重点高中数学选修22第三章复数测试题

重点高中数学选修22第三章复
数测试题

———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：




2

选修2-2第三章复数测试题
时间：120分钟 总分：150分

第Ⅰ卷(选择题，共60分)
题号
答案
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

一、选择题(每小题5分，共60分)
?
1－i
?
?
2
＝( ) 1．i为虚数单位，
?
?
1＋i
?
A．－1 B．1 C．－i D．i
2．设复数z＝1＋2i，则z
2
－2z等于( )
A．－3 B．3 C．－3i D．3i
3．若复数z＝(x
2
－4)＋(x－2)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－2 B．0 C．2 D．－2或2
→
对应的复数是14.如右图，在复平面内，向量OP
→
向左平移一个单位后得到O→
－i，将OP
0
P
0
，则P
0
对
应 的复数为( )
A．1－i B．1－2i C．－1－i D．－i
5．已知a ，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，
则(a＋bi)
2
＝( )
A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i
6．复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则zz－z－1＝( )
A．－2i B．－i C．i D．2i
7.z是z的共轭复数，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，

3

则z＝( )
A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i
8．满足条件|z－1|＝|5＋12i|的复数z在复平面上对应Z点的轨迹
是( )
A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆
?
1－1
?
?
ab
?
??

< br>9．定义运算
?
＝ad－bc，则符合条件
?
cd
?
zi
?
?
z
?
＝4＋2i的复
数z为( )
A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i
1 0．已知复数z
1
＝a＋2i，z
2
＝a＋(a＋3)i，且z
1< br>z
2
>0，则实数a的
值为( )
A．0 B．0或－5 C．－5 D．以上均不对
11．复数z满足条件：|2z＋1|＝|z－i|，那么z对应的点的轨迹是
( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
12．设z 是复数，α(z)表示满足z
n
＝1的最小正整数n，则对虚数
单位i，α(i)等于 ( )
A．8 B．6 C．4 D．2
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．复数i
2
(1＋i)的实部是__________．
2＋i
14．复数z＝(i为虚数单位)，则z对应的点在第________象限．
1＋i
11－7i
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为1－2i
________．

4

16．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R
＋
，i是虚数单位)是方程x
2
－4x
＋5＝0的根．复数ω＝u＋3i(u∈R)满足 |ω－z|<25，则u的取值范围
为________．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70
分)
17．(10 分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m
2
－3(i＋1)m－2(1－i)
是：( 1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
18．(12分)计算：
?2＋i??1－i?
2
4＋5i
(1)； (2).
1－ 2i?5－4i??1－i?
?－1＋3i??1－i?－?1＋3i?
19.(12分)已知 复数z＝，ω＝z＋ai(a∈R)，
i
?
ω
?
当
?
z
?
≤2时，求a的取值范围．
??
20．(12分)在复平面内，复数 z
1
在连结1＋i和1－i的线段上移
动，设复数z
2
在以原点为圆 心，半径为1的圆周上移动，求复数z
1
＋
z
2
在复平面上移动范围 的面积．
21.(12分)设复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z·z＋(1－2i)·z＋(1 ＋
2i)·z≤3，求|z|的最大值和最小值．

22.(12分)关于x的方程 x
2
－(1＋3i)x＋(2i－m)＝0(m∈R)有纯虚根
x
1
.
(1)求x
1
和m的值；
(2)利用根与系数的关系猜想方程的另一个根x
2
，并给予证明；
(3) 设x
1
，x
2
在复平面内的对应点分别为A，B，求|AB|.


5

答案
2
?
1－i
?
?1－i?－2i
2
?
＝1．A
?
2
＝
2i
＝－1，故选A.
1＋i
?1＋i?
??
2．A z
2
－2z＝z(z－2)
＝(1＋2i)(2i－1)
＝－2－1＝－3.
3．A ∵z＝(x
2
－4)＋(x－2)i为纯虚数，
∴
{
x
2
－4＝0，x－2≠0，

?x＝－2.
→
，
→→
4．D 要求P
0
对应的复数，根据题意，只需知 道OP
0
而OP
0
＝OO
0
→
＋O
0P
0
，从而可求P
0
对应的复数．
→→→
∵O
0
P
0
＝OP，OO
0
对应的复数是－1，
→
对应的复数是－1＋(1－i)＝－i. ∴P
0
对应的复数即OP
0
5．D 由a－i与2＋bi互为共轭复数，可得 a＝2，b＝1.所以(a
＋bi)
2
＝(2＋i)
2
＝4＋4i－ 1＝3＋4i.
6．B ∵z＝1＋i，∴z＝1－i.
∴z·z＝|z|
2
＝2.
∴z·z－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.
7．D 设z＝a＋bi(a∈R，b∈R)，则z＝a－bi.
由z＋z＝2，得2a＝2，即a＝1；
又由(z－z)i＝2，得2bi·i＝2，即b＝－1.
故z＝1－i.
8．C 本题中|z－1|表示点Z到点(1,0)的距离，|5＋12i|表示复数5
＋12i的模长，所以| z－1|＝13，表示以(1,0)为圆心，13为半径的圆．注

6

意复数的模的定义及常见曲线的定义．
4＋2i
?
1－1
?
??
9．A 由定义，所以zi＋z＝4＋2i，所以z＝
?
z

zi
?
＝zi＋z，
1＋i
＝3－i.
10．C z1
z
2
＝(a＋2i)·[a＋(a＋3)i]＝(a
2
－2a －6)＋(a
2
＋5a)i，由
z
1
z
2
>0知z
1
z
2
为实数，且为正实数，因此满足
a
2
－2a －6>0，


{
a
2
＋5a＝0，
解得a＝－5(a＝0舍去)．
11．A 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则|2x＋2yi＋1|＝|x＋yi－i|，
即?2x＋1?
2
＋4y
2
＝x
2
＋?y－1?< br>2
，
所以3x
2
＋3y
2
＋4x＋2y＝0， < br>2
?
2
?
1
?
2
5
?
?< br>即
x＋
3
?
＋
?
y＋
3
?
＝
9
.
????
12．C ∵α(z)表示满足z
n
＝1 的最小正整数n，∴α(i)表示满足i
n
＝1的最小正整数n.
∵i
2
＝－1，i
4
＝1.∴α(i)＝4.


13.－1
解析：∵i
2
(1＋i)＝－1－i，
∴i
2
(1＋i)的实部为－1.
14．四
2＋i?2＋i?? 1－i?3－i
31
解析：∵z＝＝＝
2
＝
2
－
2
i，∴复数z对应点的
2
1＋i
31
坐标为
2
，－
2
，为第四象限的点．

7

15．8
11－7i
解析：∵a＋bi＝，
1－2i
?11－7i??1＋2i?
∴a＋bi＝＝5＋3i.
?1－2i??1＋2i?
根据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3，
故a＋b＝8.
16．(－2,6)
解析：原方程的根为x＝2±i.
∵a，b∈R
＋
，∴z＝2＋i.
∵|ω－z|＝|(u＋3i)－(2＋i)|＝?u－2?
2
＋4<25，
∴－217．解：∴z＝(2＋i)m
2
－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m
2
＋m
2
i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m
2
－3m－2)＋(m
2
－3m＋2)i，
∴(1)由m
2
－3m＋2＝0，得m＝1，或m＝2，
即m＝1或2时，z为实数．
(2)由m
2
－3m＋2≠0，得m≠1，且m≠2，
即m≠1，且m≠2时，z为虚数．
2
?
?
2m－3m－2＝0，
1
?
(3)由
2
得m＝－
2
，
?
m－3m＋2≠0，
?

1
即m＝－
2
时，z为纯虚数．
?2＋i??1－i?
2
?2＋i??－2i?2?1－2i?
18．解：(1)＝＝＝2.
1－2i1－2i1－2i
4＋5i?5－4i?i
(2)＝
?5－4i??1－i??5－4i??1－i?

8

i?1＋i?i－1
i
＝＝＝
2

1－i?1－i??1＋i?
11
＝－
2
＋
2
i.
2＋4i－?1＋3i?1＋i
19．解：∵z＝＝
i

i
＝－i(1＋i)＝1－i，
∴ω＝1＋(a－1)i，
ω
1＋?a－1?i
∴
z
＝
1－i
[1＋?a－1?i]?1＋i?2－a＋ai
＝＝.
22
?
2－a
?
2
?
a
?
2
?
ω?
??
?
＋
??
≤2， 由
z
≤2，得
?
???
2
?
?
2
?
解得1－3≤a≤1＋3.
故a的取值范围是[1－3，1＋3]．
20．解：设ω＝z
1
＋z
2
，z
2
＝ω－z
1
，|z
2
|＝|ω－z1
|，∵|z
2
|＝1，∴|ω
－z
1
|＝1.
上式说明对于给定的z
1
，ω在以z
1
为圆心，1为半径的圆上运动，
又z
1
在连结1＋i和1－i的线段上移动，
∴ω的移动范围的面积为：S＝2×2＋π×1
2
＝4＋π.

21.解：z·z＋(1－2i)·z＋(1＋2i)·z≤3
?x
2
＋y
2
＋(1－2i)(x＋yi)＋(1＋2i)(x－yi)≤3
?(x＋1)2
＋(y＋2)
2
≤8，即|z＋1＋2i|≤22，所以复数z对应的点
的集合是以C(－1，－2)为圆心，22为半径的圆
面(包括边界)．

9

又因为|OC|＝5<22，所以，原点在圆(x＋1)
2
＋(y＋2)
2
＝8的内
部，如下图．

5＋210 10＋410
所以，当z＝－－i时，|z|
max
＝5＋22；当z
55< br>＝0时，|z|
min
＝0.
22．解：(1)由题意，设x
1＝bi(b≠0且b∈R)，代入方程，得(bi)
2
－(1＋3i)·bi＋(2i－m )＝0，即－b
2
－bi＋3b＋2i－m＝0，即(－b
2
＋3b
2
?
?
－b＋3b－m＝0，
－m)＋(2－b)i＝0，所以
?< br>
?
2－b＝0，
?

?
?
b＝2，
解得
?
所以x
1
＝2i，m＝2.
?
m＝2.
?

(2)由根与系数的关系知x
1
＋ x
2
＝1＋3i，所以x
2
＝1＋3i－x
1
＝1＋
3i－2i＝1＋i.
证明：把x
2
＝1＋i代入原方程的左边，得(1＋i)< br>2
－(1＋3i)(1＋i)
＋(2i－2)＝2i－(－2＋4i)＋(2i－2)＝ 0，所以x
2
＝1＋i是方程x
2
－(1＋
3i)x＋(2i－2) ＝0的根．
(3)由(1)，(2)知，A(0,2)，B(1,1)，
所以|AB|＝?0－1?
2
＋?2－1?
2
＝2.

10