历届高中数学联合竞赛代数二试-高中数学数形结合法例题
高中数学选修2-2知识点总结
第一章 导数及其应用
?yf(
x
0
??x)?f(
x
0
)
?
1
. 平均变化率
?x?x
2. 导数(或瞬时变化率)
f
?
(x
0
)?lim
f(x
0
??x)?f(
x
0
)
?x?0
?x
f(x??x)?f(x)
导函数(导数):
f
?
(x)?lim
?x?0
?x
3. 导数的
几何意义:函数y=f(x)在点x
0
处的导数
f
?
(x
0
)就是曲线y=f(x)在点(x
0
,f(x
0
))处的切线的斜率
,即k=
f
?
(x
0
).
应用:求切线方程,分清所给点是否为切点
4. 导数的运算:
(1)几种常见函数的导数:
①(C)′=0(C为常数); ②(
x
?
)′=
?
x
?
?1
(x>0,
?
?Q); ③(sinx)′=cosx;
④(cosx)′=-sinx;
⑤(e
x
)′=e
x
;
⑥(a
x
)′=a
x
lna(a>0,且a≠1);
⑦
(lnx)?
1
1
;
⑧
(log
a
x)?
(a>0,且a≠1).
xlna
x
(2)导数的运算法则:
①[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x);
②[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);
③
[
u(
x)u
?
(x)v(x)?u(x)
?
v
?
(x)
]
?
?(v(x)?
?
0)
.
2
v(x)v(x)
5. 设函数
u?
?
(x)
在
点
x
处有导数
u?
x
?
?
?(x)
,函数
y?f(u)
在点
x
的对应点
u
处有导数
y?u
?f?
?
u
?
,则复合函数
y?f(
?(x))
在点
x
处也有导数,且
y'
x
?y'
u
?u'
x
或
f?
x
(
?
(x))?f
?(u)?
?
?(x)
。复合函数对自变量的导数,等于已
知函数对中间变量
的导数,乘以中间变量对自变量的导数。
6. 定积分的概念,几何意义,区边图形的面积的积分形式
表示,注意确定上方函数,下方函数的选取,以及区间的分
割.微积分基本定理
?
b<
br>a
f(x)dx?F(x)|
b
?F(b)?F(a)
.
a
物理上的应用:汽车行驶路程、位移;变力做功问题。
7. 函数的单调性 (1)设函数
y?f(x)
在某个区间(a,b)可导,如果
f
(x)<
br>?0
,则
f(x)
在此区间上为增函数;如果
f
(x)?0<
br>,
则
f(x)
在此区间上为减函数;
(2)如果在某区间内恒有f
(x)?0
,则
f(x)
为常数。
★★★反之,若已知可导
函数
y?f(x)
在某个区间上单调递增,则
在某个区间上单调递减,则
'<
br>''
f'(x)
?
0
,且不恒为零;可导函数
y?f(x)<
br>f'(x)
?
0
,且不恒为零.
1 5
求单调性的步骤:
①
确定函数
y?f(x)
的定义域(不可或缺,否则易致错);
②
解不等式
f'(x)?0或f'(x)?0
;
③ 确定并指出函数的单调区间(区间
形式,不要写范围形式),区间之间用“,”★隔开,不能用“
U
”连结。
8.
极值与最值
对于可导函数
f(x)
,在
x?a
处取得极值,则f'(a)?0
.
最值定理:连续函数在闭区间上一定有最大最小值.
若
f(x)
在开区间
(a,b)
有唯一的极值点,则是最值点。
求极值步骤:
①
确定函数
y?f(x)
的定义域(不可或缺,否则易致错);
②
解不等式
f'(x)=0
;
③ 检验
f'(x)=0
的根的两侧的
f'(x)
符号(一般通过列表),判断极大值,极小值,还是非极值点.
求最值时
,步骤在求极值的基础上,将各极值与端点处的函数值进行比较大小,切忌直接说某某就是最大或者最
小
。
9. 恒成立问题 “
f(x)?a?f(x)
max
?a
”和
“
f(x)?a?f(x)
min
?a
”,注意参数的取值中“=”能否取到
。
例1
y
1
?x
3
,过
P(2 ,
8
)
的切线方程为
3
3
32
例2 设函数
f(x)?2x?3ax?3bx?8c在
x?1,x?2
处取得极值。
(1)求
a,b
的值; (2)若对于任意的
x?[0,3]
,都有
f(x)?c
成立,求c的取
值范围。
(答:(1)a=-3,b=4;(2)
c?(??,?1)U(9,??)
) 2
1
3
x?2ax
2
?3a
2
x?b,0?a
?1.
3
(1)求函数
f(x)
的单调区间、极值.
(2)若当
x?[a?1,a?2]
时,恒有
|f
?
(x)
|?a
,试确定a的取值范围.
(答:(1)
f(x)
在(a,3a)上单
调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减;
x?a
例3
设函数
f(x)??
高二数学选修2-2《导数及其应用》检测题
一、
选择题
(每题5分,共60分)
1.方程
2x
3
?6x<
br>2
?7?0
在区间
(0,2)
内根的个数为
y
( )
A.0 B.1 C.2 D.3 <
br>2.函数
f(x)
的定义域为开区间
(a,b)
,导函数
f<
br>?
(x)
在
y?f
?
(x)
(a,b)
内的
图象
2 5
a
b
O
x
如图所示,
则函数
f(x)
在开区间
(a,b)
内有极小值点
( )
A. 1个 B.2个 C.3个 D. 4个
1
2
5
f(x)?x?3
(1,?)
2
2
,则过点P的切线的
斜率为 3.已知曲线 上一点P
A.1 B.-1 C.2
D.-2
32
4.
f(x)?ax?3x?2
,若
f?
(?1)?4
,则
a
的值等于
( )
19161310
A. B. C.
D.
3333
5.函数f(x)=3x-4x(x∈[0,1])的最大值是
( )
3
1
C.0 D.-1 2
6.如图是导函数
y?f(x)
的图象,那么函数
y?f(x
)
在
A.1 B.
是减函数( )
A.
(x
1
,x
3
)
B.
(x
2
,x
4
)
C.
(x
4
,x
6
)
D.
(x
5
,x
6
)
下面哪个区间
11
1
1???L?
n
?n
232?1
7.用数学归纳法证明
(
n?N
?
,n?1
)时,第一步应验证不等式( )
A.
1?
111
?21???2
2
B.
23
11111
1???31????3
C.
23
D.
234
8.如果10N的力能使弹簧压缩10cm,为在弹性限度内将弹簧从平
衡位置拉到离平衡位置6cm处,则克服弹力所做的功
为( )
(A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J
(D)0.18J
9.定积分
?
1
0
x
2
dx
的结果是 (
)
A.1
1
B.
3
1
C.
2
1
D.
6
?y
等于( )
?x
10.已知函数
f(x)?2x?1
的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+△
x
,1+△
y
),则
A.4 B.
4x
C.
4?2?x
D.
4?2?x
2
2f(x
0
?h)?f(x
0
?h)
11. 已知函数
y
?f(x)
在
x?x
0
处可导,则
lim
等于
( )
h?0
h
A.
f(x
0
)
B.2
f(x
0
)
C.-2
f(x
0
)
D.0
3 5
3
12.
函数
y?2x?
3
x?cosx
,则导数
y
=(
)
A.
6x?x
2
?
2
3
1
?
?sinx
B.
2x?x
3
?sinx
3
2
22
2
1
?
3
1
?
32
C.
6x?x?sinx
D.
6x?x?sinx
33
2
二、填空题(每题5分,共20分)
13.已知
2?
2345
,
3?
,
4?
,
5?
,…,由此你猜想
出第n个数为_______________
381524
32
f(x)?x?a
x?3x?9
在
x??3
时取得极值,
则
a
=
.
14. 已知函数
15、函数
f(x)?
x
?cosx
x?(0,2
?
)
的单调递减区间为
2
1
6.已知
f(x)
为一次函数,且
f(x)?x?2
?
1
0
f(t)dt
,则
f(x)
= _______.
2
三、解答题(要写出必要的解题步骤,书写规范,不得涂抹):
17.(本小题满
分10分)已知函数
f(x)?x?ax?bx?c
,当
x??1
时,
f(x)
的极大值为7;当
x?3
时,
f(x)
有
极小值.
求(1)
a,b,c
的值;
(2)函数
f(x)
的极小值.
18、(本小题满分12分)
已知
a?0,b?0且a?b?2,求证:
19、(本小题满分12分)
求由
y?4x
与直线
y?2x?4
所围成图形的面积.
20、(本小题满分12分)
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方
体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各
为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
21、(本小题满分12分)
已知函数
f(x)??x?3x?9x?a.
(1)求
f(x)
的单调递减区间;
(2)若
f(x)
在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值
22、(本小题满分12分)
已知
f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c
,在
x
=1与
x
=-2时,都取得极值。
⑴求
a,b
的值;
⑵若
x
?
[-3,2]都有<
br>f
(
x
)>
32
2
3
1?b1?a
中至少有一个小于2.
,
ab
11
?
恒成立,求
c
的取值范围。
c2
一、填空题:
1.函数
f(x)?xlnx
(x?0)
的单调增区间是______________________________;
4 5
2.已知函数
y?ax
3
?x
在
(??,??)
上单调递增,则
a
的取值范围是__________;
3
.函数
f(x)?2x
3
?ax
2
?1
在区间
(?
?,0)
和
(2,??)
内单调递增,且在区间
(0,2)
内单调递
减,则
a?
_________;
rr
rr
2
b
在区间
[?1,1)
内单调递增,则
t
的取值范围是4.已知
a?(
x,x?1)
,
b?(1?x,t)
,若函数
f(x)?ag
___
______________;
5.若函数
f(x)?x
3
?3ax2
?3[(a?2)x?1]
既有极大值又有极小值,则
a
的取值范围是
_________________________.
二、解答题:
6.已知函数
f(x)?ln(1?x)?x
,求
f(x)
的单调区间。
2x?b
7.已知函数
f(x)?
,求导函数
f
'
(x)
,并确定
f(x)
的单调区间。
2
(x?1)
a<
br>8.已知函数
f(x)?x??b
(x?0)
,其中
a
,b?R
,讨论函数
f(x)
的单调性。
x
9.函数
f
(x)?x
3
?6x?5
,
x?R.
⑴求函数
f(x)
的单调区间和极值;
⑵若关于
x
的方程
f(x)?a
有三个不同的实根,求实数
a
的取值范围。
参考答案
1
1.
[,??)
2.
[0,??)
3.
?6
4.
[5,??)
e
5.
a?2
,或
a??1
6.递增区间是
(?1,0)
;递减区间是
(0,??)
2[x?(b?1)]
7.
f
'
(x)??
;
3
(x?1)
当
b?2
时,递增区间是
(b?1,1)
,递减
区间是
(??,b?1)
和
(1,??)
;
当
b?2时,递增区间是
(1,b?1)
,递减区间是
(??,1)
和
(
b?1,??)
;
当
b?2
时,递减区间是
(??,1)
和
(1,??)
,无递增区间。
8.当
a?0
时,f(x)
在
(??,0)
与
(0,??)
内单调递增;
当
a?0
时,
f(x)
在
(??,?a)
与
(a
,??)
内单调递增,在
(?a,0)
与
(0,a)
内单调递减。
9.⑴递减区间是
(?2,2)
,递增区间是
(??,?2)与
(2,??)
;当
x??2
时,有极大值
5?42
,
当
x?2
时,有极小值
5?42
⑵
5?42?a?5?42
5 5