高中数学人教版选修2-2,2-3知识点总结上课讲义

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数学选修2-2导数及其应用知识点
1．函数的平均变化率是什么？
f(x
2
)?f(x
1
) f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?
答：平 均变化率为
??
x
2
?x
1
?x
?x?x
注1：其中
?x
是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？ f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
，则称函数
y?f(x)
在点
x
0
处
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
可导，并把这个极限叫做
y?f(x)
在
x< br>0
处的导数，记作
f
'
(x
0
)
或
y
'
|
x?x
0
，即
答：函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
f(x
0
? ?x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x?0
? x
?x?0
?x
f
'
(x
0
)
=
lim
3.平均变化率和导数的几何意义是什么？
答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？
答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些？
函数 导函数 不定积分
y?c

y'?
0
————————
x
n?1
n
?
xdx?
n?1

y?x
n
?
n?N
*
?

y'?nx
n?1


x
a
x
x
x
y?a
?
a?0,a?1
?

y'?alna

?
adx?
lna

y?e
x

y'?e
x

xx

edx?e
?
y?l og
a
x
?
a?0,a?1,x?0
?

y'?
y?lnx

y?sinx

1

xlna
1
y'?

x
y'?cosx

y'??sinx

————————
1
?
x
dx?lnx

?
cosxdx?sinx

y?cosx

?
sinxdx??cosx

6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
答：若
f
?
x
?
，
g
?
x
?
均可导（可积），则有：
和差的导数运算
积的导数运算
?
f(x)?g(x)
?
?f
'
(x)?g
'
(x)

'
?
f(x)?g(x)
?
?f
'
(x)g(x) ?f(x)g
'
(x)

特别地：
?
?
Cf
?
x
?
?
?
'?Cf'
?
x
?

?
f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
(g(x)?0)

?
g(x)
?
?
2
??
?
g(x)
?
'
'
商的导数运算
复合函数的导数
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?
1
?
?g'(x)
特别地：
?

?'?
2
g
?
x
?
?
g
?
x< br>?
?
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?

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微积分基本定理
?
f
?
x
?
dx?
（其中
F'
?
x
?
?f
?
x
?
）
a
b
和差的积分运算
?
[f(x)?f(x)]dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx

kf(x)dx?k
?
f(x)dx(k为常数)
?
特别地： a
12
a
1
a
2
bb
aa
bbb积分的区间可加性
?
b
a
f(x)dx?
?
f(x) dx?
?
f(x)dx(其中a?c?b)
ac
cb
6.用导数求函 数单调区间的步骤是什么？
答：①求函数f(x)的导数
f'(x)

②令
f'(x)
>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令
f'(x)
<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；
注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？
答：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数
f'(x)

(3)求方程
f'(x)
=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将 函数的定义区间分成若干小开区间，
并列成表格，检查
f

(x)
在方 程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么f(x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？
答：求
f(x)
在
?< br>a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求
f(x)
在
?
a,b
?
上的极值；
⑵将
f(x)
的各极值与
f(a),f(b)
比较，其中最大的一个是最大值 ，最小的一个是最小值。
注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？
答：分割
?
近似代替
?
求和
?
取极限 （“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质有哪些？
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1

?
1dx?b?a

a
b
性质5 若
f(x)?0 ,x?
?
a,b
?
，则
?
f(x)dx?0
a
b
①推广：
?
[f
1
(x)?f
2
(x)?
L
?f
m
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx?
L
?
?
f
m
(x)

aaaa
bbbb
②推广:
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
L< br>?
?
f(x)dx

aac
1
c
k
bc
1
c
2
b
11定积分的取值情况有哪几种？
答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且
等于x轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且
等于x轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯
形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方 图形的面积减去下方
的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识有哪些？
答：（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。
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（2）力的积分为功。
推理与证明知识点
13.归纳推理的定义是什么？
答：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
．．．．．．．
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
．．．．
14.归纳推理的思维过程是什么？
概括、推广 猜测一般性结论
答：大致如图：
实验、观察
15.归纳推理的特点有哪些？
答： ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳 推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，
它不能作为数学 证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研 究的起点，帮助
人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义是什么？
答：根 据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，
这样的推理 称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
．．．．
17.类比推理的思维过程是什么？
联想、类推 推测新的结论
答：
观察、比较
18.演绎推理的定义是什么？
答：演绎推理是根 据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到
新结论的推理过程。演 绎推理是由一般到特殊的推理。
．．．．
19．演绎推理的主要形式是什么？答：三段论
20.“三段论”可以表示为什么？
答： ①大前题：M是P ②小前提：S是M ③结论：S是P。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个 特殊对象；③是结论，
它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
21.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？
答：直接证明是从命题的条件或结论出发， 根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。
直接证明包括综合法和分析法。
22.什么是综合法？
答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替 前面的条件，直至推出要证的
结论。
23.什么是分析法？
答：分析法就是从所要 证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可
称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，
不要将它们割裂开。
24什么是间接证明？
答：即反 证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而
肯定原结论是 正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤是什么？
答：1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； 2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。
．．．
26常见的“结论词”与“反义词”有哪些？
原结论词 反义词 原结论词
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反义词

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至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
一个也没有
至少有两个
至多有n-1个
至少有n+1个
对所有的x都成立 存在x使不成立
对任意x不成立
p或q
p且q
存在x使成立
?p
且
?q

?p
或
?q

27.反证法的思维方法是什么？答：正难则反
．．．．
28.如何归缪矛盾？
答：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾．
．． ．．．．．．．．．．．．．．
29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤是什么？
．．．
?
答：(1)证明：当n取第一个值
．．．．
n
0< br>?
n
0
?N
?
时命题成立；
(2)假设当n=k (k∈N
*
，且k≥n
0
)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
．．．．．
由(1)，(2)可知，命题对于从n
0
开始的所有正整数n都正 确
注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
数系的扩充和复数的概念知识点
30.复数的概念是什么？
答：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，
a
叫实部，
b
叫虚部，数集
C?
?
a?bi|a,b?R
?
叫
．．．．
做复数集。
规定：
a?bi?c?di?
a=c且，强调：两复数不能比较 大小，只有相等或不相等。
．．．．
b=d
．．．
?
实数 (b? 0)
?
31．数集的关系有哪些？答：
复数Z
?
?
?
一般虚数(a?0)

?
虚数 (b?0)
?
?
?
纯虚数(a?0)
?
32.复数的几何意义是什么？答：复数与平面内的点或有序实数对一一 对应。
33.什么是复平面？
答：根据复数相等的定义，任何一个复数
z?a?b i
，都可以由一个有序实数对
(a,b)
唯一确定。由于
有序实数对
(a,b)
与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可
以 建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，
x
轴叫做实轴，
y
轴叫做虚
轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
34.如何求复数的模(绝对值)？
答：与复数
z
对应的向量
OZ
的模
r
叫做复数
z?a?bi
的模(也叫绝对值)记作
z或 a?bi
。由模的定义
可知：
z?a?bi?a
2
?b
2< br>
35.复数的加、减法运算及几何意义是什么？
答：①复数的加、减法法则：
z
1
?a?bi与z
2
?c?di
，则
z
1?z
2
?a?c?(b?d)i
。
注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。
．．
②复数的乘法法则：
(a?bi)(c?di)?
?
ac?bd
?
?
?
ad?bc
?
i
。
③复数的除法法则：
a?bi(a?bi)(c ?di)ac?bdbc?ad
??
2
?
2
i
其中
c?di
叫做实数化因子
22
c?di(c?di)(c?di)c?dc?d
36.什么是共轭复数？ 答：两复数
a?bi与a?bi
互为共轭复数，当
b?0
时，它们叫做共 轭虚数。
常见的运算规律

22
(1)z?z;(2)z?z?2a,z?z?2bi;

( 3)z?z?z?z?a
2
?b
2
;(4)z?z;(5)z?z?z?R< br>
(6)i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4 n?3
??i,i
4n?4
?1;
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(7)< br>?
1?i
?
2
1?i1?i
?
1?i
???i;(8)?i,??i,
??
??i

1?i1?i
?
2
?
2

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(9)
设
?
?
?1?3i
3n?1
2
?
?
,
?
3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1
是1的立方虚根，则
1?
?
?
?
?0
，?
2
数学选修2-3导数及其应用知识点----第一章计数原理知识点
什么是分类加法计数原理？
答：做一件事情，完成它有
n
类办法，在第一类 办法中有
m
1
种不同的方法，在第二类办法中有
m
2
种不同的方法…在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法。那么完成这 件事情共有
N?m
1
?m
2
???m
n
种不同的方法。
1. 什么是分步乘法计数原理？
答：做一件事情，完成它需要
n< br>个步骤，做第一个步骤有
m
1
种不同的方法，做第二个步骤有
m
2
种不
同的方法……做第
n
个步骤有
m
n
种不同 的方法。那么完成这件事情共有N?m
1
?m
2
???m
n
种不同的
方法。
2. 排列的定义是什么？
答：一般地，从
n
个 不同的元素中任取
m
?
m?n
?
个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从
n
个不同
的元素中任取
m
个元素的一个排列。
3. 组合的定义是什么？
答：一般地，从
n
个不同的元素中任取
m
?< br>m?n
?
个元素并成一组，叫做从
n
个不同的元素中任取
m< br>个
元素的一个组合。
4. 什么是排列数？
答：从
n
个不 同的元素中任取
m
?
m?n
?
个元素的所有排列的个数，叫做从n
个不同的元素中任取
m
个
m
元素的排列数，记作
A< br>n
。
5. 什么是组合数？
答：从
n
个不同的元素中任取
m
?
m?n
?
个元素的所有组合的个数，叫做从
n
个不同的元素中任取
m
个
m
元素的组合数，记作
C
n
。
7.排列数公式有哪些？
m
m
?n
?
n?1
??
n?2
?
?
?
n?m?1
?
或
A< br>n
?
答：（1）
A
n
n！
；
?
n ?m
?
!
n
（2）
A
n
?n!
，规定0!?1
。
8.组合数公式有哪些？
n！
n
?
n? 1
??
n?2
?
?
?
n?m?1
?
mm
?
答：（1）
C
n
或
C
n
； ?
m!
?
n?m
?
!
m!
0
mn?m
（2）
C
n
，规定
C
n
?1
。
?C
n
9.排列与组合的区别是什么？答：排列有顺序，组合无顺序。
mm m
?C
n
?A
m
10.排列与组合的联系是什么？答：
A< br>n
，即排列就是先组合再全排列。
11.排列与组合的性质有哪些？
mmm?1
答：两个性质公式：（1）排列的性质公式：
A
n

?1
?A
n
?mA
n

mn?m
mmm? 1
?C
n
（2）组合的性质公式：
C
n
；
C
n

?1
?C
n
?C
n
12.二项式定理是什么？
n
0n1n?12n?22rn?rrnn
答：
?
a?b
?
? C
n
a?C
n
ab?C
n
ab???C
n
ab???C
n
b
?
n?N
?
?
。
13二项展开式的通项是什么？
rn?rr
ab
?
0?r?n,r ?N,n?N
?
?
。 答：
T
r?1
?C
n
14.
?
1?x
?
的展开式是什么？
n
012n
0n1n?12n?2n0
答：
?
1?x
?
?C
n
。
?C
n
?C
n
???C
n
x?C
n
x?C
n
x???C
n
x
，若令
x?1
， 则有
?
1?1
?
?2
n
?C
n
n
n
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