高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版附后)

高中数学选修2-2导数4
高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版附后）
π
1．若f(x)＝sin－cosx，则f ′(α)等于( )
3
ππ
A．Sinα B．Cosα C．sin＋cosα D．cos＋sinα
33
1
2．设函数f(x)＝x＋ax的导数为f ′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N
*
)的前n项和( )
f?n?
m
A.
n＋2n＋1
nn
B． C. D．
n

n＋1n＋1n－1
3．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f ′(x)的图象大致形状是( )

4．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e)＋lnx，则f ′(e)＝( )
A．e
－
1
B．－1 C．－e
－
1
D．－e
?
??
?
5．曲线y＝ xsinx在点
?
-，
?
处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积 为
?
22
?
π
2
1
（ ） A. B．π
2
C．2π
2
D．(2＋π)
2

22
6．已知f(x)＝log
a
x(a>1)的导函数是f ′(x)，记A＝f ′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f ′(a
＋1)，则( )
A．A>B>C B．A>C>B C．B>A>C D．C>B>A
7．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
8．设f
0
(x )＝sinx，f
1
(x)＝f
0
′(x)，f
2
(x)＝ f
1
′(x)，…，f
n
＋
1
(x)＝f
n
′(x)，n∈N，则f
2017
(x)
等于( )
A．Sinx B．－sinx C．Cosx D．－cosx
9．已知f(x)为偶函数，当x≤0时 ，f(x)＝e
－
x
－
1
－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2) 处的切线
方程是________________.

高中数学选修2-2导数4
10．设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝________.
11．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________.
1
12．设曲线y＝e在点(0,1)处的切线与曲线y＝
x
(x>0)上点P处的 切线垂直，则P的坐
x
标为________.
13．
等比数列{a
n
}中，a
1
＝2，a
8
＝4，函数f(x)＝x(x－a
1
)(x－a
2
)…(x－a
8
)，则f ′(0)＝______.
14．求下列函数的导数：
111
(1)y＝x(x
2
＋
x
＋
3
)； (2)y＝(x＋1)(－1)；
x
x


1＋x1－x
(3)y＝sin＋cos； (4)y＝＋ .
44
1－x1＋x
4
x
4
x



15．偶函数f(x)＝ax
4
＋bx
3
＋c x
2
＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程
为y＝x－2，求 y＝f(x)的解析式.





1
16．已 知f(x)＝x
3
＋bx
2
＋cx(b，c∈R)，f ′(1)＝0，x∈ [－1,3]时，曲线y＝f(x)的切线
3
斜率的最小值为－1，求b，c的值.

高中数学选修2-2导数4
高中数学选修2-2导数 --导数的运算（解析版）

π
1．若f(x)＝sin－cosx，则f ′(α)等于( )
3
ππ
A．Sinα B．Cosα C．sin＋cosα D．cos＋sinα
33
[答案] A
π
[解析] ∵f(x)＝sin
－cosx，∴f ′(x)＝sinx，∴f ′(α)＝sinα，故选A.
3
1
2．设函数f(x)＝x
m
＋ax的导数为f ′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N
*
)的前n项和是( )
f?n?
n＋2
nn
A. B． C.
n＋1n＋1n－1
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝x
m
＋ax的导数为f ′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x
2
＋x，
1
∴f (n)＝n
2
＋n＝n(n＋1)，∴数列{}(n∈N
*
)的前n项和为：
f?n?
11
?
111
1111
1－
?
＋
?
－
?
＋…＋
?
n
－
S
n
＝＋＋＋…＋＝
?
2
??
23
?
?
n＋1
?

1×22×33×4n?n＋1?
?
1n
＝1－＝，故选A.
n＋1n＋1
3．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f ′(x)的图象大致形状是( )
n＋1
D．
n

[答案] B[解析] 依题意可设f(x)＝ax
2
＋c(a<0，且c>0)，于是f ′(x)＝2ax，显然f ′(x)的图象为
直线，过原点，且斜率2a<0，故选B.
4．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e)＋lnx，则f ′(e)＝( )
A．e
－
1
B．－1 C．－e
1

－
D．－e
11
[答案] C[解析] ∵f(x)＝2xf ′(e)＋lnx，∴f ′(x)＝2f ′(e)＋
，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋，
xe
1
解得f ′(e)＝－，故选C.
e

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5．曲线y＝xsinx在点
?
-
?
??
?
，
?
处的切线与x轴、直线x＝π所 围成的三角形的面积为( )
22
??
π
2
1
A. B．π
2
C．2π
2
D．(2＋π)
2

22
ππ
－，
?
处的切线方程为y＝－x，
[答案] A[解析] 曲线y＝xsinx在点
?
所围成的三角形的顶点
?
22
?
π
2
为O(0,0)，A(π，0)，C(π，－π)，∴三角形面积为.
2
6．已知f(x)＝log
a
x(a>1)的导函数是f ′(x)，记A＝f ′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f ′(a＋1)，则( )
A．A>B>C B．A>C>B C．B>A>C D．C>B>A
[答案] A[解析] 记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝f?a＋1?－f?a?
，
?a＋1?－a
表示直线MN的斜率，A＝f ′(a)表示函数f(x)＝log
a
x在点M处的切线斜率；C＝f ′(a＋1)表示函< br>数f(x)＝log
a
x在点N处的切线斜率．所以，A>B>C.
7．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1 C．2
[答案] D
[解析] 本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．
1
令f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f ′(x)＝a－.∴f(0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a＝3，故选D.
x＋1
8．设f
0
(x)＝sinx，f
1
(x)＝f
0
′(x) ，f
2
(x)＝f
1
′(x)，…，f
n
＋
1(x)＝f
n
′(x)，n∈N，则f
2017
(x)等于( )
A．Sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
D．3
[答案] C[解析] f
0
(x)＝sinx，f
1
(x)＝f< br>0
′(x)＝(sinx)′＝cosx，f
2
(x)＝f
1
′(x)＝(cosx)′＝－sinx，
f
3
(x)＝f
2
′( x)＝(－sinx)′＝－cosx，f
4
(x)＝f
3
′(x)＝(－c osx)′＝sinx，∴4为最小正周期，
∴f
2017
(x)＝f
1
(x)＝cosx.故选C.
9．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e
________________.
[答案] y＝2x[解析] 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝e
x1
＋x. 又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)
－
－
x
－
1
－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是
e
x
＝＋x，所以当x> 0时，
e
f ′(x)＝e
x1
＋1，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y－2
－
＝2(x－1)，即y＝2x.
10．设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝________.

高中数学选修2-2导数4
π
[答案] [解析] f ′(x)＝－3sin(3x＋φ)，
6
5π
3x＋φ＋
?
. f(x)＋f ′(x)＝cos(3x＋ φ)－3sin(3x＋φ)＝2sin
?
6
??
若f(x)＋f ′(x)为奇函数，则f(0)＋f ′(0)＝0，
5π
5ππ
φ＋
?< br>，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝. 即0＝2sin
?
6??
66
11．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为___ _____.
1
[答案]
ln2
2
11
[解析] ∵ y＝ln(x＋a)，∴y′＝
，设切点为(x
0
，y
0
)，则y< br>0
＝2x
0
－1，y
0
＝ln(x
0
＋a) ，且
x＋ax
0
＋a
1
＝2，解之得a＝ln2.
21
12．设曲线y＝e
x
在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处 的切线垂直，则P的坐标为________.
x
[答案] (1,1)
[解析] 设f(x)＝e
x
，则f ′(x)＝e
x
，所以f ′(0)＝1，因此曲 线f(x)＝e
x
在点(0,1)处的切线方程
11
为y－1＝1×(x－0 )，即y＝x＋1；设g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝－
2
，由题意可得g′(xP
)＝－1，
xx
解得x
P
＝1，所以P(1,1)．故本题正 确答案为(1,1)．
13．等比数列{a
n
}中，a
1
＝2，a
8
＝4，函数f(x)＝x(x－a
1
)(x－a
2
)…( x－a
8
)，则f ′(0)＝________.
[答案] 2
12

[解析] f ′(x)＝x′·[(
x
－
a1
)(
x
－
a
2
)…(
x
－
a
8
)]＋[(
x
－
a
1
)(
x
－
a
2
)…(
x
－
a
8
)]′·x ＝(x－a
1
)(x－a
2
)…(x－a
8
)＋[(< br>x
－
a
1
)(
x
－
a
2
) …(
x
－
a
8
)]′·x，
所以f ′(0)＝(0－a
1
)(0－a
2
)…(0－a
8
)＋[(0－
a< br>1
)(0－
a
2
)…(0－
a
8
)]′·0 ＝a
1
a
2
…a
8
.
因为数列{a
n< br>}为等比数列，所以a
2
a
7
＝a
3
a
6< br>＝a
4
a
5
＝a
1
a
8
＝8，所以 f ′(0)＝8
4
＝2
12
.
14．求下列函数的导数： 1＋x1－x
111xx
(1)y＝x(x
2
＋＋
3
) ；(2)y＝(x＋1)(－1)；(3)y＝sin
4
＋cos
4
；(4) y＝＋ .
xx44
x1－x1＋x
11
12
x
2
＋＋
3
?
＝x
3
＋1＋
2
，∴y′＝3x
2
－
3
.
[解析] (1)∵y＝x
?
xx
? ?
xx
(2)∵y＝(x＋1)
?
1
1111131
?1
?
－1
?
＝－x＋x－，∴y′＝－x－－x－＝－
1＋.
x
?
222222
?
x
?
2x
?

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xx
xxxx1x1
1－cos x
31
sin
2
＋cos
2
?
2
－2si n
2
cos
2
＝1－sin
2
＝1－·(3)∵y＝sin
4
＋cos
4
＝
?
＝＋cosx，
4
?
44
?
4
44222244
1
∴y′＝－sinx. 4
1＋x1－x?1＋x?
2
?1－x?
2
2＋2x
4
(4)∵y＝＋＝＋＝＝－2，
1－x1－x1－x1－x
1－x1＋x
4
－4?1－x?′
4
∴y′＝
?
1－x
－2
?′＝＝.
2
??
?1－x??1－x?
2
15．偶函数f(x )＝ax
4
＋bx
3
＋cx
2
＋dx＋e的图象过点P(0 ,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求
y＝f(x)的解析式.
[解析] ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax
4
＋bx
3
＋cx
2
＋dx＋e＝ax
4< br>－bx
3
＋cx
2
－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax
4
＋cx
2
＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
59
∵f ′(x)|
x
＝
1
＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝，c＝－. < br>22
59
∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝x
4
－x
2
＋1.
22
1
16．已知f(x)＝x
3
＋bx
2
＋cx(b，c∈R)，f ′(1)＝0，x∈[－1,3]时，曲线y＝f(x)的切线斜率的 最小值
3
为－1，求b，c的值.
[解析] f ′(x)＝x
2
＋2bx＋c＝(x＋b)
2
＋c－b
2
，
且f ′(1)＝1＋2b＋c＝0.①
(1)若－b≤－1，即b≥1，则f ′(x)在[－1,3]上是增函数，所以f ′(x)
min
＝f ′(－1)＝－1，
1
即1－2b＋c＝－1.②由①②解得b＝，不满足b≥1，故舍去．
4
(2)若－1<－b<3，即－3min
＝f ′(－b)＝－1，即b
2
－2b
2
＋c＝－1.③
由①③解得b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.
(3)若－b≥3，即b≤－3，则f ′(x)在[－1,3]上是减函数，
所以f ′(x)
min
＝f ′(3)＝－1，即9＋6b＋c＝－1.④
9
由①④解得b＝－，不满足b≤－3，故舍去 ．综上可知，b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.
4