高中数学学霸笔记pdf-高中数学课等差数列ppt
数学归纳法
_______________________
__________________________________________________
_________
____________________________________
______________________________________________
1、数学归纳法的原理及应用.
2、数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系.
一、数学归纳法：
数学归纳法是证明关于正整数n的命
题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成
为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求
能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了
对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又
要求能证明结论的正确性，因此，初步形
成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别
重要。
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n
0
时命题成立；
（
2
）（归纳递推）假设
n=k
（
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从）时命题成立，证明当时命题也成立。
开始的所有正整数
n
都成立。上述证明方法叫做
数学归纳法。
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递
的起点
，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只
要命题对某个
正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，
称为数学归纳法，这
两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是
证明命题是否具有传递性，
如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。
题型一、用数学归纳法证明恒等式
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例1、例1数学
归纳法证明1
3
＋2
3
＋3
3
＋…＋n
3
=
证明：① 当n=1时，左边=1
3
=1，右边=
故等式成立．
1
2
n
（n＋1）
2
4
1
2
2
?1?
?
1?1
?
?1
，
4
② 假设n=k（
k?N
，且k≥1）时等式成立。
即1
3
＋2
3
＋3
3
＋…＋k
3
＋=
1
2
k(k+1)
2
成立．
4
则当n=k＋1时，1
3
＋2
3
＋3
3
＋…＋k<
br> 3
＋(k+1)
3
=
1
22
11
22<
br>?
22
??
??
k?1(k?1)?1
=
(k?1)
k?4(k?1)?
?
k?1
??
k?1
?
．
4
44
1
2
k(k?1)
2
?(k?1)
3
4
??
即当n=k＋1 时等式也成立．
综合①，②，对一切
n?N
，等式都成立．
题型二、用数学归纳法证明不等式
例2、归纳法证明
111
19
??
?
…
＞
3n10
n?1n?2n?3
（n＞1，且
n?N
）．
1111199
＞=右边，不等式成立.
????
345620
10
证明：① n=2时，左边=
②
假设n=k（
k?N
， k≥2）时不等式成立，
即
1119
＞
成立．
?
?
…
?
3k10
k?1k?2
则当
n=k＋1时，
111111
?
??
…
?
??
3k3k?1
3k?23k?3k?2k?3
11111119
=（）＋（<
br>－）＞＋
??
…
?
??
3k3k?1k?110
k?
1k?23k?23k?3
1111
（－）
??
3k?1
3k?2
3k?3
k?1
91111
＞＋（－）
??
103k?3
3k?33k?3
k?1
9
=
即当n=k＋1时不等式也成立．
10
综合①，②，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．
题型三、用数学归纳法证明几何问题
例4．平面内有n
(
n?N
)
个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求
*
证:这n个圆
把平面分成
n?n?
2
个部分.
2
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题型四、用数学归纳法证明整除问题
例4、
用数学归纳法证明3
2
n
＋
2
－8
n－9
?
n?N
?
能被64整除．
证明：①
当n=1时，3
2
＋
2
－8×1－9=64 显然能被64整除，命题成立．
② 假设n=k（ k≥1，
k?N
）时命题成立．
即3
2
k
＋
2
－8k－9能被64整除．则当n=k＋1时，
3
2（
k
＋
1
）＋
2
－8（k＋1）－9=9·3
2
k
＋
2
－8 k－8－9
=9（3
2
k
＋
2
－8 k－9）＋64 k＋64．
∵ 3
2
k
＋
2
－8 k－9与64均能被64整除，
∴ 3
2
（
k
＋
1
）＋
2
－8（
k＋1）－9能被64整除．
即当n=k＋1时命题也成立．
综合①，②，对一切
n?N
，3
2
n
＋
2
－8n－9能被64整除．
题型五 归纳、猜想、证明
例8：是否存在常数a，b，c使等式
对一切自然数n都成立，并证明你的结
论。
分析：可先把条件式对分别列出方程，试求a，b，c值，再用数学归纳法证明。
得到下面方程组： 解：假设存在a，b，c使题设等式成立，那么令
解得
下面用数学归纳法证明当
时，题设等式成立，即有：
（1）当
（2）假设
时，①式成立
成立，即：
①
那么当时
第3页共16页
故当
综上，可知当
时①式成立。
时，等式成立。
一、选择题
111
1．用数学归纳法证明1＋
＋＋…＋
n
，n>1)时，第一步应验证不等式( )
23
2
－1
1
A．1＋<2
2
11
B．1＋
＋＜2
23
11
C．1＋
＋＜3
23
111
D．1＋
＋＋＜3
234
[答案] B
11
[解析] ∵n∈N
*
，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最
大的项为
2
＝，故选B.
2
－1
3
n
＋
2
1－a
2．用数学归纳法证明1＋a＋a
2
＋…＋a
n
＋
1
＝
(n∈N
*
，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得
1
－a
的项为( )
A．1
B．1＋a＋a
2
C．1＋a
D．1＋a＋a
2
＋a
3
[答案] B
[解析] 因为当n＝1时，a
n
＋
1
＝a
2
，所以此时式子左边＝1＋a＋a
2
.故应选B.
第4页共16页
111
3．设f(n)＝
＋＋…＋
(n∈N
*
)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
2n
n＋1n＋2
1
A.
2n＋1
11
C.
＋
2n＋12n＋2
[答案] D
[解析] f(n＋1)－f(n)
11111
??
＋＋…
＋＋＋
＝
?
(n＋1)＋1(n＋1)＋2
2n
2n＋1
2(n＋1)
?
??
11
?
111
?
1
－
?
n＋1
＋
n＋2
＋…＋
2n
?
＝＋－<
br>
??
2n＋12(n＋1)n＋1
＝
11
－
.
2n＋12n＋2
1
B.
2n＋2
11
D.
－
2n＋12n＋2
4．某个
命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N
*
)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题
也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
[答案] C
[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.
5．用数学归纳法证明命题“当n是正
奇数时，x
n
＋y
n
能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确
的
证法是( )
A．假设n＝k(k∈N
*
)，证明n＝k＋1时命题也成立
B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立
C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立
D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立
[答案] C
[解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.
6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( )
A．f(n)＋n＋1
B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1
第5页共16页
D．f(n)＋n－2
[答案] C
[解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋<
br>1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.
7．用数学归纳法证明“对
一切n∈N
*
，都有2
n
>n
2
－2”这一命题，证明过程
中应验证( )
A．n＝1时命题成立
B．n＝1，n＝2时命题成立
C．n＝3时命题成立
D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立
[答案] D
[解析] 假设n＝k时不等式成立，即2
k
>k
2
－2，
当n＝k＋1时2
k
＋
1
＝2·2
k
>2(k
2
－2)
由2(k
2
－2)≥(k－1)
2
－4?k
2
－2k－3≥0
?(k＋1)(k－3)≥0?k≥3，因此需要验证n＝1，2，3时命题成立．故应选D.
8．已知f(n)＝(2n＋7)·3
n
＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N
*
，都能使m整除f(n)，则最大
的m的值为( )
A．30
B．26
C．36
D．6
[答案] C
[解析] 因为f(1)＝36，f(2
)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，<
br>推测最大的m值为36.
9．已知数列{a
n
}的前n项和S
n＝n
2
a
n
(n≥2)，而a
1
＝1，通过计算a2
、a
3
、a
4
，猜想a
n
＝( )
2
A.
(n＋1)
2
2
B.
n(n＋1)
2
C.
n
2
－1
2
D.
2n－1
[答案] B
第6页共16页
[解析] 由S
n
＝n
2
a
n
知S
n
＋
1
＝(n＋1)
2
a
n
＋
1
∴S
n
＋
1
－S
n<
br>＝(n＋1)
2
a
n
＋
1
－n
2
a
n
∴a
n
＋
1
＝(n＋1)
2
a
n
＋
1
－n
2
a
n
n
∴a
n
＋
1
＝a
n
(n≥2)． <
br>n＋2
a
1
1
当n＝2时，S
2
＝4a
2<
br>，又S
2
＝a
1
＋a
2
，∴a
2
＝
＝
33
2131
a
3
＝a
2
＝
，a
4
＝a
3
＝.
46510
111
由
a
1
＝1，a
2
＝
，a
3
＝
，a
4
＝
3610
2
猜想a
n
＝
，故选B.
n(n＋1)
10．对于不等式n
2
＋n≤n＋1(n∈N
＋
)，
某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，1
2
＋1≤1＋1，不等式成立． <
br>(2)假设n＝k(k∈N
＋
)时，不等式成立，即k
2
＋k
＋(k＋1)＝
k
2
＋3k＋2<
(k
2
＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)
2
＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[答案] D
[解析] n＝1的验证及
归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而
通过不等式的放缩法直接证明
，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.
二、填空题
11．用数学归纳法证明“2n
＋
1
≥n
2
＋n＋2(n∈N
*
)”时，第
一步的验证为________．
[答案] 当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立
[解析] 当n＝1时，左≥右，不等式成立，
∵n∈N
*
，∴第一步的验证为n＝1的情形．
1111123
1
2．已知数列
，，，…，，通过计算得S
1
＝
，S
2
＝，S
3
＝
，由此可猜测S
n
1×22×33×4234
n(n＋1)
＝________.
第7页共16页
[答案]
n
n＋1
[解析] 解法1：通过计算易得答案．
1111
解法2：S
n
＝
＋＋＋…＋
1×22×
33×4
n(n＋1)
1
?
11111
?
1
1－<
br>?
＋
?
－
?
＋
?
－
?
＋…
＋
?
n
－
n＋1
?
＝
?
?2
??
23
??
34
?
??
1n
＝1
－＝
.
n＋1n＋1
13．对任意n∈N
*
，
3
4
n
＋
2
＋a
2
n
＋
1
都能被1
4整除，则最小的自然数a＝________.
[答案] 5
[解析] 当n＝1时，3
6
＋a
3
能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，3
10
＋3
5
不能
被14整除，故a＝5.
14．用数学归纳法证
明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)
2
.
(1
)当n
0
＝________时，左边＝____________，右边＝________
______________；当n＝k时，
等式左边共有________________项，第
(k－1)项是__________________．
(2)假设n＝k时命题成立，即____
_________________________________成立．
(3)当n＝k＋1
时，命题的形式是______________________________________；此时，
左边增加
的项为______________________．
[答案]
(1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)
2
；k；
(k－1)[3(k－1)＋1]
(2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)
2
(3)1×4＋2×7＋…＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝(k＋1)[(k＋1)＋1]
2
；(k＋1)[3(k＋1)＋1]
[解析] 由数学归纳法的法则易知．
三、解答题
15．求证：1
2－2
2
＋3
2
－4
2
＋…＋(2n－1)
2<
br>－(2n)
2
＝－n(2n＋1)(n∈N
*
)．
[证明]
①n＝1时，左边＝1
2
－2
2
＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k时，等式成立，即1
2
－2
2
＋3
2
－42
＋…＋(2k－1)
2
－(2k)
2
＝－k(2k＋1)2
.
当n＝k＋1时，1
2
－2
2
＋3
2<
br>－4
2
＋…＋(2k－1)
2
－(2k)
2
＋(2k
＋1)
2
－(2k＋2)
2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)
2<
br>－(2k＋2)
2
＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k
2
＋
5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也
成立．
由①②得，等式对任何n∈N
*
都成立．
第8页共16页
1111
n－2
16．求证：
＋＋＋…＋
n
－
1<
br>>(n≥2)．
2342
2
1
[证明]
①当n＝2时，左＝>0＝右，
2
∴不等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N
*
)时，不等式成立．
111
k－2
即＋＋…＋
k
－
1
>
成立．
232
2
111
那么n＝k＋1时，＋＋…＋
k
－
1
23
2
＋
11
＋…＋
k
－
1
<
br>2
＋1
2
＋2
k
－
1
k
－
1
k－2
11
k－2
111
>
＋
k
－1
＋…＋
k
>
＋
k
＋
k
＋…＋
k
222222
2
＋1
k－22
k
－
1
(k＋1)－2
＝＋
k
＝，
222
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
据①②可知，不等式对一切n∈N
*
且n≥2时成立．
17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．
n
2
＋n＋2
求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域．
2
[证明] (1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．
k<
br>2
＋k＋2
(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成
块不同的区
域，命题成立．
2
k
2
＋k＋2
当n＝k＋1时，设其中的一条直
线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其
2
余k条直线相交，得到k个不同的交点
，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两
部分，故新增区域k＋1块．
k
2
＋k＋2
(k＋1)
2
＋(k＋1)＋2
从而k＋1条直
线将平面分成＋k＋1＝块区域．
22
所以n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，原命题成立．
18． 试比较2
n
＋2与n
2
的大小(n∈N
*
)，并用数学归纳法证明你的结论．
[分析]
由题目可获取以下主要信息：
①此题选用特殊值来找到2
n
＋2与n
2
的大小关系；
②利用数学归纳法证明猜想的结论．
第9页共16页
解答本题的关键是先利用特殊值猜想．
[解析]
当n＝1时，2
1
＋2＝4>n
2
＝1，
当n＝2时，2
2
＋2＝6>n
2
＝4，
当n＝3时，2
3
＋2＝10>n
2
＝9，
当n＝4时，2
4
＋2＝18>n
2
＝16，
由此可以猜想，
2
n
＋2>n
2
(n∈N
*
)成立
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，
左边＝2
1
＋2＝4，右边＝1，
所以左边>右边，
所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝2
2
＋2＝6，
右边＝2
2
＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝2
3
＋2＝10，右边＝3
2
＝9，
所以左边>右边．
(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N
*
)时，不等式成立，
即2
k
＋2>k
2
.那么n＝k＋1时，
2
k<
br>＋
1
＋2＝2·2
k
＋2＝2(2
k
＋2)－2>2
·k
2
－2.
又因：2k
2
－2－(k＋1)
2
＝k
2
－2k－3
＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k
2－2≥(k＋1)
2
，故2
k
＋
1
＋2>(k＋1)<
br>2
成立．
根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N
*
都成立．
_______________________________
__________________________________________________
______________________________________________
___________________________________
基础巩固
第10页共16页
一、选择题
111
1．用数学归纳法证
明1＋
＋＋…＋
n
，n>1)时，第一步应验证不等
式( )
23
2
－1
1
A．1＋<2
2
11
C．1＋
＋＜3
23
[答案] B
11
[解析] ∵n∈N
*
，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最
大的项为
2
＝，故选B.
2
－1
3
1－a
n
＋
2
2． 用数学归纳
法证明1＋a＋a
2
＋…＋a
n
＋
1
＝
(n∈N<
br>*
，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得
1－a
的项为( )
A．1
C．1＋a
[答案] B
[解析] 因为当n＝1时，a<
br>n
＋
1
＝a
2
，所以此时式子左边＝1＋a＋a
2<
br>.故应选B.
111
3．设f(n)＝
＋＋…＋
(n∈N
*
)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
2n
n＋1n＋2
1
A．
2n＋1
11
C．
＋
2n＋12n＋2
[答案] D
11111
??
＋＋…＋＋＋
[解析] f(n＋1)－f(n)＝
?
n＋1＋1
2
n
2n＋12n＋1
?
n＋1＋2
??
11
?
1<
br>?
1
－
?
n＋1
＋
n＋2
＋…＋
2
n
?
＝＋
??
2n＋12
＝
11
－
.
2n＋12n＋2
11
－
n＋1n＋1
1
B．
2n＋2
11
D．
－
2n＋12n＋2
B．1＋a＋a
2
D．1＋a＋a
2
＋a
3
11
B．1＋
＋＜2
23
111
D．1＋＋＋＜3 234
4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N
*
)时，该命题成立，那
么可推得n＝k＋1时该命题
也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时该命题不成立
C．当n＝4时该命题不成立
[答案] C
[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.
B．当n＝6时该命题成立
D．当n＝4时该命题成立
第11页共16页
5．用数学归纳法证
明命题“当n是正奇数时，x
n
＋y
n
能被x＋y整除”，在第二步的证明时
，正确
的证法是( )
A．假设n＝k(k∈N
*
)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立
B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立
C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立
D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立
[答案] C
[解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.
6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( )
A．f(n)＋n＋1
C．f(n)＋n－1
[答案] C
[解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋<
br>1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.
二、填空题
7．
用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2
n
·1·3…(2n－1)(n∈N
*
)时，从“n＝k到n＝k＋1”
左边需增乘的代数式为( )
A．2k＋1
2k＋1
C．
k＋1
[答案] B
[解析]
n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2
k
·1·3·…·(2k－1)，
n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3
)…(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，
右边为2
k
＋
1
·1
·3·…·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选B.
1111123
8．已知数列
，，，…，，通过计算得S
1
＝
，S
2
＝<
br>，S
3
＝
，由此可猜测
1×22×33×4234
nn＋1<
br>S
n
＝________.
[答案]
n
n＋1
B．2(2k＋1)
2k＋3
D．
k＋1
B．f(n)＋n
D．f(n)＋n－2
[解析]
解法1：通过计算易得答案．
111
解法2：S
n
＝
＋＋＋…＋<
br>1×22×33×4
n
1
n＋1
第12页共16页
11
?
1
??
11
??
11
?<
br>?
?
－
＝
?
1－
2
?
＋
?
2
－
3
?
＋
?
3
－
4
?
＋…＋
?
n
n＋1
?
??
1n
＝1－＝
.
n＋1n＋1
111111119．用数学归纳法证明：1－
＋－＋…＋－＝＋＋…＋，第一步应验证的
2342n
2n－1
2n
n＋1n＋2
等式是________．
11
[答案] 1－
＝
22
111
[解析]
当n＝1时，等式的左边为1－
＝，右边＝，∴左边＝右边．
222
三、解答题
10． 数列{a
n
}满足S
n
＝2n－a
n
(n
∈N
*
)．
(1)计算a
1
、a
2
、a
3
，并猜想a
n
的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
[证明] (1)当n＝1时，a
1
＝S
1
＝2－a
1，∴a
1
＝1；
3
当n＝2时，a
1
＋a
2
＝S
2
＝2×2－a
2
，∴a
2
＝
； <
br>2
7
当n＝3时，a
1
＋a
2
＋a
3
＝S
3
＝2×3－a
3
，∴a
3
＝.
4
2
n
－1
由此猜想a
n
＝
n
－
1
(n∈N
*
)
2
(2)证明：①当n＝1时，a
1
＝1结论成立，
②假设n＝k(k≥1，且k∈N
*
)时结论成立，
2
k
－1
即a
k
＝
k
－
1
，
2
当n＝k＋1时，
a
k
＋
1
＝S
k<
br>＋
1
－S
k
＝2(k＋1)－a
k
＋
1－2k＋a
k
＝2＋a
k
－a
k
＋
1
，∴2a
k
＋
1
＝2＋a
k
2＋a
k<
br>2
k
＋
1
－1
∴a
k
＋
1
＝
＝，
22
k
2
n
－1
∴当n＝k＋1时结论成
立，于是对于一切的自然数n∈N
*
，a
n
＝
n
－
1
成立．
2
一、选择题
n
4
＋n
2
11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n
2
＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k
的基础上加上
2
第13页共16页
( )
A．k
2
＋1
C．
k＋1
4
B．(k＋1)
2
＋k＋1
2
2
D．(k
2
＋1)＋(k
2
＋2)＋(k
2
＋3)＋…＋(k＋1)
2
[答案] D
[解析] n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋k
2
，n＝k＋1时，左边＝1＋2＋
3＋…＋k
2
＋(k
2
＋1)＋(k
2
＋2)＋…＋(k＋
1)
2
，故选D.
12．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和
f(k＋1)＝f(k)＋________.( )
A．2π
π
C．
2
[答案] B
[解析] 将k＋1边形A
1
A
2
…A
k
A
k
＋
1
的顶点A
1
与A
k
相连，则原多边形被
分割为k边形A
1
A
2
…A
k
与三角形A
1
A
k
A
k
＋
1
，其内角和f(k＋1)是k边形的内角
和f(k)与△A
1
A
k
A
k
＋
1
的内角和π的和，故选B.
13． 用数学归纳法证明“n
3
＋(n＋1)
3
＋(n＋2)
3
(n∈N
*)能被9整除”，要利
用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )
A．(k＋3)
3
C．(k＋1)
3
[答案] A
[解析] 因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)
3<
br>，减少了k
3
，故利用归纳假设，只需将
(k＋3)
3
展开，
证明余下的项9k
2
＋27k＋27能被9整除．
14． 观察下列各式：已知a＋
b＝1，a
2
＋b
2
＝3，a
3
＋b
3
＝
4，a
4
＋b
4
＝7，a
5
＋b
5
＝11
，…，则归
纳猜测a
7
＋b
7
＝( )
A．26
C．28
[答案] D
[解析] 观察发现，1＋3＝4，3＋4＝7，4＋7
＝11，7＋11＝18，11＋18＝29，∴a
7
＋b
7
＝29.
二、填空题
15．用数学归纳法证明“2
n
＋
1
≥n2
＋n＋2(n∈N
*
)”时，第一步的验证为________．
[答案] 当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立
[解析]
当n＝1时，左≥右，不等式成立，
B．27
D．29
B．(k＋2)
3
D．(k＋1)
3
＋(k＋2)
3
B．π
π
D．
3
第14页共16页
∵n∈N
*
，∴第一步的验证为n＝1的情形．
16．对任
意n∈N
*
，
3
4
n
＋
2
＋a
2
n
＋
1
都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
[答案] 5
[解析] 当n＝1时，3
6
＋a
3
能被1
4整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，3
10
＋3
5
不能
被14整除，故a＝5.
三、解答题
17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．
n
2
＋n＋2
求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域．
2
[证明] (1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．
k<
br>2
＋k＋2
(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成
块不同的区
域，命题成立．
2
k
2
＋k＋2
当n＝k＋1时，设其中的一条直
线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其
2
余k条直线相交，得到k个不同的交点
，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两
部分，故新增区域k＋1块．
k
2
＋k＋2
k＋1
从而k＋1条直线将平面分成＋k＋1＝
2
所以n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，原命题成立．
18．试比较2n
＋2与n
2
的大小(n∈N
*
)，并用数学归纳法证明你的结
论．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①此题选用特殊值来找到2
n
＋2与n
2
的大小关系；
②利用数学归纳法证明猜想的结论．
解答本题的关键是先利用特殊值猜想．
[解析] 当n＝1时，2
1
＋2＝4>n
2
＝1，
当n＝2时，2
2
＋2＝6>n
2
＝4，
当n＝3时，2
3
＋2＝10>n
2
＝9，
当n＝4时，2
4
＋2＝18>n
2
＝16，
由此可以猜想，
2
n
＋2>n
2
(n∈N
*
)成立
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，
2
＋
2
k＋1＋2
块区域．
第15页共16页
左边＝2
1
＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，
所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝2
2
＋2＝6，
右边＝2
2
＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝2
3
＋2＝10，右边＝3
2
＝9，
所以左边>右边．
(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N
*
)时，不等式成立，
即2
k
＋2>k
2
.那么当n＝k＋1时，
2
k
＋
1
＋2＝2·2
k
＋2＝2(2
k
＋2)－2>
2·k
2
－2.
又因：2k
2
－2－(k＋1)
2
＝k
2
－2k－3
＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k
2<
br>－2≥(k＋1)
2
，故2
k
＋
1
＋2>(k＋1)
2
成立．
根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N
*
都成立．
课程顾问签字：
教学主管签字：
第16页共16页