重点高中数学选修23计数原理概率知识点总结

重点高中数学选修23计数原理
概率知识点总结

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2

选修2-3定理概念及公式总结
第一章基数原理 < br>1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有
m
1
种
不同的方法，在第二类办法中有
m
2
种不同的方法，……，在第n类办法 中有
m
n
种
不同的方法那么完成这件事共有 N=m
1
+m
2
+……+m
n
种不同的方法
2 .分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m
1
种不同
的方 法，做第二步有m
2
种不同的方法，……，做第n步有m
n
种不同的方法，那
么完成这件事有N=m
1
×m
2
×……m
n
种不同的方法
分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”
3.两个计数原理的区别:
如果完成一件事，有n类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法， 都能独立完成
这件事,用分类计数原理，
如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺 少，需要完成所有步骤才能
完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.
4.排列:从n个不 同的元素中取出m个(m≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从
n个不同元素中取出m个元素的一 个排列.
m
（1）
排列数: 从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数.用符号
A
n
表示
m
?n(n?1)(n?2)???(n?m?1)
用于计算， （2）排列 数公式:
A
n
m
?
或
A
n
n!
n ,m?N
?
,m?n
用于证明。
(n?m)!
??
n
=
n!
=
n
?
n?1
?
???3?2?1
=n(n-1)! 规
A
n
定0！=1
5.组 合：一般地，从
n
个不同元素中取出
m
?
m?n
?
个元素并成一组，叫做从
n
个不
同元素中取出
m
个元素的一个组合
（1）组合数: 从
n
个不同元素中取出
m
?
m?n
?
个元素的所有组合的个数，用
C
n
表示
m
A
n
m
n(n?1)(n?2)
L
(n?m?1)
（2）组合数公式:
C?
m
?
用于计算，
A
m
m!
m
n

3

或
C
m
n
?
（3）组合数的性质：
n!
(n,m?N
?
,且m?n)
用于证明。
m!( n?m)!
mn?m0
mm
m?1
?C
n
?1
； ②
C
n
①
C
n
．规定：
C
n
.
?1
＝
C
n
+
C
n
n?11n
③
C
n
?C
n
?n
④
C
n
?1

6.二项式定理及其特例：
1
n< br>?1
（1）
二项式定理
?
a
?
b
?
?
C
n
0
a
n
?
C
n
ab
???
C
n
r
a
n
?r
b
r
? ??
C
n
n
b
n
n
?
N
?

n
??
1,2,?,
n
??
叫做二项式系数。 展开式 共有n+1项，其中各项的系数
C
n
r
?
r?
?
0 ,
1rr
x?L?C
n
x?L?x
n
. （2）特例：(1?x)
n
?1?C
n
7.二项展开式的通项公式：
T
r?1
?
C
n
r
a
n
?r
b
r
（为展开式的第r+1项）

8．二项式系数的性质：
（1）对称性：在
?
a?b
?
展开式中，与首末两端 “等距”的两 个二项式系数相等,
n
mn?m
?C
n
即
C
n，
直线
r?
n
是图象的对称轴．
2
（2）增减性与最 大值：当
r?
n
?1
2
时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的< br>后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。
当
n
是偶数时，在中间一项< br>T
n?2
的二项式系数
C
取得最大值；
2
n?1< br>2
n
n?1
2
n
n
2
n
当
n
是奇数时，在中间两项
T
n?1
，
T
n?3
的二 项式系数
C
2
2
，
C
取得最大值．
9.各二项式系数和：
1
C
n
0
?
C
n
?
C
n
2
??
C
n
n
?

2
n
，
（1）
（2）
C
n
?
C
n
?
C
n
???
C
n
?
C
n
?
C
n
???2
024135
n
?1
．
10.各项系数之和：（采用赋值法）
例：求
解：
?
2x?3y
?
9
的各项系数之和 < br>?
2x?3y
?
9
?a
0
x
9
?a
1
x
8
y?a
2
x
7
y
2
???a
9
y
9


4

令
x?1,y?1
，则有
?
2x?3y
?
?a
0
?a
1
?a
2
??? a
9
?
?
2?3
?
??1
，
99
故各项系数和为-1

第二章 概率
知识点：
1 、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X
是随着试验的结果的不同而 变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用
大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。 < br>2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X所有可能的值能一
一列 举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机 变量X可能取的值为x
1
,x
2
,..... ,x
i
,......,x
n

X取每一个值 x
i
的概率p
1
，p
2
,..... , p
i
,......, p
n
，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称
分布列

4、分布列性质① p
i
≥0, i =1，2，… n；② p
1
+ p
2
+…+p
n
= 1．

5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：

其中06、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取
n (n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，则它取值为m时的概率为
mn?m
C
M
C
N?M
P(X?m)?(0?m?l,l为n和M中的较小的 一个)
，
n
C
N
7、条件概率：对任意事件A和事件B，在已知 事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫
做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概 率
8、公式：
P
(
B
|
A
)?

P
(
A
?
B
)
,
P
(
A
)?0.
P
(
A
)

9、相互独立事件：事件A( 或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件

5

叫做相互独立事件。
P
(
B
|
A
)?
P
(
B
)

10、n次独立重复 试验：在相同条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，一般
就称它为n次独立重复试验
11、二项分布：

设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数设为X．如果在一 次试验中
某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中 ，事 件A
kkn?k
恰好发生k次的概率是
P(X?k)?C
n
pq（其中 k=0,1, ……,n）
于是可得随机变量X的分布列如下：

这样的离散型随机变量X服从参数为n，p二项分布，记作X～B(n，p) 。
12、数学期望：一般地，若离散型随机变量X的概率分布为

则称
E(X )?x
1
p
1
?x
2
p
2
?L?x
n
p
n
为离散型随机变量X的数学期望或均值（简称为期望）．
222
13、方差:
D(X)?(x
1
?E(X))p
1
?(x< br>2
?E(X))p
2
?L?(x
n
?E(X))p
n
叫随机变量X
的方差，简称方差。
14、集中分布的期望与方差一览：

两点分布

二项分布，
X
～
B
（
n,p
）

超几何分布
N
，
M
，
n
15、正态分布：
若正态变量概率密度曲线的函数表达式为
期望

E(X)?p

E(X)?np

E(X)?
nM

N
方差

D(X)?pq

D(X)?npq


f(x)?

1
e
2
??
?
(x?
?
)
2
2
?
2
,x?(??,??)


6

的图像，其中解析式中的实数
?
、
?
是参数，且
?
?0
，
?
、
?
分别表示总体 的期望与标准差．
期望为
?
与标准差为
?
的正态分布通常记作N(
?
,
?
)
，正态变量概率密度曲线的函数的图象
称 为正态曲线。
16、正态曲线基本性质：
2

（1）曲线在x轴的上方，并且关于直线x=
?
对称．
（2）曲线在x=< br>?
时处于最高点，并且由此处向左、右两边无限延伸时，曲线逐渐降低，呈现
“中间高， 两边低”的形状．
（3）曲线的形状由
?
确定．
?
越大，曲线越 “矮胖”，表示总体的分布越分散；
?
越小，曲线越“高瘦”，表示总体的
分布越集中．
17、3
?
原则：
容易推出,正变量在区间
(
?
?2
?
,
?
?2
?
)
以外取值的概率只有4.6% ,在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)< br>以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
P(
?
?
?,
?
?
?
)?68.3%

P(
?
? 2
?
,
?
?2
?
)?95.4%

P(< br>?
?3
?
,
?
?3
?
)?99.7%


7