人教版高中数学选修2-1、2-2、2-3课后习题参考答案

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答
第一章 导数及其应用
3．1变化率与导数
练习（P6）
在第3 h和5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为
?1
和3. 它说明在第3 h附近，原
油温度大约以1 ℃／h的速度下降；在第5 h时，原油温度大约以3 ℃／h的速率
上升.
练习（P8）
函数
h(t)
在
t? t
3
附近单调递增，在
t?t
4
附近单调递增. 并且，函数
h(t)
在
t
4
附近比
在
t
3
附近增加 得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想.
练习（P9）
函数
r(V)?
3
3V
(0?V?5)
的图象为
4
?

根据图象，估算出
r
?
(0.6)?0.3
，
r
?
(1.2)?0.2
.
说明：如果没有信息技术， 教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数
的几何意义估算两点处的导数.
习题1.1 A组（P10）
W
1
(t
0
)?W
1
(t
0
??t)W
2
(t
0
)?W
2
(t
0
??t)
.
?
??t??t
所以，企业甲比企业乙治理的效率高.
1、在
t
0
处，虽然
W1
(t
0
)?W
2
(t
0
)
，然而< br>说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.
?hh(1??t)?h(1)
? ??4.9?t?3.3
，所以，
h
?
(1)??3.3
. 2、
?t?t
这说明运动员在
t?1
s附近以3.3 m／s的速度下降.
3、物体在第5 s的瞬时速度就是函数
s(t)
在
t?5
时的导数.
?ss(5? ?t)?s(5)
???t?10
，所以，
s
?
(5)?10
.
?t?t

因此，物体在第5 s时的瞬时速度为10 m／s，它在第5 s的动能
1
2
E
k
??3?10?15

0
J.
2
4、设车轮转动的角度为
?
，时间为
t
，则
?
?kt
2
(t?0)
.
25
?
25
?
2
由题意可知，当
t?0.8
时，
?
?2
?
. 所以
k?
，于是
?
?t
.
8
8
车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度就是函数
?
(t)
在
t?3.2
时的导数. ?
??
(3.2??t?)
?
(3.2)
?
25

???t?20
?
，所以
?
?
(3.2)?20< br>?
.
?t?t8
因此，车轮在开始转动后第3.2 s时的瞬时角速度为
20
?
s
?1
.
说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.
5、由图可知，函数f(x)
在
x??5
处切线的斜率大于零，所以函数在
x??5
附近单
调递增. 同理可得，函数
f(x)
在
x??4
，
? 2
，0，2附近分别单调递增，几乎没有
变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.
6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因 此，其导数
f
?
(x)
的图象如图（1）所示；第二个函数的导数
f
?
(x)
恒大于零，并且随着
x
的增加，
f
?(x)
的值也在增加；对于第三个函数，当
x
小于零时，
f
?< br>(x)
小于零，当
x
大于零时，
f
?
(x)
大于零，并且随着
x
的增加，
f
?
(x)
的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函
数图象中的一种.

说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.
习题3.1 B组（P11） < br>1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻
画的是速度变 化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.
2、
说明：由给出的
v(t)的信息获得
s(t)
的相关信息，并据此画出
s(t)
的图象的大致形状 .
这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.
3、由（1）的题意可知 ，函数
f(x)
的图象在点
(1,?5)
处的切线斜率为
?1
，所以此点

附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理
可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.

说明 ：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以
直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一.
1．2导数的计算
练习（P18）
1、
f
?
(x)?2x?7
，所以，
f
?
(2)??3
，
f
?
(6)?5
.
1
2、（1）
y
?
?
； （2）
y
?
?2e
x
；
xln2
（3）
y
?
?10x
4
?6x
； （4）
y
?
??3sinx?4cosx
；
1
1x
（5）
y
?
??sin
； （6）
y
?
?
.
33
2x?1
习题1.2 A组（P18）
?SS(r??r)?S(r)
1、
??2
?
r? ?r
，所以，
S
?
(r)?lim(2
?
r??r)?2< br>?
r
.
?r?0
?r?r
2、
h
?
(t)??9.8t?6.5
.
1
3
3
.
2
34
?
V
1
4、（1）
y
?
?3x
2< br>?
； （2）
y
?
?nx
n?1
e
x
?x
n
e
x
；
xln2
3x
2
sinx?x
3
cosx?cosx
（3）
y
?
?
； （4）
y
?
?99(x?1)
98
；
2
sinx
（5）
y
?
??2e
?x
； （6）
y
?
?2sin(2x?5)?4xcos(2x?5)
.
3、
r
?
(V)?
5、
f
?
(x)??8?22x
. 由
f
?
(x
0
)?4
有
4??8?22x
0
，解得
x
0
?32
.
6、（1）
y
?
?lnx?1
； （2）
y?x?1
.
x
7、
y???1
.
?
8、（1）氨气的散发速度
A
?
(t)?500?ln0.834?0.83 4
t
.
（2）
A
?
(7)??25.5
，它 表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.
习题1.2 B组（P19）

1、（1）






sin(x?h)?sinx
就越来越逼近函数
y?cosx
.
h
（3）
y?sinx
的导数为
y?cosx
.
（2）当
h
越来越小时，
y?
2、当
y?0
时，
x ?0
. 所以函数图象与
x
轴交于点
P(0,0)
.

y
?
??e
x
，所以
y
?
x?0
??1
.
所以，曲线在点
P
处的切线的方程为
y??x
.
2、
d
?
(t)??4sint
. 所以，上午6:00时潮水的速 度为
?0.42
m／h；上午9:00时潮水
的速度为
?0.63
m ／h；中午12:00时潮水的速度为
?0.83
m／h；下午6:00时潮水
的速度 为
?1.24
m／h.
1．3导数在研究函数中的应用
练习（P26）
1、（1）因为
f(x)?x
2
?2x?4
，所以
f
?
(x)?2x?2
.
当
f
?
(x)?0
，即
x?1
时，函数
f(x)?x
2
?2x?4
单 调递增；
当
f
?
(x)?0
，即
x?1时，函数
f(x)?x
2
?2x?4
单调递减.
（2）因 为
f(x)?e
x
?x
，所以
f
?
(x)?ex
?1
.
当
f
?
(x)?0
， 即
x?0
时，函数
f(x)?e
x
?x
单调递增；
当
f
?
(x)?0
，即
x?0
时，函 数
f(x)?e
x
?x
单调递减.
（3）因为
f(x )?3x?x
3
，所以
f
?
(x)?3?3x
2
.
当
f
?
(x)?0
，即
?1?x?1
时，函数
f(x)?3x?x
3
单调递增；
当
f?
(x)?0
，即
x??1
或
x?1
时，函数
f(x)?3x?x
3
单调递减.
（4）因为
f(x)?x
3
?x
2
?x
，所以
f
?
(x)?3x
2< br>?2x?1
.
1
当
f
?
(x)?0< br>，即
x??
或
x?1
时，函数
f(x)?x
3
?x
2
?x
单调递增；
3
1
当
f
?
(x)?0
，即
??x?1
时，函数
f(x)?x
3
?x
2
?x
单调递减.
3
2、
注：图象形状不唯一.
3、因为
f(x)?ax
2
?bx?c(a ?0)
，所以
f
?
(x)?2ax?b
.

（1）当
a?0
时，
b
时，函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
单调递增；
2a
b
f
?
(x)? 0
，即
x??
时，函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a? 0)
单调递减.
2a
（2）当
a?0
时，
b
f
?
(x)?0
，即
x??
时，函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
单调递增；
2a
b
时，函数
f( x)?ax
2
?bx?c(a?0)
单调递减.
f
?
(x )?0
，即
x??
2a
4、证明：因为
f(x)?2x
3< br>?6x
2
?7
，所以
f
?
(x)?6x
2< br>?12x
.
f
?
(x)?0
，即
x??
当
x?(0,2)
时，
f
?
(x)?6x
2
?12 x?0
，
因此函数
f(x)?2x
3
?6x< br>2
?7
在
(0,2)
内是减函数.
练习（P29）
1、
x
2
,x
4
是函数
y?f(x)
的极值点，
其中
x?x
2
是函数
y?f(x)
的极大值点，
x ?x
4
是函数
y?f(x)
的极小值点.
2、（1）因为
f(x)?6x
2
?x?2
，所以
f
?
(x)?12x?1
.
1
令
f
?
(x)?12x?1?0
，得
x?
.
12
11
当
x?
时，
f
?
(x)?0
，
f(x)
单调递增；当
x?
时，
f
?
(x)?0
，
f(x)
单
1212
调递减.
1
所以，当
x?
时，
f(x)
有极小值，并 且极小值为
12
11149
f()?6?()
2
??2??
.
12121224
（2）因为
f(x)?x
3
?27x，所以
f
?
(x)?3x
2
?27
.
令
f
?
(x)?3x
2
?27?0
，得
x??3< br>.
下面分两种情况讨论：
①当
f
?
(x) ?0
，即
x??3
或
x?3
时；②当
f
?
(x)?0
，即
?3?x?3
时.
当
x
变化时，
f
?
(x)
，
f(x)
变化情况如下表：
x

(??,?3)

＋
单调递增
f
?
(x)

f(x)

?3

0
54
(?3,3)

－
单调递减
3
0
(3,??)

＋
单调递增
?54

因此，当
x??3
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为54； < br>当
x?3
时，
f(x)
有极小值，并且极小值为
?54
.
（3）因为
f(x)?6?12x?x
3
，所以
f
?
(x)?12?3x
2
.
令
f
?(x)?12?3x
2
?0
，得
x??2
.

下面分两种情况讨论：
①当
f
?
( x)?0
，即
?2?x?2
时；②当
f
?
(x)?0
，即
x??2
或
x?2
时.
当
x
变化时，< br>f
?
(x)
，
f(x)
变化情况如下表：
x

(??,?2)

－
单调递减
?2

0
(?2,2)

＋
2
0
22
(2,??)

－
单调递减
f
?
(x)

f(x)

?10

单调递增
因此，当
x??2
时，
f(x)
有极小值，并且 极小值为
?10
；
当
x?2
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为22
（4）因为
f(x)?3x?x
3
，所以
f
?
(x)?3? 3x
2
.
令
f
?
(x)?3?3x
2
?0
，得
x??1
.
下面分两种情况讨论：
①当
f
?
(x)?0
，即
?1?x?1
时；②当< br>f
?
(x)?0
，即
x??1
或
x?1
时.
当
x
变化时，
f
?
(x)
，
f(x)< br>变化情况如下表：
x

(??,?1)

－
单调递减
?1

0
(?1,1)

＋
单调递增
1
0
2
(1,??)

－
单调递减
f
?
(x)

f(x)

?2

因此，当
x??1
时，
f(x)
有极小值， 并且极小值为
?2
；
当
x?1
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为2
练习（P31）
（1）在
[0,2]
上，当
x?
1
2
?x?2
有极小值，并且极小值为时，
f(x)?6x
12
14 9
f()??
.
1224
又由于
f(0)??2
，
f(2)?20
.
因此，函数
f(x)?6x
2
?x?2
在
[0,2]
上的最大值是20 、最小值是
?
（2）在
[?44,]
49
.
24
上，当
x??3
时，
f(x)?x
3
?27x
有极大值，并 且极大值为
f(?3)?54
；
当
x?3
时，
f(x)? x
3
?27x
有极小值，并且极小值为
f(3)??54
；
又由于
f(?4)?44
，
f(4)??44
.
因此，函数
f(x)?x
3
?27x
在
[?4, 4]
上的最大值是54、最小值是
?54
.
1
],
上，（ 3）在
[?3
当
x?2
时，
f(x)?6?12x?x
3< br>有极大值，并且极大值为
f(2)?22
.
3
155
又由于
f(?)?
，
f(3)?15
.
327
155
因此，函数
f(x)?6?12x?x
3< br>在
[?,3]
上的最大值是22、最小值是.
327
（4）在
[2,3]
上，函数
f(x)?3x?x
3
无极值.

因为
f(2)??2
，
f(3)??18
.
因此，函数
f(x)?3x?x
3
在
[2,3]
上的最大值是
?2、最小值是
?18
.
习题1.3 A组（P31）
1、（1）因为
f(x)??2x?1
，所以
f
?
(x)??2?0
.
因此，函数
f(x)??2x?1
是单调递减函数.
（ 2）因为
f(x)?x?cosx
，
x?(0,)
，所以
f
?
(x)?1?sinx?0
，
x?(0,)
.
22
因此，函数
f(x)?x?cosx
在
(0,)
上是单调递增函数.
2
（3）因为
f(x)??2x?4
，所以
f
?
(x)??2?0
.
因此，函数
f(x)?2x?4
是单调递减函数.
（4）因为
f(x) ?2x
3
?4x
，所以
f
?
(x)?6x
2
?4?0
.
因此，函数
f(x)?2x
3
?4x
是单调递增函数.
2、（1） 因为
f(x)?x
2
?2x?4
，所以
f
?
(x) ?2x?2
.
当
f
?
(x)?0
，即
x??1
时，函数
f(x)?x
2
?2x?4
单调递增.
当
f
?
(x)?0
，即
x??1
时， 函数
f(x)?x
2
?2x?4
单调递减.
（2）因为
f (x)?2x
2
?3x?3
，所以
f
?
(x)?4x?3< br>.
3
当
f
?
(x)?0
，即
x?
时，函数
f(x)?2x
2
?3x?3
单调递增.
4
3
当
f
?
(x)?0
，即
x?
时，函数
f(x)?2x
2
?3x?3
单调递减.
4
（3）因为
f(x)?3x?x
3
，所以
f
?
(x )?3?3x
2
?0
.
因此，函数
f(x)?3x?x
3
是单调递增函数.
（4）因为
f (x)?x
3
?x
2
?x
，所以
f
?
(x )?3x
2
?2x?1
.
1
当
f
?
(x)?0
，即
x??1
或
x?
时，函数
f(x) ?x
3
?x
2
?x
单调递增.
3
1
当
f
?
(x)?0
，即
?1?x?
时，函数
f(x )?x
3
?x
2
?x
单调递减.
3
3、（1）图略. （2）加速度等于0.
4、（1）在
x?x
2
处，导函数
y?f
?
(x)
有极大值；
（2）在
x?x
1
和
x?x
4
处，导函数
y?f< br>?
(x)
有极小值；
（3）在
x?x
3
处，函数
y?f(x)
有极大值；
（4）在
x?x
5
处，函数
y?f(x)
有极小值.
5、 （1）因为
f(x)?6x
2
?x?2
，所以
f
?
(x)?12x?1
.
1
令
f
?
(x)?12x?1?0
，得
x??
.
12
1
当
x??
时，
f
?
(x)?0
，
f(x)
单调递增；
12
?
?
?

1
时，
f
?
(x)?0
，
f(x)
单调递减.
12
1
所以，
x??
时，f(x)
有极小值，并且极小值为
12
11149
f(?)?6?(?)
2
??2??
.
12121224
（2）因为
f(x )?x
3
?12x
，所以
f
?
(x)?3x
2?12
.
当
x??
令
f?
(x)?3x
2
?12?0
，得
x??2
.
下面分两种情况讨论：
①当
f
?
(x)?0
，即
x??2
或
x?2
时；②当
f
?
(x)?0
，即
?2?x?2
时.
当
x
变化时，
f
?
(x)
，
f(x)
变化情况如下表：
x

(??,?2)

＋
单调递增
?2

0
16
(?2,2)

－
单调递减
2
0
(2,??)

＋
单调递增
f
?
(x)

f(x)

?16

因此，当
x??2
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为16； < br>当
x?2
时，
f(x)
有极小值，并且极小值为
?16
.
（3）因为
f(x)?6?12x?x
3
，所以
f
?
(x)??12?3x
2
.
令
f
?< br>(x)??12?3x
2
?0
，得
x??2
.
下面分两种情况讨论：
①当
f
?
(x)?0
，即
x??2
或
x?2
时；②当
f
?
(x)?0
，即
? 2?x?2
时.
当
x
变化时，
f
?
(x)，
f(x)
变化情况如下表：
x

(??,?2)

＋
单调递增
?2

0
22
(?2,2)

－
单调递减
2
0
(2,??)

＋
单调递增
f
?
(x)

f(x)

?10

因此，当
x??2
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为22； < br>当
x?2
时，
f(x)
有极小值，并且极小值为
?10
.
（4）因为
f(x)?48x?x
3
，所以
f
?
(x)?48?3x
2
.
令
f
?
(x)?48?3x
2
?0
，得
x??4
.
下面分两种情况讨论：
①当
f
?
(x)?0
，即
x??2
或
x?2
时；②当
f
?
(x)?0
，即
? 2?x?2
时.
当
x
变化时，
f
?
(x)，
f(x)
变化情况如下表：
x

(??,?4)

－
单调递减
?4

0
(?4,4)

＋
4
0
(4,??)

－
单调递减
f
?
(x)

f(x)

?128

单调递增 128
因此，当
x??4
时，
f(x)
有极小 值，并且极小值为
?128
；

当
x?4
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为128.
1
6、（1）在
[?1,1]
上，当
x??
时，函数
f(x)?6x
2
?x?2
有极小值，并且极小值
12
47
为.
24
由于
f(?1)?7
，
f(1)?9
，
47
所以，函数
f(x)?6x
2
?x?2
在
[?1,1]
上的 最大值和最小值分别为9，.
24
（2）在
[?

3,3]< br>上，当
x??2
时，函数
f(x)?x
3
?12x
有 极大值，并且极大值为16；
当
x?2
时，函数
f(x)?x
3?12x
有极小值，并且极小值为
?16
.
由于
f(?3)?9
，
f(3)??9
，
所以，函 数
f(x)?x
3
?12x
在
[?3,3]
上的最大值和最 小值分别为16，
?16
.
11
（3）在
[?,1]
上，函数
f(x)?6?12x?x
3
在
[?,1]
上无极值.
33
1269
由于
f(?)?
，
f(1)??5
，
327
1269
所以，函数
f(x)?6?12x?x
3
在
[?,1]
上的最大值和最小值分别为，
327
?5
.
（4）当
x?4
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为128..
由于
f(?3)??117
，
f(5)?115
，
所以，函数
f(x)?48x?x
3
在
[?3,5]
上的最大值和最 小值分别为128，
?117
.
习题3.3 B组（P32）
1、（1 ）证明：设
f(x)?sinx?x
，
x?(0,
?
)
.
因为
f
?
(x)?cosx?1?0
，x?(0,
?
)

所以
f(x)?sinx?x
在
(0,
?
)
内单调递减
因此
f(x)?sinx?x?f(0)?0
，
x? (0,
?
)
，即
snix?x
，
x?(0,
?)
. 图
略
（2）证明：设
f(x)?x?x
2
，
x?(0,1)
.
因为
f
?
(x)?1?2x
，
x?(0,1)

1
所以，当
x?(0,)
时，
f
?
(x)?1?2x?0
，
f(x)
单调递增，
2
f(x)?x?x
2
?f(0)?0
；
1
当
x?(,1)
时，
f
?
(x)?1?2x?0
，
f(x)
单调递减，
2
f(x)?x?x
2
?f(1)?0
；
11
又
f()??0
. 因此，
x?x
2
?0
，
x?(0,1)
. 图略
24

（3）证明：设
f(x)?e
x
?1?x
，
x?0
.
因为
f
?
(x)?e
x
?1
，
x?0

所以，当
x?0
时，
f
?
(x)? e
x
?1?0
，
f(x)
单调递增，
f(x)?e
x
?1?x?f(0)?0
；
当
x?0
时，
f
?
(x)?e
x
?1?0
，
f(x)
单调递减，
f(x)?e
x
?1?x?f(0)?0
；
综上，
e
x
?1?x
，
x?0
. 图略
（4）证明：设
f(x)?lnx?x
，
x?0
.
1
因为
f
?
(x)??1
，
x?0

x
所以，当
0?x?1
时，
f
?
(x)?
1
?1?0
，
f(x)
单调递增，
x
f(x)?lnx?x?f(1)??1?0
；
当
x?1
时，
f
?
(x)?
1
?1?0
，
f(x)
单调递减，
x
f(x)?lnx?x?f(1)??1?0
；
当
x?1
时，显然
ln1?1
. 因此，
lnx?x
.
由（3）可知，
e
x
?x?1?x
，
x?0
.
. 综上，
lnx?x?e
x
，
x?0
图略
2、（1）函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx? d
的图象大致是个“双峰”图象，类似“
上能大致估计它的单调区间.
（2）因 为
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d
，所以
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c
.
下面分类讨论：
当
a?0
时，分
a?0
和
a?0
两种情形：
①当
a?0
，且
b
2
?3ac?0
时，
设方程
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?0
的两根分别 为
x
1
,x
2
，且
x
1
?x
2< br>，
当
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?0，即
x?x
1
或
x?x
2
时，函数
f(x)? ax
3
?bx
2
?cx?d
单
调递增；
当
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?0
，即
x
1
?x?x
2
时，函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d
单调递
减.
当
a?0
，且
b
2
?3ac?0
时，
此 时
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?0
，函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d
单调递增.
②当
a?0
，且
b
2
?3ac?0
时，
设方程
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?0
的两根分别 为
x
1
,x
2
，且
x
1
?x
2< br>，
当
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?0，即
x
1
?x?x
2
时，函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d
单调递
”或“”
的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象

增；
当
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?0
，即
x ?x
1
或
x?x
2
时，函数
f(x)?ax
3?bx
2
?cx?d
单
调递减.
当
a?0
，且
b
2
?3ac?0
时，
此 时
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c?0
，函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d
单调递减
1．4生活中的优化问题举例
习题1.4 A组（P37）
1、设两段铁丝的长 度分别为
x
，
l?x
，则这两个正方形的边长分别为
xl?x
，，
44
xl?x
2
1
两个正方形的面积和为
S?f( x)?()
2
?()?(2x
2
?2lx?l
2
)
，
0?x?l
.
4416
l
令
f
?
(x)?0
，即
4x?2l?0
，
x?
.
2
ll
当
x?(0,)
时，
f
?
( x)?0
；当
x?(,l)
时，
f
?
(x)?0
.
22
l
因此，
x?
是函数
f(x)
的极小值点，也是最小值点.
2
l
所以，当两段铁丝的长度分别是时，两个正方形的面积和最小.
2
2、如图所示，由于在边长为
a
的正方形铁片的四角截去
四个边长为
x
的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无
盖方盒的底面为正方形，且边长为
a?2x
，高为
x
.
a
（1）无盖方盒的容积
V(x)?(a?2x)
2
x
，
0?x?
.
2
（2）因为
V(x)?4x
3
?4 ax
2
?a
2
x
，
所以
V
?
(x)?12x
2
?8ax?a
2
.
aa
令
V
?
(x)?0
，得
x?
（舍去），或
x?
.
26
aaa
当
x?(0 ,)
时，
V
?
(x)?0
；当
x?(,)
时，V
?
(x)?0
.
662
a
因此，
x?
是函数
V(x)
的极大值点，也是最大值点.
6
a
所以，当
x?
时，无盖方盒的容积最大.
6
3、如图，设圆柱的高为
h
，底半径为
R
，
则表面积
S?2
?
Rh?2
?
R
2

V
由
V?
?
R
2
h
，得
h?
.
?
R
2
V2V
2
?2
?
R??2
?
R
2
，
R?0
. 因此，
S(R)?2
?
R2
?
RR
x
a
（第2题）
R
h

2V
V
.
?4
?
R ?0
，解得
R?
3
R
2
?
V
当
R?(0,
3
)
时，
S
?
(R)?0
；
2
?
V
当
R?(
3
,??)
时，
S
?
(R)?0
.
2
?
V
因此，
R?
3
是函数
S(R)
的极小值点，也是最小值点. 此时，
2
?
VV
3
h??2?2R
.
2
?
R2
?
所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省. < br>1
n
2
n
2
4、证明：由于
f(x)?
?< br>(x?a
i
)
，所以
f
?
(x)?
?
(x?a
i
)
.
n
i?1
n
i?1
1
n
令f
?
(x)?0
，得
x?
?
a
i
，
n
i?1
1
n
可以得到，
x?
?
a
i
是函数
f(x)
的极小值点，也是最小值点.
n
i?1
1
n
这个结果说明，用
n个数据的平均值
?
a
i
表示这个物体的长度是合理
n
i ?1
令
S
?
(R)??
的，
这就是最小二乘法的基本原理.
?
x
2
2
x
5、设矩形的 底宽为
x
m，则半圆的半径为m，半圆的面积为
m
，
8
2
?
x
2
2
a
?
x
矩形的面积为
a ?
m
，矩形的另一边长为
(?)
m
8
x8
?x2a
?
x
?
2a
8a
因此铁丝的长为
l(x )?

?x???(1?)x?
，
0?x?
2x44x
?< br>2a
8a
?0
，得（负值舍去）.
x?
4x
24?
?
8a8a8a
当
x?(0,)
时，
l
?
(x)?0
；当
x?(,)
时，
l
?
(x)?0< br>.
4?
?
4?
??
8a
因此，
x?
是函数
l(x)
的极小值点，也是最小值点.
4?
?
8a
所以，当底宽为m时，所用材料最省.
4?
?
6、利润
L
等于收入
R
减去成本
C
，而收入
R
等于产量乘单价.
令
l
?
(x)?1?
?
?
由此可得出利润
L
与产量
q
的函数关系式，再用导数求最大利润.
11
收入
R?q?p?q(25?q)?25q?q
2
，
88

11
利润
L?R?C?(25q?q
2)?(100?4q)??q
2
?21q?100
，
0?q?200.
88
1
求导得
L
?
??q?21

4
1
令
L
?
?0
，即
?q?21?0
，
q?84
.
4
当
q?(0,84)
时，< br>L
?
?0
；
当
q?(84,200)
时，
L
?
?0
；
因此，
q?84
是函数
L
的极大值点，也是最大值点.
所以，产量为84时，利润
L
最大,

习题1.4 B组（P37）
1、设每个房间每天的定价为
x
元，
x?1801
那么宾馆利润< br>L(x)?(50?)(x?20)??x
2
?70x?1360
，
1 80?x?680
.
1010
1
令
L
?
(x)??x?70?0
，解得
x?350
.
5
当
x?(180,350)
时，
L
?
(x )?0
；当
x?(350,680)
时，
L
?
(x)?0< br>.
因此，
x?350
是函数
L(x)
的极大值点，也是最大值点.
所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大.
2、设销售价为
x
元／件时，
b?x4
5b
利润
L(x)?(x?a)(c?c?4)?c(x?a)(5?x)
，
a?x?
.
4
bb
8c4ac?5bc4a?5b
令
L
?
(x)??x?
.
?0
，解得
x?
8
bb
4a?5b
4a?5b5b
当
x?(a,)
时，
L
?
(x)?0
；当
x?(,)
时，
L
?
(x)?0
.
884
4a?5b
当
x?
是函数
L(x)
的极大值点，也是最大值点.
8
4a?5b
所以，销售价为元／件时，可获得最大利润.
8
1．5定积分的概念
练习（P42）
8
.
3
说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.
练习（P45）
ii1i12
1、
?s
i
??s
i
?
?v()?t?[?()
2
?2]???()
2
???
，
i?1,2,
nnnnnn
nnn
i
于是
s?
?
?s
i
?
?
?s
i
?
?
?
v()?t

n
i?1i?1i?1
,n
.

i12
?
?
[?()
2
???]

nnn
i?1
11n?1
2
1n
2
1
?? ()
2
???()??()??2

nnnnnn
1
??< br>3
[1?2
2
??n
2
]?2

n
1n(n?1)(2n?1)
??
3
??2

n6
111
??(1?)(1?)?2

3n2n
取极值，得
n
1i1115

s?lim
?[v()]?lim
?
[?(1?)(1?)?2]?

n??n??< br>n3n2n3
i?1
n
i?1
n
n
说明：进一步体会 “以不变代变”和“逼近”的思想.
22
2、km.
3
说明：进一步体会 “以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方
法和步骤.
练习（P48）
2
?
0
x
3
dx?4
. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意
义.
从几何上看，表示由曲线
y?x
3
与直线
x?0
，
x?2
，
y?0
所围成的曲边 梯形的面
积
S?4
.
习题1.5 A组（P50）
i?11
)?1]??0.495
；
1
100100
i? 1
500
2
i?11
)?1]??0.499
； （2）
?
(x?1)dx?
?
[(1?
1
500500
i?1< br>1000
2
i?11
)?1]??0.4995
. （3）
?
(x?1)dx?
?
[(1?
1
10001000
i? 1
1、（1）
?
(x?1)dx?
?
[(1?
2
1 00
说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.
2、距离的不足近似 值为：
18?1?12?1?7?1?3?1?0?1?40
（m）；
距离的过剩近似值为：
27?1?18?1?12?1?7?1?3?1?67
（m）.
3、证明：令
f(x)?1
. 用分点
a?x
0
?x1
??x
i?1
?x
i
??x
n
?b

将区间
[a,b]
等分成
n
个小区间，在每个小 区间
[x
i?1
,x
i
]
上任取一点
?
i
(i?1,2,,n)

作和式
?
i?1n
f(
?
i
)?x?
?
i?1
n
b? a
?b?a
，
n

从而
?b
a
1dx?lim
?
n??
i?1
n
b?a
?b?a
，
n
1
说明：进一步熟悉定积分的概念.
4、 根据定积分的几何意义，
?
0
1?x
2
dx
表示由直线x?0
，
x?1
，
y?0
以及曲线
y?1?x
2
所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此
1
?
2
.
1?xdx?
?
0
4
0
1
5、（1）
?
x
3
dx??
.
?1
4
由于在区间
[ ?1,0]
上
x
3
?0
，所以定积分
?
x
3
dx
表示由直线
x?0
，
x??1
，
y?0和
?1
0
曲线
y?x
3
所围成的曲边梯形的面积的相反 数.
101
11
（2）根据定积分的性质，得
?
x
3
dx?
?
x
3
dx?
?
x
3
dx ????0
.
?1?10
44
由于在区间
[?1,0]
上
x
3
?0
，在区间
[0,1]
上
x
3?0
，所以定积分
?
x
3
dx
等于位于
x轴
?1
1
上方的曲边梯形面积减去位于
x
轴下方的曲边梯形面积 .
202
115
（3）根据定积分的性质，得
?
x
3
dx?
?
x
3
dx?
?
x
3
dx ???4?

?1?10
44
由于在区间
[?1,0]
上< br>x?0
，在区间
[0,2]
上
x?0
，所以定积分
?
x
3
dx
等于位于
x
轴
33
?1
2
上方的曲边梯形面积减去位于
x
轴下方的曲边梯形面积.
说明：在（3） 中，由于
x
3
在区间
[?1,0]
上是非正的，在区间
[0 ,2]
上是非负的，如
果直接利用定义把区间
[?1,2]
分成
n< br>等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又
有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分
?
x
3
dx
?1
2
化为< br>?
x
3
dx?
?
x
3
dx
，这样，
x
3
在区间
[?1,0]
和区间
[0,2]
上的符 号都是不变的，再
?10
02
利用定积分的定义，容易求出
?
xdx
，
?
xdx
，进而得到定积分
?
x
3
dx
的值. 由此
?10?1
0
3
2
3
2
可见 ，利用定积分的性质可以化简运算.
在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通 过练习进一步体会定
积分的几何意义.
习题1.5 B组（P50）
1、该物体 在
t?0
到
t?6
（单位：s）之间走过的路程大约为145 m.
说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计
物体走过的路程.
2、（1）
v?9.81t
.
i118?9
?88.29
（m） （2）过剩近似值：
?
9.81???9.81??
；
2242
i?1
8

不足近似值：
?< br>9.81?
i?1
4
8
i?1118?7
??9.81??? 68.67
（m）
2242
（3）
?
9.81tdt
；
0
4
?
0
9.81tdt?78.48
（m）.
3、（1）分割
在区间
[0,l]
上等间隔地插入
n ?1
个分点，将它分成
n
个小区间：
ll2l(n?2)l
[0, ]
，
[,]
，……，
[,l]
，
nnnn
(i?1)lil
记第
i
个区间为
[
，其长度为
,]
（
i?1,2 ,n
）
nn
il(i?1)ll
?x???
.
nnn
ll2l(n?2)l
把细棒在小段
[0,]
，
[,]
，……，
[,l]
上质量分别记作：
nnnn
?m
1
,?m
2
,,?m
n
，
则细棒的质量
m?
?
?m
i
.
i?1
n
（2）近似代替
(i?1)lil
,]
上，可以 认为线密度
?
(x)?x
2
nn
的值变化很小，近似地等于一个常数 ，不妨认为它近似地等于任意一点
(i?1)lil
(i?1)lil
,]
上 质量
?
i
?[,]
处的函数值
?
(
?
i
)?
?
i
2
. 于是，细棒在小段
[
nn
nn
l
?m
i
?
?
(
?
i
)?x ?
?
i
2
（
i?1,2,n
）.
n
（3）求和
nnn
l
得细棒的质量
m?
?
?m
i
?
?
?
(
?
i
)?x?
?
?
i
2
.
n
i?1i?1i?1
当
n
很大，即
?x
很小时，在小区间
[
（4）取极限
细棒的质量
m?lim
?
?
i
2
n ??
i?1
n
l
l
，所以
m?
?
x
2
dx
..
0
n
1．6微积分基本定理
练习（P55）
425
50
?
； （4）24； ； （3）
33
3
3
1
（5）
?ln2
； （6）； （7）0； （8）
?2
.
2
2
说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.
（1）50； （2）
习题1.6 A组（P55）
401
9
1、（1）； （2）
??3ln2
； （3）
?ln3?ln2
；
32
2

3
?
2
17
?1
； （6）
e
2
?e?2ln2
. （4）
?
； （5）
8
6
说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.
?
2、
?
sinxdx?[?cosx]
3
0
?2
.
0
3
?
它表示位于
x
轴上方的两个曲边梯形的面积与
x
轴下方的曲边梯形的面积之差. 或
表述为：位于
x
轴上方的两个曲边梯 形的面积（取正值）与
x
轴下方的曲边梯形的
面积（取负值）的代数和.
习题1.6 B组（P55）
?
1
2x1
e
2
1
113
4
1、（1）原式＝
[e]
0
??
； （2）原式＝
[sin2x]
?
；
??
222
2246
2
x
3
6
]
1
?
（3）原式＝
[
.
ln2ln2
?
cosmx
?
1
2、（1）
?
sinmxdx?[?]
?
?
??[cos m
?
?cos(?m
?
)]?0
；
?
?
mm
?
sinmx
?
1
（2）< br>?
cosmxdx??
?
?
?[sinm
?
?sin (?m
?
)]?0
；
?
?
mm
??
1? cos2mxxsin2mx
?
2
（3）
?
sinmxdx?< br>?
dx?[?]
?
?
?
?
；
?
?
?
?
224m
??
1?cos2mxxsin2mx
? （4）
?
cos
2
mxdx?
?
dx?[?]?
?
?
?
.
?
?
?
?
22 4m
3、（1
t
gggggg
s(t)?
?
(1?e
?kt
)dt?[t?
2
e
?kt
]
t
0
?t?
2
e
?kt
?
2
?49t?245e
?0 .2t
?245
.
0
kkkkkk
（2）由题意得
49t?245e
?0.2t
?245?5000
.
这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计
t
的取值范围.
）
根据指数函数的性质，当
t?0
时，
0?e
?0.2t
?1
，从而
5000?49t?5245
，
50005245
?t?
因此，.
4949
因此
245e
?0.2?
5000< br>49
?3.36?10
，
245e
?7
?0.2?
5 245
49
?1.24?10
?7
，
所以，
1 .24?10
?7
?245e
?0.2t
?3.36?10
?7.
从而，在解方程
49t?245e
?0.2t
?245? 5000
时，
245e
?0.2t
可以忽略不计.
5245
因此，.
49t?245?5000
，解之得
t?
（s）.
49
说明：B组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的 定积分，可视学生的具体
情况选做，不要求掌握.
1．7定积分的简单应用
练习（P58）

32
； （2）1.
3
说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.
（1）
练习（P59）
1、
s?
?
(2t?3)dt?[ t
2
?3t]
5
3
?22
（m）.
3
5
4
3
4
2、
W?
?
(3x?4)dx?[x2
?4x]
0
?40
（J）.
0
2
习题1.7 A组（P60）
9
1、（1）2； （2）.
2
b
qqqq
2、
W?
?
k
2
dr?[?k]
b
.
?k?k
a
a
rrab3、令
v(t)?0
，即
40?10t?0
. 解得
t?4
. 即第4s时物体达到最大高度.
4
?80
（m）. 最大高度为
h?
?
(40?10t)dt?[40t?5t
2
]< br>0
0
4
4、设
t
s后两物体相遇，则
?
( 3t
0
t
2
?1)dt?
?
10tdt?5
，
0
t
解之得
t?5
. 即
A,B
两物体5s后相遇.
此时，物体
A
离出发地的距离为
0.1
?
5
0
( 3t
2
?1)dt?[t
3
?t]
5
0
?130< br>（m）.
5、由
F?kl
，得
10?0.01k
. 解之得
k?1000
.
所做的功为
W?
?
100 0ldl?500l
2
?
0.1
0
?5
（J）.
0
55
?0
，解之得
t?10
. 因此，火车经过10s后完全停止.
1?t
10
551
（2）
s?
?
(5?t?)dt?[5t?t
2
?55ln(1?t)]
1 0
0
?55ln11
（m）.
0
1?t2
y
习题1.7 B组（P60）
6、（1）令
v(t)?5?t?
1、（1）
?
a
?a
a
2
? x
2
dx
表示圆
x
2
?y
2
?a
2
与
x
轴所围成的上
a
?a
半圆的面积，因此
?
1
0
a?xdx?
22
?
a
2
2

O
1
x
（2）
?
[1?(x?1)
2
?x]dx
表示圆
(x?1)
2
?y
2
?1
与直线
y?x
所围成的图形（如图所示）的面积，
1
?
1
??1?1??
.
0
4242
2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的
b< br>4h
方程为
y?ax
2
，则
h?a?()
2
，所以
a?
2
.
b
2
4h
从而抛物线的方程为
y?
2
x
2
.
b
因此，
?< br>[1?(x?1)?x]dx?
1
2
?
?1
2
（第1 （2）题）
O
x
h
b
y
（第2题）

于是，抛物线拱的面积
S?2
?
b
2
0
4h
2
4h
3
b
2
2
(h?
2
x)dx?2[hx?
2
x]
0
?bh
.
b3b 3
?
y?x
2
?2
3、如图所示.解方程组
?

?
y?3x
得曲线
y?x
2
?2
与曲线y?3x
交点的横坐标
x
1
?1
，
x
2
?2
.
于是，所求的面积为
?
[(x
2
?2)? 3x]dx?
?
[3x?(x
2
?2)]dx?1
.
01
12
4、证明：
W?
?
R?h
R
G
MmM m
R?h
Mmh
dr?[?G]?G
.
R
r
2
rR(R?h)
第一章 复习参考题
A组（P65）
1、（1）3； （2）
y??4
.
2sinxcosx?2x
2、（1）
y
?
?
； （2）
y
?
?3(x?2)
2
(3x?1)(5x?3)
；
2
cosx
2
x
2x?2x
2
x
（3）< br>y
?
?2lnxln2?
； （4）
y
?
?
.
4
x
(2x?1)
2G Mm
3、
F
?
??
.
3
r
4、（1）
f
?
(t)?0
. 因为红茶的温度在下降.
（2）
f
?
(3)??4
表明在3℃ 附近时，红茶温度约以4℃／min的速度下降. 图略.
2
5、因为
f(x) ?
3
x
2
，所以
f
?
(x)?
3
.
3x
2
当
f
?
(x)?
3
?0< br>，即
x?0
时，
f(x)
单调递增；
3x
2
当
f
?
(x)?
3
?0
，即
x?0
时，
f(x)
单调递减.
3x
6、因为f(x)?x
2
?px?q
，所以
f
?
(x)?2x? p
.
p
当
f
?
(x)?2x?p?0
，即< br>x???1
时，
f(x)
有最小值.
2
p
由
??1
，得
p??2
. 又因为
f(1)?1?2?q?4
，所以
q?5
.
2
7、 因为
f(x)?x(x?c)
2
?x
3
?2cx
2
?c
2
x
，
所以
f
?
(x)?3x
2< br>?4cx?c
2
?(3x?c)(x?c)
.
c
当
f
?
(x)?0
，即
x?
，或
x?c
时，函数f(x)?x(x?c)
2
可能有极值.
3
由题意当
x?2< br>时，函数
f(x)?x(x?c)
2
有极大值，所以
c?0
.
由于



x

f
?
(x)

f(x)

c
(??,)

3
＋
c

3
0
c
(,c)

3
－
c

0
(c,??)

＋
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

cc
时，函数
f(x)?x(x?c)
2
有极大值. 此时，
?2
，
c?6
.
33
8、设当点
A
的坐标为
(a,0)
时，
?AOB
的面积最小.
所以，当
x?
因为直线
AB
过点
A(a,0)
，
P(1,1)
，
y?0x?a1
所以直线
AB
的方程为，即
y??(x?a)
.
x?01?a1?a
aa
当
x?0
时，
y?
， 即点
B
的坐标是
(0,)
.
a?1a?1
1aa
2
?
因此，
?AOB
的面积
S
?AOB
?S(a)?a
.
2a?12(a?1)
1a
2
?2a
令
S
?< br>(a)?0
，即
S
?
(a)???0
.
2
2(a?1)
当
a?0
，或
a?2
时，S
?
(a)?0
，
a?0
不合题意舍去.
由于






所以，当
a?2
， 即直线
AB
的倾斜角为
135?
时，
?AOB
的面积最小， 最小面积为
2.
9、
D
.
10、设底面一边的长为
x
m，另一边的长为
(x?0.5)
m. 因为钢条长为14.8m.
14.8?4x?4(x?0.5)12.8?8x
所以，长方体容器的高为
??3.2?2x
.
44
设容器的容积为
V
，则
x

(0,2)

－
单调递减
2
0
极小值
(2,??)

＋
单调递增
f
?
(x)

f(x)

V? V(x)?x(x?0.5)(3.2?2x)??2x
3
?2.2x
2
?1 .6x
，
0?x?1.6
.
令
V
?
(x) ?0
，即
?6x
2
?4.4x?1.6?0
.
4
所以，
x??
（舍去），或
x?1
.
15
当
x?(0,1)
时，
V
?
(x)?0
；当
x?(1,1.6)
时，
V
?
(x)?0
.
因此，
x?1
是函数
V(x)
在
(0,1.6)的极大值点，也是最大值点.
所以，当长方体容器的高为1 m时，容器最大，最大容器为1.8 m
3
.

11、设旅游团人数为
100?x
时，
旅行社费用为
y?f(x)?(100?x)(1000?5x)??5x
2
?500?100000(0?x?80)
.
令
f
?
(x)?0
，即?10x?500?0
，
x?50
.
又
f(0)?100 000
，
f(80)?108000
，
f(50)?112500
.
所以，
x?50
是函数
f(x)
的最大值点.
所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多.
12、设打印纸的长为
x
cm时，可使其打印面积最大.
623.7
因为打印纸的面积为623.7，长为
x
，所以宽为，
x
623.7
打印面积
S(x)?(x?2?2.54)(?2?3.17)

x
3168.396

?655.907
，
5.08?x?98.38
.
?26.x?34
2
x
3168.396623.7
令
S
?
(x)?0
，即
6.34?
，（负值舍去），
?0?2 7.89
.
x?22.36
2
x22.36

x?22 .3
是函数
S(x)
在
(5.08,98.38)
内唯一极值点，且 为极大值，从而是最大值
6
点.
所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm，22.36cm时，可使其打印面积最大.
13、设每年养
q
头猪时，总利润为
y
元.
1
则
y?R(q)?20000?100q??q
2
?300q?20000
(0?q?400,q?N)
.
2
令
y
?
?0
，即
?q?300?0
，
q?300
.
当
q?30 0
时，
y?25000
；当
q?400
时，
y?20000
.

q?300
是函数
y(p)
在
(0,40 0]
内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.
所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.
14、（1）
23?2
； （2）
2e?2
； （3）1；
?
?
cos
2
x?sin
2
x
2
dx?
?
(cosx?sinx)dx?[sinx?cosx]
02
?0
； （4）原式＝
?
0
cosx?sinx
?
?
1?cosxx?sinx
?
?2
dx?[]
02
?
（5）原式＝
?
2
.
0
224
15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.
2
0
?
16、
22?2
.
17、由
F?kl
，得
0.049?0.01k
. 解之得
k?4.9
.
l
2
0.3
所做的功为 < br>W?
?
4.9ldl?4.9??
0.1
?0.196
（J）
0.1
2
0.3
第一章 复习参考题
B组（P66）
1、 （1）
b
?
(t)?10
4
?2?10
3
t
. 所以，细菌在
t?5
与
t?10
时的瞬时速度分别为0和

?10
4
.
（2）当
0?t?5
时，
b< br>?
(t)?0
，所以细菌在增加；
当
5?t?5?55
时，
b
?
(t)?0
，所以细菌在减少.
2、设扇形的半径为
r
，中心角为
?
弧度时，扇形的面积为
S
.
1l
因为
S?
?
r
2
，
l?2r?
?
r
，所以
?
??2
.
2r
11l1
l
S?
?
r
2
?(?2)r
2
?(lr?2r
2
)，
0?r?
.
2
22r2
l
令
S
?
?0
，即
l?4r?0
，
r?
，此时
?
为2弧度.
4
ll

r?
是函数
S(r)
在
(0,)
内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.
42
l
所以，扇形的半径为、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.
4
3、设圆锥的底面半径为r
，高为
h
，体积为
V
，那么
r
2
? h
2
?R
2
.
1111
因此，
V?
?
r
2
h?
?
(R
2
?h
2
)h ?
?
R
2
h?
?
h
3
，
0?h? R
.
3333
3
1
R
. 令
V
?< br>?
?
R
2
?
?
h
2
?0
， 解得
h?
3
3
3
R
是函数
V(h)
的极大 值点，也是最大值点. 容易知道，
h?
3
3
R
时，容积最大. 所以，当
h?
3
36
R
代入
r
2
?h2
?R
2
，得
r?R
.
33
26
?
. 由
R
?
?2
?
r
，得
?
?
3
26
?
时，容积最大. 所以 ，圆心角为
?
?
3
4
4、由于
80?k?10
2< br>，所以
k?
.
5
42020
设船速为
x
km／h时，总费用为
y
，则
y?x
2
???480

5xx
9600

?16x?
，
x?0

x
9600
令
y
?
?0
，即
16?
2
?0
，
x?24< br>.
x
容易知道，
x?24
是函数
y
的极小值点，也是最小值点.
960020
)?()?941
（元／时） 当
x?24
时，
(16?24?
2424
所以，船速约为24km／h时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.
把
h?< /p>

390x
2
130
(3?)??14
，5、设汽车以< br>x
km／h行驶时，行车的总费用
y?
x360x
50?x?100< br>
令
y
?
?0
，解得
x?53
（km／h）. 此时，
y?114
（元）
容易得到，
x?53
是函数
y
的极小值点，也是最小值点.
因此，当
x?53
时，行车总费用最少.
所以，最经济的车速约为53km／h；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约
是114元. x442
6、原式＝
?
edx?
?
e
?x
dx ?
?
e
x
dx?[?e
?x
]
0
?2?e?
0
?e?e?2
.
?2?20
4
x
04
?
y?kx
7、解方程组
?

2
?
y?x?x
得，直线
y?kx
与 抛物线
y?x?x
2
交点的横坐标为
x?0
，
1?k
.
x
2
x
3
1
111
抛物线与
x
轴所围图形的面积
S?
?
(x?x)dx?[?]
0
?? ?
.
0
23236
1?k1?k
S
由题设得
?
?
(x?x
2
)dx?
?
kxdx
< br>0
2
0
1?k
1?k
2
x
3
1?k 2
?
?
(x?x?kx)dx?[x?]
0

0
23
(1?k)
3
?
.
6
3
4
11
3
又因为
S?
，所以
(1?k)?
. 于是
k?1?
.
2
62
说明：本题也可以由面积相等直接得
1
2
到
?





1?k< br>0
(x?x?kx)dx?
?
2
1?k
0
kxdx?
?
1?k
0
(x?x
2
)dx
，由此求出
k
的值. 但计算较为烦琐.
新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答
第二章 推理与证明
2．1合情推理与演绎推理
练习（P77）
1、 由
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?1
，猜想
a
n
?1
.
2、相邻两行数之间的关系是：每一行 首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与

之相邻的两个数的和.
3、设< br>V
O?PQ
和
V
O?P
2
Q
2
R< br>2
分别是四面体
O?PQ
11
R
1
和
O?P
2
Q
2
R
2
的体积，
11
R
1
则
V
O?PQ
11
R
1
V
O?P
2
Q
2
R
2
?
OP
1
OQ
1OR
1
.
??
OP
2
OQ
2
OR
2
练习（P81）
1、略.
2、因为通项公式为
a
n
的数列
{a
n
}
，
a
若
n?1
?p
，其中
p
是非零常数，则
{a
n
}
是等比数列； ……………………大前提
a
n
a
n?1
cq
n?1
又因为
cq?0
，则
q?0
，则
??q
； ……………………………小
a
n
cq
n
前提
所以， 通项公式为
a
n
?cq
n
(cq?0)
的数列
{a
n
}
是等比数列. ……………………
结论
3、由
AD?BD
，得到
?ACD??BCD
的推理是错误的. 因 为这个推理的大前提是
“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“
AD?BD
” ，而
AD
与
BD
不在同一个
三角形中.
习题2.1 A组（P83）
2
(n?N
?
)
. 1、
a
n
?
n?1
2、
F?V?E?2
.
3、当
n?6
时，
2
n?1
?(n?1)
2
；当
n?7
时，
2
n?1
?(n?1)
2
；当
n?8
时，
2
n?1
?(n?1)
2
(n?N
?< br>)
.
11
4、
??
A
1
A
25、
b
1
b
2
1n
2
（
n?2
，且
n?N
?
）.
?
A
n
(n?2)
?
b
17?n
（
n?17
，且
n?N
?
） .
A
D
b
n
?b
1
b
2
6、如 图，作
DE
∥
AB
交
BC
于
E
.
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
又因为
AD
∥
BE
，
AB
∥
DE
.
所以四边形
ABED
是平行四边形.
因为平行四边形的对边相等.
又因为四边形
ABED
是平行四边形.
所以
AB?DE
.
因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，
又因为
AB?DE
，
AB?DC
, 所以
DE?DC

B
E
（第6题）
C

因为等腰三角形的两底角是相等的.
又因为△
DEC
是等腰三角形, 所以
?DEC??C

因为平行线的同位角相等
又因为
?DEC
与
?B
是平行线
AB
和
DE
的同位角, 所以
?DEC??B

因为等于同角的两个角是相等的，
又因为
?DEC??C
，
?DEC??B
, 所以
?B??C

习题2.1 B组（P84）
23456n?1
1、由
S
1
??
，
S
2
??
，
S
3
??
，
S
4
??
，
S
5??
，猜想
S
n
??
.
34567n?2
2、略. 3、略.
2．2直接证明与间接证明
练习（P89）
1、因为
cos
4
?
?sin
4
?
?(cos
2
?
?sin
2
?
)(co s
2
?
?sin
2
?
)?cos2
?
，所 以，命题得证.
2、要证
6?7?22?5
，只需证
(6?7)
2
?(22?5)
2
，
即证
13?242?13?410
，即证
42?210
，
只需要
(42)
2
?(210)
2
，即证
42?40
，这是显然成立的. 所以，命题得证.
3、因为
(a
2
?b
2
)
2
?(a?b)
2
(a?b)
2
?(2sin
?
)
2
(2tan
?
)
2
?16sin< br>2
?
tan
2
?
，
sin
?
(1 ?cos
?
)sin
?
(1?cos
?
)
又因为
16ab?16(tan
?
?sin
?
)(tan
?
?sin
?
)?16

?
cos
?
cos
?
2
sin
2
?
(1?cos
2
?
)s in
2
?
sin
?
22
?16?16sin
?tan
?
，
?16
22
cos
?
cos
?
从而
( a
2
?b
2
)
2
?16ab
，所以，命题成立.
说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.
练习（P91）
1、假设
?B
不是锐角，则
?B?90?
. 因此
?C??B?90??90??180?
.
这与三角形的内角和等于180°矛盾.
所以，假设不成立. 从而，
?B
一定是锐角.
2、假设
2
，
3
，5
成等差数列，则
23?2?5
.
所以
(23)
2
?(2?5)
2
，化简得
5?210
，从而
5
2
?(210)
2
，即
25?40
，
这是不可能的. 所以，假设不成立.
从而，
2
，
3
，
5
不可能成等差数列.
说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点.
习题2.2 A组（P91）
b
.
a
假设方程不止一个根，则至少有两个根，不 妨设
x
1
,x
2
是它的两个不同的根，
1、由于
a?0
，因此方程至少有一个跟
x?

则
ax
1
?b
①
ax
2
?b
②
①－②得
a(x
1
?x
2
)?0

因为
x
1
?x
2
，所以
x
1
?x
2
?0
，从而
a?0
，这与已知条件矛盾，故假设不成立.
2、因为
(1?tanA)(1?tanB)?2

展开得
1?tanA?t anB?tanAtanB?2
，即
tanA?tanB?1?tanAtanB
. ①
cosAcosB?sinAsinB
cos(A?B)
假设
1?tanAtanB?0
，则
?0

?0
，即
cosAcosB
cosAcosB
所以
cos(A?B)?0
.
因为
A
，
B
都是锐角，所以
0?A?B?
?
，从而
A?B?
因此
1?tanAtanB?0
.
tanA?tanB
①式变形得
?1
， 即
tan(A?B)?1
.
1?tanAtanB
又因为
0?A?B?
?
，所以
A?B?
?
2
，与已知矛盾.
?
4
说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.
1?tan
?
3、因为
?1
，所以
1?2tan
?
?0
，从而
2sin
?
?cos
?
?0
.
2?tan
?
另一方面，要证
3sin2
?
??4cos2
?
，
只要证
6si n
?
cos
?
??4(cos
2
?
?sin
2
?
)

即证
2sin
2
?
?3s in
?
cos
?
?2cos
2
?
?0
，
即证
(2si
?
n?
.
c
?
os)(
?
s?in
?
2c?o
< br>s
由
2sin
?
?cos
?
?0
可得，(2sin
?
?cos
?
)(sin
?
?2cos?
)?0
，于是命题得证.
说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明， 但把综合法和分析法结合使用
进行证明的思路更清晰.
4、因为
a,b,c
的倒数成等差数列，所以
假设
B?
211
??
.
bac
?
22
所 以
b?a,b?c
（在三角形中，大角对大边），
11112
211
从而
????
. 这与
??
矛盾.
bac
acbbb
所以，假设不成立，因此，
B?
习题2.2 B组（P91）
不成立，即
B?
?
，则
B
是
?A BC
的最大内角，
?
2
.
s
2
1、要证
s?2a
，由于
s?2ab
，所以只需要
s?
，即证
b? s
.
b
2

1
(a?b?c)
，所以只需要
2b?a?b?c
，即证
b?a?c
.
2
由于
a,b,c
为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立.
因为
s?
2、由已知条件得
b
2
?ac
①

2x?a?b
，
2y?b?c
②
ac
要证
??2
，只要证
ay?cx?2xy
， 只要证
2ay?2cx?4xy

xy
由①②，得
2ay?2cx?a(b?c)?c(a?b)?ab?2ac?bc
，
)(b?c)?ab?
2
b?

4xy?(a?b
所以，
2ay?2cx?4xy
，于是命题得证.
a?cb?ca?2b?ac
，
bc
3、由
tan(
?
?
?
)?2tan
?

sin(
?
?
?
)2sin
?
?
得 ，即
sin(
?
?
?
)cos
?
?2cos(
?
?
?
)sin
?
. ……①
cos(
?
?
?
)cos
?
要证
3sin
?
?sin(2
?
?
?
)

即证
3sin[(
?
?
?
)?
?
]?sin[(
?
?
?
)?
?
]

即证
3[sin(
?
?
?
)cos
?
?cos(
?
?
?
)sin
?
]?sin(
?
??
)cos
?
?cos(
?
?
?
)sin?

化简得
sin(
?
?
?
)cos< br>?
?2cos(
?
?
?
)sin
?
，这就是 ①式.
所以，命题成立.
说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用.
2．3数学归纳法
练习（P95）
1、先证明：首项是
a
1
，公差是
d的等差数列的通项公式是
a
n
?a
1
?(n?1)d
.
（1）当
n?1
时，左边＝
a
1
，右边＝
a1
?(1?1)d?a
1
，
因此，左边＝右边. 所以，当
n?1
时命题成立.
（2）假设当
n?k
时，命题成立， 即
a
k
?a
1
?(k?1)d
.
那么 ，
a
k?1
?a
k
?d?a
1
?(k?1)d?d ?a
k
?[(k?1)?1]d
.
所以，当
n?k?1
时，命题也成立.
根据（1）和（2），可知命题对任何
n?N
?
都成立.
n(n?1)
再证明：该数列的前
n
项和的公式是
S
n
?na
1
?d
.
2
1?(1?1)
（1） 当
n?1
时，左边＝
S
1
?a
1
，右边＝
1?a
1
?d?a
1
，
2
因此，左边＝右边. 所以，当
n?1
时命题成立.
（2）假设当
n?k
时，命题 成立，即
S
k
?ka
1
?
那么，
S
k?1
?S
k
?a
k?1
?ka
1
?
k(k?1 )
d
.
2
k(k?1)
d?a
1
?[(k?1)?1]d

2

(k?1)
?1]d

2
(k?1)k
?(k?1)a
1
?d

2
所以，当
n?k?1
时，命题也成立.
?(k?1)a
1
?k[
根据（1）和（2），可知命题对任何
n?N
?
都成立.
2、略.
习题2.3 A组（P96）
1、（1）略.
（2）证明：①当
n?1
时，左边＝1，右边＝
1
2
?1
，
因此，左边＝右边. 所以，当
n?1
时，等式成立.
②假设当
n?k
时等式成立，即
1?3?5?
那么，
1?3?5?
所以，当< br>n?k?1
时，等式也成立.
根据①和②，可知等式对任何
n?N
?
都成立.
（3）略.
11
2、
S
1
??1?
，
1?22
111111

S
2
???(1?)?(?)?1
，
?

1?22?32233
111111111

S
3
????(1?)?(?)?(?)?1
.
?
1?22?33?4223344
1
由此猜想：
S
n
?1?
.
n?1
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
111111
（1）当
n?1
时 ，左边＝
S
1
??1??
，右边＝
1??1??
，
1?222n?122
因此，左边＝右边. 所以，当
n?1
时，猜想成立.
11111
?????1?
（2）假设当
n?k
时，猜想成立，即.
1?22?33?4k(k?1)k?1
那
1
?
1?k2
11
?1?(1?)

k?1k?2
1k?2?11

?1???1?
k?1k?2k?2
所以，当
n?k?1
时，猜想也成立.
么
1
?1
?
，
?(2k?1)?k
2
.
?(2k?1)?(2k?1)?k
2
?(2k?1)?(k?1)
2
.
k
.
2
1
?
?
根据（1）和（2），可知猜想对任何
n?N
?
都成立.

习题2.3 B组（P96）
1、略
1
2、证明：（1 ）当
n?1
时，左边＝
1?1?1
，右边＝
?1?(1?1)?(1 ?2)?1
，
6
因此，左边＝右边. 所以，当
n?1
时，等式成立.
（2）假设当
n?k
时，等式成立，
1
k(k?1)(k?2)
.
6
那么，
1?(k?1)?2?[(k?1)?1]?3? [(k?1)?2]?
即
1?k?2?(k?1)?3?(k?2)??k?1?
?( k?1)?1
.
?[1?k?2?(k?1)?3?(k?2)??k?1]?[1?2?3 ?
11
?k(k?1)(k?2)?(k?1)(k?2)

62
1
?(k?1)(k?2)(k?3)

6
所以，当
n?k?1
时，等式也成立.
?(k?1)]

根据（1）和（2），可知等式对任何
n?N
?
都成立.
第二章 复习参考题
A组（P98）
1、图略，共有
n(n?1)?1
（
n?N
?
）个圆圈.
n个
2、
333
（
n?N
?
）.
f(2 ?)f
2
3、因为
?(1
，
)
所
4
以f(1?)
，
f(3)?f(2)f(1)?8
，
f(4)?f(3)f (1)?16
……
猜想
f(n)?2
n
.
4、运算的结果总等于1.
5、如图，设
O
是四面体
A?BCD< br>内任意一点，连结
AO
，
BO
，
CO
，
DO
并延长
交对面于
A
?
，
B
?
，
C
?
，
D
?
，则
?
OB
??
OAOCO
?
D

????1

???
AABBCCD
?
D
用“体积法”证明：
?
OB
??
OAOCO
?
D

???
???
AABBCCD
?
D
VVVV
?AB

?
O?BCD
?
?OCD
?< br>A?OD
V
A?BCD
V
?BCDA
V
?CDAV
B
V
?1

?
A?BCD
V
A?BCD
6、要证
(1?tanA)(1?tanB)?2

只需证
1?tanA?tanB?tanAtanB?2

即证
tanA ?taBn??1
A
C'
D'
?
?
B'
D
A'

O
D
ABC
ABC
B
C
（第5题）
tAanBt

an

5
由
A?B?
?
，得
tan(A?B)?1
. ①
4< br>?
tanA?tanB
又因为
A?B?k
?
?
，所以
?1
，变形即得①式. 所以，命题得证.
1?tanAtanB
27、证明：（1）当
n?1
时，左边＝
?1
，右边＝
(?1)< br>1
?1??1
，
因此，左边＝右边. 所以，当
n?1
时，等式成立.
（2）假设当
n?k
时，等式成立，
即
?1?3?5??(?1)
k
(2k?1)?(?1)
k
k
.
?(?1)
k
(2k?1)?(?1)
k?1
[2(k?1)?1]
. 那么，
?1?3?5?
?(?1)
k
k?(?1)
k?1
[ 2(k?1)?1]

?(?1)
k?1
[?k?2(k?1)?1]

?(?1)
k?1
(k?1)

所以，当
n?k?1
时，等式也成立.
根据（1）和（2），可知等式对任何
n?N
?
都成立.
第二章 复习参考题
B组（P47）
1、（1）25条线段，16部分； （2）
n
2
条线段；
1
（3）最多将圆分割成
n(n?1)?1
部分.
2
下面用数学归纳法证明这个结论.
①当
n?1
时，结论成立.
②假设当
n?k
时，结论成立，
1
即：
k
条线段，两两相 交，最多将圆分割成
k(k?1)?1
部分
2
当
n?k?1
时，其中的
k
条线段
l
1
,l
2
,,l
k
两两相交，最多将圆分割成
1
k(k?1)?1
部分， 第
k?1
条线段
a
k?1
与线段
l
1
,l
2
,,l
k
都相交，最多增加
k?1
个部
2
分，因此，
k?1
条线段，两两相交，最多将圆分割成
11

k(k?1)?1?(k?1)?(k?1)(k?2)?1
部分
22
所以，当
n?k?1
时，结论也成立.
根据①和②，可知结论对任何
n?N
?
都成立.
2、要证
cos4
?
?4cos4
?
?3

因为 < br>cos4
?
?4cos4
?
?cos(2?2
?
)? 4cos(2?2
?
)


?1?2sin
2
2
?
?4?(1?2sin
2
2
?
)

?

?1?8si
2
n
?

?1?8si
2
n
c
2
o
?
s??4?( 1
2
8
?
sin
2
?

cos
( ?1
2
s
?
in?)?4?[1
2
?
8sin?< br>2
)
(
?
1

sin)]
只需证 1?8sin
2
?
(1?sin
2
?
)?4?[1?8 sin
2
?
(1?sin
2
?
)]?3