2017上海市高中数学竞赛-高中数学教学感动故事
第二章 概率 总结
一、知识结构
随机变量
条件概率
超几何分布
离散型随机变量
二项分布
数学期望
方差
正态分布
事件的独立性
连续性随机变量
离散型随机变量的数字特征
二、知识点
1.随机试验的特点:
①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个
③每次试验总是恰好出现这些结果中的一
个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个
结果．
2.分类
随机变量
（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果
的不同而
变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母
ξ、η等
表示。）
离散型随机变量
连续型随机变量
对于随机变量可能
取的值，可以取某一区间
在上面的射击、产品检验等例子中，对于随
内的一切值，这样的变量就
叫做连续型随机变
机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一
量.连续型随机变量的结果不可
以一一列出.
一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变
量．
3.离散型随机变量的分布列
一般的,设离散型随机变量X可能取的值为
x
1
,x
2
, ,x
i
,
,x
n
X取每一个值 xi(i=1,2, ）的概率
P(ξ=x
i
）＝P
i
，则称表
为离散型随机变量X
的概率分布，简称分布列
性质：
① pi≥0, i =1，2， … ；
② p
1
+ p
2
+…+p
n
= 1．
③ 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
4.求离散型随机变量分布列的解题步骤
例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中
得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率
为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.
解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值” ，依题可知，X可能的取值为：1,0
且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3
因此所求分布列为：
引出
二点分布
如果随机变量X的分布列为
：
其中0
超几何分布
一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物
品中任取n(n≤N)件,这n件中所含
这类物品件数X是一个离散型随机变量，
kn?k<
br>C
M
C
N?M
(k?0,1,2,
则它取值为k时的概率为<
br>P(X?k)?
n
C
N
,m)
，其中
m?min?
M,n
?
,
且
n≤N,M≤N,n,M,N?N
则称随机变量X的分布列
*
CC
C
0
M
n
N?M
n
N
CC
C
1
M
n?1
N?M<
br>n
N
CC
C
m
M
n?m
N?M
n<
br>N
为超几何分布列,且称随机变量X服从参数N、M、n的超几何分布
注意：
（1）超几何分布的模型是不放回抽样；
（2）超几何分布中的参数是N、
M、n，其意义分别是总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量
解题步骤：
例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球
除
颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率
解：设摸出红球的个数为X,则X服从超几何分布,其中
N?30,M?10,n?5
X可能的取值为0，1，2，3，4, 5.
由题目可知，至少摸到3个红球的概率为
324150
C
10
C
20
C
10
C
2
0
C
10
C
20
??
P(X≥3)?P(X?3)?P(X
?4)?P(X?5)
?
≈0.191
555
C
30
C
30
C
30
答：中奖概率为0.191.
条件概率
1.定义：对任意事件A和事件B，在已知事
件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率
P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率 2.事件的交（积）:由事件A和事件B同时发生所构成的事件D，称为事件A与事件B的交（或积
作D=A∩B或D=AB
3.条件概率计算公式:
P(AB)
P(B|A)?,P(A)?0.
P(A)
P(B|A)相当于把A看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:
在A发生的条件下B包含的样本点数
P(B|A)?
公
在A发生的条件下样本点数
式
推
AB包含的样本点数总数
AB包含的样本点数
?
?
导
A包含的样本点数总数
A包含的样本点数
过
程
P(AB)
?
P(A)
若P(A)?0，则P(AB)?P(B|A)?P(A)（乘法公式）；
0?P(B|A)?1.
解题步骤：
例题、10个产品中有7
个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二
取到次品的概率.
解：设 A = {第一个取到次品}，
B = {第二个取到次品}，
C
3
2
1
?P(AB)?
2
?.
C
15
10
3
P(A)?.
10
所以
，
P(B|A) = P(AB) P(A)= 29
答：第二个又取到次品的概率为29.
相互独立事件
1.定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概
率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立
说明
（1）判断两事件A、B
是否为相互独立事件，关键是看A（或B）发生与否对B（或A）
发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立.
（2）互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另
一事件发生的概率没影响.
（3）如果A、B是相互独立事件，则A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与
也都相互独立.
说明（1）使用时，
2.相互独立事件同时发生的概率公式
使用的前提条件；
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有
（2）此公式可作为
事件是否相互独立
P(A?B)?P(A)?P(B)
论依据，
P(A·B)=P(A) ·
P(B)是
如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，
B相互独立的充要条
等于每个事件发生的概率的积。即：
P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·…·P(An)
3.两事件是否互为独立事件的判断与证明
则称A，B相互独立
4.解题步骤
例题、一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放
回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的
颜色情况，记“第一个取出的是白球”为事件A，“第二个取
出的是白球”为事件B，试问A与
B是不是相互独立事件？
答：不是，因为件A发生时（即第一个取到白球），事件B的概率P（B）=13，而当事件A不
发 生
时（即第一个取到的是黑球），事件B发生的概率P（B）=23，也就是说，事件A发生与
否影响到事
件B发生的概率，所以A与B不是相互独立事件。
证明：由题可知，
P(B|A) =13，
P(B|A的补集)=23
因为
P(B|A)≠P(B|A的补集)
所以 A与B不是相互独立事件
P(AB)?P(A)P(B)
独立重复试验
1.定义：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
2.说明：
①这
种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中
的概率都是
一样的
②每次试验是在同样条件下进行；
③每次试验间又是相互独立的，互不影响.
前提
二项分布
1.
引入
:一般地，如果在1次实验中某事件A发生的
概率是P，那么在n次独立重复试
验中这个事件恰好发生k次的概率是
(k)?C
k
p
k
(1?p)
n?k
P
nn
P(
A
)
Pn(k)是[(1-P)+P]n的通项公式，所以也把上式叫做二项分布公式.
2.二项分布定义：
设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一
个随机变量．如
果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次
独立重复试验中
于是可得随机
变量ξ的概率分布如下：
kkn?k
P(
?
?k)
?C
n<
br>pq
（其中 k=0,1, ,n，q=1-p ）
00n
C
n
pq
11n?1
C
n
pq
kkn?k
C
n
pq
nn0
C
n
pq
1n?11r
n?rrn
n
n
nnn
由于
中的第 k+1
项，所以，称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中
n，p为参数，
并记：
kkn?k
C
n
pq
(a?b)
?
Ca
?
Cab
?
?
?
Cab
?
?
?
Cb
恰好是二项展开式
0n
n
kkn?k
C
n
pq
?B(k;n,p)
3.解题步骤
例题、某厂生产电子元
件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取
出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．
∴P(ξ
C
2
(95%)2=0.9025， =0)=
0
1
C
2
P(ξ=1)= (5%)(95%)=0.095，
2
P(ξ=2)=
C
2
(5%)2=0.0025．
因此，次品数ξ的概率分布是
ξ
P
0
0.9025
1
0.095
2
0.0025
几何分布
1.定义：
在独立重复试验中，某事件A第一次发生时所作的试验次数ξ也是一个取值为正整
数的随机变量。 “ξ
=k”表示在第k次独立重复试验时事件A第一次发生。如果
把第k次实验时事件A发生记为Ak，
p( Ak)=p，事件A不发生记为
A
k
，
P(
A
k
)=q(q=1-p)，那么
P(
?
?k)?P(A
1
?A
2
?A
3
???A
K?1<
br>?A
k
)
?P(A
1
)?P(A
2
)?P(
A
3
)???P(A
K?1
)?P(A
k
)
k?1
k?1
?(1?p)?p?q?p
（k=0,1,2…,q=1-p.）
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 1 2
3 … k …
pq2 … pqk-1 …
P p pq
称ξ服从几何分布，并记g(k,p)=p·qk-1
离散型随机变量的期望和方差
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称
Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…
为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望
又简称为期望．是离散型随机变量
说明：（1）数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
（2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1=p2=…=pn，
则有p1=p2
=…=pn = ，Eξ=(x1+x2+…+xn) ，所以ξ的数学期望又称为平均数、
均值
（3）随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：前者是常数，不依赖样本抽
取；
后者是一个随机变量.
Dξ=（x
1
-Eξ)
2
·P
1
+
（x
2
-Eξ)
2
·P
2
+ … +
（x
n
-Eξ)
2
·Pn + …
=E(ξ-Eξ)
2<
br>=Eξ
2
—（Eξ
叫随机变量ξ的均方差，简称方差。
说明：
①、D ξ的算术平方根√Dξ—— 随机变量ξ的标准差，记作σξ；
②、标准差与随机变量的单位相同；
③、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分
散的程度。
集中分布的期望与方差一览
两点分布
超几何分布
期望 方差
Dξ=pq，q=1-p
D（X）=np（1-p）*
（N-n）（N-1）
Eξ=p
M
E
?
?n?
N
?
服从参数为N,M,n的超几何分布
二项分布
ξ
～ B（n,p）
几何分布
p(ξ=k)=g(k，p)
Eξ=np
1p
不要求
Dξ=qEξ=npq，
q=1-p
D
?
?
q
p
2
正态分布
连续型随机变量
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑<
br>的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线．
概率密度曲线
频率
组距 总体在区间 内取值的概
a b
概率密度曲线的形状特征:中间高，两头低
产品尺寸（mm）
(a
正态分布
若概率密度曲线就是或近似地是函数
?
1
f(x)?e
2
??
(x?
?
)
2
2
?<
br>2
,x?(??,??)
的图像，
其中解析式
中的实数
?
、
?
(
?
?0)
是参数，分别表示总体
的平均数与标准差．
则其分布叫正态分布，记作
f( x
)的图象称为正态曲线
N(
?
,
?
)
2
E
?
?
?
,D?
?
?
2
=