建哥高中数学网课多少钱-高中数学研究型课题
推理与证明
一、核心知识
1.合情推理
（1）归纳推理的定义：
从个别事实 中推演出一般性 的结论，像这样的推理通
常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体
，由个别到一般 的推理。
（2）类比推理的定义： 根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相
似或相同，
推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由
特殊
到特殊的推理。
2.演绎推理
(1)定义： 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论
（包括定义、公理、定理等）
按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推
理。
(2)演绎推理的主要形式：三段论
“三段论”可以表示为：①大前题：M 是
P②小前提：S 是 M ③结论：S 是 P。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个
特
殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
3.直接证明
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接
推
证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
（1）综合法就是 “由因导果” ，
从已知条件出发， 不断用必要条件代替前
面的条件，直至推出要证的结论。
（2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或
者
一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要
证 B，B 应是 A
成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割
裂开。
4反证法
（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否
定
是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
（2）一般步骤：（1）假设命题结论不
成立，即假设结论的反面成立；②从假设
出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确
，即所求证命题正
确。
（3）反证法的思维方法:正难则反 ．．．．
5．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤
(1)证明：当 n
取第一个值 n0（n0∈N*）时命题成立；
(2)假设当 n=k (k∈N*，且
k≥n0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立
由(1)，(2)可知，命题对于从
n0 开始的所有正整数 n 都正确。
二、典型例题
例1. 已知
f(x?1)
?
A.
f(x)?
2f(x)
,f(1)?1
，猜想
f(x）
的表达式为（ B ）
（x?N*）
f(x)?2
4212
； B.； C.；
D..
f(x)?f(x)?f(x)?
x
2?2x?1x?12x?1
1
11
3
例2. 已知
f(n)?1???L?(n?N
*
)
，计算得
f(2)?
，
f(4)?2
，
2
23n
f
(8)?
57
，
f(16)?3
，
f(32)?
，由此推测
：当
n?2
时，有
22
f(2
n
)?
2n
?1
(n?N
*
)
2
33
；
sin
2
5
?
?sin
2
65
?
?sin
2
125
?
?
22
例3. 已知：
sin
2
30
?
?sin2
90
?
?sin
2
150
?
?
通过
观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：
3
_______________________________________=（
* ）并给出（ * ）式的证明.
2
3
解：一般形式:
sin
2
?
?sin
2
(
?
?60
?
)?sin
2
(
?
?120
?
)?
2
1?
cos2
?
1?cos(2
?
?120
?
)1?cos(2
?
?240
?
)
??
证明：左边 =
222
31
?[cos2
?
?cos(2
?
?120
?<
br>)?cos(2
?
?240
?
)]
22
31
=
?[cos2
?
?cos2
?
cos120
?
?sin2
?
sin120
?
?cos2
cos240
?
?
sin2
?
sin240
?
]<
br>
22
=
=
311313
3
?[cos
2
?
?cos2
?
?sin2
?
?cos2
??sin2
?
]
=
?右边
222222
2
3
（将一般形式写成
sin
2
(
?
?60
o
)?sin
2
?
?sin
2<
br>(
?
?60
o
)?,
2
3
） <
br>sin
2
(
?
?240
?
)?sin
2(
?
?120
?
)?sin
2
?
?
等
均正确。
2
例4．若
a,b,c
均为实数，且
a?x
2
?2y?
?
,b?y
2
?2z?
?
,c
?z
2
?2x?
?
。
236
求证：
a,b,c
中至少有一个大于0。
答案：（用反证法）
假设
a,b,c
都不大于0，即
a?0,b?
0,c?0
，则有
a?b?c?0
，
而
a?b?c?(x
2
?2y?
?
)?(y
2
?2z?
?
)?(z2
?2x?
?
)?(x?1)
2
?(y?1)
2
?(z?1)
2
?(
?
2362
?
?
3
?
?
6
)?3
=
(x?1)
2
?
(y?1)
2
?(z?1)
2
?
?
?3
∴
(x?1)
2
,(y?1)
2
,(z?1)
2
均
大于或等于0，
?
?3?0
，∴
a?b?c?0
，这与假设
a?b?c?0
矛盾，故
a,b,c
中至少有一个大于0。
例5.求证：1+3+5+…+（2n+1）=n
2
（n∈N*）
三、课后练习
1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( B )
?
a
1
＝1，
A.
?
*
?
a
n<
br>＋1
＝
a
n
＋
n
(
n
∈N)
?
a
1
＝1，
B.
?
*
?
a
n
＝
a
n
－1
＋
n(
n
∈N，
n
≥2)
?
a
1
＝1，
C.
?
*
?
a
n
＋1
＝
a
n
＋(
n
－1)(
n
∈N)
?
a
1
＝1，
D.
?
*
?
a
n
＝
a
n
－1
＋(
n
－1)(
n
∈N，
n
≥2)
[解析] 记数列为{<
br>a
n
}，由已知观察规律：
a
2
比
a
1多2，
a
3
比
a
2
多3，
a
4
比
a
3
多
?
a
1
＝1，
4，…，可知当
n
≥2时，
a
n
比
a
n
－1
多<
br>n
，可得递推关系
?
?
a
n
－
a
n
－1
＝
n
2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(
n
＋3)＝
证
n
＝1，左边应取的项是( D )
A．1
B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
[解析]
当
n
＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.
1111
3．已知
f
(
n
)＝＋＋＋…＋
2
，则( D )
nn
＋1
n
＋2
n
11
A．
f
(
n
)中共有
n
项，当
n
＝2时，
f
(2)
＝＋
23
(
n
≥2，
n
∈N
*
)．
(
n
＋3)(
n
＋4)
(
n
∈N
*
)时，验<
br>2
111
B．
f
(
n
)中共有
n
＋1项，当
n
＝2时，
f
(2)＝＋＋
234
11
C．
f
(
n
)中共有
n
2
－
n
项，当
n
＝2时，
f
(2)＝＋
23
111
D．
f
(
n
)中共有
n
2
－
n<
br>＋1项，当
n
＝2时，
f
(2)＝＋＋
234
[解析] 项数为
n
2
－(
n
－1)＝
n
2
－
n
＋1，故应选D.
4．已知
a
＋
b
＋c
＝0，则
ab
＋
bc
＋
ca
的值( D )
A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0
[解析] 解法1：∵
a
＋
b
＋
c
＝0，
∴a
2
＋
b
2
＋
c
2
＋2
ab
＋2
ac
＋2
bc
＝0，
∴
ab
＋ac
＋
bc
＝－
a
2
＋
b
2
＋
c
2
2
≤0.
5．已知
c
＞1，
a<
br>＝
c
＋1－
c
，
b
＝
c
－
c
－1，则正确的结论是( B )
A．
a
＞
b
B．
a
＜
b
C．
a
＝
b
D．
a
、
b
大小不定
[解析]
a
＝
c
＋1－
c
＝
11
，
b
＝
c
－<
br>c
－1＝，
c
＋1＋
cc
＋
c
－1
因为
c
＋1>
c
>0，
c
>
c
－1>0
，所以
c
＋1＋
c
>
c
＋
c
－1>0，所
以
a
<
b
.
sin
A
cos
B
cos
C
6．若＝＝，则△
ABC
是( C )
abc
A．等边三角形 B．有一个内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形 D．有一个内角是30°的等腰三角形
[解析] ∵sin
A
＝
sin
B
sin
A
a
＝<
br>＝
cos
B
b
，∴
＝
cos
C
c<
br>＝
，由正弦定理得，
cos
B
＝
cos
C
＝
sin
C
，
sin
C
sin
B
abc
bbcc
∴sin
B
＝cos
B
，sin
C
＝co
s
C
，∴∠
B
＝∠
C
＝45°，
∴△
ABC
是等腰直角三角形．
1?
7.观察式子：
1<
br>2
2
1
n
2
?
?
?
3115111
7
,1?
2
?
2
?,1?
2
?
2
?
2
?
234
23234
，…，则可归纳出式子为（ C ） <
br>A、
1?
C、
1?
1
2
2
?
?1
3
2
??
??
11111
B、
1?
2
?
2
??
2
?
2n
?12n?1
23n
2n?1
n
1
2
2
1
3
2
1
n
2
D、
1?
1
2
2
?
1
3
2
??
1
n
2?
2n
2n?1
解析：用n=2代入选项判断。 8.设
f
0
(x)?cosx,f
1
(x)?f
0(x)
，
f
2
(x)?f
1
'
(x),L,f
n?1
(x)?f
n
'
(x)
，n∈N，则
f2008
(x)?
'
解：
cosx
，由归纳推理可知其周期是4
9.函数
f(x)
由下表定义：
若
a
0
?5
，
a
n?1
?f(a
n
)，
n?0,1,2,L
，则
a
2007
?
4 ．
10.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为___7__．
11．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第
n
个图案
中
需用黑色瓷砖______
4n?8
_____块．（用含
n
的代数式表示）
12. △ABC的三个内角A、B、C成等差数列，
求证：
113
??
a?bb?ca?b?c
x
f(x)
2
5
3
3
1
4
4
1
2
5
。
，即需证
a?b?ca?b?c
??3
。
a?bb?c
答
案：证明：要证
即证
113
??
a?bb?ca?b?c
ca
??1
。
a?bb?c
又需证
c(b?c)?a(a?b)?(a?b)
(b?c)
，需证
c
2
?a
2
?ac?b
2
∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。
由余弦定理，有
b
2
?c
2
?a
2
?2cacos60
?
，
即
b
2
?c
2
?a
2
?ac
。
∴
c
2
?a
2
?ac?b
2
成立，命题得证。 <
br>13.用分析法证明：若
a
>0，则
答案：证明：要证
a
2<
br>?
1
a
2
a
2
?
1
a
2<
br>?2?a?
1
?2
。
a
?2?a?
1
?2
，
a
只需证
a
2
?
1
a
2
?2?a?
1
?2
a
。
a
2
?
1
a
2
?2)2
?(a?
1
?2)
2
a
∵
a>0，∴两边均大于零，因此只需证
(
只需证
a
2
?
只
需证
即证
a
2
?
1
a
2
?4?4a
2
?
?
1
a
2
?a
2
?
1?2?2?22(a?)
a
a
2
1
，
a
2<
br>?
1
a
2
1
a
2
111
21
(a?)
，只需证
a
2
?
2
?(a
2
?
2
?2)
，
2
2a
aa
?2
，它显然成立。∴原不等式成立。
14.
?ABC
中，已知
3b?23asinB
，且
cosA?cosC<
br>，求证：
?ABC
为等边三角
形。
解:
分析：由
3b?23asinB?3sinB?23sinAsinB?sinA?
由
cosA?cosC?A?C
?A?C?
所以
?ABC
为等边三角形
1
15．已知：
a
、
b
、
c
∈R，且
a
＋
b
＋
c
＝1
.
求证：
a
2
＋
b
2
＋
c
2
≥.
3
[证明] 由
a
2
＋
b
2
≥2
ab
，及
b
2
＋
c
2
≥2
bc
，
c
2
＋
a
2
≥2
ca
.
三式相
加得
a
2
＋
b
2
＋
c
2
≥
ab
＋
bc
＋
ca
.
∴3(
a
2＋
b
2
＋
c
2
)≥(
a
2
＋
b
2
＋
c
2
)＋2(
ab
＋
bc
＋
ca
)＝(
a
＋
b
＋
c
)2
.
由
a
＋
b
＋
c
＝1，得3(<
br>a
2
＋
b
2
＋
c
2
)≥1， 1
即
a
2
＋
b
2
＋
c
2≥.
3
3
?
2
?
?A?,
233
?
3
?B