高中数学选修2-2全套知识点及练习答案解析

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选修2-2 知识点及习题答案解析
导数及其应用
一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义：
瞬时速率。一般的，函数
y ?f(x)
在
x
我们称它为函数
?x
0
处的瞬时变化率是< br>lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
，
?x?0
?x
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数，记作f
?
(x
0
)
或
y
?
|
x? x
0
，即
f
?
(x
0
)
=
lim
2.
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
导数的几何意义：
曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点
P
n
趋近于
P
时，直线
PT
与曲线相切。容易知道，割线
P P
n
的
斜率是
k?
f(x
n
)?f(x
0
)
，当点
P
n
趋近于
P
时，函数
n
x
n
?x
0
k，即
k?lim
f(x
n
)?f(x
0
)
?f
?
(x)

0
?x? 0
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数就是切线PT的斜率
x
n
?x
0
3. 导函数：当x变化时，
也记作
f
?
(x)
便是x的一个函数，我们称它为
f(x)
的导函数.
y?f(x)
的导函数有时
y
?
,即
f(x??x)?f(x)

?x
f
?
(x)?lim
?x?0
二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若
f(x)?c
(c为常数)，则
f
?
(x)?0
； 2 若
f(x)?x
?
,则
f
?
(x)?
?
x
3 若
f(x)?sinx
,则
5 若
7 若
?
?1
;
f
?
(x)?cosx
4 若
f(x)?cosx
,则
f
?
(x)??sinx
; < br>f(x)?a
x
,则
f
?
(x)?a
x
ln a
6 若
f(x)?e
x
,则
f
?
(x)?e
x

x
,则
f
?
(x)?
f(x)?log
a
1
8 若
f(x)?lnx
,则
f
?
(x)?
1

xlna
x
2.
导数的运算法则
1.
[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g
?
(x)

[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g(x)?f(x)?g
?
(x)

f(x)f
?
(x)?g(x)?f(x)?g
?
(x)
3.
[

]
?
?
2
g(x)[g(x)]
复合函数求导
y?f(u)
和
u?g(x)
,称则
y
可以表示成为
x的函数,即
y?f(g(x))
为一个复合函数
y
?
?f
?
(g(x))?g
?
(x)

三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
(a,b)
内
.

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(1)如 果
f
?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间单调 递增；(2)如果
f
?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这
个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数
y?f(x)< br>的极值的方法是:（1）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极大值
（2）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f( x
0
)
是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
求函数
y?f(x)
在
[a,b]
上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值；
（2） 将函 数
y?f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
，
f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的
是最小值.
推理与证明
考点一 合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质 的推理,叫做归纳推
理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据两类不同事物之间 具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的
推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类事物的相似性或一致性;
(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3) 一般的,事物之 间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同
或相似,那么他们在 另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
(4) 一般情况下,如果类比的相似性越 多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越
可靠.
考点二 演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.
考点三 数学归纳法
1. 它是一个递推的数学论证方法.
2. 步骤:A.命题 在n=1（或
n
0
）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立； C.证明n=k+1时
命题也成立,
完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=
n
0
,且
n?N
)结论都成立。
考点三 证明
1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:
数系的扩充和复数的概念
复数的概念
(1) 复数:形如
a?bi(a?R,b?R)
的数叫做复数 ，
a
和
b
分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数
a?bi(a?R,b?R)
中,当
b?0
,就是实数;
b?0
,叫做虚数;当
a?0,b?0
时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。
.

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(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
复数的运算
1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行
设
z
1
?a?bi,z
2
?c?di(a,b,c,d?R)
则
（1）
z
1
?z
2
?(a?c)?(b?d)i
（2）
z
1
?z
2
?(ac?bd)?(ad?bc)i
（3）
z
1
(ac?bd)?(ad?bc)i
?(z
2
?0)

22
z
2
c?d
2,几个重要的结论
(1)
|z
1
?z
2
|
2
?|z
1
?z
2
|
2
?2(|z
1
|
2
?|z
2
|
2
)
(2)
z?z?|z|
2
?|z|
2
(3)若
z
为虚数,则
|z|
2
?z
2

3.运算律
(1)
z
m
?z
n
?z
m?n
;(2)
(z< br>m
)
n
?z
mn
;(3)
(z
1
? z
2
)
n
?z
1
n
?z
2
n(m,n?R)

（1）
i
2
4.关于虚数单位i的一些固定结论：
??1
（2）
i
3
??i
（3）
i
4
?1
（2）
i
n
?i
n?2
?i
n?3
?i
n ?4
?0

练习一组
一、选择题
1．在平均变化率的定义中，自变量x在x
0
处的增量Δx( )
A．大于零
C．等于零
[答案] D
[解析] Δx可正，可负，但不为0，故应选D.
2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x
0
变化到x
0
＋Δx时，函数的改变量Δy为( )
A．f(x
0
＋Δx)
C．f(x
0
)·Δx
[答案] D
[解析] 由定义，函数值的改变量Δy＝f(x
0
＋Δx)－f(x
0
)，故应选D.
3．已知函数f(x)＝－x
2
＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( )
A．3
C．2.09
[答案] D
[解析] f(－1)＝－(－1)
2
＋(－1)＝－2.
f(－0.9)＝－(－0.9)
2
＋(－0.9)＝－1.71.
f(－0.9)－f(－1)－1.71－(－2)
∴平均变化率为＝＝2.9，故应选D.
0.1
－0.9－(－1)








B．0.29
D．2.9






B．f(x
0
)＋Δx
D．f(x
0
＋Δx)－f(x
0
)

B．小于零
D．不等于零
.

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4．已 知函数f(x)＝x
2
＋4上两点A，B，x
A
＝1，x
B
＝1.3，则直线AB的斜率为( )
A．2
C．2.09
[答案] B
[解析] f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.
f(1.3)－f(1)5.69－5
∴k
AB
＝＝＝2.3，故应选B.
0.3
1.3－1
5．已知函数f(x)＝－x
2
＋2x，函数f( x)从2到2＋Δx的平均变化率为( )
A．2－Δx
C．2＋Δx
[答案] B
[解析] ∵f(2)＝－2
2
＋2×2＝0，
∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)
2
＋2(2＋Δx)
＝－2Δx－(Δx)
2
，
∴
f(2＋Δx)－f(2)
＝－2－Δx，故应选B.
2＋Δx－2






B．－2－Δx
D．(Δx)
2
－2·Δx








B．2.3
D．2.1
Δy
6．已知函数y＝x
2
＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δ x,2＋Δy)，则等于( )
Δx
A．2





B．2x
D．2＋(Δx)
2
C．2＋Δx
[答案] C
[解析]
Δy
f(1＋Δx)－f(1)
＝
ΔxΔx
[(1＋Δx)
2
＋1]－2
＝＝2＋Δx.故应选C.
Δx
7．质点运动规律S(t)＝t
2
＋3，则从3到3.3内，质点运动的 平均速度为( )
A．6.3
C．3.3
[答案] A
[解析] S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，
S(3.3)－S(3)
1.89
∴平均速度v＝＝＝6.3，故应选A.
0.3
3.3－3
1
8．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y ＝x
2
、③y＝x
3
、④y＝中，平均
x
变化率最大的是( )
A．④ B．③








B．36.3
D．9.3
.

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C．②
[答案] B
D．①
[解析] Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k
1
＝1；②y＝x
2
在x＝1附近的
平均变化率k
2
＝2＋Δx＝2.3；③y＝x< br>3
在x＝1附近的平均变化率k
3
＝3＋3Δx＋(Δx)
2
＝3.99；
1110
④y＝在x＝1附近的平均变化率k
4
＝－＝－.∴k
3
＞k
2
＞k
1
＞k
4
，故应选B. < br>x13
1＋Δx
9．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t )，则物体在时间间
隔[t
0
，t
0
＋Δt]内的平均速度是( )
A．v
0




Δt
B.
s(t
0
＋Δt)－s(t
0
)
s(t)
D.
t
s(t
0
＋Δt)－s(t
0
)
C.
Δt
[答案] C
[解析] 由平均变化率的概念知C正确，故应选C.
1
1
1，
?
，Q是曲线上点P附近的一点，则点10．已知曲线y＝x
2
和这条曲线上的一点P
?
?
4
?
4
Q的坐标为 ( )
1
1＋Δx，(Δx)
2
?
A.
?4
??
1
1＋Δx，(Δx＋1)
2
?
C.
?
4
??
[答案] C
1
[解析] 点Q的横坐标应 为1＋Δx，所以其纵坐标为f(1＋Δx)＝
(Δx＋1)
2
，故应选C.
4
二、填空题
Δy
11．已知函数y＝x
3
－2，当x＝2时，＝________.
Δx
[答案] (Δx)
2
＋6Δx＋12
Δy
(2＋Δx)
3
－2－(2
3
－2)
[解析] ＝
ΔxΔx
(Δx)
3
＋6(Δx)
2
＋12Δx
＝
Δx
＝(Δx)
2
＋6Δx＋12.
11
12．在x＝2附近，Δx＝时，函数y＝的平均变化率为________．
4x
2
[答案] －
9


1
Δx，
(Δx)
2
?
B.
?
4
??
1
Δx，
(1＋Δx)
2
?
D.
?
4
??
.

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11
－
Δy
2＋Δx
2
12
[解析] ＝＝－＝－.
ΔxΔx
9
4＋2Δx
1
13．函数y＝x在x＝1 附近，当Δx＝时的平均变化率为________．
2
[答案]
[解析]
6－2
1＋Δx－1
Δy
1
＝＝＝6－2.
ΔxΔx< br>1＋Δx＋1
14．已知曲线y＝x
2
－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx ,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率
是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜 率是________．
[答案] 5 4.1
[解析] 当Δx＝1时，割线AB的斜率
Δy
(2＋Δx)
2
－1－2
2
＋1(2＋1)
2
－2
2
k
1
＝＝＝＝5.
ΔxΔx
1
当Δx＝0.1时，割线AB的斜率
Δy
(2＋0.1 )
2
－1－2
2
＋1
k
2
＝＝＝4.1.
Δx
0.1
三、解答题
15．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－ 2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)
及g(x)的平均变化率．
[解析] 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为
f(－1)－f(－3)[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]
＝＝2.
2
－1－(－3)
函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为
f(5)－f(0)
＝2.
5－0
函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为
g(－1)－g(－3)
＝－2.
－1－(－3)
函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为
g(5)－g(0)
＝－2.
5－0
2
16．过曲线f(x)＝< br>2
的图象上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB，求出当Δx
x
1
＝时割线的斜率．
4
[解析] 割线AB的斜率k＝
(2＋Δy)－2
Δy
＝
(1＋Δx)－1
Δx
.

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2
－ 2
(1＋Δx)
2
－2(Δx＋2)
72
＝＝＝－.
2< br>Δx
25
(1＋Δx)
17．求函数y＝x
2
在x＝1、2、 3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？
[解析] 在x＝2附近的平均变化率为 < br>f(1＋Δx)－f(1)(1＋Δx)
2
－1
k
1
＝＝＝2 ＋Δx；
ΔxΔx
在x＝2附近的平均变化率为
f(2＋Δx)－f(2)(2＋ Δx)
2
－2
2
k
2
＝＝＝4＋Δx；
ΔxΔx
在x＝3附近的平均变化率为
f(3＋Δx)－f(3)(3＋Δx)2
－3
2
k
3
＝＝＝6＋Δx.
ΔxΔx
对 任意Δx有，k
1
＜k
2
＜k
3
，
∴在x＝3附近的平均变化率最大．
18．路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84 mmin的速度在地面上从路灯在地面
上的射影点C处沿直线离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；
(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率．
[解析] (1)如图所示，设人 从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长
度为ym，由于CD∥BE，
则
即
ABBE
＝，
ACCD
y1.61
＝，所以y＝f(x)＝x.
4
y＋x
8
(2)84mmin＝1.4ms，在[0,10]内自变量的增量为

x
2
－x
1
＝1.4×10－1.4×0＝14，
117
f(x
2
)－f(x
1
)＝×14－×0＝. 442
7
f(x
2
)－f(x
1
)
2
1
所以＝＝.
144
x
2
－x
1
1
即人 离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率为.
4




.

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.

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练习二组

一、选择题
1．函数在某一点的导数是( )
A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
[答案] C
Δy
[解析] 由定义，f′(x
0
)是当Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数，故应选C.
Δx
2．如果质点A按照规律s＝3t
2
运动，则在t
0
＝3时的瞬时速 度为( )
A．6
C．54
[答案] B
[解析] ∵s(t)＝3t
2
，t
0
＝3，
∴Δs＝s (t
0
＋Δt)－s(t
0
)＝3(3＋Δt)
2
－3·3
2

Δs
＝18Δt＋3(Δt)
2
∴＝18＋3Δt.
Δt
Δs
当Δt→0时，→18，故应选B.
Δt
3．y＝x
2
在x＝1处的导数为( )
A．2x
C．2＋Δx
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝x
2
，x＝1，
∴Δy＝f(1＋Δx)
2
－f(1 )＝(1＋Δx)
2
－1＝2·Δx＋(Δx)
2

∴
Δy
＝2＋Δx
Δx

B．2
D．1






B．18
D．81
Δy
当Δx→0时，→2
Δx
∴f′(1)＝2，故应选B.
4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时 间的关系为s(t)＝4t
2
－3(s(t)的单位：m，
t的单位：s)，则t＝5 时的瞬时速度为( )
A．37
C．39
[答案] D






B．38
D．40
.

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[解析] ∵
Δs
4(5＋Δt)
2
－3－4×5
2
＋3
Δt
＝
Δ t
＝40＋4Δt，
∴s′(5)＝li
Δs
Δ
m
t
→
0

Δt
＝li
Δ
m
t
→
0
(40＋4Δt)＝40.故应选D.
5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( )
A．Δy＝f(x
0
＋Δx)－f(x
0
)叫做函数值的增量 B.
Δy
f(x
Δx
＝
0
＋Δx)－f(x
0
)
Δx
叫做函数在x
0
到x
0
＋Δx之间的平均变 化率
C．f(x)在x
0
处的导数记为y′
D．f(x)在x
0
处的导数记为f′(x
0
)
[答案] C
[解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C.
6．函数f(x)在x＝x
0
处的导数可表示为y′|x＝x
0
，即( )
A．f′(x
0< br>)＝f(x
0
＋Δx)－f(x
0
)
B．f′(x
0
)＝li
Δ
m
x
→
0
[f(x
0
＋Δx)－f(x
0
)]
C．f′(x＝
f(x
0
＋Δ x)－f(x
0
)
0
)
Δx

D．f′(x
f(x
0
＋Δx)－f(x
0
)
0
)＝li
Δ< br>m
x
→
0

Δx

[答案] D
[解析] 由导数的定义知D正确．故应选D.
7．函数y＝ax
2
＋bx ＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于( )
A．4a B．2a＋b
C．b D．4a＋b
[答案] D
[解析] ∵
Δy
a(2＋Δx)
2
＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－c
Δx
＝
Δx

＝4a＋b＋aΔx，
∴y′|
y
x< br>＝
2
＝li
Δ
Δ
m
x
→
0

Δx
＝li
Δ
m
x
→
0
(4a＋b＋a·Δx)＝4a＋b.故应选D.
8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )
A．圆 B．抛物线
C．椭圆 D．直线
[答案] D
[解析] 当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.
9．一物体作直线 运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t
2
，则物体的初速度为(
.
)

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A．0
C．－2
[答案] B








B．3
D．3－2t
Δs
3(0＋Δt)－(0＋Δt)
2
[解析] ∵＝＝3－Δt，
ΔtΔt
∴s′(0)＝li
Δ
m
t
→
0
Δs
＝3.故应选B.
Δt
f(x)－f (a)
1
10．设f(x)＝，则li
x
m 等于( )
→
a
x
x－a
1
A．－
a
1
C．－
2

a
[答案] C
11
－
xa
f(x)－f(a)
[解析] li
x
m ＝li
x
m
→
a
→
a
x－ax－a
＝li
x
m
→
a
a－x
11
＝－li
x
m ＝－.
→
a
axa
2
(x－a)·xa








2
B.
a
1
D.
2

a
二、填空题
11．已知函数y＝f(x)在x＝x
0
处的导数为11，则
f(x
0
－Δx)－f(x
0
)
li
Δ
m＝________；
x
→
0
Δx
li
x→
m
x
0
f(x)－f(x
0
)
＝________.
2(x
0
－x)
11
[答案] －11，－
2
[解析] li
Δ
m
x
→
0
＝－li
Δ
m
x
→
0
li
x→
m
x
0

f(x
0
－Δx)－f(x
0
)

Δx
f (x
0
－Δx)－f(x
0
)
＝－f′(x
0
)＝ －11；
－Δx
f(x)－f(x
0
)f(x
0
＋Δx) －f(x
0
)
1
＝－li
Δ
m
2
x< br>→
0
Δx
2(x
0
－x)
111
＝－f′( x
0
)＝－.
22
1
12．函数y＝x＋在x＝1处的导数是________．
x
[答案] 0
1
1
1＋
?
[解析] ∵Δy ＝
?
1＋Δx＋
1＋Δx
?
－
?
?
1?
??
.

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∴
1(Δx)
2
＝Δx－1＋＝，
Δx＋1Δx＋1
Δy ΔxΔx
＝.∴y′|
x
＝
1
＝li
Δ
m ＝0.
x
→
0
Δx＋1
Δx
Δx＋1
13．已知函数f( x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．
[答案] 2
Δy
a(2＋Δx)＋4－2a－4
[解析] ∵＝＝a，
ΔxΔx
∴f′(1)＝li
Δ
m
x
→
0
Δy
＝a.∴a＝2.
Δx
f(x)－f (x
0
)2x－3f(x)
，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则li
x< br>m 的值是
→
3
x－x
0
x－3
14．已知f′(x
0
)＝li
x→
m
x
0

________．
[答案] 8
[解析] li
x
m
→
3
＝lim
x
→
3
2x－3f(x)2x－3 f(x)＋3f(3)－3f(3)
＝li
x
m
→
3
x －3x－3
2x－3f(3)3(f(3)－f(x))
＋li
x
m .
→
3
x－3x－3
由于f(3)＝2，上式可化为
li
x
m
→
3
2(x－3)f(x)－f(3)
－3li
x
m ＝2－3×(－2)＝8.
→
3
x－3x－3
三、解答题
15． 设f(x)＝x
2
，求f′(x
0
)，f′(－1)，f′(2)．
[解析] 由导数定义有f′(x
0
)
＝li
Δ
m x
→
0
f(x
0
＋Δx)－f(x
0
)

Δx
(x
0
＋Δx)
2
－x
2
Δx( 2x
0
＋Δx)
0
＝li
Δ
m ＝lim ＝2x
0
，
x
→
0Δx
→
0
ΔxΔx

16．枪弹在 枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×10
5
ms
2
， 枪弹从
枪口射出时所用时间为1.6×10
3
s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
1
[解析] 位移公式为s＝at
2

2
111
2
∵Δs＝a(t
0
＋Δt)
2
－at
2
0
＝at
0
Δt＋a(Δt)
222
∴
Δs
1
＝at
0
＋aΔt，
Δt
2
－
.

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∴li
Δ
m
t
→
0
Δs
?
at
0
＋
1
aΔt
?
＝at
0
， ＝li
Δ
m
t
→
0
?
2
?
Δt
－
已知a＝5.0×10
5
ms
2
，t
0
＝1.6×10
3
s，
∴at
0
＝800ms.
所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800ms.
17．在曲线y＝f(x)＝x
2< br>＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，
Δy
求(1)
Δx
(2)f′(1)．
Δy
f(1＋Δx)－f(1)
[解析] (1)＝
ΔxΔx
(1＋Δx)
2
＋3－1
2
－3
＝＝2＋Δx.
Δx
(2)f′(1)＝
Δ
lim
x
→
0
f(1＋Δx)－f(1)

Δx
＝
Δ
lim (2＋Δx)＝2.
x
→
0< br>18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x
0
＝0处是否有导数？若有，求出来，若 没有，说明理由．
2
?
?
x＋x (x≥0)
[解析] f(x)＝
?

?
－x－x
2
(x<0)
?

Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)
2
?
?
Δx＋(Δx)
(Δx>0)
＝
?

?
－Δx－(Δx)
2
(Δx<0)
?

∴
x
lim
→
0
＋
lim
Δx
→
0
－
Δy
＝lim (1＋Δx)＝1，
Δx
Δx
→
0
＋
Δy
＝lim (－1－Δx)＝－1，
Δx
Δx
→
0
－
ΔyΔyΔy< br>≠
Δ
lim ，∴Δx→0时，无极限．
Δx
x
→
0
＋
ΔxΔx
＋
∵
Δ
lim
x
→
0
－
∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x
0
＝0处没有导数，即不可 导．(x→0表示x从大于0的一边
无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)





.

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练习三组

1．如果曲线y＝f(x)在点(x
0
，f(x
0
))处的切线方程 为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x
0
)＞0
C．f′(x
0
)＝0
[答案] B
11
[解析] 切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，即f′(x
0
)＝－＜0.故应选B.
22
3
1
1，－
?
处切线的倾斜角为( ) 2．曲线y＝x
2
－2在点
?
2
??
2
A．1
5
C.
π
4
[答案] B
11
[(x＋ Δx)
2
－2]－(x
2
－2)
22
[解析] ∵y′＝li
Δ
m
x
→
0
Δx
1
＝li
Δ
m (x＋
Δx)＝x
x
→
0
2
∴切线的斜率k＝y′|x
＝
1
＝1.
π
∴切线的倾斜角为，故应选B.
4
π
3．在曲线y＝x
2
上切线的倾斜角为的点是( )
4
A．(0,0)





B．(2,4)
11
?
D.
?
?
2
，< br>4
?









π
B.
4
π
D．－

4

B．f′(x
0
)＜0
D．f′(x
0
)不存在
11
?
C.
?
?
4
，
16
?

[答案] D
π
1
[解析] 易求y′＝2x，设在点P(x
0< br>，x
2
0
)处切线的倾斜角为，则2x
0
＝1，∴x
0
＝，
42
11
?
∴P
?
?
2
，
4
?
.
4．曲线y＝x
3
－3x
2
＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－4



B．y＝－3x＋2
D．y＝4x－5 C．y＝－4x＋3
[答案] B
[解析] y′＝3x
2
－6x，∴y′|
x
＝
1
＝－3.
由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.
.

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5．设f(x)为可导函数，且满足lim
x
→
0
处的切线斜率为( )
A．2
C．1
[答案] B
[解析] lim
x
→
0






f(1)－f(1－2x)
＝－1，则过曲线y＝ f(x)上点(1，f(1))
2x
B．－1
D．－2
f(1)－f(1－2x)f(1－2x)－f(1)
＝lim
x
→0
2x
－2x
＝－1，即y′|
x
＝
1
＝－1 ，
则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.
6．设f′(x< br>0
)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x
0
，f(x
0
))处 的切线( )
A．不存在



B．与x轴平行或重合
D．与x轴斜交 C．与x轴垂直
[答案] B
[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B.
7．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为( )
A．3,3





B．3，－1
D．－1，－1 C．－1,3
[答案] B
[解析] 由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B.
8．曲线 f(x)＝x
3
＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为( )
A．(1,0)或(－1，－4)
C．(－1,0)
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝x
3
＋x－2，设x
P
＝x
0
，
2 3
∴Δy＝3x
2
0
·Δx＋3x
0
·(Δx)＋(Δx) ＋Δx，


B．(0,1)
D．(1,4)
∴
Δy
2
＝3x
2
0
＋1＋3x
0
(Δx)＋(Δx )，
Δx
∴f′(x
0
)＝3x
2
0
＋1，又k＝4，
2
∴3x
2
1，
0
＋1＝4，x
0
＝1 .∴x
0
＝±
故P(1,0)或(－1，－4)，故应选A.
2
9 ．设点P是曲线y＝x
3
－3x＋上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值
3
范围为( )
π
2
0，
?
∪
?
π，π
?

A.
?
?
2
??
3
?
.

π
5
0，
?
∪
?
π，π
?
B.
?
?
2
??
6
?

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2
π，π
?

C.
?
?
3
?
[答案] A

π< br>5
?
D.
?
?
2
，
6
π
?

[解析] 设P(x
0
，y
0
)，
22
(x＋Δx)
3
－3(x＋Δx)＋－x
3
＋3x－
33
∵f′(x)＝li
Δ
m
x
→
0
Δx
＝3x< br>2
－3，∴切线的斜率k＝3x
2
0
－3，
2
－3≥－3. ∴tanα＝3x
0
π
2
0，
?
∪
?
π，π
?
.故应选A.
∴α∈
?
?
2
??
3
?
10．设P为曲线C：y＝x
2
＋2x ＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围
π
为[0，]，则点P横坐标的取值范围 为( )
4
1
A．[－1，－]
2
C．[0,1]
[答案] A
[解析] 考查导数的几何意义．
π
∵y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，]，
4
∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，
1
∴－1≤x≤－.
2
11．已知函数f(x)＝x
2
＋ 3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．
[答案] 4x－y－1＝0
[解析] ∵f(x)＝x
2
＋3，x
0
＝2
∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)
2

∴
ΔyΔy
＝4＋Δx.∴li
Δ
m ＝4.即f′(2)＝4.
x
→
0
ΔxΔx





B．[－1,0]
1
D．[，1]
2
又切线过(2,7)点，所 以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)
即4x－y－1＝0.
1
12．若函数f(x)＝x－，则它与x轴交点处的切线的方程为________．
x
[答案] y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)
1
[解析] 由f(x)＝x－＝0得x＝±1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．
x
.

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11
(x＋Δx)－－x＋
x
x＋Δx< br>∵f′(x)＝li
Δ
m
x
→
0
Δx
?
1＋
1
?
＝1＋
1
. ＝li
Δ
m x
→
0
?
x(x＋Δx)
?
x
2
1< br>∴切线的斜率k＝1＋＝2.
1
∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．
13．曲线C在点P(x
0
，y
0
)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个．
[答案] 至少一
[解析] 由切线的定义，直线l与曲线在P(x
0
，y
0
)处相切，但也可能与曲线其他部分有
公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至 少一个．
14．曲线y＝x
3
＋3x
2
＋6x－10的切线中，斜 率最小的切线方程为________．
[答案] 3x－y－11＝0
[解析] 设切点 P(x
0
，y
0
)，则过P(x
0
，y
0
)的切线斜率为
出其最小值．
设切点为P(x
0
，y
0
) ，过点P的切线斜率k＝
2
＝3x
2
0
＋6x
0
＋ 6＝3(x
0
＋1)＋3.当x
0
，它是x
0
的函数，求< br>＝－1时k有最小值3，此时P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.
三、解答题
7
1
4，－
?
处的切线方程． 15．求曲线y＝－x上一点P
?
4
??
x
[解析] ∴y′＝
Δ
lim
x
→
0
?
1
－
1
?
－(x＋Δx－x)
?
x＋Δx
x
?
Δx< br>
－Δx
Δx
－
x(x＋Δx)
x＋Δx＋x
＝Δ
lim
x
→
0
Δx
1
11
?< br>－1
－
?
＝
Δ
lim ＝－－ .
??
2
x
→
0
?
x(x＋Δx)
x
2x
x＋Δx ＋x
?
115
∴y′|
x
＝
4
＝－－＝－，
16416
7
4，－
?
处的切线方程为： ∴曲线在点P
?
4
??
75
y＋＝－(x－4)．
416
即5x＋16y＋8＝0.
16．已知函数f(x)＝x
3
－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
.

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(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．
(x＋Δx)
3
－3(x＋Δx)－3x
3
＋3x
[解析] (1)y′＝li
Δ
m ＝3x
2
－3.
x
→
0
Δx
则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率
k
1
＝f′(1)＝0，
∴所求直线方程为y＝－2.
(2)设 切点坐标为(x
0
，x
3
0
－3x
0
)，
则直线l的斜率k
2
＝f′(x
0
)＝3x
2
0
－3，
2
∴直线l的方程为y－(x
3
0
－3x
0
)＝(3x
0
－3)(x－x
0
)
又直线l过点P(1，－2)，
2
∴－2－(x
3
0
－3 x
0
)＝(3x
0
－3)(1－x
0
)，
3
－3x＋2＝(3x
2
－3)(x－1)， ∴x
0000
1
解得x
0
＝1(舍去)或x
0
＝－.
2
9
故所求直线斜率k＝3x
2
0
－3＝－，
4
991
于是：y－(－2)＝－(x－1)，即y＝－x＋.
444
1
17．求证：函数y＝x＋图象上的各点处的切线斜率小于1.
x
[解析] y′＝li
Δ
m
x
→
0
f(x＋Δx)－f(x)

Δx
＝li
Δ
m
x
→
0
＝li
Δ
m
x
→
0
＝li
Δ
m
x
→
0?
x＋Δx＋
1
?
－
?
x＋
1
?x＋Δx
?
?
x
?
?
Δx
x·Δx(x＋Δx )－Δx

(x＋Δx)·x·Δx
(x＋Δx)x－1

(x＋Δx)x

x
2
－1
1
＝
2
＝1－
2
＜1，
xx
1
∴y＝x＋图象上的各点处的切线斜率小于1.
x
18．已 知直线l
1
为曲线y＝x
2
＋x－2在点(1,0)处的切线，l
2
为该曲线的另一条切线，且
l
1
⊥l
2
.
(1)求直线l
2
的方程；
(2)求由直线l
1
、l
2
和x轴所围成的三角形的面积．
[解析] (1)y′|
x
＝
1

.

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(1＋Δx)
2
＋(1＋Δx)－2－(1
2
＋1－2)
＝li
Δ
m ＝3，
x
→
0Δx
所以l
1
的方程为：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
设l< br>2
过曲线y＝x
2
＋x－2上的点B(b，b
2
＋b－2)，
(b＋Δx)
2
＋(b＋Δx)－2－(b
2
＋b－2)
y ′|
x
＝
b
＝li
Δ
m
x
→
0
Δx
＝2b＋1，所以l
2
的方程为：y－(b
2
＋b－ 2)＝(2b＋1)·(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b
2
－2.
2122< br>因为l
1
⊥l
2
，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－，所以l
2
的方程为：y＝－x－.
339
?
?
(2)由
?
得
?
122
5
y＝－x－，
?
39
?< br>y＝－
?
2
，
?
y＝3x－3，

1
x＝，
6


15
，－
?
. 即l
1
与l
2
的交点坐标为
?
2
??
6< br>22
－，0
?
. 又l
1
，l
2
与x轴交点 坐标分别为(1,0)，
?
?
3
?
522
1125
－
?
×
?
1＋
?
＝. 所以所求三角形面积S＝×
?
3
?
122
?
2
??





.

练习三组

1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x
－
1
，则y′＝－x
－
2


[答案] D



2.曲线y＝
1
3
x
3
－2在点
?
?
－1，－
7
3
??
处切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．60°
[答案] B
[解析] y′|
x
＝－
1
＝1，∴倾斜角为45°.
3.函数y＝(x＋1)
2
(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] y′＝[(x＋1)
2
]′(x－1)＋(x＋1)
2
(x－1)′
＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)
2
＝3x
2
＋2x－1，
∴y′|
x
＝
1
＝4.
4.设f(x)＝ax
3
＋bx
2
＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是(
A．b
2
－4ac>0 B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0 D．b
2
－3ac<0
[答案] D
[解析] ∵a>0，f(x)为增函数，
∴f′(x)＝3ax
2
＋2bx＋c>0恒成立，
∴Δ＝(2b)
2
－4×3a×c＝4b
2
－12ac<0，∴b
2
－3ac<0 .
.
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)

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5．已知函数f(x)在点x
0
处连续，下列命题中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x
0
附近的左侧f′(x)> 0，右侧f′(x)<0，那么f(x
0
)是极小值
C．如果在点x
0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x
0
)是极大值
D ．如果在点x
0
附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x
0)是极大值
[答案] C
[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x
3
，f′(x)＝3x
2
，f′(0)＝0，但x＝0
不是f(x) 的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.

6.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)(
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．以上都有可能
[答案] A
[解析] ∵M＝m，∴y＝f(x)是常数函数
∴f′(x)＝0，故应选A.

7.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )
A．R B．2R
C.
4
3
R D.
3
4
R
[答案] C
[解析] 设圆锥高为h，底面半径为r，则R
2
＝(R－h )
2
＋r
2
，∴r
2
＝2Rh－h
2
< br>∴V＝
1
3
πr
2
h＝
π
3
h(2 Rh－h
2
)＝
2
3
πRh
2
－
π
3
h
3

V′＝
4
3
πRh－πh
2< br>.令V′＝0得h＝
4
3
R.
当04
3R时，V′>0；当
4R
3
因此当h＝
4
3
R时，圆锥体积最大．故应选C.
5
8.．和式
?
(y
i
＋1)可表示为( )
i
＝
1
A．(y
1
＋1)＋(y
5
＋1)
B．y
1
＋y
2
＋y
3
＋y
4
＋ y
5
＋1
C．y
1
＋y
2
＋y
3
＋y
4
＋y
5
＋5
D．(y
1
＋1)(y
2
＋1)…(y
5
＋1)
.
)

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[答案] C
[解析]
?
(y
i
＋1)＝(y
1
＋1)＋(y
2
＋1)＋(y
3
＋1)＋(y
4
＋1)＋(y
5
＋1)＝ y
1
＋y
2
＋y
3
＋y
4
＋y
5
＋
i
＝
1
5
5，故选C.
9．设f(x)是[a，b]上的连续函数，则f(x)dx－f(t)dt的值( )
A．小于零
C．大于零
[答案] B
[解析] f(x) dx和f(t)dt都表示曲线y＝f(x)与x＝a，x＝b及y＝0围成的曲边梯形面积，
不因曲线 中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.
2
?
?
x (0≤x<1)
10.．设f(x)＝
?
，则f(x)dx等于( )
?
2－x (1≤x≤2)
?






B．等于零
D．不能确定

3
A.
4
5
C.
6










4
B.
5
D．不存在
[答案] C
[解析] f(x)dx＝x
2
dx＋(2－x)dx
11
取F
1
( x)＝x
3
，F
2
(x)＝2x－x
2
，
32< br>则F′
1
(x)＝x
2
，F′
2
(x)＝2－x < br>∴f(x)dx＝F
1
(1)－F
1
(0)＋F
2
( 2)－F
2
(1)
1
115
2×1－×1
2
?
＝.故应选C. ＝－0＋2× 2－×2
2
－
?
2
??
632
11.．如图所示， 阴影部分的面积为( )

A.f(x)dx
C.[f(x)－g(x)]dx
[答案] C
[解析] 由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为[f(x)－g(x)]dx.

12已知f(x)＝x
3
的切线的斜率等于1，则其切线方程有( )
A．1个
B.g(x)dx
D.[g(x)－f(x)]dx
.

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B．2个
C．多于两个
D．不能确定
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝x
3
，∴f′(x)＝3x
2
，
3
令3x
2
＝1，得x＝±，
3
即切点坐标为
?
33
??
33
或
－，－
?
.
，
9
??
39
??
3
33332323
＝x－或y＋＝x＋， 即y＝x－或y＝x＋.
939399
由点斜式可得切线方程为y－
故应选B. 13.若曲线y＝x
2
＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
[答案] A
[解析] y′＝2x＋a，∴y′|
x
＝
0
＝(2x＋a)|x
＝
0
＝a＝1，
将(0，b)代入切线方程得b＝1.
14.关于归纳推理，下列说法正确的是( )
A．归纳推理是一般到一般的推理
B．归纳推理是一般到个别的推理
C．归纳推理的结论一定是正确的
D．归纳推理的结论是或然性的
[答案] D
[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D.
15.下列说法正确的是( )
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论无法判定正误
[答案] B
[解析] 由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身
就是一 个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确，故应选
.

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B.
16.“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABC D的对角线相等”，补充以上推理的大前
提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
[答案] B
[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边
形．故应选B.
1
17.证明命题“f(x)＝e
x
＋
x
在(0，＋∞)上是增函数 ”，一个同学给出的证法如下：
e
11
∵f(x)＝e
x
＋
x
，∴f′(x)＝e
x
－
x
.
ee
1
∵x>0，∴e
x
>1,0<
x
<1
e
1
∴e
x
－
x
>0，即f′(x)>0，
e
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( )
A．综合法 B．分析法
C．反证法
[答案] A
[解析] 该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.
18.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解
B．有两个解
C．至少有三个解
D．至少有两个解
[答案] C
[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”
的否 定为“至少有三个解”，故应选C.
111
19.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋
n
*
，n>1)时，第一步应验证不等式
23
2－1( )
1
A．1＋<2
2
D．以上都不是
.

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11
B．1＋＋＜2
23
11
C．1＋＋＜3
23
111
D．1＋＋＋＜3
234
[答案] B
[解析] ∵n∈N
*
，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为
选B.
20.命题“对于任意角θ，cos
4
θ－sin
4
θ＝cos2θ”的证 明：“cos
4
θ－sin
4
θ＝(cos
2
θ－
sin
2
θ)(cos
2
θ＋sin
2
θ)＝cos
2
θ－sin
2
θ＝cos2θ”的过程应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．以上都不是
[答案] B
[解析] 所用方法符合综合法的定义，故应选B.
21.．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；
直角三角形的面积等于底乘高的一半；
钝角三角形的面积等于底乘高的一半；
所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．
以上推理运用的推理规则是( )
A．三段论推理
B．假言推理
C．关系推理
D．完全归纳推理
[答案] D
[解析] 所有三角 形按角分，只有锐角三角形、Rt三角形和钝角三角形三种情形，上述
推理穷尽了所有的可能情形，故为 完全归纳推理．
22.i是虚数单位，计算i＋i
2
＋i
3
＝( )
A．－1
B．1
C．－i
D．i
[答案] A
.
＝，故
2
2
－1
3
11

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[解析] i＋i
2
＋i
3
＝i－1－i＝－1.
23.．如果复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则( )
A．a>0，b<0
B．a>0，b>0
C．a<0，b<0
D．a<0，b>0
[答案] D
[解析] 复数z＝a＋bi在复平面内的对应 点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a<0且
b>0，故应选D.
24.i是虚数单位，
i
＝( )
3＋3i
13
A.－i
412
13
B.＋i
412
13
C.＋i
26
13
D.－i
26
[答案] B
[解析]
＝
i(3－3i)
i
＝
3＋3i(3＋3i)(3－3i)
3＋3i
13
＝＋i，故选B.
12412
25.复数z是实数的充分而不必要条件为( )
A．|z|＝z B．z＝z
C．z
2
是实数 D．z＋z是实数
[答案] A
[解析] 由|z|＝z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此时|z |≠z，
故|z|＝z是z为实数的充分不必要条件，故选A.
26.．复数i
3
(1＋i)
2
＝( )
A．2 B．－2
C．2i D．－2i
[答案] A
[解析] 考查复数代数形式的运算．
i
3
(1＋i)
2
＝－i·(2i)＝2.
?
3－i
?
2
＝( ) 27.复数
??
?
1＋i
?
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
[答案] A
.

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3－i
?
2
8－6i
?
[解析]
??
＝
2i
＝－3－4i.
?
1＋i
?

.