高中数学 选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题(整理含答案)

高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题
时间：90分钟 满分：120分
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．命题“存在x
0
∈R,2x
0
≤0”的否定是( )
A．不存在x
0
∈R,2x
0
＞0 B．存在x
0
∈R,2x
0
≥0
C．对任意的x∈R,2
x
≤0 D．对任意的x∈R,2
x
＞0
2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除
4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4是|a|＝5”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知命题p：?x∈R,2
x
＜3
x
；命题q：?x∈R，x
3
＝1－x
2
，则下列命题中为真
命题的是( )
A．p∧q
C．p∧綈q
B．綈p∧q
D．綈p∧綈q
6．在三角形ABC中，∠A＞∠B，给出下列命题：
①sin∠ A＞sin∠B；②cos
2
∠A＜cos
2
∠B；③tan
其中正 确的命题个数是( )
A．0个 B．1个
∠A∠B
＞tan.
22

C．2个
7．下面说法正确的是( )
D．3个
2
A．命题“?x
0
∈R，使得x
2
0
＋x
0
＋1≥0”的否定是“?x∈R，使得x＋x＋1≥0”
B．实数x＞y是x
2
＞y
2
成立的充要条件
C．设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“綈p∧綈q”也为假命题
D．命题“若α＝0，则cosα＝1”的逆否命题为真命题
8．已知命题p：?x
0
∈R，使tanx
0
＝1，命题q：?x∈R，x
2
＞0.下面结 论正确的
是( )
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“p∧綈q”是假命题
C．命题“綈p∨q”是真命题
D．命题“綈p∧綈q”是假命题
9．下列结论错误的是( )
A．命题“若log
2
(x
2－2x－1)＝1，则x＝－1”的逆否命题是“若x≠－1，则log
2
(x
2
－2x－1)≠1”
?
ππ
?
B．设α，β∈
?
－
2
，
2
?
，则“α＜β”是“tanα＜tanβ”的充要条件
??
C．若“(綈p)∧q”是假命题，则“p∨q”为假命题
D．“?α∈R，使sin
2
α＋cos
2
α≥1”为真命题
10．给出下列三个命题：
①若a≥b＞－1，则
abn
≥；②若正整数m 和n满足m≤n，则mn－m
2
≤
2
；
1＋a1＋b
③设P (x
1
，y
1
)是圆O
1
：x
2
＋y2
＝9上的任意一点，圆O
2
以Q(a，b)为圆心，且半径为1.
当( a－x
1
)
2
＋(b－y
1
)
2
＝1时， 圆O
1
与圆O
2
相切．
其中假命题的个数为( )
A．0个
C．2个
B．1个
D．3个
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． < br>11．给出命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”．在
它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__________．

12．命题“ax
2
－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_____ _____．
13．若不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是< br>__________．
14．已知命题p：?x∈[1,2]，x
2
－a≥ 0，命题q：?x∈R，x
2
＋2ax＋2－a＝0，若
“p∧q”为真命题，则实数 a的取值范围是__________．
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15 ．(12分)命题：已知a，b为实数，若关于x的不等式x
2
＋ax＋b≤0有非空解集，< br>则a
2
－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．



16．(12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x －m－1)≤0，若綈p是綈q的充分不
必要条件，求实数m的取值范围．




2
17．(12分)设命题p：?x
0
∈R，x
2
0
＋2ax
0
－a＝0.命题q：?x∈R，ax＋4x＋a≥－
2x
2
＋1.如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．



18．(14分)给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式 x
2
＋(a－1)x＋a
2
≤0的解集为?，命题乙：函数y＝(2a
2
－
a)
x
为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．

高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题
时间：90分钟 满分：120分
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．命题“存在x
0
∈R,2x
0
≤0”的否定是( )
A．不存在x
0
∈R,2x
0
＞0
B．存在x
0
∈R,2x
0
≥0
C．对任意的x∈R,2
x
≤0
D．对任意的x∈R,2
x
＞0
解析：因为命题“存在x
0
∈R,2x
0
≤0”是特称命题，所以它的否定是全称命题．
答案：D
2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
1
解析：若(2x－1)x＝0，则x＝
2
或x＝0，即不一定推出x＝0；若x＝0，则一定 能推
出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．
答案：B
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除
解析：一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题为已知命题的逆否命
题．
答案：B

4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4是|a|＝5”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由x＝4知|a|＝4
2
＋3
2
＝5；反之，由|a|＝x
2
＋3
2
＝5，得x＝4或x＝－4.< br>故“x＝4”是“|a|＝5”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
5．(201 3·新课标全国卷Ⅰ)已知命题p：?x∈R,2
x
＜3
x
；命题q：?x∈ R，x
3
＝1－
x
2
，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q
C．p∧綈q
B．綈p∧q
D．綈p∧綈q
解析：命题p为假，因为当x＜0时，2
x
＞3
x
.命题q为真，因为f(x)＝x
3
＋x
2
－1在(0，
＋ ∞)内单调递增，且f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，所以在(0,1)内函数f(x)必存在零点．所
以綈p∧q为真命题，故选B.
答案：B
6．在三角形ABC中，∠A＞∠B，给出下列命题：
∠A∠B
①sin∠A＞si n∠B；②cos∠A＜cos∠B；③tan
2
＞tan
2
.
22
其中正确的命题个数是( )
A．0个
C．2个
B．1个
D．3个
解析：当∠A、∠B均为锐角时，由函数的单调性及不等式的性 质知都成立；当∠B
π
为锐角，∠A为钝角或直角时，又有∠A、∠B为三角形的内角，所以< br>2
≤∠A＜π，0＜∠B
∠B
π
∠A∠B
ππ
∠A< br>ππ
＜
2
，∠A＋∠B＜π，即
4
≤
2
＜< br>2
，0＜
2
＜
4
，∠B＜π－∠A＜
2
，即 tan
2
＞tan
2
，sin
∠B＜sin(π－∠A)＝sin∠ A，cos∠B＞cos(π－∠A)＝－cos∠A≥0，所以cos
2
∠A＜cos
2
∠B.

答案：D
7．下面说法正确的是( )
2
A．命题“?x
0
∈R，使得x
2
0
＋x
0
＋1≥0”的否定是“?x∈R，使得x＋x＋1≥0”
B．实数x＞y是x
2
＞y
2
成立的充要条件
C．设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“綈p∧綈q”也为假命题
D．命题“若α＝0，则cosα＝1”的逆否命题为真命题
解析：对A选项，命题的否定是 ：“?x∈R，使得x
2
＋x＋1＜0”，故不正确，对
于B选项，由x＞yA?x< br>2
＞y
2
，且x
2
＞y
2
A?x＞y，故不 正确．对于C选项，若“p∨q”
为假命题，
则“綈p∧綈q”为真命题，故不正确．
对于D选项，若α＝0，则cosα＝1是真命题，故其逆否命题也为真命题，故正确．
答案：D
8．已知命题p：?x
0
∈R，使tanx
0
＝ 1，命题q：?x∈R，x
2
＞0.下面结论正确的是
( )
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“p∧綈q”是假命题
C．命题“綈p∨q”是真命题
D．命题“綈p∧綈q”是假命题
解析：∵p真，q假．故p∧q为假，p∧綈q为真．綈p∨q为假，綈p∧綈q为假，
选D.
答案：D
9．下列结论错误的是( )
A．命题“若log
2
(x
2
－2x－1)＝1，则x＝－1”的逆否命题是“若x≠－1，则log
2(x
2
－2x－1)≠1”
?
ππ
?
B．设α，β∈
?
－
2
，
2
?
，则“α＜β”是“tanα＜ta nβ”的充要条件
??
C．若“(綈p)∧q”是假命题，则“p∨q”为假命题
D．“?α∈R，使sin
2
α＋cos
2
α≥1”为真命题

解析：根据逆否命题定义知A选项正确．由正切函数单调性，可判断B选项正确．D
选项作为特称命题正确，对于C选项，“綈p∧q”为假，则綈p，q中至少一个为假，
故p∨q真假不 定，故选C.
答案：C
10．给出下列三个命题：
①若a≥b＞－1，则
abn
≥；②若正整数m和n满足m≤n，则mn－m
2
≤
2
；< br>1＋a1＋b
③设P(x
1
，y
1
)是圆O
1
：x
2
＋y
2
＝9上的任意一点，圆O
2
以Q(a，b) 为圆心，且半径为1.
当(a－x
1
)
2
＋(b－y
1)
2
＝1时，圆O
1
与圆O
2
相切．
其中假命题的个数为( )
A．0个
C．2个
解析：①
B．1个
D．3个
ab1111
≥?1－≥1－?≤< br>，又a≥b＞－1?a＋1≥b
1＋a1＋b1＋a1＋b1＋a1＋b
＋1＞0知本命 题为真命题．
②用基本不等式：2xy≤x
2
＋y
2
(x＞0，y ＞0)，取x＝m，y＝
真命题．
③圆O
1
上存在两个点A、B满足弦AB ＝1，所以P、O
2
可能都在圆O
1
上，当O
2
在圆O1
上时，圆O
1
与圆O
2
相交．故本命题为假命题．
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．给出命题：“若函数y＝f( x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”．在
它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题 中，真命题的个数是__________．
解析：∵命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数 y＝f(x)的图象不过第四象限”是
真命题，其逆命题“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则 函数y＝f(x)是幂函数”是假
命题，如函数y＝x＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆 命题、否命题、逆否
n－m，知本命题为

命题三个命题中，真命题的个数是1个 ．
答案：1个
12．命题“ax
2
－2ax－3＞0不成立”是真命题， 则实数a的取值范围是__________．
解析：∵命题“ax
2
－2ax－3 ＞0不成立”是真命题，∴不等式ax
2
－2ax－3≤0对于
?
?
a＜0，
任意的实数x恒成立，(1)当a＝0时，符合条件；(2)当
?
即－3≤a ＜0.
?
?
Δ≤0，
由(1)、(2)得实数a的取值范围是{a|a＝0 或a≤－3}．
答案：－3≤a≤0
13．若不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜ x＜4，则实数a的取值范围是
__________．
解析：∵|x－1|＜a?1－a＜x＜1＋a，
又∵不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，
??
?
1－a≤ 0，
?
a≥1，
∴
?
即
?
∴a≥3.
??
?
1＋a≥4，
?
a≥3，
答案：[3，＋∞) 14．已知命题p：?x∈[1,2]，x
2
－a≥0，命题q：?x∈R，x
2
＋2ax＋2－a＝0，若
“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是__________ ．
解析：∵“p∧q”为真命题，∴p，q均为真命题．
由p为真命题得a≤1.由q为真命题得a≤－2或a≥1.
∴当p，q同时为真时，有a≤－2或a＝1.
答案：a≤－2或a＝1
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)命题：已知a，b为实数，若 关于x的不等式x
2
＋ax＋b≤0有非空解集，
则a
2
－4b≥0 ，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
解：逆命题：已知a、b为实数 ，若a
2
－4b≥0，则关于x的不等式x
2
＋ax＋b≤0

有非空解集．(3分)
否命题：已知a、b为实数，若关于x的 不等式x
2
＋ax＋b≤0没有非空解集，则a
2
－4b＜0.(6分) < br>逆否命题：已知a、b为实数，若a
2
－4b＜0，则关于x的不等式x
2＋ax＋b≤0没有
非空解集．(9分)
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
(12分)
16．(12分)已 知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分不
必要条件，求 实数m的取值范围．
解：由题意p：－2≤x－3≤2，
∴1≤x≤5.
∴綈p：x＜1或x＞5.(4分)
q：m－1≤x≤m＋1，
∴綈q：x＜m－1或x＞m＋1.(8分)
又∵綈p是綈q的充分不必要条件，
?
?
m－1≥1，
∴
?

?
?
m＋1≤5.
∴2≤m≤4.(12分)
2
17．( 12分)设命题p：?x
0
∈R，x
2
0
＋2ax
0
－a＝0.命题q：?x∈R，ax＋4x＋a≥－

2x
2
＋1.如果命 题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
解：当命题p为真时，Δ＝4a
2
＋4a≥0得a≥0或a≤－1，当命题q为真时，(a＋2)x
2
＋4x ＋a－1≥0恒成立，
∴a＋2＞0且16－4(a＋2)(a－1)≤0，即a≥2.(6分)

由题意得，命题p和命题q一真一假．
当命题p为真，命题q为假时，得a≤－1；
当命题p为假，命题q为真时，得a∈?；
∴实数a的取值范围为(－∞，－1]．(12分)
18．(14分)给出两个命题： 命题甲：关于x的不等式x
2
＋(a－1)x＋a
2
≤0的解集为?，命 题乙：函数y＝(2a
2
－
a)
x
为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
1
解：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2
－4a
2
＜0，即a＞
3
或a＜－1.
1
乙命题为真时，2a
2
－a＞1，即a＞1或a＜－
2
.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，
即上面两个范围取并集，
11
∴a 的取值范围是{a|a＜－
2
或a＞
3
}．(7分)
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：
11
甲真乙假时，
3
＜a≤1，甲假乙真时，－1≤a＜－
2
，
11
∴甲、乙中有且只 有一个真命题时，a的取值范围为{a|
3
＜a≤1或－1≤a＜－
2
}．( 14
分)