高中数学选修2-3-2.2.1条件概率

条件概率

一、知识概述
条件概率的定义：
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则
发生的条件下，事件B发生的条件概率．
一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．
注意：
（1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1．
称为在事件A
（2）如果B和C是互斥事件，则P(B∪C|A)= P(B|A)＋P(C|A)．
（3）要注意P(B|A)与P(AB)的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的
关键．
注：概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系：
联系：事件A，B都发生了．
区别：样本空间不同：在P(B|A)中，事件A成为样本空间；在P(AB)中，样
本空间仍为W．
二、例题讲解：
例1、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白 球和3个
黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的
球是红球，白球 和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出
的球是红球的事件，则下列结论中正确的 是________（写出所有正确结论的编
号）．
①；②；③事件B与事件A相互独立；
1
④是两两互斥的事件；

⑤P（B）的值不能确定，因为它与
解：
中哪一个发生有关．

答案：②④
例2、从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机 上检
验发现是假钞．求2张都是假钞的概率．
解：
令A表示“2张中至少有1张假钞”，B表示“2张都是假钞”．
则所求概率为Ｐ（B|A）．
．
，．
．
即所求概率为．
例3、甲乙两地都位于长江下游， 根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年
中雨天所占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的 比例为12％，问：
（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？
（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？
（3）甲乙两市至少一市下雨的概率是多少？
解：
记A为“甲地为雨天”，B为“乙地为雨天”．

（1）．
（2）．
（3）．
∴在乙地下雨时甲地也下雨的概率为．
在甲地下雨时乙地也下雨的概率为．
甲、乙两地至少一地下雨的概率为26%．
例 4、有外形相同的球分别装在三个盒子中，每个盒子中有10个球．其中第一个
盒子中有7个球标有字母 A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5
个；第三个盒子中有8个红球，2个白球．试验 按如下规则进行：先在第一个盒子
中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在二号盒子中任取一个球； 若第一次
取得标有字母B的球，则在三号盒子中任取一个球，如果第二次取出的是红球，
则称试 验为成功．求试验成功的概率．
解：
设事件A＝｛从第一个盒子中取出字母为A的球｝ ，B＝｛从第一个盒子中取
出字母为B的球｝，C＝｛第二次取球取出的是红球｝，D＝｛第二次取球取 出的是
白球｝，
则P（A）＝0.7，P（B）＝0.3，P（C｜A）＝0.5，P（ D｜A）＝0.5，P（C｜
B）＝0.8，P（D｜B）＝0.2．
试验成功表示，∵AC与BC互斥，

∴试验成功的概率为0.59．
例5．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．

(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求
取出的这个 产品是正品的概率．
解：
（1）．
1
（2）记事件A={乙箱 中取出的一个产品是正品}，事件B={甲箱中取出的2
个产品均为正品}，B={甲箱中取出的2个产 品均为次品}，B={甲箱中取出的2个
产品一正品一次品}．
23
．
．
∴P(A)＝P(B)P(A|B)
11
＋P(B)P(A|B)
22
＋P(B)P(A|B)
33
＝
.
∴所求的概率为

．