高中数学理科选修2-2知识点总结知识讲解

第一章 导数及其应用
一．导数概念的引入
1. 导数的物理意义：瞬时速 率。一般的，函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
?x?0
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
，
?x
我们称它为函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数，记作
f
?
(x
0
)
或
y
?|
x?x
0
，即
f
?
(x
0
)=
lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
例1． 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起 跳后的时间t(单位：
s)存在函数关系
h(t)??4.9t
2
?6.5t?10

运动员在t=2s时的瞬时速度是多少？
解：根据定义
v?h
?< br>(2)?lim
h(2??x)?h(2)
??13.1

?x?0
?x
即该运动员在t=2s是13.1ms,符号说明方向向下
2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过 图像,我们可以看出当点
P
n
趋近于
P
时，直线
PT
与
曲线相切。容易知道，割线
PP
n
的斜率是
k
n
?
f(x
n
)?f(x
0
)
，当点
P
n
趋近于
P
时，函
x
n
?x
0
数
y ?f(x)
在
x?x
0
处的导数就是切线PT的斜率k，即
k?l im
?x?0
f(x
n
)?f(x
0
)
?f
?
(x
0
)

x
n
?x
0
3. 导函数：当x变化时，
f
?
(x)
便是x的一个函数，我们称它为
f (x)
的导函数.
y?f(x)
的导函数有时也记作
y
?
,即
f
?
(x)?lim
二.导数的计算
1.函数
y?f(x)?c
的导数
2.函数
y?f(x)?x
的导数
3.函数
y?f(x)?x
的导数
2
?x?0
f(x??x)?f(x)

?x

4.函数
y?f(x)?
1
的导数
x
基本初等函数的导数公式:
1若
f(x)?c
(c为常数)，则
f
?
(x)?0
；
2 若
f(x)?x
,则f
?
(x)?
?
x
?
?
?1
;
3 若
f(x)?sinx
,则
f
?
(x)?cosx

4 若
f(x)?cosx
,则
f
?
(x)??sinx
;
5 若
f(x)?a
,则
f
?
(x)?alna

6 若
f(x)?e
,则
f
?
(x)?e

xx
xx
1

xlna
1
8 若
f(x)?lnx
,则
f
?
(x)?

x
x
7 若
f(x)?log
a
,则
f
?
(x)?
导数的运算法则
1.
[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g
?
(x)

2.
[f(x) ?g(x)]
?
?f
?
(x)?g(x)?f(x)?g
?
(x)

3.
[
f(x)f
?
(x)?g(x)?f(x )?g
?
(x)
]
?
?

g(x)[g(x)]
2
复合函数求导
y?f(u)
和
u ?g(x)
,称则
y
可以表示成为
x
的函数,即
y?f(g (x))
为一个复合函数
y
?
?f
?
(g(x))?g
?
(x)

三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
在某个区间
(a,b)
内，如果
f
?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间单调递 增；
如果
f
?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数
y?f(x)
的极值的方法是:
(1) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极大值;

(2) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数
y?f(x)
在
[a,b]
上的最大值与最小值的步骤
（1） 求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值；
（2） 将函数
y?f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
，
f(b)
比较，其中最大的是一个
最大值，最小的是最小值.
四.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题


第二章 推理与证明
考点一 合情推理与类比推理
根据一类 事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推
理,叫做归纳推理,归纳是 从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一 类事物具有与另外一类事
物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类事物的相似性或一致性;
(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3) 一般的,事物之 间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某
些性质上相同或相似,那么他们在 另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能
是真的.
(4) 一般情况下,如果类比的 相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比
得出的命题越可靠.
考点二 演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.

考点三 数学归纳法
1. 它是一个递推的数学论证方法.
2. 步骤:A.命题在n=1（或
n
0
）时成立，这是递推的基础；
B.假设在n=k时命题成立
C.证明n=k+1时命题也成立,
完成这 两步,就可以断定对任何自然数(或n>=
n
0
,且
n?N
)结论都 成立。
考点三 证明
1. 反证法:
2. 分析法:
3. 综合法:

第一章 数系的扩充和复数的概念
考点一:复数的概念
(1) 复数:形如
a?bi(a?R,b?R)
的数叫做复数，
a
和
b
分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数
a?bi(a?R,b?R)
中,当
b?0
,就是实数;
b?0
,叫做虚数;当
a?0,b?0
时,
叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部
分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

考点二：复数的运算
1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行
设
z1
?a?bi,z
2
?c?di(a,b,c,d?R)
则
z
1
?z
2
?(a?c)?(b?d)i

z
1
?z
2
?(ac?bd)?(ad?bc)i

z
1
(ac?bd)?(ad?bc)i
?(z
2
?0)

z
2
c
2
?d
2
2,几个重要的结论
2222
(1)
|z
1
?z
2
|?|z
1
?z
2
|?2(|z
1
|?|z
2
|)

22
(2)
z?z?|z|?|z|

(3)若
z
为虚数,则
|z|?z

3.运算律
(1)
z?z?z
mnm?n
22
;(2)
(z)?z
mnmn
nnn
;(3)
(z
1
?z
2
) ?z
1
?z
2
(m,n?R)

4.关于虚数单位i的一些固定结论：
（1）
i??1
（2）
i??i
（3）
i?1
（2）
i?i
234 nn?2
?i
n?3
?i
n?4
?0