高中数学选修2-2教师作书-2014年全国高中数学优质课
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选修2-2
第一章 导数及其应用目录
§1.1.1变化率问题(新授课)
§1.1.2导数的概念(新授课)
§1.1.3导数的几何意义(新授课)
§1.2.1几个常用函数的导数(新授课)
§1.2.2第一课时:基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则(新授课)
§1.2.2第二课时:复合函数的求导法则(新授课)
§1.3.1函数的单调性与导数(2课时)(新授课)
§3.3.2函数的极值与导数(2课时)(新授课)
§1.3.3函数的最大(小)值与导数(2课时)(新授课)
§1.4生活中的优化问题举例(2课时)(新授课)
§1.5.1曲边梯形的面积(新授课)
§1.5.2汽车行驶的路程(新授课)
§1.5.3定积分的概念(新授课)
§1.6微积分基本定理(新授课)
§1.7定积分的简单应用(两课时)(新授课)
导数及其应用题组训练(一)
导数及其应用题组训练(一)参考答案
导数及其应用题组训练(二)
导数及其应用题组训练(二)参考答案
导数及其应用题组训练(三)
导数及其应用题组训练(三)参考答案
第一章
导数及其应用
一、课程目标:
微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用开
创了详尽代数学过渡的
新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数、定积分都是微积分的
核心概
精品资料
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念,它们有极其丰富的实际
背景和广泛应用。在本章中,学生将通过大量实例,经历由平
均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程
,理解导数概念,了解导数在研究函数的单调
性、极值等性质中的作用。学生还将经历求曲边梯形的面积
、汽车行驶路程等实际问题的
过程,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习微积分打下基础。通过本
章的学习,学
生将体会导数的思想极其丰富内涵,感受导数在解决实际问题中的作用,了解微积分的文<
br>化价值。
二、学习目标:
1、变化率与导数
(1)、通过分析实例,经历
由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际
背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数
的思想及其内涵。
(2)、通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
2、导数的计算 <
br>(1)、能根据导数的定义,求函数
y?c,y?x,y?x,y?x,y?
23
1
,y?x
的导数。
x
(2)、能利用给出的基本初等函数的导数公式和
导数的四则运算法则求简单函数的导数,
能求简单的复合函数的导数。
(3)、会使用导数公式表。
3、导数在研究函数中的应用
(1)、结合实例,借
助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究
函数的单调性,会求不超过三次的多
项式函数的单调区间。
(2)、结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会
用导数球不
超过三次的多项函数的极大值、极小值。
4、生活中的优化问题举例
通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作
用。
5、定积分与微积分基本定理
(1)、通过实例,从问题情境中了解定积分的实际背景,借助
几何直观体会定积分的基本
思想,初步了解定积分的概念。
(2)、通过实例,直观了解微积分基本定理的含义。
(3)、应用定积分解决一些简单的几何和物理问题。
6、数学文化
收集有关微积
分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立
在人类文化发展中的意义和价值。
三、本章知识结构
精品资料
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平均速度
瞬时速度
平均变化率
瞬时变化率
割线斜率
切线斜率
基本初等函数导数
公式导数运算法则
曲边梯形的面积
导数
微积分基本定理
定积分
定积分在几何、物
理中的简单应用
导数与函数单调性的关
系与极(最)值的关系
变速直线运动的路程
四、课时安排:
1.1 变化率与导数
约4课时
1.2 导数的计算 约3课时
1.3 导数在研究函数中的应用 约4课时
1.4
生活中的优化问题举例 约3课时
1.5 定积分的概念
约4课时
1.6 微积分基本定理 约2课时
1.7 定积分的简单应用 约2课时
实习作业
约1课时
小结 约1课时
精品资料
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§1.1.1变化率问题
(新授课)
一、教学目标:
知识与技能:了解函数的平均变化率的概念,会求函数的平均变化率。
过程与方法:体会有特殊到一般的思维方法
情感、态度与价值观:感受由平均变化率刻画现实问题的过程。
二、教学重点与难点:
重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率;
难点:平均变化率的概念.
三、教学过程:
(一).创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象
,在数学中引入了函数,随着对函数
的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理
直接相关:
1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
2、求曲线的切线;
3、求已知函数的最大值与最小值;
4、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快
慢、最大(小)值等问题最
一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
(二).讲授新课
1、提出问题
问题1: 气球膨胀率
我们都
吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球
的半径增加越来越慢.从
数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积
V
(单位:
L
)与半
径
r
(单位:
dm
)之间的函数关系是
V(r)?
如果将半
径r表示为体积V的函数,那么
r(V)?
3
分析:
r(V)?
3
4
3
?
r
3
3V
4
?
3V
,
4
?
⑴
当V从0增加到1时,气球半径增加了
r(1)?r(0)?0.62(dm)
r(1)?r(0)
?0.62(dmL)
1?0
⑵
当V从1增加到2时,气球半径增加了
r(2)?r(1)?0.16(dm)
r(2)?r(1)
?0.16(dmL)
气球的平均膨胀率为
2?1气球的平均膨胀率为
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
h
精品资料
o
t
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思考:当
空气容量从
V
1
增加到
V
2
时,气球的平均膨胀率是多少?
r(V
2
)?r(V
1
)
V
2
?V
1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动
员相对于水面的高度
h
(单位:
m
)与起跳后的时间
t
(单
位:
s
)
存在函数关系
h
(
t
)= -4.9t
+6.5
t
+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速
v
度粗略地
描述其运动状态?
2
思考计算:
0?t?0.5
和
1?t?2
的平均速度
v
h(0.5)?h(0)
?4.05(ms)
;
0.5?0
h(2
)?h(1)
在
1?t?2
这段时间里,
v???8.2(ms)
2?1
65
探究:计算运动员在
0?t?
这段时间里的平均速度,并
思考以下问题:
49
在
0?t?0.5
这段时间里,
v?
⑴运动员在这段时间内使静止的吗?
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
探究过程:如图是函数
h
(
t
)= -4.9
t
+
6.5
t
+10的图像,结合图形可知,
h(
2
65
)?h
(0)
,
49
65
)?h(0)
49
?0(sm)
, 所以
v?
65
?0
49
65
虽然运动员在
0?t?
这段
时间里的平均速度为
0(sm)
,但实际情况是运动员仍然运
49
h(
动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
2、平均变化率概念:
(1).上述问题中的变化率可用式子
f(x
2
)?f(x
1<
br>)
表示,
x
2
?x
1
称为函数
f
(
x
)从
x
1
到
x
2
的平均变化
率
(2).若设
?x?x
2
?x
1
,
?f?f(x
2
)?f(x
1
)
(这里
?x看作是对于
x
1
的一个“增量”可
用
x
1
+<
br>?x
代替
x
2
,同样
?f??y?f(x
2
)?f(x
1
)
)
(3)。则平均变化率为
f(x
2)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?
??
x
2
?x
1
?x
?x?x
y
y=f(x)
f(x
2
)
△y
=f(x
2
)-f(x
1
)
精品资料
思考:观察函数
f
(
x
)的图象
平均变化率
f(x
2
)?f(x
1
)
?f
?
表示什么?
x?x
?x
21
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____________
直线
AB
的斜率
(三).典例分析
2
f(x
1
)
O
△x=
x
2
-x
1
x
1
x
2
x
例1.已知函数
f
(
x
)=
?x?x
的图象上的一
点
A(?1,?2)
及临近一点
?y
?
.
?x
2
解:
?2??y??(?1??x)?(?1??x)
, <
br>B(?1??x,?2??y)
,则
?y?(?1??x)
2
?(?1
??x)?2
??3??x
∴
?x?x
2
例2.
求
y?x
在
x?x
0
附近的平均变化率。
?y
(
x
0
??x)
2
?x
0
?
解:
?y?(x
0
??x)?x
0
,所以
?x?x
22
x
0
?2x
0
?x??x
2
?x
0
??2x
0
??x
?x
2
所以
y?x
在
x?x
0
附近的平均变化率为
2x
0
??x
2
2
2
(四).课堂练习
1.质点运动规律为
s?t?3
,则在时间
(3,3??t)
中相应的平均速度为 .
2
2.物体按照
s
(
t
)=3
t
+
t+4的规律作直线运动,求在4
s
附近的平均变化率.
3
3.过曲线
y
=
f
(
x<
br>)=
x
上两点
P
(1,1)和
Q
(1+Δ
x
,1+Δ
y
)作曲线的割线,求出当Δ
x
=0.1
时割线
的斜率.
(五).课时小结
1.平均变化率的概念
2.函数在某点处附近的平均变化率
(六).布置作业:课本第10页 习题1.1 A组 1
四、课后反思
精品资料
2
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§1.1.2导数的概念
(新授课)
一、教学目标:
知识与技能:
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
2.理解导数的概念,会求函数在某点的导数
过程与方法:经历由实例抽象出导数概念的过程
,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的
思想及其内涵。
情感、态度与价值观:经历由平均变
化率到瞬时变化率刻画现实问题问题的过程,感受导
数在现实问题中的应用,初步认识导数的应用价值。
二、教学重点与难点:
重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念;
难点:导数的概念.
三、教学过程:
(一).创设情景
1、复习提问:平均变化率
2、探究:计算运动员在
0?t?
65
这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
49
65
)?h(0)
,
49
h
⑴运动员在这段时间内使静止的吗?
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
探究过程:如图是函数
h
(
t
)= -4.9
t
+
6.5
t
+10的图像,结合图形可知,
h(
2
65
)?h
(0)
49
?0(sm)
, 所以
v?
65
?0
4
9
65
虽然运动员在
0?t?
这段时间里的平均速度为
0(sm)<
br>,但实际
49
h(
情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能
精确描
述运动员的运动状态.
(二).新课讲授
1.瞬时速度
精品资料
o
t
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________________________________
我们把物体在某一时刻的速度
称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某
一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢
?比如,
t?2
时的瞬时速度是
多少?考察
t?2
附近的情况:
(引导学生观察课本第4页表格)
思考:当
?t
趋近于0时,平均速度
v
有什么样的变化趋势? 结论:当
?t
趋近于0时,即无论
t
从小于2的一边,还是从大于2的一
边趋近于2时,
平均速度
v
都趋近于一个确定的值
?13.1
. <
br>从物理的角度看,时间
?t
间隔无限变小时,平均速度
v
就无限趋近于
史的瞬时速度,
因此,运动员在
t?2
时的瞬时速度是
?13.1ms
h(2??t)?h(2)
??13.1
?t?0
?t
表示“当
t?2
,
?t
趋近于0时,平均速度
v
趋近于定
值
?13.1
”
为了表述方便,我们用
lim
小结:局部以匀速代
替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速
度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。<
br>2.导数的概念
从函数
y
=
f
(
x
)在<
br>x
=
x
0
处的瞬时变化率是:
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?f
?
lim
?x?0?x?0
?x?x
'
'
我们称它为函数
y?
f(x)
在
x?x
0
出的导数,记作
f(x
0
)<
br>或
y|
x?x
0
,即
lim
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?x
f(x)?f(x
0
)
x?x
0
说
明:(1)导数即为函数
y
=
f
(
x
)在
x
=
x
0
处的瞬时变化率
(2)
?x?x?x
0
,当
?x?0
时,
x?x
0
,所以
f
?
(x
0
)?lim
(三).典例分析
2
例1.(1)求函
数
y
=3
x
在
x
=1处的导数.
2
分析
:先求Δ
f
=Δ
y
=
f
(1+Δ
x
)-<
br>f
(1)=6Δ
x
+(Δ
x
)
再求
?x?0
?f?f
?6??x
再求
lim?6
?x?0
?x?x
解:法一 定义法(略)
3x
2
?3?
1
2
3(x
2
?1
2
)
?lim?lim3(x?
1)?6
法二:
y
?
|
x?1
?lim
x?1x?1x?1
x?1x?1
2
(2)求函数
f
(
x<
br>)=
?x?x
在
x??1
附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??3??x
解:
?x?x
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??lim
(3??x)?3
f
?
(?1)?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
例2.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原
油进行冷却和加热,
o
如果第
xh
时,原油的温度(单位:
C
)为
f(x)?x?7x?15(0?x?8)
,计算第
2h
时
2
精品资料
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______________________________
和第
6h
时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解:在第
2h
时和第
6h
时,原油温度的瞬时变化率就是
f(2)
和
f(6)
''
f(2??x)?f(x
0
)
?f
?
?x?x
(2??x)
2
?7(2??x)?15?(2
2
?7?
2?15)
???x?3
?x
?f
所以
f
?(2)?lim?lim(?x?3)??3
?x?0
?x
?x?0<
br>同理可得:
f
?
(6)?5
在第
2h
时和
第
6h
时,原油温度的瞬时变化率分别为
?3
和5,说明在
2h附近,原油
oo
温度大约以
3Ch
的速率下降,在第
6h
附近,原油温度大约以
5Ch
的速率上升.
'
注:一般地,
f(
x
0
)
反映了原油温度在时刻
x
0
附近的变化情况.
根据导数定义,
(四).课堂练习
1.质点运动规律为
s?t?3
,求质点在
t?3
的瞬时速度为.
3
2.求曲线
y
=<
br>f
(
x
)=
x
在
x?1
时的导数.
3.例2中,计算第
3h
时和
第
5h
时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
(五).课时小结
1.瞬时速度、瞬时变化率的概念
2.导数的概念
(六).布置作业: 课本第10页 习题1.1 A组 2.
3. 4
四、课后反思
2
精品资料
_________________________
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§1.1.3导数的几何意义
(新授课)
一、教学目标:
知识与技能:理解导数的几何意义,会求曲线的切线方程。
过程与方法:经历导数几何意义的
学习过程,感受极限思想,体会用导数的几何意义求曲
线的切线方程的方法,体会用导数的几何意义分析
图像上点的变化情况的方法。
情感、态度与价值观:通过本节的学习,体会导数与曲线的联系,初步认
识数学的科学价
值,发展理性思维能力。
二、教学重点与难点
重点:曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义;
难点:导数的几何意义.
三、教学过程:
(一).创设情景
复习提问:1、平均变化率、割线的斜率
2、瞬时速度、导数
我们知道,导数表示函数
y
=
f
(<
br>x
)在
x
=
x
0
处的瞬时变化率,反映了函数
y
=
f
(
x
)在
x
=
x
0附近的变化情况,导数
f
?
(x
0
)
的几何意义是什么
呢?
(二).新课讲授
1、曲线的切线及切线的斜率:观察课本第7页图1.1-2,当<
br>P
n
(x
n
,f(x
n
))(n?1,2,3,4)
沿
着曲线
f(x)
趋近于点
P(x
0
,f(x0
))
时,割线
PP
n
的变化趋势是什么?
我们可以
发现,当点
P
n
沿着曲线无限接近点
P
即Δ
x
→0
时,割线
PP
n
趋近于确定的位
置,这个确定位置的直线
PT
称为曲线在点
P
处的切线.
精品资料
________
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__
问题:⑴割线
PP
n
的斜率
k
n
与切线PT
的斜率
k
有什么关系?
⑵切线
PT
的斜率
k
为多少?
f(x
n
)?f(
x
0
)
,当点
P
n
沿着曲线无限接近点
P
时,
x
n
?x
0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
k
n
无限趋近于切线
PT
的斜率
k
,即
k?lim?f
?
(x
0
)
?x?0
?x
容易知道,割线
PP
n
的斜率是
k
n
?说明:(1)设切线的倾斜角为α,那么当Δ
x
→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点<
br>P
处的切
线的斜率.
这个概念:
①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在
x?x
0
处的导数.
(2)曲线在某点处的切线
:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判
断与求解.如有极限,则在此点有切线,
且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)
曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以
有多个,甚至可以无穷多个.
2、导数的几何意义:
函数
y
=
f
(
x
)在
x
=
x
0
处的导数等于在该点<
br>(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率,
即 f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0??x)?f(x
0
)
?k
?x
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?k
,得到曲线在
?x
说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出
P
点的坐标;
②求出函数在点
x
0
处的变
化率
f
?
(x
0
)?lim
点
(x
0,f(x
0
))
的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
3、导函数:
由函数
f
(
x
)在
x
=<
br>x
0
处求导数的过程可以看到,当时,
f
?
(x
0<
br>)
是一个确定的数,那么,
当
x
变化时,便是
x
的
一个函数,我们叫它为
f
(
x
)的导函数.记作:
f
?(x)
或
y
?
,
即:
f
?
(x)
?y
?
?lim
?x?0
?x?0
f(x??x)?f(x)
?x
注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
4、函数
f(x)<
br>在点
x
0
处的导数
f
?
(x
0
)<
br>、导函数
f
?
(x)
、导数 之间的区别与联系。
(1)函
数在一点处的导数
f
?
(x
0
)
,就是在该点的函数的改变
量与自变量的改变量之比的
极限,它是一个常数,不是变数。
(2)函数的导数,是指某一区间内任意点
x
而言的, 就是函数f(x)的导函数
'
(3)函数
f(x)
在点
x
0
处的导数
f(x
0
)
就是导函数
f
?
(x)
在
x?
x
0
处的函数值,这也是
求
函数在点
x
0
处的导数的方法之一。
(三).典例分析
2
例1:(1)求曲线
y
=
f
(
x
)=
x
+1在点
P
(1,2)处的切线方程.
2
(2)求函数
y
=3
x
在点
(1,3)
处的切线方程.
精品资料
p>
_________________________________________
__________________________________________________
___________________
[(1??x)
2
?1]?(1
2
?1)2?x??x
2
?lim?2
, 解:(1)
y
?
|
x?1
?lim
?x?0?x?0
?x?x
所以,所求切
线的斜率为2,因此,所求的切线方程为
y?2?2(x?1)
即
2x?y?0
3x
2
?3?1
2
3(x
2
?1
2<
br>)
?lim?lim3(x?1)?6
(2)因为
y
?
|<
br>x?1
?lim
x?1x?1x?1
x?1x?1
所以,所求切线的斜
率为6,因此,所求的切线方程为
y?3?6(x?1)
即
6x?y?3?0
例2.如图课本第8页图1.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
h
(x)??4.9x
2
?6.5x?10
,根据图像,请描述、比较曲线
h(
t)
在
t
0
、
t
1
、
t
2
附近的变化
情况.
解:我们用曲线
h(t)
在
t
0、
t
1
、
t
2
处的切线,刻画曲线
h(t)<
br>在上述三个时刻附近的变
化情况.
(1) 当
t?t
0
时,
曲线
h(t)
在
t
0
处的切线
l
0
平行于
x
轴,所以,在
t?t
0
附近曲线比较
平坦,几乎没有升降
.
(2) 当
t?t
1
时,曲线
h(t)
在
t<
br>1
处的切线
l
1
的斜率
h
?
(t
1
)?0
,所以,在
t?t
1
附近曲线下
降,即函数
h(x)??4.9x?6.5x?10
在
t?t
1
附近单调递减.
(3) 当
t?t
2
时,曲线
h(t)
在
t
2
处的切线
l
2
的斜率
h
?
(t
2)?0
,所以,在
t?t
2
附近曲线
2
下降,即函数<
br>h(x)??4.9x?6.5x?10
在
t?t
2
附近单调递减.
2
从图3.1-3可以看出,直线
l
1
的倾斜程度小于直线
l
2
的倾斜程度,这说明曲线在
t
1
附近
比在
t<
br>2
附近下降的缓慢.
例3.如图课本第9页图1.1-4,它表示人体血管中药物浓度
c?f(t)
(单位:
mgmL
)
随时间
t
(单位
:
min
)变化的图象.根据图像,估计
t?0.2,0.4,0.6,0.8
时,血管中药
物浓度的瞬时变化率(精确到
0.1
).
解:血管中某一时
刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度
f(t)
在此时刻的导数,从图
像上看,它表
示曲线
f(t)
在此点处的切线的斜率.
如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线
,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此
时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.
作
t?0.8
处的切线,并在切线上去两点,如
(0.7,0.91)
,
(1.
0,0.48)
,则它的斜率为:
0.48?0.91
??1.4
1.0?0.7
所以
f
?
(0.8)??1.4
k?
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:
0.2
t
药物浓度瞬时变化率
f(t)
(四).课堂练习
3<
br>1.求曲线
y
=
f
(
x
)=
x
在点
(1,1)
处的切线;
精品资料
0.4
0
0.6
-0.7
0.8
-1.4
'
0.4
__________________________________________
__________________________________________________
__________________
2.求曲线
y?x
在点
(4,2)
处的切线.
(五).课时小结
1.曲线的切线及切线的斜率;
2.导数的几何意义
(六).布置作业:
课本第10页 习题1.1 A组 5,6
四、课后反思
§1.2.1几个常用函数的导数
(新授课)
一、教学目标:
知识与技能:能够用导数的定义求几个常用函数的导数,会利用它们解决简单的问题。
过程与方法:通过本节的学习,掌握利用导数的定义求导数的方法。
情感、态度与价值观:通
过本节的学习,进一步体会导数与物理知识之间的联系,提高数
学的应用意识。
二、教学重点与难点:
1
、
y?x
的导数公式及应用
x
1
2
难点:五种常见函数
y?c
、
y?x
、
y?x
、
y?
、
y?x
的导数公式
x
重点:五
种常见函数
y?c
、
y?x
、
y?x
、
y?
2
三、教学过程:
精品资料
________________
__________________________________________________
____________________________________________
(一).创设情景
我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动
物体在某
一时刻的瞬时速度.那么,对于函数
y?f(x)
,如何求它的导数呢? <
br>由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所
以求导数总是
归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某
些函数的导数,这一单元我们
将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函
数的导数.
(二).新课讲授
1.函数
y?f(x)?c
的导数
?yf(x??x)?f(x)c?c
???0
?x?x?x
?y
所以
y
?
?lim?lim0?0
?x?0
?x
?x?0
y
?
?0
表示函数
y?c
图像上每一点处
的切线的斜率都为0.若
y?c
表示路程关于时间的
函数,则
y
?<
br>?0
可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.
2.函数
y?f(x)?x
的导数
?yf(x??x)?f(x)x??x?x
因为
???1
?x?
x?x
?y
所以
y
?
?lim?lim1?1
?
x?0
?x
?x?0
y
?
?1
表示函数
y?x图像上每一点处的切线的斜率都为1.若
y?x
表示路程关于时间的
函数,则y
?
?1
可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.
2
3.函数
y?f(x)?x
的导数
根据导数定义,因为
?yf(x??x)?f(x)(x??x)
2
?x
2
??
因为
?x?x?x
x
2
?2x?x?(?x)
2
?x
2
??2x??x
?x
?y
所以
y
?
?l
im?lim(2x??x)?2x
?x?0
?x
?x?0
y?
?2x
表示函数
y?x
2
图像上点
(x,y)
处的切线的斜率都为
2x
,说明随着
x
的变化,切
线的斜率也在变
化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当
x?0
22
时,随
着
x
的增加,函数
y?x
减少得越来越慢;当
x?0
时,随
着
x
的增加,函数
y?x
2
增加得越来越快.若
y?x表示路程关于时间的函数,则
y
?
?2x
可以解释为某物体做变
速运动,它在时刻
x
的瞬时速度为
2x
.
1
4.函数
y?f(x)?
的导数
x
11
?
?yf(x??x)?f(x)
x??xx
因为
??
?x?x?x
精品资料
______________
__________________________________________________
______________________________________________
x?(x??x)1
??
2
x(x??x)?xx?x??x?y11
所以
y
?
?lim?lim(?
2
)??2
?x?0
?x
?x?0
x?x??xx
5.函数<
br>y?f(x)?x
的导数
?
?yf(x??x)?f(x)x??x?x
??
?x?x?x
(x??x)?x
(x??x?x)(x??x?x)
?
?
?x(x??x?x)
?x(x??x?x)
?y11
?lim?
所以y
?
?lim
?x?0
?x
?x?0
x??x?x2x
因为
推
广:若
y?f(x)?x(n?Q)
,则
f
?
(x)?nx
(三).课堂练习:课本P
13
探究,P
14
探究
(四).课时小结:
函数
n*
n?1
导数
y?c
y?x
y?x
2
y
'
?0
y
'
?1
y
'
?2x
y?
1
x
y?x
1
2
x
1
y
?
?
2x
y
'
??
y
'
?nx
n?1
y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)
(五).布置作业:习题1.2 第1题
四、课后反思
§1.2.2第一课时:基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则
(新授课)
一、教学目标:
知识与技能:能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式,求简单函数的导数。
过程与方法:掌握运用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式来求导数的方法。
情感、态
度与价值观:通过利用导数方法解决实际问题的过程,体会导数在现实生活中的
应用价值,提高数学应用
能力。
二、教学重点与难点:
精品资料
___________
__________________________________________________
_________________________________________________
重点:基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
难点:基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用
三、教学过程:
(一).创设情景
复习:五种常见函数
y?c
、
y?x
、
y?x
、
y?
2
1
、
y?x
的导数公式及
应用
x
(二).新课讲授
1、基本初等函数的导数公式表
函数 导数
y?c
y
'
?0
n*'n?1
y?f(x)?x(n?Q)y?nx
y?sinx
y
'
?cosx
y?cosx
y
'
??sinx
'x
x
y?a?lna(a?0)
y?f(x)?a
y?f(x)?e
x
y
'
?e
x
1
f(x)?log
a
x
f(x)?log
a
xf
'
(x)?(a?0且a?1)
xlna
1
f(x)?lnx
f
'
(x)?
x
2、导数的运算法则
导数运算法则
精品资料
__________________________________________________
__________________________________________________
__________
1.
?
f(x)?g(x)
?
?f
'
(x)?g
'
(x)
2.
?
f(x)?g(x
)
?
?f(x)g(x)?f(x)g(x)
''
'
'<
br>?
f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'<
br>(x)
?(g(x)?0)
3.
??
2
?
g(x)
?
?
g(x)
?
推论:
?
cf(x)
?<
br>?cf
'
(x)
(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)
(三).典例分析
例1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为
5%
,物价
p
(单位:元)与时间
'
'
t
(单位:年)有如下函
数关系
p(t)?p
0
(1?5%)
t
,其中
p
0
为
t?0
时的物价.假定某种
商品的
p
0
?1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到
0.01)?
解:根据基本初等函数导数公式表,有
p(t)?1.05ln1.05
所以
p(10)?1.05ln1.05?0.08
(元年)
因此,在第10个年头,这种商品的价格约为0.08元年的速度上涨.
例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数.
(1)
y?x?2x?3
3
'10
't
11
?
;
1?x1?x
(3)
y?x?sinx?lnx
;
x
(4)
y?
x
;
4
1?lnx
(5)
y?
.
1?lnx
2x
(6)
y?(2x?5x?1)?e
;
sinx?xcosx
(7)
y?
cosx?xsinx
'3'3'''2
解:(1)
y?(x?2x?3)?(x)?(2x)?(3)?3x?2<
br>,
(2)
y?
y
'
?3x
2
?2
。
1
'
1
'
(1?x)
'
(1?x)
'
)
?()
?
(2)
y?(
?
22
1?x1?x(1?x)(1?x)
11
?
?
2x
2
?
2x
2
(1?x)(1?x)
111
?[?]
2x(1?x)
2
(1?x)
2
'
精品资料
_____________________________________________
__________________________________________________
_______________
(1?x)
2
?(1?x)
2
??
2
(1?x)
2x
(1?x)x
?
2
x(1?x)
1
(1?x)x
x(1?x)
2
'''
(3)
y?(x?sinx?lnx)?[(x?lnx)?sin
x]
?(x?lnx)
'
?sinx?(x?lnx)?(sinx)
'
1
?(1?lnx?x?)?sinx?(x?lnx)?cosx
x
?sinx?lnx?sinx?x?lnx?cosx
y
'
?sinx?lnx?sinx?x?lnx?cosx
y<
br>'
?
x
'
x
'
?4
x
?x?(4<
br>x
)
'
1?4
x
?x?4
x
ln41?xl
n4
??
(4)
y?(
x
)?
,
4(4
x
)
2
(4
x
)
2
4
x
1?xl
n4
。
y
'
?
x
4
1
1?lnx
'
212
x
(5)
y
'
?(
)?(?
1?)
'
?2()
'
?2??
22
1?lnx1?lnx1
?lnx(1?lnx)x(1?lnx)
2
y
'
?
x(
1?lnx)
2
'2'x2x'
(6)
y?(2x?5x?1)?e?(2x
?5x?1)?(e)
'
?(4x?5)?e
x
?(2x
2
?5x?1)?e
x
?(2x
2
?x?4)?e
x
,
y
'
?(2x
2
?x?4)?e
x
。
sinx?xcosx
''
(7)
y?()
cosx?x
sinx
(sinx?xcosx)
'
?(cosx?xsinx)?(sinx?x
cosx)?(cosx?xsinx)
'
?
(cosx?xsinx)<
br>2
(cosx?cosx?xsinx)?(cosx?xsinx)?(sinx?xcosx
)?(?sinx?sinx?xcosx)
?
(cosx?xsinx)
2
?
xsinx?(cosx?xsinx)?(sinx?xcosx)?xcosx
(cosx?xsinx)
2
x
2
x
2
'
?y?
(cosx?xsinx)
2
(cosx?xsinx)
2
【点评】
精品资料
_____________________
__________________________________________________
_______________________________________
①
求导数是在定义域内实行的.
② 求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心.
例3、
日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不
断增加.已知将1吨水净化
到纯净度为
x%
时所需费用(单位:元)为
c(x)?
5284
(80?x?100)
100?x
求
净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率:(1)
90%
(2)
98%
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
(1)
5284
'
5284
'
?(100?x)?528
4?(100?x)
'
c(x)?()?
100?x(100?x)
2
0?(100?x)?5284?(?1)5284
??
22
(100?x)(100?x)
5284
'
?52.84
,所以,纯净度为<
br>90%
时,费用的瞬时因为
c(90)?
2
(100?90)
'
变化率是52.84元吨.
(2) 因为
c(98)?
'
528
4
?1321
,所以,纯净度为
98%
时,费用的瞬时变
(100?
90)
2
化率是1321元吨.
函数
f(x)
在某点处导数
的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知,
c
'
(98)?25c'
(90)
.它表示纯净度为
98%
左右时净化费用的瞬时变化率,大约
是纯净度为
90%
左右时净化费用的瞬时变化率的25倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净
化费用
就越多,而且净化费用增加的速度也越快.
(四).课堂练习:1.课本P
18
练习1
432
2.已知曲线
C
:
y
=3
x
-2
x
-9
x
+4,求曲线
C
上横坐标为1的点的切线方程;
(
y
=-12
x
+8)
(五).课时小结:
(1)基本初等函数的导数公式表
(2)导数的运算法则
(六).布置作业:习题1.2 A组 4(1)(2)(3)
四、课后反思:
精品资料 <
/p>
________________________________________
__________________________________________________
____________________
§1.2.2第二课时:复合函数的求导法则
(新授课)
一、教学目标
知识与能力:理解并掌握复合函数的求导法则.
过程与方法:掌握运用导数的运算法则和导数公式来求复合函数导数的方法。
情感、态度与价值观:体会导数在现实生活中的应用价值,提高数学应用能力。
二、教学重点与难点:
重点:复合函数的求导方法:复合函数对自变量的导数,等于已知函数
对中间变量的导数
乘以中间变量对自变量的导数之积.
难点:正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确.
三、教学过程
(一).创设情景,复习引入
1、基本初等函数的导数公式表(学生填表)
函数 导数
y?c
y
'
?0
y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)
y
'
?nx
n?1
y?sinx
y
'
?cosx
y?cosx
y
'
??sinx
y
'
?a
x
?lna(a?0)
y?f(x)?a
x
x
'x
y?f(x)?e
y?e
1
f(x)?log
a
x
f(x)?log
a
xf
'
(x)?(a?0且a?1)
xlna
1
'
f(x)?lnx
f(x)?
x
2、导数的运算法则
导数运算法则
精品资料
_____
__________________________________________________
__________________________________________________
_____
1.
?
f(x)?g(x)
?
?f
'
(x)?g
'
(x)
2.
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)g(x)?f(x)g(x)
''
'
'
?<
br>f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x
)
?(g(x)?0)
3.
??
2
?
g(x)
?
?
g(x)
?
推论:
?
cf(x)
?<
br>?cf(x)
(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)
'
'
'
(二).新课讲授
复合函数的概念 一般
地,对于两个函数
y?f(u)
和
u?g(x)
,如果通过变量
u<
br>,
y
可以表示成
x
的函数,那么称这个函数为函数
y?f(u
)
和
u?g(x)
的复合函数,记作
y?f
?
g(x)?
。
复合函数的导数 复合函数
y?f
?
g(x)
?
的导数和函数
y?f(u)
和
u?g(x)
的导数
间的关
系为
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?<
br>,即
y
对
x
的导数等于
y
对
u
的导
数与
u
对
x
的导数的乘积.
?
?f
?
?
g(x)
?
?g
?
(x)
fg(x)
?
若
y?f
?
g(x)
?
,则
y
?
?
?
??
??
(三).典例分析
例1、求下列函数的导数: (1)
y?(2x?3)
;(2)
y?e
2
2?0.05x?1
;
2
(3)
y?sin(
?
x?
?
)<
br>(其中
?
,
?
均为常数).
解:(1)函数
y?(2x?3)
可以看作函数
y?u
和
u?2x?3
的复合函数。
根据复合
函数求导法则有
y
x
?
?y
u<
br>?
?u
x
?
=
(u)(2x?3)?4u?8x?12
。
2''
(2)函数
y?e
函数求导法则有
?0.05x?1
可以看作函数
y?e
和
u??0.05x?1
的复合函数。根据复合
'u?0.05x?1
u
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?
=
(e)(?0.05x?1)??0.0
05e??0.005e
u'
。
(3)函数
y?sin(
?
x?
?
)
可以看作函数
y?sinu
和
u?
?<
br>x?
?
的复合函数。根据复
合函数求导法则有
yx
?
?y
u
?
?u
x
?
=
(
sinu)(
?
x?
?
)?
?
cosu?
?
cos(
?
x?
?
)
。
''
例2、求
y?sin(tanx)
的导数.
解:
y?[sin(tanx)]?cos(tanx)?sec(x)?2x
'2'222
2
?2xcos(tanx
2
)?sec
2
(x
2
)
y
'
?2xcos(tanx
2)?sec
2
(x
2
)
【点评】
求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内层
精品资料
_______________________________________
__________________________________________________
_____________________
逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.
例3、求
y?
x?a
x?2ax
2
的导数.
1?
x
2
?2ax?(x?a)?
解:
y?
'
2x?2a
2x
2
?2ax
x
2
?2ax
a
2<
br>x
2
?2ax
,
???
22
22
(x?2
ax)
x?2axx?2ax
?a
2
a
2
x
2?2ax
y??
22
(x?2ax)
'
【点评】本题
练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理.
44
例4、求
y
=sin
x
+cos
x
的导数.
【解法一】
y
=sin
x
+cos
x
=(sin
x
+cos
x
)-2sinco
s
x
=1-
=1-
4422222
1
2
sin2
x
2
131
(1-cos 4
x
)=+cos
4
x
.
y
′=-sin 4
x
.
444
4433
【解法二】
y
′=(sin
x
)′+(cos
x
)′=4 sin
x
(sin
x
)′+4 cos
x
(cos
x
)′
3322
=4 sin
x
cos
x
+4 cos
x
(-sin
x
)=4
sin
x
cos
x
(sin
x
-cos
x
)
=-2 sin 2
x
cos 2
x
=-sin 4
x
【点评】
解法一是先化简变形,
简化求导数运算,要注意变形准确.解法二是利用复合函数求
导数,应注意不漏步.
例5、曲线
y
=
x
(
x
+1)(2-
x
)有两条平行于直线
y
=
x
的切线,求此二切线之
间的距离.
3 2
2
【解】
y
=-
x
+
x
+2
x
y
′=-3
x
+2
x
+2
令
y
′=1即3
x
-2
x
-1=0,解得
x
=-
于是切点为
P
(1,2),
Q
(-
2
1
或
x
=1.
3
114
,-),
327
过点
P
的切线方程为,
y
-2=
x
-1即
x
-
y
+1=0.
显然两切线间的距离等于点
Q
到此切线的距离,故所求距离为
114
|???1|
16
327
=
2
.
27
2
(四).课堂练习
1.求下列函数的导数(1)
y =sin
x
+sin3
x
;(2)
y?
33
s
in2x
2
;(3)
log
a
(x?2)
2x?1
精品资料
__
__________________________________________________
__________________________________________________
________
2.求
ln(2x?3x?1)
的导数
(五).课时小结:
1、复合函数的求导法则.
2、运用导数的运算法则和导数公式来求复合函数导数的方法。
(六).布置作业:习题1.2 A组5、6
四、课后反思
2
§1.3.1函数的单调性与导数(2课时)
(新授课)
一、教学目标:
知识与技能:借助与函数的图像了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数
研究函数的
单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
过程与方法:通过本节的学习,掌握用导数研究函数单调性的方法。
情感、态度与价值观:通
过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程,体会知识间的相
互关系和运动变化的观点,提高理性思维
能力。
二、教学重点与难点:
重点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间
难点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间
三、教学过程:
(一).课题引入
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠
与减、增
减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,
我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从
中体会导数在
研究函数中的作用.
(二).新课讲授
1.提出问题:观察课本22页图1.3-1 <
br>(1),它表示跳水运动中高度
h
随时间
t
变化的函数
h(t
)??4.9t?6.5t?10
的图像,
(2)表示高台跳水运动员的速度
v随时间
t
变化的函数
v(t)?h(t)??9.8t?6.5
的图像.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?
通过观察图像,我们可以发现:
(1)、运动员从起点到最高点,离水面的高度
h<
br>随时间
t
的增加而增加,即
h(t)
是增函数.相
应地,v(t)?h(t)?0
.
(2)、从最高点到入水,运动员离水面的高度
h<
br>随时间
t
的增加而减少,即
h(t)
是减函数.相
应地,v(t)?h(t)?0
.
2.函数的单调性与导数的关系
'
'
'
2
精品资料
__________
__________________________________________________
__________________________________________________
观察下面课本23页图1.3-2函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
<
br>'
如图,导数
f(x
0
)
表示函数
f(x)
在点
(x
0
,y
0
)
处的切线的斜率.
'
在
x?x
0
处,
f(x
0
)?0
,切线是“左下右上”式的,这时,函数
f(x)
在
x
0
附近单
调递增;
'
在
x?x
1
处
,
f(x
0
)?0
,切线是“左上右下”式的,这时,函数
f(x)
在
x
1
附近单
调递减.
结论:函数的单调性与导数的关系
在某个区间
(a,b)
内,如果
f(x)?0
,那么函数
y
?f(x)
在这个区间内单调递增;
如果
f(x)?0
,那么函数
y
?f(x)
在这个区间内单调递减.
说明:特别的,如果
f(x)?0
,那
么函数
y?f(x)
在这个区间内是常函数.
3.求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤:
(1)确定函数
y?f(x)
的定义域;
(2)求导数
y?f(x)
;
(3)解不等式
f(x)?0
,解集在定义域内的部分为增区间;
(4)解不等式
f(x)?0
,解集在定义域内的部分为减区间.
(三).典例分析
例1.已知导函数
f(x)
的下列信息:
当
1?x?4
时,
f(x)?0
;
当
x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0
;
当
x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0
试画出函数
y?f(x)
图像的大致形状.
解:当
1?x?4时,
f(x)?0
,可知
'
'
'
'
'
'
'
''
'
'
'
y?f(x)
在此区间内单调递增;
'
当
x?4
,或x?1
时,
f(x)?0
;可知
y?f(x)
在此区间内单调递
减;
精品资料
___________________________
__________________________________________________
_________________________________
当
x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0
,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.
综上,函数
y?f(x)
图像的大致形状如图所示.
例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间.
(1)
f(x)?x?3x
;
(2)
f(x)?x?2x?3
(3)
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
;
(4)
f(x)?2x?3x?24x?1
解:(1)因为
f(x)?x?3x
,所以,
f(x)?3x?3?3(x?1)?0
因此,
f(x)?x?3x
在
R
上单调递增,如图所示.
'
(2)因为
f(x)?x?2x?3
,所以,
f(x)?2x?2?2
?
x?1
?
2
3
'22
3
32
32
'
当<
br>f(x)?0
,即
x?1
时,函数
f(x)?x?2x?3
单
调递增;
当
f(x)?0
,即
x?1
时,函数
f(x)?
x?2x?3
单调递减;
函数
f(x)?x?2x?3
的图像如图3.3-5(2)所示.
(3)因
为
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
,所以,
f(x)?co
sx?1?0
因此,函数
f(x)?sinx?x
在
(0,
?
)
单调递减,如图3.3-5(3)所示.
(4)因为
f(x)?2x?3x?24x?1
,所以
.
当
f(x)?0
,即
时,函数
f(x)?x?2x?3
;
当
f(x)?0
,即
时,函数
f(x)?x?2x?3
;
函数
f(x)?2x?3x?24x?1
的图像如图所示.
注:(3)、(4)为学生练习
32
'2
'2
32
'
2
'2
'2
例3.如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同
精品资料
_______________________________________
__________________________________________________
_____________________
的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度
h
与时间
t
的函数关系图像.
分析:以容器(2)
为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度
增加得慢,以后高度增加得越来越快.反
映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理可知
其它三种容器的情况.
解:
?
1
?
?
?
B
?
,
?
2
?
?
?
A
?
,
?
3
?
?
?
D
?
,
?
4
?
?
?
C
?
思考:例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗?
一般的,如果一个函数在某一范围
内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的
快,这时,函数的图像就比较“陡峭”;反之,函数
的图像就“平缓”一些.
如图3.3-7所示,函数
y?f(x)
在
?0,b
?
或
?
a,0
?
内的图像“陡峭”,
在
?
b,??
?
或
?
??,a
?
内的图像
“平缓”.
例4.求证:函数
y?2x?3x?12x?1
在区间
?
?2,1
?
内是减函数.
32
证明:因为
y
'
?6x
2
?6x?12?6x
2
?x?2?6
?
x?1??
x?2
?
'
当
x?
?
?2,1
?
即
?2?x?1
时,
y?0
,所以函数
y?2x
?3x?12x?1
在区间
32
??
?
?2,1
?
内是减函数.
说明:证明可导函数
f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的单调性步骤:
?
x
?
;
'
(2)判断
f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的符号;
''
(3)做出结论:
f
?
x
?
?0
为增函数,
f
?
x
?
?0
为减函数.
(1)求导函数
f
'
例5.已知函数
f(x)?4x?ax?
的取值范围.
'2
2
2
3
x(x?R)
在区间
?
?1,1
?
上是增函数,求实数
a
3
'
解:
f(x)?4?2ax?2x
,因为
f
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上是增函数,所以
f(x)?0
对
x?
?
?1,1
?
恒成立,即
x
2
?ax?2?0
对
x?
?
?1,1
?
恒
成立,解之得:
?1?a?1
所以实数
a
的取值范围为
?
?1,1
?
.
说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单
调性关系:即“若
函数单调递增,则
f(x)?0
;若函数单调递减,则
f(x)?0
”来求解
,
''
精品资料
_______________________
__________________________________________________
_____________________________________
注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.
例6.已知函数
y
=
x
+
解:
y
′=(
x
+
1
,试讨论出此函
数的单调区间.
x
1
)′
x
x
2
?1(x?1
)(x?1)
-2
?
=1-1·
x
=
2
xx
2
令
(x?1)(x?1)
>0.
2
x
解得
x
>1或
x
<-1.
∴
y
=
x
+
(1,+∞).
1
的单调增
区间是(-∞,-1)和
x
(x?1)(x?1)
<0,解得-1<
x
<0或0<
x
<1.
x
2
1
∴
y
=<
br>x
+的单调减区间是(-1,0)和(0,1)
x
令
(四).课堂练习
1.求下列函数的单调区间
32
(1)、<
br>f
(
x
)=2
x
-6
x
+7
(2)、
f
(
x
)=
1
+2x
x
(3)、
f
(
x
)=sin
x
,
x
?[0,2
?
]
精品资料
______________________________
__________________________________________________
______________________________
(4)、
y?xlnx
2.课本26页练习1
(五).课时小结
(1)函数的单调性与导数的关系
(2)求解函数
y?f(x)
单调区间
(3)证明可导函数
f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的单调性
(六).布置作业:习题1.3 A组 1、2
四、课后反思:
§3.3.2函数的极值与导数(2课时)
(新授课)
一、教学目标: <
br>知识与技能:了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,会用导数求函数的极大值、
极小值
。
过程与方法:通过本节的学习,掌握利用导数求函数的极大值、极小值。
情感、态度与价值观:通过本节的学习,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效
性。
二、教学重点与难点:
重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤.
难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.
三、教学过程:
(一).创设情景
观察下图,我们发现,
t?a
时,高台跳水运动员距水面
高度最大.那么,函数
h(t)
在
此点的导数是多少呢?此点附近的图像有什么特点?
相应地,导数的符号有什么变化规
精品资料
_______________
__________________________________________________
_____________________________________________
律?
放大
t?a
附近函数
h(t)
的图像,课本27页图
1.3-8与1.3-9.可以看出
h
?
(a)
;在
t?a
,当
t?a
时,函数
h(t)
单调递增,
h
?
(t
)?0
;当
t?a
时,函数
h(t)
单调递减,
h
?
(t)?0
;这就说明,在
t?a
附近,函数值先增(
t?a,
h
?
(t)?0
)后减(
t?a
,
.这样,
当
t
在
a
的附近从小到大经过
a
时,
h
?
(t)
先正后负,且
h
?
(t)
连续变化,
h?
(t)?0
)
于是有
h
?
(a)?0
.
对于一般的函数
y?f
?
x
?
,是否也有这样的性质呢?
附:对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是
就函数在某
一点附近的小区间而言的.
从图象观察得出,判别极大、极小值的方法.判断
极值点的关键是这点两侧的导数异号
(二).新课讲授
1.提出问题:
图1.3-8表示跳水运动中高度
h
随时间
t
变化的函数
h(t)??4.9t?6.5t?10
的图像
图1.3-9表示高台跳水运动员的速度
v
随时间
t
变化的函数v(t)?h(t)??9.8t?6.5
的图
像.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?
通过观察图像,我们可以发现:
(1) 运动员从起点到最高点,离水面的高度
h<
br>随时间
t
的增加而增加,即
h(t)
是增函
数.相应地,v(t)?h(t)?0
.
(2) 从最高点到入水,运动员离水面的高度
h<
br>随时间
t
的增加而减少,即
h(t)
是减函
数.相应地,v(t)?h(t)?0
.
2.函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
'
如图3.3-3,
导数
f(x
0
)
表示函数
f(x)
在点
(x
0
,y
0
)
处的切线的斜率.在
x?x
0
处,<
br>2
'
'
'
f
'
(x
0
)?0
,切线是“左下右上”式的,这时,函数
f(x)
在
x
0
附近单调
递增;在
x?x
1
处,
f
'
(x
0
)?0
,切线是“左上右下”式的,这时,函数
f(x)
在
x
1
附
近单调递减.
结论:函数的单调性与导数的关系
在某个区间
(a,b)
内
,如果
f(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递增;
如果
f(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递减. 说明:(1)特别的,如果
f(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个
区间内是常函数.
3.求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤:
(1)确定函数
y?f(x)
的定义域;
(2)求导数
y?f(x)
;
(3)解不等式
f(x)?0
,解集在定义域内的部分为增区间;
(4)解不等式
f(x)?0
,解集在定义域内的部分为减区间.
(三).典例分析
例1.求
f
?
x
?
?
'
'
''
'
'
'
1
3
x?4x?4
的极值
3
精品资料
__________________
__________________________________________________
__________________________________________
解:
因为
f
?
x
?
?
1
3
x?4x?4
,所以
3
f
'
?
x
?
?x
2
?4?(x?2)(x?2)
。
f
'
?
x
?
?0,x?2,x??2
下面分两种情况讨论:
(1)当
f
'
?
x
?>0,即
x?2
,或
x??2
时;
(2)当
f
'
?
x
?
<0,即
?2?x?2
时.
当x变化时,
f
'
?
x
?
,
f
?
x
?
的变化情况如下表:
x
?
??,2
?
+
↗
-2
0
极大值
(-2,2)
-
2
0
极小值
?
?
2,??
?
+
y
?
y
28
3
↘
4
3
↗
因此,当
x??2时,
f(x)
有极大值,并且极大值为
f(?2)?
当
x?2<
br>时,
f(x)
有极小值,并且极小值为
f(2)??
函数
f
?
x
?
?
例
值
28
;
3
4
。
3
1
3
x?4x?4
的图像如图所示。
3
y1
3
f(x)=x-4x+4
3
2
-2
O
x<
br>
2222
2、求
y
=(
x
-1)+1的极
23
解:
y
′=6
x
(
x
-1)=6
x<
br>(
x
+1)(
x
-1)
令
y
′=0解得<
br>x
1
=-1,
x
2
=0,
x
3
=1
当
x
变化时,
y
′,
y
的变化情况如下表
x
?
??,?1
?
-
-1
0
(-1,0)
-
0
0
(0,1)
+
1
0
?
1,??
?
+
y
?
精品资料
_________
__________________________________________________
__________________________________________________
_
y
↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗
∴当
x=0时,
y
有极小值且
y
极小值
?0
y
f?x? =
?
x
2
-1
?
3
+1
1.极大值: 一般地,设函数f(x)在点x
0
附近有定义,如果对x
0<
br>附近的所有的点,都
有f(x)<f(x
0
),就说f(x
0
)是函数f(x)的一个极大值,记作y
极大值
=f(x
0
),x
0
是极大值点
2.极小值:一般地,设函数f(x)在x
0
附近有定义,如果
对x
0
附近的所有的点,都有f(x)
>f(x
0
).就说f(x<
br>0
)是函数f(x)的一个极小值,记作y
极小值
=f(x
0
),x
0
是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点:
(
ⅰ)极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比
较是最大或最小并不意
味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
(ⅱ)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以
不止一个
(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值,
如下图所示
,
x
1
是极大值点,
x
4
是极小值点,而
f(x<
br>4
)
>
f(x
1
)
(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点
4.
判别
f
(
x
0
)是极大、极小值的方法:
若
x<
br>0
满足
f
?
(x
0
)?0
,且在
x
0
的两侧
f(x)
的导数异号,则
x
0
是
f(x)
的极值点,
-1
O
1
x
f(x
0
)
是极值,并且如果
f
?
(x)
在
x
0
两
侧满足“左正右负”,则
x
0
是
f(x)
的极大值点,
f(
x
0
)
是极大值;如果
f
?
(x)
在
x<
br>0
两侧满足“左负右正”,则
x
0
是
f(x)
的极小
值点,
f(x
0
)
是极小值
5.
求可导函数
f
(
x
)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间,求导数
f
′(
x
)
(2)求方程
f
′(
x
)=0的根
(3)用函数的导数为
0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.
检查
f
′(
x
)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么
f
(
x
)在这个
根处取得极大值;
如果左负右正,那么
f
(
x
)在这个根处取得极小
值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,
那么
f
(
x
)在这个根
处无极值
如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点
(四)、巩固练习:
1.求下列函数的极值.
23
(1)
y
=
x
-7
x
+6
(2)
y
=
x
-27
x
2
(1)解:<
br>y
′=(
x
-7
x
+6)′=2
x
-7
精品资料
______________________________
__________________________________________________
______________________________
令
y
′=0,解得
x
=
7
.
2
?
2
?
当
x
变化时,
y
′,
y
的
变化情况如下表.
7
?
7
?
x
?
??,
?
2
?
7
?
?
,??
?
?
2
?
y
?
-
↘
0
极小值
?
+
y
∴当
x
=
25
4
↗
725
时,
y
有极小值,且
y
极小值
=-. 4
2
32
(2)解:
y
′=(
x
-27
x
)′=3
x
-27=3(
x
+3)(
x
-3)
令
y
′=0,解得
x
1
=-3,
x
2=3.
当
x
变化时,
y
′,
y
的变化情况如下表.
x
?
??,?3
?
+
↗
-3
0
极大值54
(-3,3)
-
↘
3
0
极小值-54
?
3,??
?
+
↗
y
?
y
∴当x
=-3时,
y
有极大值,且
y
极大值
=54. 当
x
=3时,
y
有极小值,且
y
极小值
=-5
4
(五)、课时小结 :函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数
f
(
x
)的极值的
三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的
,在整个定义区
间可能有多个极值,且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0,但导数为零的点不
一
定是极值点,要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点
(六)、布置作业:课本P45: 4 ,5
四、课后反思
§1.3.3函数的最大(小)值与导数(2课时)
(新授课)
一、教学目标:
知识与能力:使学生理解函数的最大值和最小值的概念,掌握可导函数
f(x)
在闭区间
精品资料
?
a,b
?
上所有点(包括端点
a,b
)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件;
过程与方法:使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
情感、态度与价值观:通
过对函数的极值与最值得类比,体会知识间的联系,逐步提高分
析问题与解决问题的能力。
二、教学重点与难点
重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法.
难点:函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.
三、教学过程:
(一)、课题引入:
我们知道,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整
个定义域内
_________________________________________
__________________________________________________
___________________
的性质.也就是说,如果
x
0
是
函数
y?f
?
x
?
的极大(小)值点,那么在点
x
0
附近找不到
比
f
?
x
0
?
更大(小)的
值.但是,在解决实际问题或研究函数的性质时,我们更关心函数
在某个区间上,哪个至最大,哪个值最
小.如果
x
0
是函数的最大(小)值,那么
f
?
x
0
?
不
小(大)于函数
y?f
?
x
?
在相
应区间上的所有函数值.
(二)、新课讲授
观察图中一个定义在闭区间
?
a,b
?
上的函数
f(x)
的图象.图中
f(x
1
)
与
f(x
3
)
是极小值,
f(x
2
)<
br>是极大
值.函数
f(x)
在
?
a,b
?
上的
最大值是
f(b)
,最小值是
y
f(x
3
)
. <
br>1.结论:一般地,在闭区间
?
a,b
?
上函数
y?f(x)
的
图像是一条连续不断的曲线,那么函数
y?f(x)
在
a
x
1
O
x
2
x
3
b
x
?
a,b
?
上必有最大值与最小值.
说明:⑴、如果在某一区间上函数
y?f
(x)
的图像是一条连续不断的曲线,则称函数
y?f(x)
在这个区间上连续. <
br>⑵、给定函数的区间必须是闭区间,在开区间
(a,b)
内连续的函数
f(x)
不一定有最大
值与最小值.如函数
f(x)?
1
在
(0,?
?)
内连续,但没有最大值与最小值;
x
⑶、在闭区间上的每一点必须连续,即函数图像没有间断,
⑷、函数
f(
x)
在闭区间
?
a,b
?
上连续,是
f(x)
在闭
区间
?
a,b
?
上有最大值与最小值的充
分条件而非必要条件.(可
以不给学生讲)
2.“最值”与“极值”的区别和联系
⑴、最值”是整体概念,是比较整个
定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”
是个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具
有相对性.
⑵、从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一;
精品资料
______________________________
__________________________________________________
______________________________
⑶、函数在其定义区间上的最大值
、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,
也可能没有一个
⑷、极值只能在定义域
内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,
有最值的未必有极值;极值有可能成
为最值,最值只要不在端点必定是极值.
3、利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数f(x)
的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函
数值进行比较,
就可以得出函数的最值了.
一般地,求函数
f(x)
在
?
a,b<
br>?
上的最大值与最小值的步骤如下:
⑴、求
f(x)
在
(a,b)
内的极值;
⑵、将
f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
、
f(b)
比较,其中
最大的一个是最大
值,最小的一个是最小值,得出函数
f(x)
在
?
a,b
?
上的最值
(三)、典例分析
例1、求
f
?x
?
?
1
3
x?4x?4
在
?
0,3
?
的最大值与最小值
3
解: 由例4可知,在
?
0,
3
?
上,当
x?2
时,
f(x)
有极小值,并且极小值为<
br>4
f(2)??
,又由于
f
?
0
?
?4,
f
?
3
?
?1
3
1
3<
br>4
因此,函数
f
?
x
?
?x?4x?4
在<
br>?
0,3
?
的最大值是4,最小值是
?
.
331
3
上述结论可以从函数
f
?
x
?
?x?4x
?4
在
?
0,3
?
上的图象得到直观验证.
3
4
2
例2、求函数
y?x?2x?5
在区间
?
?2,2
?上的最大值与最小值
3
解:先求导数,得
y?4x?4x
<
br>3
令
y
=0即
4x?4x?0
解得
x
1??1,x
2
?0,x
3
?1
导数
y
的正负以及
f(?2)
,
f(2)
如下表
X -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
y - 0 + 0 - 0 +
y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗
13
从上表知,当
x??2
时,函数有最大值13,当
x??1
时,函数有最小值4
x
2
?ax?b
例3、已知
f(x)?log
3
,
x
∈(0,+∞).是否存在实数
a、b<
br>,使
f(x)
同时
x
满足下列两个条件:(1)
f(x))在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数;(2)
f(x)
的最小值是1,
若存在,求出
a、b
,若不存在,说明理由.
x
2
?ax?b
解:设
g
(
x
)=
x
精品资料
_________________________
__________________________________________________
___________________________________
∵
f
(
x
)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数
∴
g
(
x
)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.
∴
?
?
b?1?0
?
g'(1)?0
?
a
?1
∴
?
解得
?
?
a?b?1?
3
?
g(1)?3
?
b?1
经检验,
a
=1,b
=1时,
f
(
x
)满足题设的两个条件.
(四)、课堂练习
1、下列说法正确的是( )
A函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2、
函数
y
=
f
(
x
)在区间[
a
,
b
]上的最大值是
M
,最小值是
m
,若
M
=
m
,则
f
′(
x
) ( )
y
A.等于0
B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能
111
3、函数
y
=
x
4
?x
3
?x
2
,在[-1,1]上的最小值
为( )
432
13
A.0 B.-2 C.-1 D.
12
42
4、求函数
y?x?2x?5
在区间
?
?
2,2
?
上的最大值与最小值.
12
10
8
6
4
2
y=x
4
-2x
2
+5
5、课本31页练习
-4
-2
O
2
4
x
(五)、课时小结
1
.函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点,导数不存在的点,
区间端点; 2.函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上连续,是f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上有最大值与最小值的充
分条件而非必要条件;
3.闭区间
?
a,b
?
上的连续函数一定有
最值;开区间
(a,b)
内的可导函数不一定有
最值,若有唯一的极值,则此极值必是
函数的最值
4.利用导数求函数的最值方法.
(六).布置作业:习题1.3 A组
6
四、课后反思
精品资料
______________________________
__________________________________________________
______________________________
§1.4生活中的优化问题举例(2课时)
(新授课)
一、教学目标:
知识与技能:利用导数解决生活中的优化问题。
过程与方法:通过学习使利润最大、用料最省
、效率最高等优化问题,体会数学建模的
方法和导数在解决实际问题中的作用。
情感、态度与
价值观:通过对生活中优化问题的探究过程,感受数学的应用价值,提高
学习数学的兴趣,提高将实际问
题转化为数学问题的能力
二、教学重点与难点:
重点:利用导数解决生活中的一些优化问题.
难点:利用导数解决生活中的一些优化问题.
三、教学过程:
(一)。新课引入
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最
高等问题,这些问题通常称为优化问
题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力
工具.这一节,我们
利用导数,解决一些生活中的优化问题.
(二).新课讲授
导
数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以
下几个方面:
1、与几何有关的最值问题;
2、与物理学有关的最值问题;
3、与利润及其成本有关的最值问题;
4、效率最值问题。
解决优化问题的方法:
首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数
关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭
区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立
适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方
案,使问题得以解决,在这个
过程中,导数是一个有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路:
优化问题
建立数学模型
用函数表示的数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题
(三).典例分析
例1.海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示
2
的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。
如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小?
精品资料
___
__________________________________________________
__________________________________________________
_______
128
dm,此时四周空白面积为
x
128512
S(x)?(x?4)(?2)?128?2x??8,x?0
。
xx
解:设版心的高为xdm,则版心的宽为
求导数,得
512
。
x2
512
'
令
S(x)?2?
2
?0
,解得<
br>x?16(x??16
舍去)。
x
128128
于是宽为
??8
。
x16
''<
br>当
x?(0,16)
时,
S(x)
<0;当
x?(16,??
)
时,
S(x)
>0.
因此,
x?16
是函数
S
(x)
的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为16dm,宽为8dm
S
'
(x)?2?
时,能使四周空白面积最小。
答:当版心高为16dm,宽为8dm时,海报四周空白面积最小。
例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
(1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?
(2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
(背景知识):某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是
0.8
?
r
2
分,其中
r
是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料,制造商可获
利 0.2
分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题:(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?
解:由于瓶子的半径为
r
,所以每瓶饮料的利润是
?
r
3
4
322
?
y?f?
r
?
?0.2?
?
r?0.8
?
r?0.8
?
?
?r
?
,0?r?6
3
?
3
?
2
令
f
?
?
r
?
?0.8<
br>?
(r?2r)?0
解得
r?2
(
r?0
舍去)
当
r?
?
0,2
?
时,
f
?
?
r
?
?0
;当r?
?
2,6
?
时,
f
?
?
r
?
?0
.
当半径
r?2
时,
f
?
?<
br>r
?
?0
它表示
f
?
r
?
单调递增
,即半径越大,利润越高;
当半径
r?2
时,
f
?
?r
?
?0
它表示
f
?
r
?
单调递减,即半径越大,利润越低.
(1)半径为
2
cm 时,利润最小,这时
f
?
2
?
?0
,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶
子的成本,此时利润是负值.
(2)半径为
6
cm时,利润最大.
换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发现?
有图像知:
当
r?3
时,
f
?
3
?
?0
,即瓶子的半
径为3cm时,饮料的利润与饮料瓶的
成本恰好相等;当
r?3
时,利润才为正值.
当
r?
?
0,2
?
时,
f
?
?<
br>r
?
?0
,
f
?
r
?
为减函数,其
实际意义为:瓶子的半径小于2cm
时,瓶子的半径越大,利润越小,半径为
2
cm
时,利润最小.
例3.磁盘的最大存储量问题
精品资料
____
__________________________________________________
__________________________________________________
______
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形
区域。磁道
上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据0或1,
这个基本单元通常被称为比
特(bit)。
为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于
m
,每比特所占用
的磁道长度不得
小于
n
。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的
比特数。
问题:现有一张半径为
R
的磁盘,它的存储区是半径介于
r
与
R
之间的环形区域.
(1)
是不是
r
越小,磁盘的存储量越大?
(2)
r
为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?
解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于
r
与R之间,由于磁道之间的宽度必需大于
m
,且最外面的磁道
R?r
。由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大
m
2
?
r
存储量,最内
一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达。所以,磁盘总存储
n
不存储任何信息,故磁道
数最多可达
量
f(r)?
R?r
2
?
r
2
?
×
?r(R?r)
mmn
n
(1)它是一个关
于
r
的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是
r
越小,磁盘的存
储量越大.
(2)为求
f(r)
的最大值,计算
f
?
(r
)?0
.
2
?
?
R?2r
?
mnR
令
f
?
(r)?0
,解得
r?
2
RR
当
r?
时,
f
?
(r)?0
;当r?
时,
f
?
(r)?0
.
22
R
2
?
R
2
因此
r?
时,磁盘具有最大存储量。此时最大存储
量为
mn4
2
f
?
(r)?
例4.汽油的使用效率何时最高
我们知道,汽油的消耗量
w
(单位:L)与汽车的速度
v
(单位:k
mh)之间有一
定的关系,汽油的消耗量
w
是汽车速度
v
的函数.根
据你的生活经验,思考下面两个问题:
(1)是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大?
(2)“汽油的使用率最高”的含义是什么?
分析:研究汽油的使用效率(单位:Lm)就是
研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比
值.如果用
G
表示每千米平均的汽油消耗量,那么
G?
w
,其中,
w
表示汽油消耗量(单
s
位:L)
,
s
表示汽油行驶的路程(单位:km).这样,求“每千米路程的汽油消耗量最少”,
就是求
G
的最小值的问题.
通过大量的统计数据,并对数据进行分析
、研究,人们发现,汽车在行驶过程中,
汽油平均消耗率
g
(即每小时的汽油消耗量,
单位:Lh)与汽车行驶的平均速度
v
(单
位:kmh)之间有如图所示的函数关系<
br>g?f
?
v
?
.
精品资料
___
__________________________________________________
__________________________________________________
_______
从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题.因此,我们首先需要将问题转化为汽<
br>油平均消耗率
g
(即每小时的汽油消耗量,单位:Lh)与汽车行驶的平均速度
v
(单位:
kmh)之间关系的问题,然后利用图像中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问
题.
w
wg
解:因为
G??
t
?
s
s
v
t
gg这样,问题就转化为求的最小值.从图象上看,表示经过原点与曲线上点的直线的
vv
斜率
.进一步发现,当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速度约为90
kmh
.
因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使用效率最高,即每千米的汽油消耗量最小,
此时的车速约
为90
kmh
.从数值上看,每千米的耗油量就是图中切线的斜率,即
f
?<
br>?
90
?
,
约为 L.
例5.在边长为60 c
m的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折
起(如图),做成一个无盖的方底箱子,
箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积
是多少?
解法一:设箱底边
长为
x
cm,则箱高
_
x
x
x
_
60
_
x
_
60
h?
60?x
cm,得箱子
2
60x
2
?x
3
V(x)?xh?
(0?x?60)
.
2
3x
2
V
?
(x)?60x?
(0?x?60)
2
3x
2
令
V
?
(x)?60x?
=0,解得 x=0(舍去),x=40,
2
2
容积
并求得V(40)=16 000
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积很小,因此,16
000
是最大值
精品资料
__________________
__________________________________________________
__________________________________________
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16 000cm
解法二:设箱高为x
cm,则箱底长为(60-2
x
)cm,
60-2x
则得箱子
容积
3
x
60-2x
60-2x
V(x)?(60?2x)
2
x
(0?x?30)
.
(后面同解法一,略)
由题意可知,当
x
过小或过大时箱子容积很小,
所以最大值出现在极值点处.
2
60
60
60-2x
x
60x
2
?x<
br>3
2
事实上,可导函数
V(x)?xh?
、
V(x)?(60
?2x)x
在各自的定义域中
2
都只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,
是单峰的,因而这个极值点就是最
值点,不必考虑端点的函数值
例6.圆柱形金属饮料罐的容
积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用
的材料最省?
解:设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积
2
S=2πRh+2πR
V
,则
2
?
R
V
2
2V
2
S(R)= 2πR+
2πR=+2πR
2
?
RR
2V
令
s
?
(R)??
2
+4πR=0
R
V4VVV
V
33
解得,R=
3
,从而h====2
2
2
??
?
?
R
V
2
?
(
3)
2
?
由V=πRh,得
h?
2
即h=2R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值
答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省
变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值
S
时,它的高与底面半径应怎样选取,才<
br>能使所用材料最省?
S?2
?
R
2
提示:
S
=2
?
Rh
+
2
?
R
?
h=
2
?
R
S?2
?
R
2
11
?
R
2
=
(S?2
?
R
2
)R?SR?
?
R
3
?
V
(
R
)=
2
?
R
22
V'(R)
)=0
?S?6
?
R
2
?
6
?
R
2
?2
?Rh?2
?
R
2
?h?2R
.
2
例6.在经
济学中,生产x单位产品的成本称为成本函数同,记为C(x),出售x单位
产品的收益称为收益函数,
记为R(x),R(x)-C(x)称为利润函数,记为P(x)。
(1)、如果C(x)=
10x?0.003x?5x?1000
,那么生产多少单位产品时,边际
C
?
(x)
最低?(边际成本:生产规模增加一个单位时成本的增加量)
?632
精品资料
______________________
__________________________________________________
______________________________________
(2)、如果C
(x)=50x+10000,产品的单价P=100-0.01x,那么怎样定价,可使利
润最大?
变式:已知某商品生产成本
C
与产量
q
的函数关系式为
C<
br>=100+4
q
,价格
p
与产量
q
的函数关系式为<
br>p?25?
1
q
.求产量
q
为何值时,利润
L
最大?
8
分析:利润
L
等于收入
R
减去成本
C
,而收入
R
等于产量乘价格.由此可得出利润
L
与产量
q<
br>的函数关系式,再用导数求最大利润.
1
?
1
q
?
?25q?q
2
,
8
?
8
1
2
?
1
2
?
利润
L?R?C?
?
25q?q
?
?(100?4q)??q21q?100<
br>(0?q?100)
8
?
8
?
1
L
?
??q?21
4
1
令
L
?
?0
,即
?q?21?0,求得唯一的极值点
q?84
4
解:收入
R?q?p?q?
25?
?
?
答:产量为84时,利润L最大
例7.一条水渠
,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面尺寸时,希望在断面
ABCD
的面积为定值
S
时,使得湿周
l
=
AB
+
BC
+
CD<
br>最小,这样可使水流阻力小,渗透少,求此时
的高
h
和下底边长
b.
3
1
(
AD
+
BC
)
h,其中
AD
=2
DE
+
BC
,
DE
=
h
,
BC
=
b
3
2
231233
h?2b)h?(h?b)h
①
∴
AD
=
h
+
b
, ∴
S
=
(<
br>233
3
h22
?h
,
AB
=
CD
.∴
l
=
h
×2+
b
② ∵
CD
=<
br>cos30?
33
解:由梯形面积公式,得
S
=
S343S3
S
h??h?3h?
?
h
,代入②,∴
l
=3h3h
h3
S
SSS
l
′=
3?
2
=0,∴
h
=
4
, 当
h
<
4
时,
l
′<0,
h
>
4
时,
l
′>0.
h
333
由①得
b
=
2
4
3
S
S<
br> ∴
h
=时,
l
取最小值,此时
b
=
43
3
例8.已知矩形的两个顶点位于
x
轴上,另两个顶点位于抛物线y
=4-
x
在
x
轴上
方的曲线上,求这种矩形中面积最大者的边长.
解:设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(
x
,
y
),且
x
>0,
y
>0,
则另一个在抛物线上的顶点为(-
x
,
y
),
在
x
轴上的两个顶点为(-
x
,0)、(
x
,0),其中0<
x
<2.
2
设矩形的面积为
S
,则
S
=2
x
(4-
x
),0<
x
<2.
由
S′
(
x
)=8-6
x
=0,得
x
=
2
2
2
3
,易知
3
精品资料
______________________________________________
__________________________________________________
______________
x
=
4
是
S
在(0,2)上的极值点,
3
8
2
3
和.
3
3
即是最大值点, <
br>所以这种矩形中面积最大者的边长为
点评:应用题求解,要正确写出目标函数并明确题意所给的变
量制约条件.应用题的分析
中如确定有最小值,且极小值唯一,即可确定极小值就是最小值.
(四).课堂练习
练习:1:一书店预计一年内要销售某种书15万册,欲分几次订货,如果
每次订货要
付手续费30元,每千册书存放一年要耗库费40元,并假设该书均匀投放市场,问此书店<
br>分几次进货、每次进多少册,可使所付的手续费与库存费之和最少?
解:假设每次进书
x
千册,手续费与库存费之和为
y
元,
由于该书均匀投放市场,则平均库存量为批量之半,即
x
,故有
2
150x4500
×30+×40,
y′
=-
2
+20,
x2x
9000
令
y′
=0,得
x
=15,且
y″
=
3
,
f″
(15)>0,
x
y
=
所以当
x
=15时,
y
取得极小值,且极小值唯一,
故 当
x
=15时,
y
取得最小值,此时进货次数为
2:有甲、乙两城,甲城位于一
直线形河岸,乙城离岸40千米,乙城到岸的垂足与甲
城相距50千米,两城在此河边合设一水厂取水,
从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为
每千米500元和700元,问水厂应设在河边的何处,才能使水
管费用最省?
解:设水厂
D
点与乙城到岸的垂足
B
点之间的距离为
x
千米,总费用为
y
元,
则
CD
=
x
2
?40
2
.
150
=10(次).
15
即该书店分10次进货,每次进15000册书,所付手续费与库存费之和最少.
y
=500(50-
x
)+700
x
2
?1600
=25000-500
x
+700
x
2
?1600
,
?
1
2
y′
=-500+700 · (
x
+1600)
2
· 2
x
2
700x
1
=-500+
x?1600
2
,
506
.
3
506
答:水厂距甲距离为50-千米时,总费用最省.
3
令
y
′=0,解得
x
=
点评:当要求的最大(
小)值的变量
y
与几个变量相关时,我们总是先设几个变量中的一
精品资料
___________________________________________
__________________________________________________
_________________
个为
x
,然后再根据条件
x
来表示其他变量,并写出
y
的函数表达式
f
(
x
).
(五):课时小结1.利用导数解决优化问题的基本思路:
优化问题
建立数学模型
用函数表示的数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题
2.解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建立与
其相应的数学模型,再通
过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数
往往是一
个有利的工具。
(六).布置作业:习题1.4 A组:1. 2. 3
四、课后反思:
§
1.5.1曲边梯形的面积
(新授课)
一、教学目标
知识与技能:通过求曲边梯形的面积,了解定积分的背景。
过程与
方法:理解求曲边图形面积的过程:分割、以直代曲、逼近,感受在其过程中渗透
的思想方法
情感态度与价值观:通过曲边梯形的面积,进一步感受极限的思想。
二、教学重点与难点
重点:掌握过程步骤:分割、以直代曲、求和、逼近(取极限)
难点:对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解
三、教学过程:
(一).创设情景
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积,这些图形都是由直线段
围成的。
那么,如何求曲线围成的平面图形的面积呢?
这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本
概念以及定积分的
简单应用,初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念:如果函数
y?f(x)
在某一区间
I
上的图像是一条连续不断的曲线,那么就
把函数
y?f(x)<
br>称为区间
I
上的连续函数.(不加说明,下面研究的都是连续函数)
(二).新课讲授
问题:如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一边是
曲线
y?f(x)
的一段,我们把由直线
x?a,x?b(a?b),y?0
和曲线
y?f(x)
所围成的图形
称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积?
精品资料
_________________________
__________________________________________________
___________________________________
例1:求图中阴影部分
是由抛物线
y?x
,直线
x?1
以及
x
轴所围成的平面图形
的面
积S。
2
思考:(1)曲边梯形与“直边图形”的区别?
(2)能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题?
分
析:曲边梯形与“直边图形”的主要区别:曲边梯形有一边是曲线段,“直边图形”
的所有边都是直线段
.“以直代曲”的思想的应用.
y
y
y
x x
1
y
1
x
1
y?x
2
O<
br>0.20.4
0.60.8
1
x
0.1
把区间?
0,1
?
分成许多个小区间,进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形,对每个小曲
边梯
形“以直代取”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积
的
近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值.分割越细,面积的近似值
就越精确。当分割
无限变细时,这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S.也即:用
划归为计算矩形面积和逼近的思想
方法求出曲边梯形的面积.
解:
(1).分割
在区间
?
0,1
?
上等间隔地插入
n?1
个点,将区间
?
0,1
?
等分成
n
个小区间:
y
y=x
2
精品资料 O
i-1
i
n
n
1
x
____
__________________________________________________
__________________________________________________
______
?
1
??
12
??
n?1
?
,,1
?
,,…,
?
???
n
nnn
?
?
????
?
i?1i
?
,
?
(i?1,2,L,
n)
,其长度为 记第
i
个区间为
?
?
nn
?ii?11
?x???
nnn
分别过上述
n?1
个分
点作
x
轴的垂线,从而得到
n
个小曲边梯形,他们的面积分别记作:
?S
1
,
?S
2
,…,
?S
n
?
0,
显然,
S?
?
?S
i
i?1
n
y
(2)近似代替
记
f
?
x
?
?x
2,如图所示,当
n
很大,即
?x
很小时,在区间
?
y=
x
2
?
i?1i
?
,
?
nn
??
O
i-1
i
n
n
1
x
上,可以认为函数
f
?
x
?
?x
2
的值变化很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点
?
i?1
?
f
??
,从图形
上看,就是用平行于
x
轴
?
n
?
?
i?1i
?
,
?
上,用小矩形的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边(如图).这样,在区间
?
nn
??
的面积
?S
i
?
近似的代替<
br>?S
i
,即在局部范围内“以直代取”,则有
i?1
处的函数值n
?
i?1
??
i?1
??
i?1
?
1
?S
i
??S
i
?
?f
?
g?x?g?
x?
?????
g(i?1,2,L,n)
①
?
n
??
n
??
n
?
n
(3)求和
由①,上图中阴影部分的面积
S
n
为
n
i?1
?
??
i?1
?
1
?S
n
?
?
?S
i
?
?
?
f
?
g?x?
?
???
g
?
n
?
i?1i?1i?1
?
n
?<
br>n
nn
2
22
1
?
1
?
1
2
?
n?1
?
1
1
?
22
?
=
0g?
??
g?L?
?
=
1?2?L?n?1
g<
br>??
?
3
??
n
?
n
?
n
?
n
?
n
n
1
?
n?1
?
n?
2n?1
?
1
?
1
??
1
?
=
3
=
?
1?
??
1?
?
3
?
n
??
2n
?
n6
1
?
1??
1
?
从而得到
S
的近似值
S?S
n
?
?
1?
??
1?
?
3
?
n
??
2n
?
(4)取极限
分别将
区间
?
0,1
?
等分8,16,20,…等份(如课本图1.5-5),可以
看到,当
n
趋向于无
穷大时,即
?x
趋向于0时,
S
n
?
22
1
?
1
??
1
?
1?
1?
????
趋向于
S
,从而有
3
?
n
??
2n
?
精品资料
________________________________________________
__________________________________________________
____________
1
?
1
??
1
?
1<
br>?
i?1
?
1
S?limS
n
?lim
?<
br>f
?
g?lim1?1?
?????
?
n??n?
?n??
3nnn2n
??????
3
i?1
从数值上的变化趋势:
课本表1-1
3.求曲边梯形面积的四个步骤:
第一步:分割.在区间
?
a,b
?
中任意插入
n?1
各分点,将它们等分成
n
个小区
间
n
?
x
i?1
,x
i
?
?
i?
1,2,L,n
?
,区间
?
x
i?1
,x
i
?
的长度
?x
i
?x
i
?x
i?1
,
第二步:近似代替,“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,求出每
个小曲边
梯形面积的近似值.
第三步:求和.
第四步:取极限。
说明:1.归纳以上步骤,其流程图表示为:
分割
?
以直代曲
?
求和
?
逼近
2.最后所得曲边形的面积不是近似值,而是真实值
例2.求
y?2x?x,y?0,0?x?2
围成图形面积
解:(1).分割
在区间
?
0,2
?
上等间隔地插入n?1
个点,将区间
?
0,2
?
等分成
n
个小
区间:
?
0,
2
?
?
?
2
?
n?1
?
?
2
??
24
?
,
,,…,
,1
?
?
?
??<
br>n
?
?
nn
?
?
n
?
?
2
?
i?1
?
2i
?
记第
i
个区间为
?
,
?
(i?1,2,L,n)
,其长度为
nn
??<
br>2i
2
?
i?1
?
2
?x???
nnn
分别过上述
n?1
个分点作
x
轴的垂线,从而得到
n
个小曲边梯形,他们的面积分别记
作:
?S
1
,
?S
2
,…,
?S
n
显然,
S?
?
?S
i
i?1
n
(2)近似代替
∵
y?2x?x
,当
n
很大,即
?x
很小时,在区间
?
2
2
?
2
?
i?1
?
2i
?
,
?
(i?1,2,L,n)
上,
n
??
n
可以认为函数
y?2x?x
的值变化很小,近似的等于一
个常数,不妨认为它近似的等于左
2
?
i?1
?
?
2
?
i?1
?
??
2
?
i?1
?
?
?
2
?
i?1
?
2i
?
?
,
?
上,用端点处的函数值
2
?
,这样,在区间
???
?
n
nn
n
?
????
?
n
小矩形的面积
?S
i
?
近似的代替
?S
i
,即在局部范围内“以直代取”
,则有
精品资料
2
_____________________
__________________________________________________
_______________________________________
?
?
2
?
i?1
?
??
2
?
i?1
?
?
2
??
?
2
?
i?1
?
??<
br>2
?
i?1
?
?
2
?
2
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i
??S
i
?
?
?
2
??
?
?
?
?
g?x?
?
2
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?
??
?
g
①
nnnnn
??
???
?
???
?
?
?
??
?
?
(3)求和
由①,上图中阴影部分的面积
S
n
为
?
?
2?
i?1
?
??
2
?
i?1
?
?2
?
2
?S
n
?
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?S
i
?
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2
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g
nnn
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ni?1
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i?1
?
28
n
?
2
?
g1?gni?1?i?1
=
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4g
=
?????
??
3
?
n
?
n
?
nn
i
?1
?
i?1
88
2
2
2
=
2
?
0?1?2?L?n?1?1?2?L?n?1
?
????
?n
3
n
?
8
n
?
n?1
?
8
?
n?1
?
n
?
2n?1
?
?
3
=
2
n2n6
8
n
?
n?1
?
8
?
n?1
?
n
?
2n?1
?
S
?S??
3
从而得到
S
的近似值
n
2
n2n6
nn
??
(4)取极限
?
8
n
?
n?1
?
8
?
n?1
?
n
?
2n?1
?
?
4
S?limS
n
?li
m
?
?
2
?
3
?
?
n?
?n??
2n6
i?1
?
n
?
3
n
练习
设
S
表示由曲线
y?x
,
x
=1,以及
x
轴所围成平面图形的面积。
(四)、课时小结 求曲边梯形的思想和步骤:分割
?
以直代曲
?
求和
?
逼
近 (“以直代曲”的思想)
四:教学反思
精品资料
______________________________
__________________________________________________
______________________________
§
1.5.2汽车行驶的路程
(新授课)
一、教学目标
知识与技能:了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程
的共同点;
感受在其过程中渗透的思想方法:分割、以不变代变、求和、取极限(逼近)
过程与方法:通过与求曲边梯形的面积进行类比,求汽车行驶的路程有关问题,再一次体
会“以直代
曲“的思想
情感态度与价值观:在体会微积分思想的过程中,培养唯物主义的观点。
二、教学重点与难点
重点:
掌握过程步骤:分割、以不变代变、求和、逼近(取极限)
难点:过程的理解
三、教学过程:
(一).课题引入
复习:1.连续函数的概念;2.求曲边梯形面积的基本思想和步骤;
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题.反
精品资料
_______________________________________
__________________________________________________
_____________________
之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢?
(二).新课讲授
问题:汽车以速度
v
组匀速直线运动时,经过时间
t
所行驶的路程为
S?vt
.如果汽
车作变速直线运动,在时刻
t
的速度为
v
?
t
?
??t
2
?2
(单位:kmh),那么它在0≤
t
≤1(单
位:h)这段时间内行驶的路程
S
(单位:km)是多少?
分析:与求曲边梯形面积类似,采取“以不变代变”的方法,把
求匀变速直线运动的
路程问题,化归为匀速直线运动的路程问题.把区间
?
0,1?
分成
n
个小区间,在每个小区
间上,由于
v
?
t
?
的变化很小,可以近似的看作汽车作于速直线运动,从而求得汽车在每个
小区间
上行驶路程的近似值,在求和得
S
(单位:km)的近似值,最后让
n
趋紧于
无穷大
就得到
S
(单位:km)的精确值.(思想:用化归为各个小区间上匀速直线运
动路程和无
限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程).
解:1.分割
在时间
区间
?
0,1
?
上等间隔地插入
n?1
个点,将区间
?
0,1
?
等分成
n
个小区间:
?
0,
1
??
12
??
n?1
?
,,1
?
,,…,
?
???
n
?
?
nn
??
n
?
?
i?1i
?
,
?
(i?1,2,L,n)
,其长度为 记第
i
个区间为
?
nn??
ii?11
?t???
nnn
?
1
??
12
??
n?1
?
,1
?
上行驶的路程分别记作:
把汽车在时间段
?
0,
?
,
?
,
?
,…,
?
?
n
?
?
nn
??
n
?
?
?
?S
1
,
?S
2
,…,
?S
n
显然,
S?
(2)近似代替
?
?S
i
i?1
n
?
i?1i
?
,
?
上,可以认为函数
v
?
t
?
??t
2
?2
的值变
?
nn
?
i?1
化很小,近
似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点处的函数值
n
当
n
很大,即
?t
很小时,在区间
?
?
i?1i
?
?
i
?1
??
i?1
?
,
?
(i?1,2,L,n)
,
从物理意义上看,即使汽车在时间段
v
?
???2
???
?
?
nn
?
?
n
??
n
?
2
i?1
?
i?1
??
i?1
?
上的速度变化很小,不妨认为它近似
地以时刻处的速度
v
?
???2
作匀
???
n
?<
br>n
??
n
?
速直线运动,即在局部小范围内“以匀速代变速”,于是的
用小矩形的面积
?S
i
?
近似的代
替
?S
i
,即在局部范围内“以直代取”,则有
精品资料
2
______
__________________________________________________
__________________________________________________
____
2
?
?
i?1
?
2
?
1i?1
?
i?1
?
12
?
?
?S
i
??
S
i
?
?v
??
g?t?
?
?
??
?2
?
g
??
??
g?(i?1,2,L,n)
① <
br>nnn
???
?
n
?
nn
??
?
?
?
(3)求和
2
n
?
i?1
?
i?1<
br>?
12
?
??
由①,
S
n
?
??S
i
?
?
?
v
??
g?t?
??
?
??
g?
?
i?1i?1
?
n
?
i?1
?
?
?
n
?
nn
??
nn
1
?
2
1
?
1
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1<
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?
n?1
?
1
2
?
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??
g?L?
?
=
?1?2?L?n?1
g?
2
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3
??
n
n
?
n
?n
?
n
?
n
1
?
n?1
?
n
?
2n?1
?
1
?
1
??
1
?<
br>?2
=
?
?
1?
??
1?
?
?2<
br> =
?
3
3
?
n
??
2n
?
n6
1
?
1
??
1
?
从而得到
S
的近似值
S?S
n
??
?
1?
??
1?
?
?2
3
?
n
??
2n
?
(4)取极限
当n
趋向于无穷大时,即
?t
趋向于0时,
S
n
???
1?
从而有
22
1
?
3
?
1??
1
?
1?
???
?2
趋向于
S
,
n
??
2n
?
1
?
i?1
?
?1
?
1
??
1
?
?5
S?limS
n
?lim
?
gv
?
?lim?1?1?
?
n??
?
????
?2
?
?
n??n??
?n
?
i?1
n
?
3
?
n
??
2n
?
?
3
思考:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程
S
与由直线
n
t?0,t?1,v?0
和曲线
v??t
2
?2
所围成的曲边梯形的面积有什么关系?
结合上述求解过程可知,汽车行驶的路程
S?limS
n
在数据上等于由直线
n??
t?0,t?1,v?0
和曲线
v??t
2
?2
所围成的曲边梯形的面积.
一般地
,如果物体做变速直线运动,速度函数为
v?v
?
t
?
,那么我们也
可以采用分割、
近似代替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想,求出它
在
a
≤
t
≤
b
内所作的位移
S
.
例1.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力
F
?
x
??kx
(
k
为常数,
x
是
伸长量),求弹簧从平衡位置
拉长
b
所作的功.
分析:利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解.
解:
将物体用常力
F
沿力的方向移动距离
x
,则所作的功为
W?F?x<
br>.
1.分割
在区间
?
0,b
?
上等间隔地插入<
br>n?1
个点,将区间
?
0,1
?
等分成
n
个
小区间:
?
0,
?
?
??
n?1
?
b
?
b
??
b2b
?,
,b
?
,,…,
?
?
??
n
?
?
nn
?
?
n
?
?
?
i?1
?
b
i?b
?
,
?
(i?1,2,L,n)
,其长度为
n
??
n
精品资料
记第
i
个区间
为
?
i?b
?
i?1
?
b
b
??
nnn
?
?
n?1
?
b
?
?
b
??
b2b
?
把在分段
?
0,
?<
br>,
?
,
,…,
,b
?
上所作的功分别记作:
?
?
n
nn
n
??
??
??
?x?
?W
1
,
?W
2
,…,
?W
n
(2)近似代替
有条件知:
?W
i
?F
?
(3)求和
_____
__________________________________________________
__________________________________________________
_____
?
?
i?1
?
b
?
?
i?1
?
b
?
b
(i?1,2,L,n)
??x?k?
?
nnn
??
W
n
?
?
?W
i
?
?
k?
i?1i?1
nn
?
i?1<
br>?
b
?
b
nn
kb
2
kb
2
n
?
n?1
?
kb
2
?
1
?
0?1?2?L?
?
n?1
?
?
?
=
2<
br>?
?
1?
?
?
?
n
2
n
?
22
?
n
?
kb
2
?
1
?
从而得到
W
的近似值
W?W
n
?
?
1?
?
2
?
n
?
(4)取极限
kb
2
?
1
?
kb
2
W?limW
n
?lim
?
?W
i
?lim
?
1?
?
?
n??n?
?n??
22
?
n
?
i?1
n
kb
2所以得到弹簧从平衡位置拉长
b
所作的功为:
2
(四)、课堂小结:求汽车行驶的路程有关问题的过程.
四:教学反思
§
1.5.3定积分的概念
(新授课)
一:教学目标
知识与技能:了解定积分的概念,能用定义法求简单的定积分。
过程与方法:借助于几何直观定积分的基本思想,理解定积分的概念;
情感态度与价值观:通过对定积分的学习,培养辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。
二:教学重点与难点
重点:定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义
难点:定积分的概念、定积分的几何意义
三:教学过程:
(一).引入新课
复习:
1.
回忆前面曲边图形面积,变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法,解决步骤:
精品资料
___________________________________________
__________________________________________________
_________________
分割→以直代曲→求和→取极限(逼近
2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点.
(二).新课讲授
1.定积分的概念
一般地,设函数
f(x)
在区间
[a,b]
上连续,用分点
a?x
0
?x
1
?x
2
?L?x
i?1
?xi
?L?x
n
?b
b?a
),在每个小区
n
nn
b?a
f(
?
i
)
间
?
x
i?1
,x
i
?
上取一点
?
i
?
i?1,2,L,n
?
,作和式:
S
n
?
?
f(<
br>?
i
)?x?
?
n
i?1i?1
如果
?x<
br>无限接近于
0
(亦即
n???
)时,上述和式
S
n<
br>无限趋近于常数
S
,那么称该常
将区间
[a,b]
等分成n
个小区间,每个小区间长度为
?x
(
?x?
数
S为函数
f(x)
在区间
[a,b]
上的定积分。记为:
S?b
?
b
a
f(x)dx
其中
f
(x)
成为被积函数,
x
叫做积分变量,
[a,b]
为积分区间,<
br>b
积分上限,
a
积分下限。
说明:(1)定积分
为
?
a
f(x)dx
是一个常数,即
S
n
无限趋近的常数S
(
n???
时)称
?
b
a
f(x)dx,而不是
S
n
.
(2)用定义求定积分的一般方法是:
①分割:
n
等分区间
?
a,b
?
;
②近
似代替:取点
?
i
?
?
x
i?1
,x
i<
br>?
;
③求和:
b?a
f(
?
i
)
;
?
n
i?1
n
④取极限:
?
b
a
f(x)dx?l
im
?
f
?
?
i
?
n??
i?1
n
b?a
n
t
2
t
1
(3)曲边图形面
积:
S?
?
f
?
x
?
dx
;变速运动路程
S?
?
v(t)dt
;
a
b
变力做功
W?
?
b
a
F(r)dr
2.定积分的几何意义
如果在区间
[a,b]
上函数连续且恒有
f(x)?0
,那么定积<
br>分
?
b
a
f(x)dx
表示由直线
x?a,x?b<
br>(
a?b
),
y?0
和曲线
y?f(x)
所围成的曲
边梯形的面积。
说明:一般情况下,定积分
?
b
a
f(x)dx<
br>的几何意义是介于
x
轴、函数
f(x)
的图形以及
直线
x?a,x?b
之间各部分面积的代数和,在
x
轴上方的面积取正号,在
x
轴下方的面
积去负号.
分析:一般的,设被积函数
y?f(x)
,若
y?f(x)
在
[a,b]
上可取负值。
考察和式
f
?
x
1
?
?x?f
?
x
2
??x?L?f(x
i
)?x?L?f
?
x
n
?
?x
不妨设
f(x
i
),f(x
i?1
),L,
f(x
n
)?0
精品资料
__________
__________________________________________________
__________________________________________________
于是和式即为
f
?
x
1
?
?x?f
?x
2
?
?x?L?f(x
i?1
)?x?{[?f(x
i
)?x]?L?[?f
?
x
n
?
?x]}
?
?
f(x)dx?
阴影
A
的面积—阴影
B
的
面积(即
x
轴上方面积减
x
轴下方的面积)
a
b
3.定积分的性质
根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
?
1dx?b?a
性质2
?
kf(x)dx?k
?
f(x)dx
(其中
k
是不为0的常数) (定积分的线性性质)
性质3
?
[f(x)?f(x)]dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx
(定积分的线性性质)
性质1
a
bb
aa
bbb
a12
b
bc
a
b
1
a
2
性质4 <
br>?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx
aac
(其中a?c?b)
(定积分对积分区间的可加性)
?
f(x)dx?0
推论1:
f(x)?g(x)
,?
f(x)dx?
?
g(x)dx
?
a?b
?
a
bb
aa
性质5 若f(x)?0,x?
?
a,b
?
,则
b
推论2:
?
b
a
f(x)dx?
?
g(x)dx
?
a?b
?
a
b
b
性质6设
M
,m
为
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值、最小值
,则
性质7(中值定理)若
f(x)?
?
a,b
?
,则至
少有一
?
?
?
a,b
?
,使
m(b?a)?
?
f(x)dx?M(b?a)
a
?
b
a
f(
x)dx?f(
?
)(b?a)
.
证:由性质6知,
m?
1
b
f(x)dx?M
,依介值定理,必有
?
?
?
a,b
?
,
?
a
b?a
b
1
b
使
f(x)dx?f(
?
)
,即
?
f(x)dx?f(?
)(b?a)
。
a
b?a
?
a
说明:
①推广:
②推广:
?
b
a
b
a
[
f
1
(x)?f
2
(x)?L?f
m
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx?L?<
br>?
f
m
(x)
aaa
bbb
?
f
(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?L?
?
f
(x)dx
ac
1
c
k
c
1
c
2
b
③性质解释:
精品资料
_______________________
__________________________________________________
_____________________________________
y
性质1
y=1
y
A
性质4
C
B
O
a
b
x
M
Oa
P
b
N
x
(三).典例剖析
例1.计算定积分
S
曲边梯形AMNB
?S曲边梯形AMPC
?S
曲边梯形CPNB
?
2
1
(x?
1)dx
分析:所求定积分即为如图阴影部分面积,面积为
即:
5
。
2
y
?
2
1
(x?1)dx?
5
2
思考:若改为计算定积分
?
2
?2
(x?1)dx
呢
?
改变了积分上、下限,被积函数在
[?2,2]
上出
现了负值如何解决呢
?(后面解决的问题)
练习
计算下列定积分
1.
o
1 2
x
?
?
5
0
(2x?4)dx
5<
br>0
解:
2.
?
1
(2x?4)dx?9?4?5
xdx
?1
解:
11
xdx??1?1??1?1?1
?
?1
22
2
2
例2.计算由两条抛物线
y?x
和
y?x
所围成的图形的面积.
1
【分析】两条抛物线所围成的图形的面积,可以由以
两条曲线所对应的曲边梯形的面
积的差得到。
?
?
y?x
?x?0
及x?1
,所以两曲线的交点为(0,0)解:
?
、(1,1),面积
2?
?
y?x
S=
?
?
1
0
xdx?<
br>?
x
2
dx
,所以
0
1
y?x
?<
br>2
3
x
3
?
1
2
2
S=
?
(x-x)dx
?
?
x?
?
=
0
3<
br>?
0
3
?
3
1
1
【点评】在直角坐标系下平
面图形的面积的四个步骤:
精品资料
C
y?x
D
A
O
2
B
______________________
__________________________________________________
______________________________________
1.作图象;2.求交点;3.用定积分表示所求的面积;4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习:
计算由曲线
y?x?6x
和
y?x
所围成的图形的面积.
(四):课堂小结
定积分的概念、定义法求简单的定积分、定积分的几何意义.
(五):布置作业:习题1.5 A组 3. 4. 5
四:课后反思
32
§
1.6微积分基本定理
(新授课)
一:教学目标
知识与技能:通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-
莱布尼兹公式求简
单的定积分
过程与方法:通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
精品资料
____________________________________________ __________________________________________________ ________________
情感态度与价值观:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相 互转化、对立统一的辩
证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。
二:教学重点与难点
重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观 了解微积分基本定理
的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点:了解微积分基本定理的含义
三:教学过程:
(一)、课前复习:定积分的概念及用定义计算
(二)、新课讲授
我们讲过用定积 分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一
般方法。我们必须寻求计算定积分的 新方法,也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿 直线作变速运动,在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)
(
v(t)?o
),
则物体在时间间隔
[T
1
,T
2
]
内经过 的路程可用速度函数表示为
表达,即
?
T
2
T
1
v(t)dt
。
另 一方面,这段路程还可以通过位置函数S(t)在
[T
1
,T
2
]< br>上的增量
S(T
1
)?S(T
2
)
来
?T
2
T
1
v(t)dt
=
S(T
1
) ?S(T
2
)
而
S
?
(t)?v(t)
。
对于一般函数
f(x)
,设
F
?
(x)?f(x)
,是否也有
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)
若 上式成立,我们就找到了用
f(x)
的原函数(即满足
F
?
(x)? f(x)
)的数值差
F(b)?F(a)
来计算
f(x)
在
[a,b]
上的定积分的方法。
注:1:定理 如果函数
F(x)
是[a,b]
上的连续函数
f(x)
的任意一个原函数,则
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)
证明:因为< br>?(x)
=
?
x
a
f(t)dt
与
F(x)
都是
f(x)
的原函数,故
精品资料
_____
__________________________________________________
__________________________________________________
_____
F(x)
-
?(x)
=C(
a?x?b
)
其中C为某一常数。
令
x?a
得
F(a)
-
?(
a)
=C,且
?(a)
=
x
?
a
a
f(t
)dt
=0
即有C=
F(a)
,故
F(x)
=
?
(x)
+
F(a)
?
?(x)
=
F(
x)
-
F(a)
=
?
f(t)dt
a
令
x?b
,有
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)
b
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见,还常用
F(x)
|
a
表示
F(b)?F(a)
,即
b
?
a
f(x)dx?F(x)|
b
a
?F(b)?F(a)
该
式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分
的一般方法,把求定积分的
问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的
桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间
的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效
方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极
其重要的地位,起到了承上启下
的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积
分学中最重要最
辉煌的成果。
(三)、例题讲解
例1.计算下列定积分:
3
11
; (2)
dx(2x?)dx
。
?
1
x
?
1
x
2
1
'
解:(1)因为
(lnx)?
,
x
2
1
2
所以
?
dx?
lnx|
1
?ln2?ln1?ln2
。
1
x
1
'
1
2'
(2))因为
(x)?2x,()??
2
, xx
333
11
所以
?
(2x?
2
)dx?<
br>?
2xdx?
?
2
dx
111
xx
1
3
122
3
。
?x
2
|
1
?|
1
?(9?1)?(?1)?
x33
(1)
2
练习:计算
解:由于
?
1
0
x
2
dx
1
3
x
是
x
2
的一个原函
数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
3
1
1
31
1
31
3
1
2
?
xdx
=
x|
0
=
?1??0
=
0
333
3
例2.计算下列定积分:
精品资料
__________________________________________
__________________________________________________
__________________
?
?
0
sinxdx,
?
sinxdx,
?
sinxdx
。
?
0
'
2
?
2
?
由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现
的结论。
解:因为
(?cosx)?sinx
,
所以
?
?
?
sinxdx?(?cosx)|?(?cos2
?
)?(?cos<
br>?
)??2
,
?
?
?
?
?
?sinxdx?(?cosx)|?(?cos2
?
)?(?cos0)?0
.
0
2
2
?
sinxdx?(?cosx)|
?
0<
br>?(?cos
?
)?(?cos0)?2
,
2
0
2
0
可以发现,定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0:
( l
)当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时 ,定积分的值取正值,且等于曲边梯形的
面积;
图1 . 6 一 3 ( 2 )
(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时
,定积分的值取负值,且等于曲边梯形的
面积的相反数;
(
3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积
分的值为0
,且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积.
例3.汽车以每
小时32公里速度行驶,到某处需要减速停车。设汽车以等减速度
a
=1.8
2
米秒刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离?
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少
时间。当t=0时,汽车速度
v
0
=32公里
小时=
32?1000
米秒
?
8.88米秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为
3600
v(
t)=v
0
?at=8.88-1.8t
当汽车停住时,速度
v(t)=0<
br>,故从
v(t)=8.88-1.8t=0
解得
精品资料
________________________________________________
__________________________________________________
____________
t=
8.88
?4.93
秒
1.8
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
s?
?
4.93<
br>0
v(t)dt?
?
4.93
0
1
(8.88?1.
8t)dt
=
(8.88?1.8?t
2
)
2
0
4
.93
?21.90
米,即在刹车后,
汽车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时它也提供了计算定积分的
一种有效方法.微积
分基本定理是微积分学中最重要的定理,它使微积分学蓬勃发展起来,
成为一门影响深远的学科,可以毫
不夸张地说,微积分基本定理是微积分中最重要、最辉
煌的成果.
(四):课时小结: 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱
布尼兹公式.
成立,进而推广到了一般的函数,得出了微积分基本定理,得到了一种求定
积分的简便方法,运用这种方
法的关键是找到被积函数的原函数。
(五)、课堂练习:课本55页 练习
(六)、布置作业:习题1.6 A组 1、2
四:课后反思
精品资料
_____
__________________________________________________
__________________________________________________
_____
§
1.7定积分的简单应用(两课时)
(新授课)
一、教学目标
知识与技能:能利用定积分求曲边梯形的面积,以及解决物理中的变速直线的路程、变例
做功问
题。
过程与方法:通过定积分求曲边梯形的面积,体会定积分的基本思想,学会其方法,通过
定积分在物理中的应用,学会用数学工具解决物理问题,进一步体会定积分的价值。
情感、态度与价值观:通过本节的学习,进一步感受数学的应用价值,提高数学的应用意
识。
二、教学重点与难点
重点:曲边梯形面积的求法
难点:定积分求体积以及在物理中应用
三、教学过程:
(一)、课前复习
1、求曲边梯形的思想方法是什么?
2、定积分的几何意义是什么?
3、微积分基本定理是什么?
(二)、定积分的应用
1、利用定积分求平面图形的面积
例1.计算由两条抛物线
y?x
和
y?x
所围成的图形的面积.
分析:两条抛物线所围成的图形的面积,可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积
的差得到。
2
2
?
?
y?x
?x?0及x?1
,所以两曲线的
交点为(0,0)解:
?
、(1,1),面积
2
?
?
y?x
S=
?
?
1
0
xdx?
?
x
2<
br>dx
,所以
0
1
y?x
3
?
2
3<
br>?
1
x
2
S=
?
(x-x)dx
?
?
x
2
?
?
=
0
3
?
03
?
3
1
1
点评:在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤:
1.作图象;2.求交点;3.用定积分表示所求的面积;
精品资料
C
y?x
D
A
O
2
B
___
__________________________________________________
__________________________________________________
_______
4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习:计算由曲线
y?x?6x
和
y?x
所围成的图形的面积.
例2.计算由直线
y?x?4
,曲线
y?2x
以及x轴所围图形的面
积S.
分析:首先画出草图,并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题.与
例 1
不同的是,还需把所求图形的面积分成两部分S
1
和S
2
.为了确定出被积函
数和积分
的上、下限,需要求出直线
y?x?4
与曲线
y?
轴的交点
.
解:作出直线
y?x?4
,曲线
y?
322x
的交点的横坐标,直线
y?x?4
与 x
2x
的草图,所求面积为图中阴影部分的面积.
?
?
y?2x,
解方程组
?
?
?
y?x?4
得直线
y?x?4
与曲线
y?2x
的交点的坐标为(8
,4) .
直线
y?x?4
与x轴的交点为(4,0).
因此,所求图形的面积为S=S
1
+S
2
?
?
4
0
2xdx?[
?
8
4
2xdx?
?
(x
?4)dx]
4
8
3
22
3
22140
428
?x
2
|
0
?x
2
|
8
(
x?4)|?
.
44
3323
由上面的例题可以发现,在利用定积分求平面
图形的面积时,一般要先画出它的草图,
再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限.
2
?
2
?
]
与直线
x?0,x?,
x
轴
所围成的图形面积。
3
3
2
?
2
?
3
3
sinxdx??cosx|
o
3
?
答案:
S=
0
2
跟踪练习
(1)、求直线
y?2x?
3
与抛物线
y?x
2
所围成的图形面积。
例3.求曲线
y
?sinx x?[0,
?
x
3
3
32
答案:
S
=(
2x+3-x)dx?(x?3x?)|
?1
?
?1
33
?
3
22
精品资料
____________
__________________________________________________
________________________________________________
(2)、求由抛物线
y??x
2
?4x?3
及其在点M(0,-3)
和N(3,0)处的两条切线所围成的图形的面积。
略解:
?y
??2x?4
,切线方程分别为
y?4x?3
、
y??2x?6
,则所求图形的面积为
y
o
y=
-
x
2
+4x-3
9
x
S=
?
3
2
[(4x
0
?3)?(?x
2
?4x?3)]dx?
?
3
[(?2x
2
3
?6)?(?x
2
?4x?3)]dx=
4
(3)、求曲线
y?log<
br>2
x
与曲线
y?log
2
(4?x)
以及
x
轴所围成的图形面积。
略解:所求图形的面积为
S=【g(y)?f(y)d
y?
0
?
1
?
1
0
(4?2?2
y
)dy
?(4y?2?2
y
log
2
e)|
1
0
?4?2log
2
e
2
(4)、在曲线
y?x(x?0)
上的某点A处作一切线使之与曲线以及
x
轴
所围成的面积
1
为.试求:切点A的坐标以及切线方程.
12
(x
0
,x
0
)
,则切线方程 略解:如图由
题可设切点坐标为
为
y?2x
0
x?x
0
,切线与
x
轴的交点坐标为
2
x
2
y=x
2
A
x
O
B C 2
x
(
0
,0)
,则由题可知有
S?
2
?
x
0
2
0
x
0
3
1
xdx?
x
0
(x?2x
0
x?x
0
)dx??
1212
2
2
?
x
0
2
?x
0<
br>?1
,所以切点坐标与切线方程分别为
A(1,1),y?2x?1
总结:1、定积分的几何意义是:
在区间[a,b]上的曲线y?f(x)与直线x?a
、x?b以及x
轴所围成的图形的面积的代数和,即
?
f(x)dx?S
a
b
x轴上方
-S
x轴下方
.
因此求一些曲边图形的面积要
可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理,但
[0,2
?
]
要特别注意
图形面积与定积分不一定相等,如函数
y?sinx x?
的图像与
x
轴围<
br>成的图形的面积为4,而其定积分为0.
2、求曲边梯形面积的方法与步骤:
(1)
画图,并将图形分割为若干个曲边梯形;
(2)
对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分的上、下限;
(3) 确定被积函数;
(4) 求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和。
3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法:
精品资料
______
__________________________________________________
__________________________________________________
____
(1)
x
型区域:
①由一条曲线
y?f(x)(其中f
(x)?0
与直线
x?a,x?b(a?b)
以及
x
轴所围
)
成的曲边梯形的面积:
S=f(x)dx
(如图(1));
a
?
b
②由一条曲线
y?f(x)(其中f(x)?0
与直线
x?a,x
?b(a?b)
以及
x
轴所围
)
成的曲边梯形的面积:
S=
f(x)dx=-f(x)dx
(如图(2));
aa
?
b
?b
③由两条曲线
y?f(x),y?g(x)(其中f(x)?g(x)
与直线<
br>x?a,x?b(a?b)
)
y
y
y
a
b
y?f(x)
y?f(x)
x
b
a
b
x
y?g(x)
y?f(x)
a
图(1) 图(2)
图(3)
所围成的曲边梯形的面积:
S=|f(x)-g(x)|dx
(如图(3));
a
x
?
b
(2)
y
型区域:
①由一条
曲线
y?f(x)(其中x?0
与直线
y?a,y?b(a?b)
以及
y
轴所围成的
)
曲边梯形的面积,可由
y?f(x)
得
x
?h(y)
,然后利用
S=h(y)dy
求出(如图(4));
a
?
b
②由一条曲线
y?f(x)(其中x?0
与直线
y?a,y?b
(a?b)
以及
y
轴所围成的
)
曲边梯形的面积,可由
y?
f(x)
先求出
x?h(y)
,然后利用
S=h(y)dy=-h(y)dy
aa
?
b
?
b
求出(如图(5));
③由两条
曲线
y?f(x),y?g(x)
与直线
y?a,y?b(a?b)
所围成的
曲边梯形
的面积,可由
y?f(x),y?g(x)
先分别求出
x?h
1
(y)
,
x?h
2
(y)
,然后利用
S=|h
1
(y)-h
2
(y)|dy
求出(如图(6));
a
?
b
y
b
y
b
x
a
y
b
y?f(x)
y?f(x)
x
a
精品资料
y?f(x)
a
y?g(x)
x
_______
__________________________________________________
__________________________________________________
___
图(4)
图(5) 图(6)
(3).求平面曲线的弧长
设曲线AB方程为
y?f(x)(a?x?b)
,函数
f(x)
在区间
[a,b]
上可导,且
f(x)
连<
br>续,则曲线AB的弧长为
'
l?
?
b
a
1?[f<
br>'
(x)]
2
dx
.
(4).求旋转体的体积和侧面积 <
br>由曲线
y?f(x)
,直线
x?a,x?b
及
x
轴所
围成的曲边梯形绕
x
轴
旋转而成的旋转体体积为
V?
?
?
[f(x)]
2
dx
.
a
b
其侧面积为
S
侧
?2
?
?
f(x)1?[f
'
(x)]
2
dx
.
a
b
(二)、定积分在物理中应用
(1)求变速直线运动的路程
我们知道,作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v (t) ( v(t)
≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分,即
s?
?
v(t)dt
a
b
例
4。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示.求汽车在这1 min 行驶的路
程.
解:由速度一时间曲线可知:
?
3t,0?t?10,
?
v(t)?
?
30,10?t?40
?
?1.5t?90,40?t?60.
?
因此汽车在这 1 min
行驶的路程是:
s?
?
3tdt?[
?
30dt?
?(?1.5t?90)dt
01040
104060
精品资料
__________________________________________
__________________________________________________
__________________
33
24060
?t
2
|
10
?30t|?(?t?90t)|
01040
?1350(m)
24
答:汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .
(2).变力作功
一物体在恒力F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与F相同的方向移(单
位:m
),则力F所作的功为W=Fs .
探究
如果物体在变力
F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x
=a 移动到x=b
(a与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路
程一样,可以
用“四步曲”解决变力作功问题.可以得到
W?
?
F(x)dx
a
b
例5.如图1·7一4
,在弹性限度内,将一弹簧从平衡位
置拉到离平衡位置lm 处,求克服弹力所作的功.
解:在弹性限度内,拉伸(或压缩)弹簧所需的力 F ( x
)
与弹簧拉伸(或压缩)的长度 x 成正比,即 F ( x )= kx ,
其中常数
k 是比例系数.
由变力作功公式,得到
11
W?
?
kxdx?
x
2
|
l
0
?kl
2
(J)
0
22
1
2
答:克服弹力所作的功为
klJ
.
2
l
例6.A、B两站相距7.2km,一辆电车从A站B开往站,电车开
出ts后到达途中C点,
这一段的速度为1.2t(ms),到C点的速度为24ms,从C点到B点前
的D点以等速行驶,
从D点开始刹车,经ts后,速度为(24-1.2t)ms,在B点恰好停车,试
求
(1)A、C间的距离;(2)B、D间的距离;(3)电车从A站到B站所需的时间。
分析:作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时
间区
间[a,b]上的定积分,即
S=v(t)dt
a
?
b
略
解:(1)设A到C的时间为t
1
则1.2t=24, t
1
=20(s),
则AC=
?
20
0
20
1.2tdt?0.6t
2
|
0
?240(m)
(2)设D到B的时间为t
21
则24-1.2t
2
=0,
t
21
=20(s),
则DB=
?
20
0
20<
br>(24-1.2t)dt?0.6t
2
|
0
?240(m)
(3)CD=7200-2
?
240=6720(m),则从C到D的时间为280(
s),则所求时间为
20+280+20=320(s)
例3:如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,需做功( A )
A 0.18J B 0.26J C 0.12J D
0.28J
略解:设
F?kx
,则由题可得
k?0.01
,所以做
功就是求定积分
0.01xdx?0.18
。
0
?
6
(四)、课堂练习:课本58页 练习 59页 练习1.
2
(五)、布置作业:习题1.7 A组
(六):课时小结
精品资料
__________________________________________
__________________________________________________
__________________
本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面
积与体积,即定积分在几何中应
用,以及定积分在物理学中的应用,要掌握几种常见图形面积的求法,并
且要注意定积分
的几何意义,不能等同于图形的面积,要注意微积分的基本思想的应用与理解。
四、课后反思
导数及其应用训练题组(一)
一、选择题
1 若函数
y?f
(x)
在区间
(a,b)
内可导,且
x
0
?(a,b)则
lim
h?0
f(x
0
?h)?f(x
0
?
h)
的
h
值为( )
'
''
A
f(x
0
)
B
2f(x
0
)
C
?2f(x
0
)
D
0
2 一个
物体的运动方程为
s?1?t?t
其中
s
的单位是米,那么物体在
3
秒
t
的单位是秒,
末的瞬时速度是( )
2
A
7
米秒 B
6
米秒 C
5
米秒 D
8
米秒
3
函数
y=x+x
的递增区间是( )
3
A
(0,??)
B
(??,1)
C
(??,??)
D
(1,??)
'
4
f(x)?ax?3x?2
,若
f(?1)?4
,
则
a
的值等于( )
32
A
19161310
B C D
3333
5 函数
y?f
(x)
在一点的导数值为
0
是函数
y?f(x)
在这点取极值的(
)
A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件
6
函数
y?x?4x?3
在区间
?
?2,3
?
上的最小值为(
)
4
A
72
B
36
C
12
D
0
精品资料
_____________________________________________
__________________________________________________
_______________
二、填空题
3'
1 若
f(x)?x
,f(x
0
)?3
,则
x
0
的值为___________
______;
2 曲线
y?x?4x
在点
(1,?3)
处的切线倾斜角为__________;
3
3
函数
y?
sinx
的导数为_________________;
x
32
4 曲线
y?lnx
在点
M(e,1)
处
的切线的斜率是______,切线的方程为___________;
5 函数
y?x?
x?5x?5
的单调递增区间是___________________________
三、解答题
1 求垂直于直线
2x?6y?1?0
并且与曲线
y
?x?3x?5
相切的直线方程
2
求函数
y?(x?a)(x?b)(x?c)
的导数
32
3 求函
数
f(x)?x?5x?5x?1
在区间
?
?1,4
?
上的
最大值与最小值
543
精品资料
__________________
__________________________________________________
__________________________________________
4
已知函数
y?ax?bx
,当
x?1
时,有极大值
3
;
32
(1)求
a,b
的值;(2)求函数
y
的极小值
导数及其应用题组训练(一)参考答案
一、选择题
f(x
0
?h
)?f(x
0
?h)f(x
0
?h)?f(x
0
?h)?lim2[]
h?0h?0
h2h
f(x
0
?h)
?f(x
0
?h)
?2lim?2f
'
(x
0
)
h?0
2h
''
2 C
s(t)?2t?1,s(3)?2?3?1?5
1 B
lim
3 C
y=3x+1>0
对于任何实数都恒成立
'2
4 D
f(x)?3ax?6x,f(?1)?3a?6?4,a?
'2'
10
3
''
5 D 对于
f(x)?x,f(x)?3x,f(0)?0,<
br>不能推出
f(x)
在
x?0
取极值,反之成立
3'2'
6 D
y?4x?4,令y?0,4x?4?0,x?1,当x?1时,y?0;当x?1时,y?0
'3'3
得
y
极小值
?y|
x?1
?
0,
而端点的函数值
y|
x??2
?27,y|
x?3
?7
2
,得
y
min
?0
二、填空题
'2
1
?1
f(x
0
)?3x
0
?3,x
0
??1
精品资料
______________________________
__________________________________________________
______________________________
3
3
?
4
4
(sinx)
'
x?sinx?(x)
'
xc
osx?sinx
xcosx?sinx
'
?
3
y?
x
2
x
2
x
2
11111
''
4
,x?ey?0
y?,k?y|
x?e
?,y?1?(x?e),y?x
exeee
55
'2
5
(??,?),(1,??)
令y?3x?2x?5?0,得x??,或x?1
33
2
?
y
'
?3x
2
?4,k?y
'<
br>|
x?1
??1,tan
?
??1,
?
?
三
、解答题
1 解:设切点为
P(a,b)
,函数
y?x?3x?5
的导数为
y?3x?6x
32'2
'2
32
切线的斜率
k?y|
x?a
?3a?6a??3
,得
a??1
,代入到
y?x?3x?5
得
b??3
,即
P(?1,?3),
y?3??3(x?1),3x?y?6?0
2 解:
y?(
x?a)(x?b)(x?c)?(x?a)(x?b)(x?c)?(x?a)(x?b)(x?c)
''''
?(x?b)(x?c)?(x?a)(x?c)?(x?a)(x?b)
3
解:
f
?
(x)?5x?20x?15x?5x(x?3)(x?1)
,
4322
当
f
?
(x)?0
得
x?0
,或
x??1
,或
x??3
,
∵
0?[?1,4]
,
?1?[?1,4]
,
?3?[?1
,4]
列表:
x
?1
0
0
(?1,0)
+
↗
0
0
(0,4)
+
↗
f
'
(x)
f(x)
1
又
f(0)?0,f(?1)?0
;右端点处
f(4)?2625
;
∴函数
y?x?5x?5x?1
在区间
[?1,4]
上的最大值为<
br>2625
,最小值为
0
543
'
'2
4 解:(1)
y?3ax?2bx,
当<
br>x?1
时,
y|
x?1
?3a?2b?0,y|
x?1
?a?b?3
,
?
3a?2b?0
即
?
,a??6,b?9
a?
b?3
?
'
(2)
y??6x?9x,y??18x?18x
,令<
br>y?0
,得
x?0,或x?1
32'2
?y
极小值
?y|
x?0
?0
精品资料
_____
__________________________________________________
__________________________________________________
_____
导数及其应用题组训练(二)
一、选择题
1
函数
y=x-3x-9x
(
-2
有( )
32
A 极大值
5
,极小值
?27
B 极大值
5
,极小值
?11
C
极大值
5
,无极小值 D
极小值
?27
,无极大值
'
2 若
f(x
0
)
??3
,则
lim
f(x
0
?h)?f(x
0
?3
h)
?
( )
h?0
h
A
?3
B
?6
C
?9
D
?12
精品资料
__________________
__________________________________________________
__________________________________________
3
3 曲线
f(x)=x+x-2
在
p
0
处的切
线平行于直线
y=4x-1
,则
p
0
点的坐标为
(
)
A
(1,0)
B
(2,8)
C
(1,0)
和
(?1,?4)
D
(2,8)
和
(?1,?4)
4
f(x)
与
g(x)
是定义在R上的两个可导函数,若
f(x)
,
g(x)满足
f(x)?g(x)
,则
''
f(x)
与
g(x)
满足( )
A
f(x)?g(x)
B
f(x)?g(x)
为常数函数
C
f(x)?g(x)?0
D
f(x)?g(x)
为常数函数
5 函数
y?4x?
2
1
单调递增区间是( )
x
A
(0,??)
B
(??,1)
C
(,??)
D
(1,??)
1
2
6 函数
y?
lnx
的最大值为( )
x
A
e
B
e
C
e
D
?12
10
3
二、填空题
1 函数
y?x?2cosx
在区间
[0
,
?
2
]
上的最大值是
2 函数
f
(x)?x?4x?5
的图像在
x?1
处的切线在
x
轴上的截距为_
_______________
3
3
函数
y?x?x
的单调增区间为
,单调减区间为___________________
23
4 若
f(x
)?ax?bx?cx?d(a?0)
在
R
增函数,则
a,b,c
的
关系式为是 .
32
5 函数
f(x)?x?ax?bx?a
,
在
x?1
时有极值
10
,那么
a,b
的值分别为
________
三、解答题
322
2
3
1. 已知曲线<
br>y?x?1
与
y?1?x
在
x?x
0
处的切线互相垂
直,求
x
0
的值
2
如图,一矩形铁皮的长为8cm,宽为5cm,在四个角上截去
四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长
为多少时,盒子容积最大?
精品资料
_________________________
__________________________________________________
___________________________________
3 已知
f(x)?ax?bx?c
的图象经过
点
(0,1)
,且在
x?1
处的切线方程是
y?x?2
<
br>42
(1)求
y?f(x)
的解析式;(2)求
y?f(x)
的单调递增区间
r
13
r
)
,若存在不同时为
0
的实数
k
和
t
,使 4 平面向量
a?(3,?1),b?(,
22
r
rrrr
r
rr
2
x?a?(t?3)b,y??ka?tb,
且
x?y
,试确定函数
k?f(t)
的单调区间
导数及其应用题组训练(二)参考答案
一、选择题
''
1 C <
br>y?3x?6x?9?0,x??1,得x?3
,当
x??1
时,
y?
0
;当
x??1
时,
y?0
'2
当
x??1
时,
y
极大值
?5
;
x
取不到
3
,无极小值
精品资料
_______________
__________________________________________________
_____________________________________________
f(x
0
?h)?f(x
0
?3h)f(x
0
?h)?f(
x
0
?3h)
?4lim?4f
'
(x
0
)??1
2
h?0h?0
h4h
'2'2
3 C 设切点为
P
0
(a,b)
,
f(x)?3x?1,k?f(a)?3a?1?4,a?
?1
,
2 D
lim
把
a??1
,代入到
f(x)=x+x-2
得
b??4
;把
a?1
,代入到
f
(x)=x+x-2
得
33
b?0
,所以
P
0
(1
,0)
和
(?1,?4)
4 B
f(x)
,
g(x)
的常数项可以任意
18x
3
?11
2
?0,(2x?1)(4x?2x?1)?0,x?
5 C
令
y?8x?
2
?
2
xx2
(lnx)
'
x?lnx?x
'
1?lnx
'
??0,x?e
,当x?e
时,
y
'
?0
;当
x?e
时,6 A
令
y?
22
xx
11
y
'
?0
,
y
极大值
?f(e)?
,在定义域内只有一个极值,所以
y
max<
br>?
ee
'
二、填空题
1
?
66
33
'2'
2
?
f(x
)?3x?4,f(1)?7,f(1)?10,y?10?7(x?1),y?0时,x??
77
222
'2
3
(0,)
(??,0),(,??)
y??3x?2x?0,x?0,或x?
333
2'2
4
a?0,且b?3ac
f(x)?3ax?2bx?c?0
恒成立,
?
a?0
2
则
?
,a?0,且b?3ac
2
?
??4b?12ac?0
'2'2
5
4,?11
f(x)?3x?2ax?b,f(1)?2a?b?3?0,f(1
)?a?a?b?1?10
?
2a?b??3
?
a??3
?
a?4
?
2
,当
a??3
时,
x?1
不是极值点
,
?
,或
?
b?3b??11
?
?
a?a?b?
9
?
?3
y
'
?1?2sinx?0,x?
?
6
,比较
0,
??
62
,
处的函数值,得
y
max
?
?
?3
三、解答题
1 解:y?2x,k
1
?y|
x?x
0
?2x
0
;y
?3x,k
2
?y|
x?x
0
?3x
0
'''2'2
k
1
k
2
??1,6
x
0
??1,x
0
??
3
3
36
6
2 解:设小正方形的边长为
x
厘米,则盒子底面长为
8?2x
,宽为
5?2x
V?(8?2x)(5?2x)x?4x?26x?40x
V?12x?52x?40,令V?0,得x?1,或x?
'2'
32
1010,
x?
(舍去)
33
V
极大值
?V(1)?18
,在定义域内仅有一个极大值,
?V
最大值
?18
3 解:(1)
f(x)?ax?b
x?c
的图象经过点
(0,1)
,则
c?1
,
42
精品资料
________________________
__________________________________________________
____________________________________
f
'
(x)?4ax
3
?2bx,k?f
'
(1)?4a?2b?1,
切点为
(1,?1)
,则
f(x)?ax?bx?c
的图象经过点<
br>(1,?1)
得
a?b?c??1,得a?
42
59
,b??
22
f(x)?
5
4
9
2
x?x?1
22
'3
310310
?x?0,或x?
1010
310310
,0),(,??)
单调递增区间为
(?<
br>1010
r
r
13
r
r
r
r
)得
agb?0,a?2,b?1
4 解:由
a?(3,?1),b?(,22
rr
rr
r
rr
r
r
r
[a?(
t
2
?3)b]g(?ka?tb)?0,?ka
2
?tagb?k(t2
?3)agb?t(t
2
?3)b
2
?0
11
?4k?t
3
?3t?0,k?(t
3
?3t),f(t)?(
t
3
?3t)
44
3333
f
'
(t)
?t
2
??0,得t??1,或t?1;t
2
??0,得?1?t?1
4444
所以增区间为
(??,?1),(1,??)
;减区间为
(?1,1)
(2)
f(x)?10x?9x?0,?
精品资料
_________________________
__________________________________________________
___________________________________
导数及其应用题组训练(三)
一、选择题
1 若
f(x)?sin?
?cosx
,则
f(
?
)
等于( )
'
A
sin
?
B
cos
?
C
sin
?
?cos
?
D
2sin
?
2 若函数
f(x)?x?b
x?c
的图象的顶点在第四象限,则函数
f(x)
的图象是( )
2'
3 已知函数
f(x)??x?ax?x?1
在
(??,??
)
上是单调函数,则实数
a
的
取值范围是( )
32
A
(??,?3]?[3,??)
B
[?3,3]
C
(??,?3)?(3,??)
D
(?3,3)
4 对于
R
上可导的任意函数
f(x)<
br>,若满足
(x?1)f(x)?0
,则必有( )
'
A
f(0)?f(2)?2f(1)
B
f(0)?f(2)?2f(1)
C
f(0)?f(2)?2f(1)
D
f(0)?f(2)?2f(1)
5 若曲线
y?x
的一条切线
l
与直线
x?4y?8?0
垂直,则
l
的方程为( )
4
A
4x?y?3?0
B
x?4y?5?0
C
4x?y?3?0
D
x?4y?3?0
6
函数
f(x)
的定义域为开区间
(a,b)
,导函数
f
?<
br>(x)
在
(a,b)
内的图象如图所示,
则函数
f(x)
在开区间
(a,b)
内有极小值点( )
A
1
个 B
2
个 C
3
个
D
4
个
y
y?f
?
(x)
二、填空题
1 若函数
f
(
x
)
=x
(
x-c
)
在
x?2
处有极大值,则常数c
的
b
a
O
x
2
值为_________;
2
函数
y?2x?sinx
的单调增区间为
3 设
函数
f(x)?cos(3x?
?
)(0?
?
?
?
)
,若
f(x)?f
?
(x)
为奇函数,则
?
=_
_________
4 设
f(x)?x?
3
1
2
x?
2x?5
,当
x?[?1,2]
时,
f(x)?m
恒成立,则实数<
br>m
的取值
2
范围为
精品资料
p>
_________________________________________
__________________________________________________
___________________
5 对正整数
n
,设曲线
y?
x
n
(1?x)
在
x?2
处的切线与
y
轴交点的纵
坐标为
a
n
,则数列
?
a
n
?
??
的前
n
项和的公式是
?
n?1
?
三、解答题
1 求函数
y?(1?cos2x)
的导数
3
2 求函数
y?
2x?4?x?3
的值域
3 已知函数f(x)?x?ax?bx?c
在
x??
32
2
与
x?
1
时都取得极值
3
(1)求
a,b
的值与函数
f(x)
的单调区间
(2)若对
x?[?1,2]
,不等式
f(x)?c
恒成立,求
c
的取值范围
2
x
2
?ax?b
4 已知
f(x)?log
3
,
x?(0,??)
,是否存在实数
a、b
,使
f(x)
同时满足下
x
列两个条件:(1)
f(x)
在
(0
,1)
上是减函数,在
?
1,??
?
上是增函数;(2)
f
(x)
的最小值
是
1
,若存在,求出
a、b
,若不存在,说
明理由
精品资料
_______________________________________
__________________________________________________
_____________________
导数及其应用题组训练(三)参考答案
一、选择题
1 A
f(x)?sinx,f(
?
)?sin
?
''
2 A 对称轴
?
3
b
?0,b?0,f
'
(x)?2x?b
,直线过第一、三、四象限
2
f
'
(x)??3x
2
?2ax?1?0
在(??,??)
恒B
成立,
??4a
2
?12?0??3?a?3
''
4
C 当
x?1
时,
f(x)?0
,函数
f(x)
在
(1,??)
上是增函数;当
x?1
时,
f(x)?0
,
f(x)
在
(??,1)
上是减函数,故
f(x)
当
x?1
时取得最小值,即有
f(0)?f(1),f(2)?f(1),
得
f(0
)?f(2)?2f(1)
4
5 A 与直线
x?4y?8?0垂直的直线
l
为
4x?y?m?0
,即
y?x
在某一点
的导数
34
为
4
,而
y
?
?4x
,所以<
br>y?x
在
(1,1)
处导数为
4
,此点的切线为
4x
?y?3?0
6 A
极小值点应有先减后增的特点,即
f(x)?0?f(x)?0?f(x)?0
二、填空题
'''
1
6
f(x)?3x?4c
x?c,f(2)?c?8c?12?0,c?2,或6
,
c?2
时取极小值
'22'2
2
(??,??)
y?2?cosx?0
对于任何实数都成立
'
?
''
f(x)??sin(3x?
?
)(3x?
?
)??3sin(3x
?
?
)
6
?
f(x)?f
?
(x)?2cos(3x?
?
?)
3
??
要使
f(x)?f
?
(x)
为奇函数,需且仅需<
br>?
??k
?
?,k?Z
,
32
?
?
即:
?
?k
?
?,k?Z
又
0?
?
?
?
,所以
k
只能取
0
,从而
?
?
66
4
(7,??)
x?[?1,2]
时,
f(x)
max
?7
3
5
2
n?1
?2
y
n?1nn?1
??2n?2,切线方程为:y?2??2
???
n?2
?
(x?2
)
,
x?2
令
x?0
,求出切线与
y
轴交点的纵
坐标为
y
0
?
?
n?1
?
2
,所以
n
21?2
n
?
a
n
?
则数列
?
?2
n?1
?2
?
的前
n
项和
Sn
?
1?2
?
n?1
?
三、解答题
??
a
n
?2
n
,
n?1
精品资料
p>
_________________________________________
__________________________________________________
___________________
1
解:
y?(1?cos2x)?(2cosx)?8cosx
3236
y<
br>'
?48cos
5
x?(cosx)
'
?48cos
5
x?(?sinx)
??48sinxcos
5
x
1111
???
2x?42x?32x?44x?12
'
当
x??2
时,
y?0
,即
[?2,??)
是函数的递增区
间,当
x??2
时,
y
min
??1
所以值域为
[?1,??)
32'2
3
解:(1)
f(x)?x?ax?bx?c,f(x)?3x?2ax?b
2124
1
'
由
f(?)??a?b?0
,
f
'
(1)?3
?2a?b?0
得
a??,b??2
3932
'2
f(x
)?3x?x?2?(3x?2)(x?1)
,函数
f(x)
的单调区间如下表:
222
(??,?)?(?,1)
x
(1,??)
1
333
?
?
0
0
f
'
(x)
?
2
解:函数的定义域为
[?2,??)
,
y?
'
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
2
,1)
;
3
1
2
2222
3
(2)
f(x)?x?x?2x?c,x?[?1,2]
,当
x??
时,f(?)??c
23327
2
为极大值,而
f(2)?2?c
,则
f(2)?2?c
为最大值,要使
f(x)?c,x?[?1,2]
所以函数
f(x)
的递增区间是
(??,?)
与
(1
,??)
,递减区间是
(?
恒成立,则只需要
c?f(2)?2?c
,得
c??1,或c?2
2
3
2
x
2
?ax?b
4
解:设
g(x)?
x
∵
f(x)
在
(0,1)<
br>上是减函数,在
[1,??)
上是增函数
∴
g(x)
在(0,1)
上是减函数,在
[1,??)
上是增函数
?
b
?1?0
?
g'(1)?0
?
a?1
∴
?
∴
?
解得
?
a?b?1?3
g(1)?3b?1<
br>?
??
经检验,
a?1,b?1
时,
f(x)
满足题
设的两个条件
精品资料
____________________
__________________________________________________
________________________________________
选修2-2第一章
(导数及其简单应用)
测试题
班级
姓名 学号 成绩
一、选择题(本大题共有10小题,每小题5分,共50分)
1.
f(x)=
x
,
f'(x
0
)
=6,则
x
0
= (
)
3
(
A
)
2
(
B
)
-
2
(
C
)
?
2、设连续函数
2
(
D
) ±1
b
f
(x)?0
,则当
a?b
时,定积分
?
a
f(x)dx的符号
A、一定是正的 B、一定是负的
C、当
0?a?b
时是正的,当
a?b?0
时是负的
D、以上结论都不对
3、
f'(x
0
)
=0是可导函数<
br>y
=f(x)在点
x
=
x
0
处有极值的 (
)
(
A
)充分不必要条件
(
B
)必要不充分条件
(
C
)充要条件
(
D
)非充分非必要条件
3
4、曲线y=x+x-2
在点P
0
处的切线平行于直线y=4x,则点P
0
的坐标是( )
A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或(1,0)
D.(-1,-4)
5、若
?
2
(2x?3x)dx?0
,则k=( )
0
k
A、1 B、0 C、0或1 D、以上都不对
6.设y=x-lnx,则此函数在区间(0,1)内为( )
A.单调递增,
B、有增有减 C、单调递减, D、不确定
7.
已知f(x)=
3
x
·sinx,则f’(1)=( )
精品资料 <
/p>
________________________________________
__________________________________________________
____________________
A .
111
+cos1
B. sin1+cos1 C. sin1-cos1 1+cos1
333
8.
若函数f(x)在区间(a ,b)内函数的导数为正,且f(b)≤0,则函数f(x)在(a,
b)内有( )
A f(x) 〉0 B f(x)〈 0 C
f(x) = 0 D 无法确定
9. 抛物线
y
=(1-2x)
在点
x
=
2
2
3
处的切线方程为( )
2
A. y
=0
B
.8
x
-
y
-8=0
C.x
=1
D
.y
=0或者8
x
-
y
-8=0
10.函数
y=2
ln(x
A.
?1)
的导数是(
)
2log
2
ex
ln(x
2
?1)
2ln2x
ln(x
2
?1)
2
B.
2
2
2
x?1
x?1
ln2
2ln2
ln(x
2
?1)ln(x
2
?1)
2
C.
2
2
D.
2
x?1
x?1
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
11
、用定积分的几何意义,则
?
32
3
?3
9?x
2
dx
=
2.函数y=2x-3x-12x+5在[0,3]上的最大值是 最小值是
32
13.若f(x)=x+3ax+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围
是_________
14.设有长为a,宽为b的矩形,其底边在半径为R的半圆的直径所在的
直线上,另两个
顶点正好在半圆的圆周上,则此矩形的周长最大时,
a
=
b
三、解答题:本大题6小题,共80分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)。
15.(本题满分12分)设f(x)=x+
16、(本题满分14分)计算下列定积分
(1)
?
2
(3x0
3
3
,求函数f(x)的单调区间及其极值;
x
?
2
?sinx)dx
(2)
?
?
2
cos
2
xdx
6
?
精品资料
_____________________________________________
__________________________________________________
_______________
17.(本题满分12分)求抛物线
y?x
与直线x+y=2所围图形的面积.
18.
(本题满分14分)求证:若x>0,则ln(1+x)>
19. (本题满分14分)已知函数f(x)=4x+ax+bx+5在x=-1与x=
20. (本题满分14分) 做一
个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价
格为a元,侧面的材料每单位面积价格为b元
,问锅炉的底面直径与高的比为多少时,造
价最低?
精品资料
2
x
;
1?x
32
3
处有极值。
2
(1)写出函数的解析式;(2)求出函数的单调区间;
(3)求f(x)在[-1,2]上的最值。
__________________
__________________________________________________
__________________________________________
答案:
一、CCBBC,CBBBA
二、11、
9
?
12、-5,15 13、a>2 or a<-1 14、4
三、15、增区间为(0,+
?
),(-
?
,-1)
,减区间为(-1,0),(0,1)
极大值为f(-1)=-4, 极小值为f(1)=4
3
?
16、(1)
2
8
?
3
?1
(2)
?
68
17、略 18、略
32
19、(1) a=-3,b=-18,f(x)=4x-3x-18x+5
3
3
,+
?
),减区间为(-1,)
2
2
361
(3)[ f(x)]
max
=
f(-1)=16 [f(x)]
min
= f()=-
24
(2
)增区间为(-
?
,-1),(
18、直径与高的比为a:b
精品资料
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