最新高中数学选修2-2-2-3知识点、考点、典型例题

精品文档
高中数学选修2----2知识点
第一章 导数及其应用
知识点：
一．导数概念的引入
1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数< br>y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
我 们称它为函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数，记作
f< br>?
(x
0
)
或
y
?
|
x?x
0
，
即
f
?
(x
0
)
=
li m
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
， < br>?x
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点
P
n
趋近于
P
时，直线
PT
与曲线相切。容易知道，割
线< br>PP
n
的斜率是
k
n
?
f(x
n
) ?f(x
0
)
，当点
P
n
趋近于
P
时，函 数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数就是切线PT的
xn
?x
0
斜率k，即
k?lim
?x?0
f(x
n
)?f(x
0
)
?f
?
(x
0
)
x
n
?x
0
3. 导函数：当x变化时，
f
?
(x)
便是x的一个函数，我们称它为
f(x)
的导函数.
y? f(x)
的导函数有时也记作
y
?
,
即
f
?
(x)?lim
?x?0
f(x??x)?f(x)

?x
知识点：
二.导数的计算
1）基本初等函数的导数公式:
1若
f(x)?c
(c为常数)，则
f
?
(x)?0
；
2 若
f(x)?x
,则
f
?
(x)?
?
x
?
?
?1
;
3 若
f(x)?sinx
,则
f
?
(x)?cosx

4 若
f(x)?cosx
,则
f
?
(x)??sinx
;
5 若
f(x)?a
,则
f
?
(x)?alna

6 若
f(x)?e
,则
f
?
(x)?e

xx
xx
1

xlna
1
8 若
f(x)?lnx
,则
f
?
(x)?

x
x
7 若
f(x)?log
a
,则
f
?
(x)?
2）导数的运算法则
1.
[f(x)?g(x)]
?< br>?f
?
(x)?g
?
(x)

2.
[f( x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g(x)?f(x)?g
?(x)

精品文档

精品文档
f(x)f
?
(x)?g(x)?f(x)?g< br>?
(x)
?
[]?
3.
g(x)[g(x)]
2
3）复合函数求导
y?f(u)
和
u?g(x)
,称则
y
可以表示成为
x
的函数,即
y?f (g(x))
为一个复合函数
y
?
?f
?
(g(x))?g
?
(x)

考点：导数的求导及运算
★1、已知
f
?
x
?
? x
2
?2x?sin
?
，则
f
'
?
0?
?

f
'
?
x
?
?
★2、若
f
?
x
?
?e
x
sinx
，则
★3.f(x)
=ax
3
+3x
2
+2 ，
A.
10
3
B.
13
3
f
?
(?1)?4
，则a= （ ）
C.
16
3
D.
19

3★★4.过抛物线y=x
2
上的点M
(,)
的切线的倾斜角是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
3
9
2
x?3
与
y?2?x
在
x?x
0
处的切线互相垂直，则
x
0
=
2
三.导数在研究函数中的应用
知识点：
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
11
24
★★5. 如果曲线
y?
在某个区间
(a,b)
内，如果
f
?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间单调递增；
如果
f
?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数
y?f(x)
的极值的方法是:
(1) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极大值;
(2) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数
y?f(x)
在
[a,b]
上的最大值与最小值的步骤
（1） 求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值；
（2） 将函数
y?f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
，
f(b)
比较，其中最大的最大值，最小的是最小值.
精品文档

精品文档
四.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
考点：1、导数在切线方程中的应用
2、导数在单调性中的应用
3、导数在极值、最值中的应用
4、导数在恒成立问题中的应用
一、题型一：导数在切线方程中的运用
★1.曲线
y?x
在P点处的切线斜率为k,若k=3，则P点为（ ）
A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）
3
1
1
C.（2，8） D.（－
2
，－
8
）
★2.曲线
y?
1
3
x?x
2
?5
，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ）
3
??
?
3
?
A.
6
B.
4
C.
3
D.
4

二、题型二：导数在单调性中的运用
32
f(x)?x?3x?1
是减函数的区间为( ) ★1.(05广东卷)函数
A.
(2,??)
B.
(??,2)
C.
(??,0)
D.
(0,2)

32
f(x)?2x?6x?7
，下列说法不正确的是（ ） ★2．关于函数
A．在区间（
??
，0）内，
f(x)
为增函数 B．在区间（0，2）内，
f(x)
为减函数
?(2,??)
内,
f(x)
为增函数 C．在区间（2，
??
）内，
f(x)
为增函数 D．在区间（
? ?
，0）
?
★★3．(05江西)已知函数
y?xf(x)
的图象如 右图所示(其中
f'(x)
是函数
f(x)
的导函数)，下面四个图象中y?f(x)
的图象大致是（ ）













精品文档
y

1

x

1

2

-2

-1

O

-1

精品文档
y
2

1


y
2


y
4


y
4

2


O

-2

-1

1

2

x

-2

-1

O

1

1

2

x

2

1

-2

-1

O

1

-2

-2

-2

x

-2

-1

O

2

x


A

B

C

D

★★★4、（2010年山东21）（本小题满分12分）
已知函数
f(x)?1nx?ax?
（Ⅰ）当
a
1?a
?1(a?R).

x
??1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

（Ⅱ）当
a≤
1
时，讨论
f(x)
的单调性．
2
三、导数在最值、极值中的运用：
32
f(x)?x?ax?3x?9< br>，已知
f(x)
在
x??3
时取得极值，则
a
=（ ） ★1.（05全国卷Ⅰ）函数
A．2 B. 3 C. 4
32
D.5
★2．函数
y?2x?3x?12x?5
在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ）
A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16
★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数
得极值－2.
（1）试求a、c、d的值；
（2）求
f(x)
的单调区间和极大值； < br>2x?132
f(x)?xe?ax?bx
★★★4.（根据山东2008年文21改编 ）设函数，已知
x??2和x?1
为
f(x)
的极值
f(x)?ax
3
?cx?d(a?0)
是R上的奇函数，当
x?1
时
f( x)
取
点。（1）求
a,b
的值；
（2）讨论
f(x)
的单调性；
第二章 推理与证明
知识点：
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：
?
通过观察个别情况发现某些相同的性质；
?
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；
?
证明（视题目要求，可有可无）.
2、类比推理
精品文档

精品文档
由两类对象 具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比
推理 （简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤：
?
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
?
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
?
检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经 过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想
的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———“三段论”，包括
⑴大前提-----已知的一般原理；
⑵小前提----- 所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
5、直接证明与间接证明
⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系 列的推理论证，最后推导出所要证明的结论
成立.要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从 要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明
显成立 的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命< br>题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤：
(1)（反设）假设命题的结论不成立；
(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；
(3)（归谬）断言假设不成立；
(4)（结论）肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数
n
的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
*
（1）（归纳奠基）证明当
n
取 第一个值
n
0
(n
0
?N)
时命题成立；
*（2）（归纳递推）假设
n?k(k?n
0
,k?N)
时命题成立，推证 当
n?k?1
时命题也成立.
只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从< br>n
0
开始的所有正整数
n
都成立.
考点：无
第三章 数系的扩充与复数的引入
知识点：
一:复数的概念
(1) 复数:形如
a?bi(a?R,b?R)
的数叫做复数，
a
和
b分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数
a?bi(a?R,b?R)
中,当
b?0
,就是实数;
b?0
,叫做虚数;当
a?0,b?0
时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
精品文档

精品文档
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
2．相关公式
⑴
a?bi?c?di?a?b,且c?d

⑵
a?bi?0?a?b?0

⑶
z?a?bi?














































a
2
?b
2

⑷
z?a?bi

z，z
指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.
3．复数运算 ⑴复数加减法：
?
a?bi
?
?
?
c?di
?
?
?
a?c
?
?
?
b?d
?
i< br>；
⑵复数的乘法：
?
a?bi
??
c?di
??
?
ac?bd
?
?
?
bc?ad
?
i
；
a?bi
?
a?bi
??
c?di
?
?
⑶复数的除法：
c?di
?
c?di
??
c?di< br>?
ac?bd
?
?
?
bc?ad
?
i
ac?bdbc?ad
?
???i
c
2
?d
2
c
2
?d
2
c
2
?d
2

（类似于无理数除法的分母有理化
?
虚数除法的分母实数化）
4.常见的运算规律
(1)z?z;
2
(2)z?z?2a,z?z?2bi;

2(3)z?z?z?z?a
2
?b
2
;(4)z?z;(5)z?z?z ?R

(6)i
4n?1
?i,i
2
4n?2
?? 1,i
4n?3
??i,i
4n?4
?1;

2
( 7)
?
1?i
?
1?i1?i
?
1?i
?
??i;(8)?i,??i,
??
??i

1?i1?i
?
2
?
?1?3i
3n?1
2
?
?
,
?< br>3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1
是1的立 方虚根，则
1?
?
?
?
?0
，
?
2
(9)
设
?
?
考点：复数的运算
★山东理科1 若
z? cos
?
?isin
?
（
i
为虚数单位），则
z? ?1
的
?
值可能是
2
???
?
（B） （C） （D）
6432
4?3i
★山东文科1．复数的实部是（ ）
1+2i
A．
?2
B．
2
C．3 D．
4

（A）
★山东理科（2）设z的共轭复数是
z
，若z+
z
=4, z·
z
＝8，则
精品文档
z
等于
z