高中数学 综合测试题2 新人教A版选修2-2

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高中新课标数学选修（2-2）综合测试题

一、选择题（每题小题5分）
1.设y=
x
2
－
x
,则
x
∈[0,1]上的最大值是（ ）
A 0 B －
1
11
C D
4
24
2< br>2.若质点P的运动方程为S(t)=2t+t（S的单位为米，t的单位为秒），则当t=1时的瞬时速
度为（ ）
A 2米秒 B 3米秒 C 4米秒 D 5米秒
3.曲线ｙ＝－
5
1
3
x
－2在点（－1 ，
?
）处切线的倾斜角为（ ）
3
3
Ａ 30? Ｂ 45? Ｃ 135? Ｄ 150?
4.函数y=－2
x
+
x
3
的单调递减区间是（ ）
A (－∞,－
6
66666
) B (－,) C(－∞,－)∪(,+∞) D (,+∞)
3
33333
3
5.过曲线ｙ＝
x
＋１上一点 （-１，０），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（ ）
Ａ ｙ＝３ｘ＋３ Ｂ ｙ＝
6.曲线ｙ＝
xx1
＋３ Ｃ ｙ＝-- Ｄ ｙ＝-３ｘ-３
333
1
3
1
x
在点（１，）处的切线与直线ｘ＋ｙ-３＝０的夹角为
33
32
Ａ 30? Ｂ 45? Ｃ 60? Ｄ 90?
7.已知函数
f(x)
=
x
+a
x
+b的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x+y=0平行.则a、b的
值分别为（ ）.
A －3, 2 B －3, 0 C 3, 2 D 3, －4
8.已知
f(x)
=a
x
3
+3
x
2
+2,若
f(?1)
=4,则a的值等于（ ）
A

19101613
B C D
3333
3
9.函数
y
=
x
－12
x
+16在 [－3,3]上的最大值、最小值分别是（ ）
A 6，0 B 32, 0 C 2 5, 6 D 32, 16
10.已知a>0，函数ｙ＝
x
-aｘ在[1，+∞
)上是单调增函数，则a的最大值为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
11.已知
f(x)
=2
x
-6< br>x
+m（m为常数），在[-2，2]上有最大值3，则此函数在[-2，2]上的
最小 值为（ ）
A -37 B -29 C -5 D -11

1
32
3

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12.已知
f(x)
=
x
+
x
3
, 且x
1
+x
2
<0, x
2
+x
3
<0, x
3
+x
1
<0则（ ）
A f(x
1
)+f(x
2
)+f(x
3
)>0 B f(x
1
)+f(x
2
)+f(x
3
)<0 C f(x
1
)+f(x
2
)+f(x
3
)=0 D
f(x
1
)+f(x
2
)+f(x
3
)符号不能确定.
二、填空题（每小题4分）
13.过抛物线y=
f(x)
上一点A（1，0 ）的切线的倾斜角为45°则
f

(1)
=__________.
14.函数
f(x)
=
x
3
－3
x
的递减区间是_ _________
15.过点P(－1,2)且与曲线ｙ＝3
x
2
－4< br>x
+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是
__________.
16.函数
f(x)
=
x
(1－
x
2
)在[0,1 ]上的最大值为__________.
三、解答题
17.已知函数
f(x)=a
x
4
+b
x
2
+c的图像经过点(0,1)，且在
x
=1处的切线方程是y=
x
－2.
求
f(x)
的解析式；12分
18.证明：过抛物线y=a(x－x
1
)(x－x
2
)(a≠0, x
1
< x
2
)上两点A(x
1
,0),B(x
2
,0)的切线与x轴
所成的锐角相等。12分
19.已知
f(x)
=a
x
+b
x
+cx（a
?
0）在x=±1时取得极值且f （1）= -1
试求常数a、b、c的值并求极值。12分
20.已知函数
f(x )
=
32
a
3
x?ax
2
?x?1
.
3
（1）若
f(x)
在（－∞，+∞）上是增函数，求a的取值范围.
(2) 若
f(x)
在x=x
1
及x=x
2
(x
1
, x
2
>0)处有极值，且1<
x
1
≤5,求a的取值范围。12分
x
2
21.已知函数
f(x)
=ax+cx+d(a≠0)在R上满 足
f(?x)
=－
f(x)
,
当x=1时
f(x)
取得极值－2.
(1)求
f(x)
的单调区间和极大值;
(2)证明：对任意x
1
,x
2
∈(－1,1),不等式│
f(x
1
)?f(x2
)
│<4恒成立. 14分
22.如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相 等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成
一个无盖的方底盒子.
3

2

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x


x

（1）问切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积V
1
是多少？
（2）上述做法，材料有所浪费，如果可以对材料进行切割、焊接 ，请你重新设计一个方案，
使材料浪费最少，且所得无盖的盒子的容积
V
2
>
V
1
14分


答案：1.A2.D3.C4.B5.C6.D7.A8.B9.B10.D11.A12B13. 1 14.[－1,1] 15.2x－y+4=0 16.
23

9
提示：1.A f(1)=f(0)=0最大
2. D∵
S
?
=4t+1∴当t=1时的瞬时速度为5米秒
3. 选Ｃ∵
f

(x)
=－
x
2
∴
f

(?1 )
=－1即tanα=－1∴α=135?
4. 选B∵
y
?
=－ 2+3
x
2
<0,∴－
2
66
<
x
<
33
1
(x+1)即Ｃ答案
3
5. C∵
y
?< br>?3x
∴该点处的切线斜率为3，∴所求直线方程为y=－
2
6. 选Ｄ∵
y
?
=
x
,
y
?
│
x =1
=1,∴切线斜率为1,又直线斜率为－1∴两直线垂直∴夹角为
90?
7. A∵
f(x)
=3
x
2
+2ax，切线的斜率k=3+2a，3+2 a= -3 ∴a=-3又∵f（1）=a+b+1=0 ∴
b=2，故选A
8. 选B∵
f(x)
=3a
x
2
+6
x
∴
f(?1)
=3a－6∴a=
2


10

3
9. 选B ∵
y
?
=3
x
－12, 由
y
?
=0得< br>x
=±2当
x
=±2，
x
=±3时求得最大值32，最小值0
10. D∵
f(x)
=3
x
－a，∴若
f(x)
为增函数，则
f(x)
>0即a<3
x
要使a<3
x
,
x
∈[1,+
∞
)
，上恒成立，∴a≤3故选D
11. A令
f(x)
=0得


2

22
x
= 0或
x
=2，而f(0)=m,f(2)=－8+m,f(－2)=－40+m显然
f (0)>f(2)>f(－2)∴m=3

3

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最小值为f(－2)=－37故选A
12. B∵
f

(x)
=3
x
2
+1,∴
f

(x)
>0∴
f( x)
在上是增函数，且
f(x)
是奇函数，
∴f(x
1
)2
), f(x
2
)3
), f(x
3
)1
)∴f(x
1
)+f(x
2
)+f(x
3
) <－[f(x
1
)+f(x
2
)+f(x
3
)]
即 f(x
1
)+f(x
2
)+f(x
3
)<0故选B
13.由题意可知切线斜率为1，由导数定义知
f

(1)
=1
14. ∵
f

(x)
=3
x
2
－3∴令3
x
2
－3≤0解得－1≤
x
≤1
15. ∵
y< br>?
=6
x
－4∴k=
y
?
│
x=1
=2∴直线方程为y－2=2(
x
+1)即2
x
－y+4=0
16. ∵
f(x)
=
x
－
x
3
∴
f

(x)
=1－3
x
2
=0得
x
=33
可知当
x
=时函数值为最大值，最
33
大值是
23

9
17. 解：由题意可知f(0)=1，f(1)=－1，
f
?
(1)
=1，.????..6分
?
?
c?1
?
c?1
?
5
?
?
∴
?
4a?2b?1
解之 得
?
a?
.????.11分
2
?
a?b?c??1?
?
9
?
b??
?
2
?
∴
f (x)
=
5
4
9
2
x?x?1
.????..12 分
22
2
18. 证明：∵y= a(x－x
1
)(x－x
2
)=ax－a(x
1
+ x
2
)x+a x
1
x
2
.????..3分

∴
y
?
=2ax－a(x
1
+x
2
) .????.6分
∴k
1
=
y
?
│
x=
x
1
=a(x
1
－x
2
) k
2
=y
?
│
x=
x
2
=a(x
2
－x1
) .????..9分
设两切线与x轴所成锐角为θ
1
和θ
2
则tanθ
1=│a(x
1
－x
2
)│=│a│(x
2
－x
1
)>0, tanθ
2
=│a(x
2
－x
1
)│ =│a│(x
2
－x
1
)>0???11
分
∴tanθ
1
= tanθ
2
.????..12分
19. 解：
f(x)
=3a
x
+2bx+c，.????3分 < br>∵
f(x)
在x=±1时取得极值∴x=±1是
f(x)
=0即3a< br>x
+2bx+c=0的两根???6分
∴
?

2
2
?
3a?2b?c?0(1)
∵f（1）= -1 ∴ a+b+c=-1（3）
?
3a?2b?c?0(2)
4

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13
， b=0，c=
?
???9分
2
2
133
∴
f(x)
=
x
3
?
x，∴
f

(x)
=（x –1）（x+1）
22
2
由（1），（2），（3）得a=
当x<-1或x >1时，
f

(x)
>0，当-1f

( x)
<0
∴
f(x)
在（-∞，-1）及（1，+∞）上是增函数，在（- 1，1）是减函数???11分
∴当x= -1时函数取得极大值f（-1）=1
当x=1时函数取得极小值f（1）= -1???12分
20. 解：(1)∵
f
?
(x)
=ax－2ax+1???????????...?.1分
2< br>∴当a=0时，，
f
?
(x)
=1>0,故结论成立???????? ????2分
当a>0时,[
f
?
(x)
]
min=
f
?
(1)
=1－a≥0,∴a≤1即0当a<0时,
f
?
(x)
在(0,+∞)上不恒大于或等于0，故舍去.????..5分
综上得a的取值范围是0≤a≤1.
(2) 令
f
?
(x)
=ax－2ax+1=0，由题知其二根为x
1
，x
2
且x
1+x
2
=2，x
1
x
2
=
2
1
????..7分
a
∵1<
x
1
1
≤5 ∴x
1
≤2－x
2
≤5x
1
∴≤x
1
<1 ????..9分
3
x
2
11
2
∴=－(x
1
－1)+1????..11分
aa
519
∴≤<1 ∴19a5
∴x
1
(2－x
2
)=
21. 解：（1 ）由
f(?x)
=－
f(x)
(x∈R)得.d=0∴
f(x)= ax+cx ,
f
?
(x)
=ax+c. ????2
32
分
由题设f(1)=－2为
f(x)
的极值,必有
f
?
(1)
=0∴
?
2
?
a?c?0解得a=1,c=－3
3a?c?0
?
∴
f
?
(x)
=3x－3=3(x－1)(x+1) 从而
f
?
(1)
=
f
?
(?1)
=0. ????4分
当x∈(－∞,－1)时,
f
?
(x)
>0则
f(x)
在(－∞,－1)上是增函数; ????5分
在x∈(－1,1)时,
f
?
(x)
<0则
f(x)
在(－1,1)上是减函数????6分
当x∈(1,+∞)时,
f< br>?
(x)
>0则
f(x)
在(1,+∞)上是增函数????7分
∴
f(?1)
=2为极大值. ????9分

5

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(2)由(1)知,
f(x)
=
x
3
?3x
在[－1,1]上是减函数,且
f(x)
在[－1,1] 上的最大值
M=
f(?1)
=2,在
[－1,1]上的最小值m= f(2)=－2. ????12分
对任意的x
1
,x
2
∈(－1 ,1),恒有│
f(x
1
)?f(x
2
)
│22. 解：（1）设切去的正方形边长为
x
，则焊 接成的盒子的底面边长为4－2
x
，高为
x
.所
以
V1
=(4－2
x
)
2
?
x
=4(
x< br>3
－4
x
2
+4
x
),(0<
x
< 2) ???5分
∴
V
1
?
=4(3
x
2
－8
x
+4). ???6分
222
,x
2
=2（ 舍去）而
V
1
?
=12(
x
－)(
x
－2 )又当
x
<时，
V
1
?
>0,
333
2 2128
当<
x
<2时，
V
1
?
<0∴当
x
=时盒子容积最大，最大容积
V
1
是???9分
3327
令
V
1
?
=0得x
1
=
方案：如下图a，在正方 形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图b，将切下的
小正方形焊接成长方形再焊在原正方形 一边；如图c再焊成盒子
3
1
1
1
2
1
4
2
2
1
2
3

图a 图b 图c

新焊成的盒子的容积
V
2
为：3?2?1=6,显然
V
2
>
V
1
故此方 案符合要求。???14分


高中新课标数学选修（2-2）综合测试题
一、选择题
1、函数
y?x
在区间
[1,2]
上的平均变化率为（ ）
（A）
2
（B）
3
（B）
4
（D）
5

答案：（B） < br>3
2曲线
y?x
在点
(1,1)
处的切线与
x
轴、直线
x?2
所围成的三角形的面积为（ ）
2
（A）
8754
（B） （C） （D）
3333
答案：（A）；
3、已知直线< br>y?kx
是
y?lnx
的切线，则
k
的值为（ ）

6

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（A）
1122
（B）
?
（C） （D）
?

eee
e
答案：（A）
4、设
1,a?bi,b?ai
是 一等比数列的连续三项，则
a,b
的值分别为（ ）
（A）
a??
3113
,b??
（B）
a??,b?
2222

（C）
a??
3113

,b?
（D）
a??,b??
2222
?
3
a??
22
?
?
a?b?b
?
2
2
答案：（C）；由
(b?a i)?a?bi?
?
?
?
?
2ab?a
?
b?1
?
2
?
5、方程
x
2
?(4?i)x?4? ai?0(a?R)
有实根
b
，且
z?a?bi
，则
z?< br>（ ）
（A）
2?2i
（B）
2?2i
（C）
?2?2i
（D）
?2?2i

?
b
2
?4b?4?0
?
b??2
?
?
答案：（A）；由?
，则
z?2?2i

?
a?2
?
b?a?0
6、已知三角形的三边分别为
a,b,c
，内切圆的半径为
r
，则三 角形的面积为
s?
1
(a

2
?b?c)r
；四面 体的四个面的面积分别为
s
1
,s
2
,s
3
,s< br>4
，内切球的半径为
R
。类比三角形的
面积可得四面体的体积为（ ）
11
(s
1
?s
2
?s
3
?s
4
)R
（B）
V?(s
1
?s
2
?s
3
?s
4
)R

23
1
（C）V?(s
1
?s
2
?s
3
?s
4
)R
（D）
V?(s
1
?s
2
?s
3
?s
4
)R

4
（A）
V?
答案：（B）
7、数列
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,?
的第
50
项 是（ ）
（A）
8
（B）
9
答案：（C）
8、在证明
f(x)?2x?1
为增函数的 过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前
提；②增函数的定义是小前提；③函数
f(x )?2x?1
满足增函数的定义是小前提；④函数
（C）
10
（D）
11

f(x)?2x?1
满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是（ ）

7

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（A）①② （B）②④ （C）①③ （D）②③
答案：（C）
9、 若
a,b?R
，则复数
(a
2
?4a?5)?(?b
2?2b?6)i
表示的点在（ ）
（A）在第一象限 （B）在第二象限
（C）在第三象限 （D）在第四象限
答案：（D）；由
a
2
?4a?5?(a?2)
2
?1?0
，
?b
2
?2b?6??(b?1)
2
?5?0
，知
在第四象限；
10、用数学归纳法证明不等式“
11113< br>??
?
??(n?2)
”时的过程中，
n?1n?22n24
由
n?k
到
n?k?1
时，不等式的左边（ ）
（A）增加了一项
1
11
?
（B）增加了两项
2k?12(k?1)
2(k?1)
1
11
?
，又减少了；
k?1
2k?12(k?1)
1
1
，又减少了一项；
k? 1
2(k?1)
32
（C）增加了两项
（D）增加了一项
答案：（C ）；
11、如图是函数
f(x)?x?bx?cx?d
的大致
图象，则
x
1
?x
2
等于（ ）
22
24
（B）
33
812
（C） （D）
33
（ A）
答案：（C）；提示，由图象过
(0,0),(1,0),(2,0)
知
f(x)?x(x?1)(x?2)
经比较可得
?
x
1
?x
2
?2
?
b??3,c?2,d?0
，即
f(x)?x
3< br>?3x
2
?2x
，由
f

(x)?3x
2?6x?2
得
?

2
；
x
1
x
2
?
?
3
?
32
12、对于函数
f(x)?x? 3x
，给出下列四个命题：①
f(x)
是增函数，无极值；②
f(x)
是减函数，有极值；③
f(x)
在区间
(??,0]
及
[2,?? )
上是增函数；④
f(x)
有极大值为
0
，
极小值
?4
；其中正确命题的个数为（ ）
（A）
1
（B）
2
（C）
3
（D）
4


8

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答案：（B）；其中命题③与命题④是正确的。


二、填空题
13、函数
f(x)?x
3
?3x?1
在闭区间
[?3,0]
上的最大值与最小值分别为：
答案：
3,?17
；
1 4、若
z
1
?1?3i
，
z
2
?6?8i
，且
111
，则
z
的值为 ；
??
zz
1
z
2
答案：
z?
422
113
?i；提示，由
z
1
?1?3i
，得
??i

55
z
1
1010
又由
z
2
?6?8i
，得< br>1341112?11i

??i
，那么
????
z
2
5050zz
2
z
1
50
15、用火柴棒按下图的方法搭 三角形：






按图示的规律搭下去，则 所用火柴棒数
a
n
与所搭三角形的个数
n
之间的关系式可以
是 .
答案：
a
n
?2n?1

16、物体A的运动速度
v
与时间
t
之间的关系为
v?2t ?1
（
v
的单位是
ms
，
t
的单位
是s
），物体B的运动速度
v
与时间
t
之间的关系为
v? 1?8t
，两个物体在相距为
405
m
的
同一直线上同时相向运动。 则它们相遇时，A物体的运动路程为：
tt
答案：
72m
；提示，设运动
ts
时两物体相遇，那么
(2t?1)dt?(1?8t)dt?4 05

00
9
??
得
t?9
，由于
(2t ?1)dt?72
，得相遇时A物体运动
72m
；
0
?
三、解答题
22
17、已知复数
z
1
,z
2
满足
10z
1
?5z
2
?2z
1
z
2
，且
z
1
?2z
2
为纯虚数，求证：
3z
1
?z
2
为
实数
证明：由
10z< br>1
?5z
2
?2z
1
z
2
，得
10 z
1
?2z
1
z
2
?5z
2
?0
，
即
(3z
1
?z
2
)?(z
1
?2z
2
)?0
，那么
(3z
1
?z
2
)??( z
1
?2z
2
)?[(z
1
?2z
2
)i ]

由于，
z
1
?2z
2
为纯虚数，可设
z
1
?2z
2
?bi(b?R且b?0)

所以
( 3z
1
?z
2
)?b
，从而
3z
1
?z< br>2
??b

22
22222
2222

9

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故
3z
1
?z
2
为实数
18、求由
y? sinx
与直线
y?
22x
所围成图形的面积
3
?
3
?
?
x??
?
y?sinx
?
4
??
解：由
?
或
?
?
22x
2
?
y ?
?
y??
?
?
?
2
?
3
??
x?
?
x?0
?
3
?
4
?
[?,0]
上的面积，再计算出或，本题的图形由两部分构成，首先计出
?
?
4
y?0
?
?
y?
2
?
2
?
[0 ,
3
?
]
上的面积，然后两者相加即可；于是
4
0

S?
?
?
?
3
4< br>(
22x22x2x
?sinx)dx?
?
(sinx?)dx?(? cosx)?(?cosx?

3
?
3
?
3
?3
?
0
?
4
3
?
4
2
02x
2
16?(8?32
?
)
)?

3
?
0
8
19、用总长
14.8m
的钢条做一个长方体容器的框架. 如果所做容器的低面的一边长比另
以一边长多
0.5m
那么高是多少时容器的容积最大 ,并求出它的最大容积.
解：设该容器低面矩形边长为
xm
,则另一边长为
(x?0.5)m
，此容器的高为
3
?
4
h?
14.8< br>?x?(x?0.5)?3.2?2x
，
4
于是，此容器的容积为：
V(x)?x(x?0.5)(3.2?2x)?
?2x?2.2x?1.6x
，其中
32
0?x?1.6

（x）??6x
2
?4.4x?1.6?0
，得
x
1
?1
，
x
2
??
由V
?

4
（舍去）
15

因为，
V( x)
在
(0,1.6)
内只有一个极值点，且
x?(0,1)
时，< br>V(x)?0
，函数
V(x)
递
增；
x?(1,1.6)时，
V(x)?0
，函数
V(x)
递减；
3
所以，当
x?1
时，函数
V(x)
有最大值
V(1)?1?(1?0.5)? (3.2?2?1)?1.8m

3

即当高为
1.2m
时, 长方体容器的容积最大，最大容积为
1.8米
.

10

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20、已知
a?0
，函数
f(x) ?(x
2
?2ax)e
x
．
（Ⅰ）当
x
为何值时，
f(x)
取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设
f(x)
在
[?1,1]
上是单调函数，求
a
的取值范围
解析：（1）略
（2）由
f

(x)?(2x?2a) e
x
?(x
2
?2ax)e
x
?e
x
[x
2
?2(1?a)x?2a]

令
f

(x)?0< br>，即
x
2
?2(1?a)x?2a?0
，得
x
1?a?1?1?a
2
，
x
2
?a?1?

1?a
2
，其中
x
1
?x
2

当
x
变化时，
f

(x)
、
f(x)
的变化情 况如下表：
x

(??,x
1
)x
1

(x
1
,x
2
)
x
2

(x
2
,??)
f

(x)
?

f(x)

0

极大值
?

0

极小值
?


当
a?0
时，
x
1
??1,x
2
?0,f(x)
在
(x
1
,x
2
)
上单调递减；
由此可得：
f(x)
在
[?1,1]
上是单调函数的充要条件为
x
2
?1
，即
a?1?1?a< br>2
?1
，
解得
a?
3
；
4
34
即所求
a
的取值范围为
[,??)
；
21、若x
i
?
0(i
?
1,2,3,
?
,n)
，观察下列不等式：
(x
1
?x
2
)(
11111?)?4
，
(x
1
?x
2
?x
3
)( ??)?9
，?，请你猜测
x
1
x
2
x
1
x
2
x
3
111
????)
将满足的不等式，并用数学归纳 法加以证明。
x
1
x
2
x
n
111
??
?
?)?n
2
(n?2)
，证明如下：
x
1x
2
x
n
(x
1
?x
2
???xn
)(
解：将满足的不等式为
(x
1
?x
2
?
?
?x
n
)(
1
0
当
n?2
时， 结论成立；
2
0
假设
n?k
时，结论成立，即
(x
1
?x
2
???x
k
)(

11
111
????)?k
2

x
1
x
2
x
k

学而思网校 < br>那么，当
n?k?1
时，
(x
1
?x
2
?? ?x
k
?x
k?1
)(
1111
?????)?

x
1
x
2
x
k
x
k?1
(x1
?x
2
???x
k
)(
1111
11
????)?(x
1
?x
2
???x
k
)??x
k?1
(???

x
1
x
2
x
k
x
k?1
x
1
x
2
?
1111
)?1?k
2
?2(x
1
?x
2
?
?
?x
k
)(??
?
?)?1?k
2
?2k?1?(k?1)
2
x
k
x
1
x
2
x
k
显然， 当
n?k?1
时，结论成立。
由
1
、
2
知对于大 于
2
的整数
n
，
(x
1
?x
2
? ??x
n
)(
00
111

????)?n
2< br>成立。
x
1
x
2
x
n


12