(2k?1)a
k?1
，即a
1
?a
2
?a
3
???a
k
?(2
k
2
?3k)a
k?1
．
k?1
所以
(2k2
?k)a
k
?(2k
2
?3k)a
k?1
，
即
(2k?1)a
k
?(2k?3)a
k?1
，
又由归纳假设，得
(2k?1)
1
?(2k?3)a
k?1
，
(2k?1)(2k?1)
所以
a
k?1
?
1，即当
n?k?1
时，公式也成立．
(2k?1)(2k?3)
*
由①和②知，对一切
n?N
，
都有
a
n
?
20．（1）解：由已知
f
?
(x)?
x?
1
成立．
(2n?1)(2n?1)
1
，e]
时，<
br>f
?
(x)?0
，所以函数
f(x)
在区间
[1，e
]
上单调递增， ，当
x?[1
x
1
e
2
，e]<
br>上的最大、最小值分别为
f(e)??1
，
f(1)?
， 所
以函数
f(x)
在区间
[1
2
2
1
e
2<
br>，e]
上的最大值为
?1
，最小值为； 所以函数
f(x)<
br>在区间
[1
2
2
1
2
2
3
1(1?
x)(1?x?2x
2
)
2
（2）证明：设
F(x)?x?l
nx?x
，则
F
?
(x)?x??2x?
．
23
xx
因为
x?1
，所以
F
?
(x)?0
，
6
所以函数
F(x)
在区间
(1，??)
上单调递减，
又<
br>F(1)??
1
?0
，所以在区间
(1，??)
上，
F(x)?0
，即
12
2
x
2
?lnx?
3
x
3
6
，
所以在区间
(1，??)
上函数f(x)
的图象在函数
g(x)?
2
3
x
3
图
象的下方．
21．解：（1）由题意，得
g(x)?3x
2
?ax?3a?
5?(3?x)a?3x
2
?5
，
设
?
(a)?
(3?x)a?3x
2
?5
，
?1≤a≤1
．
对
?1≤a≤1
中任意
a
值，恒有
g(x)?0
，即
?
(a)?0
，
?
?
?
?
(1
)?，0
?
?
3
2
2
(?1)
即
?
?
?，0
?
x?x?2?0，
?
?
?x
2
?x?8?0，
解得
?
3
?x?1
．
故
x?
?
?
?
2
，1
?
?
?
3<
br>?
时，对满足
?1≤a≤1
的一切
a
的值，都有
g(
x)?0
．
（2）
f
?
(x)?3x
2
?3m
2
，
①当
m?0
时，
f(x)?x
3
?1
的图象与直线
y?3
只有一个公共点．
②当
m?0
时，列表：
x
(??，?m)
?m
(?m，m)
m
(m，??)
f
?
(x)
?
0
?
0
?
f(x)
?
极大值
?
最小值
?
．
又
?f(x)
的值域是
R
，且在
(m，??)
上单调递增，
?
当
x?m
时，函数
y?f(x)
的图象
与直线
y?3
只有一个公共点；
当
x??m
时，恒有
f(x)≤f(?m)
．
由题意，得
f(?m)?3
，即
2m
2
m?1?2m
3
?1?
3
，解得
m?(?
3
2，0)?(0，
3
2)
．
综上，
m
的取值范围是
(?
3
2，
32)
．
7
f(x)
极小
?f(m)
?