高中数学选修2-2综合测试题与答案

选修 2-2

综合测试题 2










一、选择题


1．在数学归纳法证明“

1

a













a
2



a
n

1

a
n 1

(a

1， n

N )
”时，验证当
n

1

a








1
时，等式的左










边为（

Ａ．
1

）


Ｂ．

1

a

Ｃ．
1

a


Ｄ．
1

a
2

2．已知三次函数


f ( x)

1
x
3

(4 m 1)x
2






(15m
2








2m

7) x

2
在
x ( ∞ ， ∞ )
上是增函数，则
m
的




















3









取值范围为（

Ａ．
m 2
或
m

）

4


Ｂ．

4

m

2


Ｃ．
2

m

4

Ｄ．以上皆不正确

3．设
f ( x)

( ax

b)sin x

(cx

Ａ．1，1，0，0


d )cos x
，若
f ( x)


x cosx
，则
a， b， c， d
的值分别为（


）

Ｂ． 1，0，1，0


Ｃ． 0，1，0，1

Ｄ． 1，0，0，1

4．已知抛物线
y ax
2

物线方程为（

Ａ．
y 3x
2



bx

c
通过点

P(11)，
，且在点
Q(2， 1)

处的切线平行于直线
y


x 3

，则抛


）


11x

9



Ｂ．
y

2a
n

3x
2

11x



9


Ｃ．
y 3x
2



11x 9



Ｄ．
y



3x
2



11x



9





，




1
，

2




0
≤
a
n

≤





5．数列
a
n

满足
a
n 1















2a
n




，

1

1

若
a
1

1
6




≤
a
n


，





7


，则
a
2004

的值为（


）



























Ａ．
6


Ｂ．

5



Ｃ．

3
2





Ｄ．

1






























7

7

7

7

6．已知
a，

b
是不相等的正数，
x


a

b
2



，
y



a

b
，则
x
，

y

的关系是（


）




Ａ．
x y

7．复数
z



Ｂ．
y

x


Ｃ．
x






2 y


Ｄ．不确定









m 2i
1


( m R)
不可能在（


）

















2i


Ａ．第一象限

Ｂ．第二象限

Ｃ．第三象限

Ｄ．第四象限

8．定义
A B，

B

C， C

D， D

A
的运算分别对应下图中的（

1），（2），（3），（4），那么，图中


















（Ａ），（Ｂ）可能是下列（


）的运算的结果


Ａ．
B D
，
A D

Ｂ．
B

D
，
A

C

Ｃ．
B

C
，
A

- 1 -

D

Ｄ．
C

D
，
A

D

9．用反证法证明命题“

a， b

N
，如果
ab
可被

5

整除，那么
a
，
b
至少有

1

个能被

5

整除．”



则假设的内容是（



）

Ｂ．
a
，
b
都不能被 5 整除

Ｄ．
a
，
b
有 1 个不能被 5 整除

Ａ．
a
，
b
都能被

5

整除

Ｃ．
a
不能被

5

整除







10．下列说法正确的是（






）




Ａ．函数

y x
有极大值，但无极小值

Ｃ．函数

y x
既有极大值又有极小值

Ｂ．函数

y


x
有极小值，但无极大值

x
无极值

Ｄ．函数

y


11．对于两个复数




1

2

3
2

i
，

1

2


3
i
，有下列四个结论：

①




1

；②


1
；③


1
；

2

④
33

Ａ． 1

1
．其中正确的个数为（

）


Ｂ． 2


Ｃ． 3

Ｄ． 4


12．设
f ( x)
在
[ a，

b]
上连续，则
f ( x)
在
[ a，

b]
上的平均值是（

Ａ．
f ( a)

2



）


Ｄ．








f (b)


Ｂ．


b

a

f (x)dx




Ｃ．
1

b



f ( x) dx



2

a



1


b


a


b

f ( x)dx



a



二、填空题





13．若复数
z log

2

( x
2

3x

3) i log
2
( x


3)
为实数，则
x
的值为


14．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）


．



○●○○●○○○●○○○○●


若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前


2006 年圆中有实心圆的个数


为

．

15．函数
f ( x) ax

3



6ax
2

b(a







0)
在区间
[

1，2]
上的最大值为





，最小值为

29
，则
a
，
b
的值分

3



别为

．

16．由
y
2

4 x
与直线
y

2 x

4
所围成图形的面积为

三、解答题


17．设
n


n

．




n



N
且
sin x

cos x


1

，求
sin

x


cos x
的值．（先观察
n


1，2，3，4

时的值，归纳猜测


sin
n
x cos
n

x
的值．）

18．设关于
x
的方程
x
2

(tan


i ) x (2 i)

0
，


（1）若方程有实数根，求锐角



和实数根；

- 2 -

（2）证明：对任意


kπ (k Z )
，方程无纯虚数根．

π

2










19．设
t


0
，点
P(t，0)

是函数
f (x) x
3

ax
与
g( x) bx
2

c
的图象的一个公共点，两函数的图象


在点
P
处有相同的切线．（

1）用
t
表示

a，

b，

c
；（2）若函数

y

f (x) g ( x)
在
( 1，3)
上单调递减，

求
t
的取值范围．


20．下列命题是真命题， 还是假命题，用分析法证明你的结论． 命题：若
a b c
，且
a b c

则
b
2

a




0
，

ac


3
．











21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为

k(k


0)
，且知当利率为

0.012

时，存款量为

1.44

亿；又贷款的利率为

4.8%
时，银行吸收的存

款能全部放贷出去；若设存款的利率为

益？

22．已知函数
f ( x)


x
，
x (0，0.048)
，则当
x
为多少时，银行可获得最大收


x

1

x
2

( x 0)

，数列
a
n

满足
a
1
f ( x)
，
a
n 1
f (a
n
)
．


（1）求
a
2
，

a
3
，a
4
；





（2）猜想数列

a
n

的通项，并予以证明．

参考答案


一、选择题： CCDAC,BABBBD


二、填空题： 13、4， 14 、61， 15 、 2,3 16 、 9


17、解：当
n

1
时，
sin x

cosx

1

；



















当
n

2

时，有
sin
2
x

cos
2
x


1
；

当
n

3

时，有
sin
3
x

cos
3
x


(sin x

cos x)(sin
2
x

cos
2
x

sin xcos x)
，

而
sin x

cos x

1
，

∴1


2sin x cos x

1
，
sin xcos x

0

．


∴ sin
3

x cos
3
x


1
．


当
n

4

时，有
sin
4
x

cos
4
x


(sin
2
x


cos
2
x)
2

2sin
2
xcos
2
x 1
．

由以上可以猜测，当
n N

时，可能有
sin
n
x

cos
n
x

(

1)
n

成立．

i )a

，

2

0




18、解：（ 1）设实数根为
a
，则
a

2

(tan






(2

i )

0
，

a

tan






，

即
(a
2

a tan



2) (a

a

1)i 0
．

1，

π

．

由于
a
，
tan




a
R
，那么



2


a

1 1


a tan tan




1


．

又
0


π
，

2


得



4

- 3 -

（2）若有纯虚数根



i(



R )
，使
( i)
2

(tan

2



)(i

) i (2





) i 0





，即
(





2

2)

( tan 1) i0
，




由 ，
tan



R
，那么

2


，

0

，



由于

2


2





0
无实数解．




tan 1

0










故对任意


kπ (k

π

2


Z )

，方程无纯虚数根


19、解：（ 1）因为函数
f ( x)
，
g (x)
的图象都过点
(t，0)

，所以
f (t ) 0

，即
t
3

at

0
．

因为
t 0
，所以
a



t
2

．

g (t )


0
，即
bt
2

c

0
，所以
c

ab
．


又因为
f ( x)， g (x)
在点
(t，0)
处有相同的切线，



所以

f (t )

将
a

g (t )
，而
f ( x) 3x
2

t
．


a
，
g (x)

2bx
，所以
3t
2


a

2bt

t
3

．

3x
2

2tx


．


t
2

代入上式得
b

因此
c

ab

故
a


t
2

，
b


t
，
c



t
3

．



（2）
y


f (x)

当
y

由
y


3
g (x)

x
3

t
2
x

tx
2

t

，
y

t
2

(3 x


t )( x

t )
．





(3x

t )( x

t)

0
，若
t


0

时，函数
y

t

3


f ( x)



g (x)
单调递减．






















0
，则


x




t
；





















































．


若
t

0
，则
t

x


t

3

．



由题意，函数
y



f ( x)

g (x)
在
(


1，3)
上单调递减，则



(

1，3)






t

，


3


t



或



(

13)，


，

t

3


t


所以
t
≤

9
或
t
≥

3
．


又当

9



t 3
时，函数
y f (x)

∞ ， 9


g( x)
在
(

1，3)

上不是单调递减的．

3，∞
．



所以
t
的取值范围为


20、解：此命题是真命题．

b
2

ac



∵ a

b

c

0

，
a


b

c
，
∴ a


2

2

0
，
c

0

．

2


2

2

要证



a

3


成立，只需证


b



ac


3a

，


即证

b



ac

3a


，也就是证
( a


c)



ac 3a
，

即证
( a c)(2 a c)

故原不等式成立．

0
．


∵ a

c


0

，
2a

c

( a c)


a



b


a

0

，



∴ (a c)(2 a


c) 0


成立，


21、解：由题意，存款量
f (x)

； 由

2

kx
，又当利率为

0.012

时，存款量为 1.44

亿，即
x

0.012
时，

2

， 得

k


， 那 么


2

，银行应支付的利息









y 1.44


1 . 4 4 k·

(0.012)


10000





f ( x)



1 0 0 0x 0





3
g (x)

x·f (x) 10000x
，


- 4 -

设银行可获收益为
y
，则

y

由于
y

因为，
x

960x 30000x
2

，则

y

(0，0.032)
时，
y

480x
2

10000x
3

，


0
，即
960x

30000x
2

0

，得
x

0

或
x

0.032
．

0
，此时，函数

y

480x
2

10000x
3

递增；




x

(0.032，0.048)
时，
y 0
，此时，函数
y

480x
2

10000x
3

递减；


故当
x 0.032
时，

y

有最大值，其值约为

0.164




亿．






22、解：（ 1）由
a
1




f (x)
，得
a
2




f (a
1
)





a






x


















1

a


1



1

2

1

x




2







x

1

2 x
2



2

，









1



x




















2









1


x



2














x





a
3


f (a
2
)



a
2


1

a
2


2


1

2 x
2






1

x

x


，

1

3x
2































1

2x
2

x





2

































a
4


f (a
3
)



a
3


1

a
2


3


1

3x
2








1

x

1 nx
2

x

x


2
．

1

4x
























1

3x
(n


2
































（2）猜想：
a
n



N )
，





























证明：（1）当
n

1

时，结论显然成立；


（2）假设当
n









k
时，结论成立，即
a
k











x

1

kx
x

2
；

































那么，当
n k



1
时，由
a
k 1



f (a
k
)




1

kx
2


x



，











1






x

1

kx
2

2



1

(k


1)x
2







这就是说，当
n

k

1
时，结论成立；

x







由（ 1），（ 2）可知，
a
n



















对于一切自然数
n( n


N )
都成立．



1 nx
2


- 5 -