人教版高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》全部教案

高中数学（选修2－1）

教 案








孔 德 友

庐江县第三中学

命题及其关系
第一课时1.1.1 命题
一、教学目标：１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成， 能判断给定陈述句是否为命题，
能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与 方法：多让学生举命题
的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、 情感、态度与
价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点： 重点：命题的概念、命题的构成；难点：分清命题的条件、结论和判断命
题的真假。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
三、教学过程
（一）、复习回顾：初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？
（二）、探析新课
1、思考、分析：下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？
（1）若直线a ∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平
面平行．（ ４）若x=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．
2、讨论、判断 ：学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么
事情。其中（1）（3） （5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。
教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。
3、抽象 、归纳：定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫
做命题．
命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．
在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子． 教师再与学生共同从命题的
定 义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．
4、练习、深化：判断下列语句是否为命题？
（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？ < br>2
(?2)
（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）＝－２．（６） x＞１５．
2
让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不 是命题，关
键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈 使句、
感叹句均不是命题．解略。

引申：以前，同学们学习了很多定理、推论 ，这些定理、推论是否是命题？同学们可否举出
一些定理、推论的例子来看看？
通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题．
过渡：同学们都知道，一个定 理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所举定理和
推论的例子，让学生分辨定理和推论条件和 结论，明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部
分构成）。紧接着提出问题：命题是否也是由条件和 结论两部分构成呢？
5、命题的构成――条件和结论：定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结 论两部分构成．在
数学中，命题常写成“若p，则q”或者 “如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式
的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．
6、练习、深化：指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假．
（１）若整数a能被２整除，则a是偶数．（２）若四边行是菱形，则它的对角线互相垂直平分． （３）若a＞0，b＞0，则a+b＞0．（４）若a＞0，b＞0，则a+b＜0．（５）垂直于同一条直 线的
两个平面平行．
此题中的（１）（２）（３）（４），较容易，估计学生较容易找出命题 中的条件p和结论q，
并能判断命题的真假。其中设置命题（３）与（４）的目的在于：通过这两个例子 的比较，学更
深刻地理解命题的定义——能判断真假的陈述句，不管判断的结果是对的还是错的。 < br>此例中的命题（５），不是“若P，则q”的形式，估计学生会有困难，此时，教师引导学生
一起 分析：已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“结论”．解略。
过渡：从例２中，我们可以看到 命题的两种情况，即有些命题的结论是正确的，而有些命题的结
论是错误的，那么我们就有了对命题的一 种分类：真命题和假命题．
7、命题的分类――真命题、假命题的定义．
真命题：如果由命 题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真
命题．
假命题：如果 由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做
假命题．
强调：(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题． < br>(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强
调 真假命题的大前提，首先是命题。
8、怎样判断一个数学命题的真假？(１)数学中判定一个命题是真 命题，要经过证明．(２)要判
断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．

9、练习、深化：例３：把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题：
（１） 面积相等的两个三角形全等。
（２） 负数的立方是负数。
（３） 对顶角相等。
分析：要把一个命题写成“若P，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若
条件 ，则结论”即“若P，则q”的形式．解略。
（三）、课堂练习：Ｐ４ ２、３
（四）、课堂总结 师生共同回忆本节的学习内容．
1．什么叫命题？真命题？假命题？ 2．命题是由哪两部分构成的？
3．怎样将命题写成“若P，则q”的形式． 4．如何判断真假命题．
教师提示应注意的问题：1 ．命题与真、假命题的关系．2．抓住命题的两个构成部分，判断一些
语句是否为命题．３．判断假命题 ，只需举一个反例，而判断真命题，要经过证明．
（五）、作业：P9：习题1．１Ａ组第1题
五、教后反思：







第二课时 1.1.2四种命题 四种命题的相互关系
一、教学目标：1、知识与技能：了 解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，
掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系 ，会用等价命题判断四种命题的真假． 2、过程与
方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培 养学生发现问题、提出问题、分析问题、有
创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力 ．3、情感、态度与价值观：通过
学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力 以及培养他们的分析问题
和解决问题的能力．
二、教学重点与难点
重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．

< br>难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习引入：初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？
（二）、探析新课
1、思考、分析：问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（ 3）、（4）的条件与结论之间
分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数 ．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)
是正弦函数．（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x) 不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则
f(x)不是正弦函数．
2、归纳总结： 问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概
念，（１）和（２）这样 的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，
（１）和（４）这样的两个命 题叫做互为逆否命题。
3、抽象概括：定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分 别是另一个命题
的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另 一个命
题叫做原命题的逆命题．让学生举一些互逆命题的例子。定义２：一般地，对于两个命题，如果< br>一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命
题 叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．让学生举一些互
否命题的例 子。定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题
的结论的否定和条件 的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做
原命题，另一个命题叫做原命 题的逆否命题．让学生举一些互为逆否命题的例子。
小结：（1）交换原命题的条件和结论，所得的命 题就是它的逆命题；（2）同时否定原命题的条件
和结论，所得的命题就是它的否命题；（3）交换原命 题的条件和结论，并且同时否定，所得的命
题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命 题、原命题与逆否命题是相对的。
4、四种命题的形式：让学生结合所举例子，思考：若原命题为“若 P，则q”的形式，则它的逆
命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？
学生通过思考、分析、比较，总结如下：原命题：若P，则q．则：逆命题：若q，则P．
否 命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的
否定； 即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢P．
5、练习巩固：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：

（１） 若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；
（２） 若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；
（３） 若x=1,则x=1；
（４） 若整数a是素数，则是a奇数。
6、思考、分析：结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？
通过 此问，学生将发现：①原命题为真，它的逆命题不一定为真。②原命题为真，它的否命题不
一定为真。③ 原命题为真，它的逆否命题一定为真。
原命题为假时类似。结合以上练习完成下列表格：
原 命 题 逆 命 题
真

假

真


假
否 命 题 逆 否 命 题

假
真


真

假
2
由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总 是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具
有相同的真假性．
由此会引起我们的思考：一 个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系
呢？让学生结合所做练习分析原命题与 它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．
学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：
7、总结归纳
若P，则q．
原命题

互
互

否
互

否命题
互 逆
若￢P，则￢q． 若￢q，则￢P．
逆否命题
为 逆
否
为 逆

否
否
互

互 逆
逆命题
若q，则P．

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
由于原命题和它的逆否命题 有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，
可以通过证明它的逆否命题为真命题， 来间接地证明原命题为真命题．
（三）、例题分析：例4： 证明：若p ＋ q＝2，则p ＋ q ≤ 2．
分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。
将“若p ＋ q＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明
它的逆否命题“若p + q ＞2，则p + q≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．
证明：若p ＋ q ＞2，则
p ＋ q
2
22
22
22
22
＝
111
222２
［（p －q）＋（p ＋q）］≥（p ＋q）＞×２＝２
222
22
所以p ＋ q≠2．这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。
练习巩固：证明：若a－b＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．
（四）、课堂总结：（１ ）逆命题、否命题与逆否命题的概念；（２）两个命题互为逆否命题，他
们有相同的真假性；（３）两个 命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；（４）原命
题与它的逆否命题等价；否命题与逆命 题等价．
（五）、作业 P9：习题1．１Ａ组第２、３、４题
五、教后反思：


第三课时 1．充分条件与必要条件
一、教学目标:1.知识与技 能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题
的充分条件、必要条件．2.过程与 方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养
学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力． ３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们
的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练 习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
二、教学重点与难点
重点：充分条件、必要条件的概 念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详
细讲述概念，最后再应用概念进行论证 ．)
难点：判断命题的充分条件、必要条件
2

关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、创设情境
当 某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.
那么，大家 想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？
因为前面你所介绍 的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关
系呢？今天我们就来学习 这个有意义的课题—充分条件与必要条件.
（二）、活动尝试
问题1：前面讨论了“若p
则
q
”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说
明 条件和结论有什么关系？
（1）若
x
＝
y
，则
x
＝
y
（2）若
ab
= 0，则
a
= 0（3）若
x
>1，则
x
>1（4）若
x
＝1或
x
＝2，< br>则
x
－3
x
＋2＝0
推断符号“
?
”的含义： “若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是 说，如果p
成立，那么q一定成立，记作p
?
q，或者q
?
p；如果 由p推不出q，命题为假，记作p
简单地说，“若p则q”为真，记作p
?
q（或q< br>?
p）；“若p则q”为假，记作p
（三）、师生探究
命题(1)、 (4) 为真，是由
p
经过推理可以得出
q
，即如果
p
成立，那么< br>q
一定成立，此时可
记作“
p
?
q
”，命题(2)、 （3）为假，是由
p
经过推理得不出
q
，即如果
p
成立，推 不出
q
成立，
此时可记作“
p
q（或q
q.
p）.
2
222
q
.”
说明： “p
?q”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件
p
，就是以保证
q成立，
即表示“p蕴含q”。
（四）、归纳概括
1.什么是充分条件？什么是必要条件？
一般地，如果已知
p
?
q
，那么就说：
p
是
q
的充分条件；
q
是
p
的必要条件；如果已知
p
?
q
，
且
q
?< br>p
，那么就说：
p
是
q
的充分且必要条件，简记充要条件；如 果已知
p
不是
q
的充分条件；
q
不是
p
的 必要条件；
回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系.
命题(1)中因
x
＝
y
?
x
＝
y
，所以“
x
＝
y
”是“
x
＝
y
”的充分 条件，“
x
＝
y
”是“
x
＝
y
”的必222222
q
，那么就说：
p

要条件；
x＝
y
条件；
2222
x
＝
y
，所以“
x
2
＝
y
2
”不是“
x
＝
y
” 的充分条件，“
x
＝
y
”不是“
x
＝
y
” 的必要
命题(2)中因a = 0
?
ab = 0，，所以“a = 0”是“ab = 0”的充分条件.“ab = 0”是“a = 0”
的必要条件. ab = 0
0”的必要条件；
命题(3)中，因“
x
>1
?
x>1”，所以“
x
>1”是
x
>1的充分条件，“
x
> 1”是“
x
>1”的必要条件.
x
>1
2222
2
x
>1，所以“
x
2
>1”不是“
x
>1”的充分条件， “
x
>1”不是“
x
>1”的必要条件.
2
a = 0，所以“ab = 0”不是“a = 0”的充分条件，“a = 0”不是“ab =

命题4)中，因
x
＝1或
x
＝2
?
x
－ 3
x
＋2＝0，所以“
x
＝1或
x
＝2”是“
x< br>－3
x
＋2＝0”的充要
22
分条件.
由上述命题的充分条 件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性
可分为四类：(1)充分不必要条 件，即
p
?
q
，而
q

p
.(2)必要不充分条件，即：
p

q
，而
q
?
p
.
p
. (3)既充分又 必要条件，即
p
?
q
，又有
q
?
p
.(4 )既不充分又不必要条件，即
p

q
，又有
q

2 .充分条件与必要条件的判断：（1）直接利用定义判断：即“若p
?
q成立，则p是q的充分 条
件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）（2）利用等价命题关系判断：“p
?< br>q”的等价
命题是“
?
q
?
?
p”。即“若┐q?
┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”。
（五）、巩固运用
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
（1） p：
x
-1=0；q：(
x
-1)(
x
+2)=0. （2） p：两条直线平行；q：内错角相等.
（3） p：
a>b
；q：
a>b
（4）p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形.
分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.
解：⑴由p
?
q，即
x
-1=0
?
(
x
-1)(
x
+2 )=0，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.
⑵由p
?
q，即两条直线平行< br>?
内错角相等，知p是q的充要条件，q是p的充要条件；
⑶由pq，即
a>b
22
a
2
>b
2
， 知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；qp，即
a>b
22
a>b
，
知q不是p的充分条件，p不是q的必要条件.综述：p是q的既不充分条件又不必要条件。
⑷由q
?
p，即四边形是正四边形
?
四边形的四条边相等，知q是 p的充分条件，p是q的必要
条件. 由pq，即四边形的四条边相等四边形是正四边形，知p不是q的 充分条件，q不是p
的必要条件；综述：p是q的必要不充分条件。
以上是直接利用定义由原 命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判
断的话，我们可以换一种方式，根据 互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.

例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：
⑴命题 ：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的
什么条件；“B为绿色”又是“ A为绿色”的什么条件.
⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是 “红
点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.
解法1(直接 判断)：⑴∵“A为绿色
?
B为绿色”是真的，∴由定义知，“A
为绿色”是“B为绿 色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.
⑵如图2⑴，∵“红点在B内
?
红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在
B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在 A内”是“红点在B内”的必
要条件.
解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不
为绿色”. ∵“B不为绿色
?
A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为
绿色”的充分条件 ；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.
⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内
?
红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在 A内”
是“红点在B内”的必要条件.
如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.
先说 充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，
说“A为 绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.
它符合上述的 “若p则q”为真（即p
?
q）的形式.
再说必要性：必要就是必须，必不可少.从 例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，
A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那 么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：
有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q 则非p”为真（即┐q
?
┐p）的形式.
总之，数学上的充分条件、必要条件的“充 分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必
要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该 以数学定义为依据.
例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.
给定两个条件p ,q，要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：A={
x
|
x
满足条件q},B={
x
|
x
满足条件p}①A?
B,则p为q的充分条件，q为p的必要条件；②B
?
A, 则p为q的充要条件，q
为p的充要条件；
（六）、回顾反思

本节 主要学习了推断符号“
?
”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与
必要条件的方法.（1）若p
?
q（或若┐q
?
┐p），则p是q的充分条件 ；若q
?
p（或若┐p
?
┐q），则p是q的必要条件.（2）条件是相互的 ；（3）p是q的什么条件，有四种回答方式：
① p是q的充分而不必要条件；② p是q的必要而不充分条件；
③ p是q的充要条件； ④ p是q的既不充分也不必要条件。
（七）、练习巩固：P12 练习 第1、2、3、4题
（八）、作业： P
14
：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题
注：（1）条件是相互的；（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：
① p是q的充分而不必要条件；② p是q的必要而不充分条件；③ p是q的充要条件；④ p是
q的既不充分也不必要条件．
五、教后反思：





第四课时 1.2.2充要条件
一、教学目标
1.知识与技能目标：（1）、正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件,
既不充分也不必要条件的定义．（2）、正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既
不充分也不必要条件.（3）、通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．
2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．
3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
二、教学重点与难点
重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题
难点：正确区分充要条件．
三、教学过程
（一）、复习提问
1.什么叫充分条件？什么叫必要条件？说出“
?
”的含义

2.指出下列各组命题中，“p
?
q”及“q
?
p”是否成立
（1）p：内错角相等 q：两直线平行
（2）p：三角形三边相等 q：三角形三个角相等
（二）、探析新课
1、（通过复习提问直接引入课题）充要条件定义：
一般地，如果既有p
?
q，又有q
?
p，就记作：p
?
q。
这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要
条件
点明思路：判断p是q的什么条件，不仅要考查p
?
q是否成立，即若p则q形式命 题是否正
确，还得考察q
?
p是否成立，即若q则p形式命题是否正确。
2、辨析题：（学生讨论并解答，教师引导并归纳）
思考：下列各组命题中，p是q的什么条件：
1) p： x是6的倍数。 q：x是2的倍数
2) p： x是2的倍数。 q：x是6的倍数
3) p： x是2的倍数，也是3的倍数。q：x是6的倍数
4) p： x是4的倍数 q：x是6的倍数
总结：1) p
?
q 且q≠> p 则 p是q的充分而不必要条件
2) q
?
p 且p≠>q 则p 是q 的必要而不充分条件
3) p
?
q 且q
?
p 则q 是p的充要条件
4) p≠>q 且q≠>p则 p是 q的既不充分也不必要条件
强调： 判断p是q的什么条件，不仅要考虑p
?
q是否成立，同时还要考虑q
?
p是 否成立。
且p是q的什么条件，以上四种情况必具其一.
3、巩固强化
例题：指出下列各命题中，p是q的什么条件：
1) p：x>1 q：x>2
2) p：x>5 q：x>-1
3) p：(x-2)(x-3)=0 q：x-2=0
4) p：x=3 q：
x
=9
5) p：x=±1 q：x-1=0
2
2

解：1） ∵x>1≠> x>2 但x>2
?
x>1 ∴ p是q的必要而不充分条件
2) ∵x>5
?
x>-1 但x>-1≠> x>5 ∴p是q的充分而不必要条件
3) ∵(x-2)(x-3)=0 ≠>x-2=0但 x-2=0
?
(x-2)（x-3）=0
∴p是q的必要而不充分条件
4) ∵x=3
?
x
2
=9 但x
2
=9 ≠>x=3 ∴ p是q的充分而不必要条件
5) ∵x= ±1
?
x
2
-1=0 且x
2
=1
?
x=±1 ∴p是q的充要条件
通过例题引导同 学观察归纳：当p、q分别从集A、B合出现时若A
?
B但B不包含于A，即A 是B
的真子集，则p是q的充分而不必要条件；若A
?
B 但A不包含于B， 即B是 A的真子集，则p
是q的必要而不充分条件；若A
?
B且B
?
A 即A=B 则p是q的充要条件；若A不包含于B，且
B不包含于A，则p是q的既不充分也不必要条件
总结判断p是q的什么条件：方法1：考察p
?
q 及q
?
p 是否成立。即：判断若p则q形式命
题及若q则p形式命题真假.方法2：集合观点
4、拓展联系：1）请举例说明：p是q的充分而不必要条件；p是q的必要而不充分条件
p是q的既不充分也不必要条件；p是q的充要条件
2）从 “充分而不必要条件” “必要而不充分条件” “充要条件” “既不充分也不必要条件”
中选出适当一种填空： ①“a
?
N”是“a
?
Z”的
②“a≠0”是“ab≠0”的
2
③“x=3x+4”是“x=
3x?4
”的
④“四边相等”是“四边形是正方形”的
3）判断下列命题的真假： ①“a>b”是“a>b”的充 分条件；②“a>b”是“a>b”的必要
条件；③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件；④“ a>b”是“ac>bc”的充分条件
（点题：举反例在说明p≠>q或q≠>p时应用）
（三）、巩固提高：（学生讨论，师生共同完成）
1、若甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙 的充要条件,丁是丙的必要而不充分条件，问丁是甲的
什么条件？
2、求证：关于X的方程a x+bx+c=0(a≠0)有两个符号相反且不为零的实根充要条件是ac<0
3、已知 P：
1?
2
22
2222
x?1
22
≤ 2 ，q：x-2x+1-m≤0 (m>0)且
?
p是
?
q的必要而不 充分条
3

件，求实数m的取值范围。
（点题：依据：若p则q命题与 其逆否命题若
?
q则
?
p同真假，由
?
q
?
?
p且
?
p≠>
?
q，
知p
?
q且q≠ >p）
（四）、小结 （学生回顾所学内容并小结,教师补充完善）
（1) 充要条件：若p
?
q 且q
?
p则p是q的充要条件
（2） 判断p是q 的什么条件，不仅要考察p
?
q是否成立，还要考察q
?
p是否成立
（3） 判断p
?
q是否成立，
思路1： 判断若p则q形式命题真假 ；思路2： 若p则q形式命题真假难判断时 判断其逆否命
题真假；思路3： 集合的观点
（五）、作业：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题
五、教后反思：



简单的逻辑联结词
第五课时1.3.1 且与或
一、教学目标：1.知识与技能目标：（1）掌握逻辑联结词“或、且”的含义；（2）正确应用逻辑
联结词“或、且”解决问题；（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题。2．过程与方法目标：在
观察 和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．3.情感态
度价值观目 标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取
的精神．
二、教学重点与难点
重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学 生能正确地表述相关数学内
容。难点：1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定．2、 简洁、准确地表述命题“P
∧q”“P∨q”.
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、引入：在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有 一定逻辑知识是
构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所 学的数
学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常< /p>

犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．
在数 学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中，我们也使用这些联
结词，但表达 的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且”
“或”“非”联结命题 时的含义和用法。
为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。（注意与上节学习命 题的条件p与结
论q的区别）
（二）、探析新课
1、思考、分析：问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？
（1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。
（2）①27是7的倍数；②27是9的倍数；③27是7的倍数或是9的倍数。
学生很容易 看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，
在第（2）组命 题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题，。
问题2：以前我们有没有学习过象 这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢？你能否举一些例
子？
例如：命题p：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。
命题q：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。
2、归纳定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q读作“p
且q”。
一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作
“p或q”。
命题“p∧q”与命题“p∨q”即，命题“p且q”与命题“p或q”中的“且”字与“或” 字
与下面两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义相同吗？
（1）若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B。（2）若 x∈A或x∈B，则x∈A∪B。
定义中的“且”字与“或” 字与两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义是类似。但这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相当，表明前后两者同
时兼有，同时满足, 逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解
上是排斥你我都去这种可能.
说明：符号“∧”与“∩”开口都是向下，符号“∨”与“∪”开口都是向上。
注意：“p或 q”，“p且q”，命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，

逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
3、命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假的规定
你能确定命题“p∧q”与命题“p∨q ”的真假吗？命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假和命
题p，q的真假之间有什么联系？
引导学生分析前面所举例子中命题p，q以及命题p∧q的真假性，概括出这三个命题的真假之间
的关系 的一般规律。
例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，①②都是真命题，所以命题③是真命题。
第（2）组命题中，①是假命题，②是真命题，但命题③是真命题。
p q p∧q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假

（即一假则假
p q p∨q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
） （即一真则真）
一般地，我们规定：
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p， q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q
是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q 是真命题；当p，q两个命题都是假命题
时，p∨q是假命题。
（三）、例题
例1：将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式，并判断它
们的真假。
（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等。
（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；
（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.
解：（1）p∧q：平行四边形的对角 线互相平分且平行四边形的对角线相等.也可简写成平行四边形
的对角线互相平分且相等.
p∨q: 平行四边形的对角线互相平分或平行四边形的对角线相等. 也可简写成平行四边形的对角
线互相平分或相等.

由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（2）p∧q：菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分. 也可简写成菱形的对角线互相垂直
且平分.
p∨q: 菱形的对角线互相垂直或菱形的对角线互相平分. 也可简写成菱形的对角线互相垂直或平
分.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（3）p∧q：35是15的倍数且35是7的倍数. 也可简写成35是15的倍数且是7的倍数.
p∨q: 35是15的倍数或35是7的倍数. 也可简写成35是15的倍数或是7的倍数.
由于p是假命题, q是真命题,所以p∧q是假命题, p∨q是真命题．
说明，在用＂且＂或＂或＂联结新命题时，如果简写，应注意保持命题的意思不变．
例2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。
（1）1既是奇数，又是素数；（2）2是素数且3是素数；（3）2≤2．
解略．
例3、判断下列命题的真假；（1）6是自然数且是偶数；（2）?是A的子集且是A的真子集；（3）
集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角
形 全等．
解略．
（四）、练习：Ｐ
2０
练习第1 ， 2题
（五）、课堂总结：（1）掌握逻辑联结词“或、且”的含义；（2）正确应用逻辑联结词“或、且”
解决问题；（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题
p q P∧q P∨q
真
真
真
假
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
（六）、作业：P20：习题１.３Ａ组第1、2题
五、教后反思：

第六课时 1.3.2 非
一、教学目标 < br>1.知识与技能目标：（1）掌握逻辑联结词“非”的含义；（2）正确应用逻辑联结词“非”解决问题；（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题
2．过程与方法目标：观察和思考中，在解题和证 明题中，本节课要特别注重学生思维能力中严
密性品质的培养．
3.情感态度价值目标：激发 学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积
极进取的精神．
二、教学重点与难点
重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.
难点： 1、正确理解命题 “￢P”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题 “￢P”.
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
三、教学过程：
（一）、思考、分析
问题1：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？
（1） ①35能被5整除； ②35不能被5整除；
（2） ①方程x+x+1=0有实数根。 ②方程x+x+1=0无实数根。
学生很容易看到，在每组命题中，命题②是命题①的否定。
（二）、归纳定义
1、定义：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p ；读作“非p”或
“p的否定”。
2、命题“￢p”与命题p的真假间的关系
命题“￢p”与命题p的真假之间有什么联系？
引导学生分析前面所举例子中命题p与命题￢ p的真假性，概括出这两个命题的真假之间的关系
的一般规律。
例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，命题①是真命题，而命题②是假命题。
第（2）组命题中，命题①是假命题，而命题②是真命题。
由此可以看出，既然命题￢P是命 题P的否定，那么￢P与P不能同时为真命题，也不能同时为假
命题，也就是说，
若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；
22

3、命题的否定与
么区别？
p ￢P
否命题的区别：让学生思考：命题的否定与原命题的否命题有什
真 假
假 真
命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，因此在
解题时应分请命题的条件和结论。
例：如果命题p:5是15的约数，那么命题￢p：5不是15的约数；
p的否命题：若一个数不是5，则这个数不是15的约数。
显然，命题p为真命题，而命题p的否定￢p与否命题均为假命题。
（三）、例题分析
例1? 写出下表中各给定语的否定语。
若给定语为 等于 大于
?
是
? ?
都是
?
至多有一个
?
至少有一个
?
其否定语分别为
分析：“等于”的否定语是“不等于” ；“大于”的否定语是“小于或者等于”；“是”的
否定语是“不是”； “都是”的否定语是“不都是 ”；“至多有一个”的否定语是“至少有两
个”；“至少有一个”的否定语是“一个都没有”。
例2：写出下列命题的否定，判断下列命题的真假
（1）p：y ＝ sinx 是周期函数；
（2）p：3＜2；
（3）p：空集是集合A的子集。
解析：（1）￢P：y ＝ sinx不是周期函数；假命题；（2）￢P：3≥2；真命题；（3）￢ P：空集不
是集合A的子集；假命题。
（四）、练习巩固：P20 练习第3题
（五）、小结（１）正确理解命题 “￢P”真假的规定和判定．（２）简洁、准确地表述命题 “￢
P”.
（六）、作业 P20：习题１.３Ａ组第3题
五、教后反思：

第七课时 简单的逻辑联结词（一）或且非
一、教学目标：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解复合命题的结构.
二、教学重点：逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义及复合命题的构成。
教学难点：对“或”的含义的理解；
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情境：前面我们学习了命题的概念、命题的构成和命题的形式等简 单命题的基本框
架。本节内容，我们将学习一些简单命题的组合，并学会判断这些命题的真假。
问题1：下列语句是命题吗？如果不是，请你将它改为命题的形式
①11>5 ②3是15的约数吗？ ③是整数 ④x>8
（二）、活动尝试
①是命题，且为真；②不是陈述句，不是命题，改为③是3是15的约数，则为真；
③是假命题 ④是陈述句的形式，但不能判断正确与否。改为x≥0，则为真；
例如，x< 2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）。我们
不 要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，只要能从正面的例子了解命
题的概念就 可以了。
（三）、师生探究
问题2：（1）6可以被2或3整除；（2）6是2的倍数且6 是3的倍数；（3）
2
不是有理数；
上述三个命题前面的命题在结构上有什么区别？ 比前面的命题复杂了，且（1）和（2）明显
是由两个简单的命题组合成的新的比较复杂的命题。
命题（1）中的“或”与集合中并集的定义：A∪B={x|x∈A或x∈B}的“或”意义相同.
命题（2）中的“且”与集合中交集的定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}的“且”意义相同. < br>命题（3）中的“非”显然是否定的意思，即“
2
不是有理数”是对命题
2是有理数”进行否
定而得出的新命题.
（四）、抽象概括
1. 逻辑连接词：命题中的“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词
2
2. 复合命题的构成：简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题
复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题

3.复合命题构成形式的表示：常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示简单命题.
复合命题的构成形式是：p或q；p且q；非p.
即：p或q 记作 p?q p且q 记作 p?q 非p (命题的否定) 记作 ?p
释义：“p或q” 是指p,q中的任何一个或两者.例如，“x
?
A或x
?
B”，是指x可能属 于A但不属
于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于 B（即
x
?
A∪B）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还 可能p,q都为真.
“p且q”是指p,q中的两者.例如，“x
?
A且x
?
B”，是指x属于A，同时x也属于B（即x
?
A
?
B）.
“非p”是指p的否定，即不是p. 例如，p是“x
?
A”，则“非p”表示x不 是集合A的元素（即
x
?
?
U
A
）.
（五）、巩固运用：例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：
（1）24既是8 的倍数，也是6的倍数；（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；（3）平行线不相
交
解：（1）中的命题是p且q的形式，其中p：24是8的倍数；q：24是6的倍数.
（2）的命题是p或q的形式，其中p：李强是篮球运动员；q：李强是跳高运动员.
（3）命题是非p的形式，其中p：平行线相交。
例2: 分别指出下列复合命题的形式（1）8≥7；（2）2是偶数且2是质数；（3）
?
不是整数；
解：（1）是“
p?q
”形式，
p
：
8?7
，q
：8=7；（2）是“
p?q
”形式，
p
：2是偶数，
q
：
2是质数；（3）是“
?p
”形式，
p
：
?
是整数；
例3：写出下列命题的非命题：（1）p:对任意实数x，均有x－2x+1≥0； （2）q：存在一个实数x，
使得x－9=0（3）“AB∥CD”且“AB=CD”；（4）“△AB C是直角三角形或等腰三角形”．
解：（1）存在一个实数x，使得x－2x+1＜0；（2）不存在一个实数x，使得x－9=0；
（3）AB不平行于CD或AB≠CD；（4）原命题是“p或q”形式的复合命题，它的否定形式是：
△ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形．
复合命题的构成要注意：（1）“p或q”、 “p且q”的两种复合命题中的p和q可以是毫无关系的
两个简单命题（2）“非p”这种复合命题又叫 命题的否定；是对原命题的关键词进行否定。
下面给出一些关键词的否定：
正面
或
语词 于
不大于 不小于 不是 不都是 一个也 否定 且 不
等
大于 小于 是 都是 至少一个
一个
至少
至多
22
2
2

等
于
（小于等于） （大于等于） 没有 两个
（六）、回顾反思：本节课讨论了简单命题与复合命题的构成，以及逻辑联 结词“或”、“且”、“非”
的含义。需要注意的是否命题的关键词的否定是问题的核心。
（ 七）、作业布置：1．命题“方程
x
＝2的解是
x
＝±
2
是 ( )
2
A．简单命题 B．含“或”的复合命题C．含“且”的复合命题D．含“非”的复合命题
2．用“或”“且”“非”填空，使命题成为真命题：
（1）x∈A∪B，则x∈A____ ______x∈B；（2）x∈A∩B，则x∈A__________x∈B；
（3）a、b∈R，a＞0__________b＞0，则ab＞0．
3．把下列写法改写成复合命题“p或q”“p且q”或“非p”的形式：
（1）（a－2） （a+2）=0；（2）
?
?
x?1
；（3）a＞b≥0．
?y?2
4．已知命题
p
：
a
∈
A
，
q
：
a
∈
B
，试写出命题“
p
或
q
”“
p
且
q
”“┐
p
”的形式．
5．用否定形式填空：
(1)
a
＞0或
b
≤0；
(3)
A
是
B
的子集.___________________
(2)三条直线两两相交
(4)
a
，
b
都是正数.___________________
(5)
x
是自然数.___________________(在Z内考虑) 6．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题
p
１
是“第一次射 击中飞机”，命题
p
２
是“第二次射击中飞机”试用
p
１
、
p
２
以及逻辑联结词或、且、非(∨，∧，
┐
)表示下列命题： < br>命题
S
：两次都击中飞机；命题
r
：两次都没击中飞机；命题
t
：恰有一次击中了飞机；
命题
u
：至少有一次击中了飞机.
【参考答案：1．B；2．（1）或 （2）且 （3）且；3．（1）p：a－2=0或q：a+2=0；（2）p：
x=1且q: y=2 ；（3） p：a＞b且q：b≥0；4．命题“p或q”：a∈A或a∈B．“p且q”：a∈A且
a∈B．“┐ p”：a
?
A；5．(1)
a
≤0且
b
＞0(2)三条直线 中至少有两条不相交(3)
A
不是
B
的子集
(4)
a，
b
不都是正数(5)
x
是负整数．6．（1）
p?q
（2）
?p??q
（3）
(p??q)?(?p?q)
（4）
五、教后反思：

第八课时 简单的逻辑联结词（二）复合命题
一、教学目标：加深对“或”“且”“非”的含义的理解，能利用真值表判断含有复合命题的真假；
二、教学重点：判断复合命题真假的方法；教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情境：1．什么叫 做命题？（可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫
假命题）2．逻辑联结词是什么？（“ 或”的符号是“∨”、“且”的符号是“∧”、“非”的符号是
“┑”，这些词叫做逻辑联结词）3．什 么叫做简单命题和复合命题？（不含有逻辑联结词的命题
是简单命题由简单命题和逻辑联结词“或”、“ 且”、“非”构成的命题是复合命题）4．复合命题
的构成形式是什么？p或q(记作“p∨q” )； p且q(记作“p∨q” )；非p(记作“┑q” )
（二）、活动尝试
问题1: 判断下列复合命题的真假：（1）8≥7；（2）2是偶数且2是质数；（3）
?
不是整数；
解：（1）真；（2）真；（3）真；
命题的真假结果与命题的结构中的p和q的真假有什么联系吗？这中间是否存在规律？
（三）、师生探究
1．“非p”形式的复合命题真假：
例1：写出下列命题的非， 并判断真假：（1）p：方程x+1=0有实数根；（2）p：存在一个实数x，
使得x－9=0．（3 ）p:对任意实数x，均有x－2x+1≥0；（4）p：等腰三角形两底角相等
显然，当p为真时，非p为假； 当p为假时，非p为真．
2．“p且q”形式的复合命题真假：
例2：判断下列命题的真假：（1）正方形ABCD是 矩形，且是菱形；（2）5是10的约数且是15的
约数（3）5是10的约数且是8的约数（4）x- 5x=0的根是自然数
所以得：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。
3．“p或q”形式的复合命题真假：
例3：判断下列命题的真假：（1）5是10的约数或 是15的约数；（2）5是12的约数或是8的约
数；（3）5是12的约数或是15的约数；（4）方 程x－3x-4=0的判别式大于或等于零
当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。
（四）、概括归纳
1．“非p”形式的复合命题真假：当p为真时，非p为假； 当p为假时，非p为真．
2
2
22
2

p
真
假
非p
假
真
（真假相反）
2．“p且q”形式的复合命题真假：
当p、q为真时，p且q为真； 当p、q
中至少有一个为假时，p且q为假。
p
真
真
假
假
p
真
真
假
假
q
真
假
真
假
q
真
假
真
假
p且q
真
假
假
假
P或q
真
真
真
假
（一假必假）
3．“p或q”形式的复合命题真假：
当p、q中至少有一个为真时，p或
q为真；当p、q都为假时，p或q为假。

（一真必真）
注：1°像上面表示命题真假的表叫真
值表；
2°由真值 表得：“非p”形式复合
命题的真假与p的真假相反；“p且q”
形式复合命题当p与q同为真 时为真，
其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；
3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的
复合命题的真假，而不涉及简 单命题的具体内容。如：p表示“圆周率π是无理数”，q表示“△
ABC是直角三角形”，尽管p与q 的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判断其命题p或q 的
真假。
4°介绍“或门电路”“与门电路”。


或门电路（或） 与门电路（且）
（五）、巩固运用
例4：判断下列命题的真假：
（1）4≥3 （2）4≥4 （3）4≥5 （4）对一切实数
x,x
2
?x?1?0

分析：（4）为例：第一 步：把命题写成“对一切实数
x,x
2
?x?1?0
或
x
2
?x?1?0
”是p或q

形式；第二步：其中p是“对一切实数
x,x
2
?x?1?0
”为真命题；q是“对一切实数
x,
x2
?x?1?0
”
是假命题。第三步：因为p真q假，由真值表得：“对一切实数
x,x
2
?x?1?0
”是真命题。
例5：分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假：
（1）p：2+2=5；
（2）p：9是质数；
（3）p：1∈{1，2}；
（4）p：
??
{0}；
q：3>2
q：8是12的约数；
q：{1}
?
{1，2}
q：
??
{0}
解：①p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+2
?
5.
∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.
②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.
∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.
③p或q：1∈{1，2 }或{1}
?
{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}
?
{1，2}； 非p：1
?
{1，2}.
∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.
④p或q：φ
?
{0}或φ={0}；p且q：φ
?
{0}且φ={0} ；非p：φ
?
{0}.
∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.
（六）、回顾反思：1． 判断复合命题真假的步骤：（1）把复合命题写成两个简单命题，并确定复
合命题的构成形式；（2）判 断简单命题的真假；（3）根据真值表判断复合命题的真假。
2．注意数学中的“或”与日常生活用语 中的“或”的区别：“或”这个逻辑联结词的用法，一般
有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b” 是指a，b中的某一个，但不是两者.日常生活中有
时采用这一解释.例如“你去或我去”，人们在理解 上不会认为有你我都去这种可能.二是“可兼有”，
即“a或b”是指a，b中的任何一个或两者.例如 “x
?
A或x
?
B”，是指x可能属于A但不属于B
（这里的“但” 等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即x
?
A
∩B）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.数学书中
一 般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点.还要注意“可兼有”并不意味
“一定兼 有”.“苹果是长在树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它是真命题，但在日常
生活中，我们认 为这句话是不妥的.
（七）、作业布置：1．（1）如果命题“p或q”和“非p”都是真命题，则命 题q的真假是_________。
（2）如果命题“p且q”和“非p”都是假命题，则命题q的真假是_________。
2．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假.

(1)5和7是30的约数.(2)菱形的对角线互相垂直平分.(3)8
x
－5＜2无自 然数解.
3．判断下列命题真假：（1）10≤8； （2）π为无理数且为实数；
（3）2+2=5或3＞2． （4）若A∩B=
?
，则A=
?
或B=
?
．
4． 已知p：方程x
2
+mx+1=0有两个不等的负实根,q:方程4x
2
+4 (m-2)x+1=0无实根，若p或q为
真，p且q为假，求m的取值范围。
【参考答案： 1．（1）真；（2）假；2．(1)是“p或q”的形式.其中p：5是30的约数；q：7是
30的 约数，为真命题．(2) “p且q”．其中p：菱形的对角线互相垂直；q：菱形的对角线互相平
分； 为真命题．(3)是“┐p”的形式.其中p：8x－5＜2有自然数解.∵p：8x－5＜2有自然数解．如< br>x＝0，则为真命题．故“┐p”为假命题．3．（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题．（4）真 命
题．4．由p命题可解得m＞2，由q命题可解得1＜m＜3；由命题p或q为真，p且q为假，所以
命题p或q中有一个是真，另一个是假（1）若命题p真而q为假则有
?
?
m ?2
?m?3
（2）
m?1,或m?3
?
?
m?2
若命题p真而q为假，则有
?
?1?m?2
所以m≥3或1＜m≤2。
1?m?3
?
五、教后反思：









1．4全称量词与存在量词
第九课时 1.4.1全称量词存在量词
一、教学目标
1.知识与技能目标：（1）通过生活和数学中 的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常
见的全称量词和存在量词．（2）了解含有量词的全 称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表

示含有量词的命题及判断其命题的真假性．
2.过程与方法目标：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
3 .情感态度价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在
练习过程 中进行辩证唯物主义思想教育．
二、教学重点与难点
重点:理解全称量词与存在量词的意义；难点: 全称命题和特称命题真假的判定.
三、教学过程
（一）思考、分析
下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？
（1）2x＋１是整数；(2) x＞３；(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；
（4）平行于同一条直线的两条直线 互相平行；（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本
都是采用人民教育出版社A版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对所有的x
∈Ｒ, x＞３；（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。
（二）、推理、判断
（让学生自己表述）
（1）、（2）不能判断真假，不是命题。（3）、(4)是命题且是真命题。
（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。
注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反 例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉
及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些 后续内容。
（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教 育出
版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；
命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．
命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如
x
＝2）， x＜３．
（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）
命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使 2x＋１不是整数。也可以说命题：存在某
个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题．
（三）、发现、归纳
命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “所有的”“任意一个” 这样的
词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做 全称量词，用符号“
?
”表
示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。命题（5）－（ 8）都是全称命题。

通常将含有变量
x
的语句用
p（ x），q（x），r（x），
……表示，变量
x
的取值范围用
M
表示 。
那么全称命题“对
M
中任意一个
x
，有
p（x）
成立”可用符号简记为：
?
x?M
,
p（x）
，读做“对任
意
x
属于
M
，有
p（x）
成立”。
刚才在判断命题（5）－（8）的真假的时候，我们还得出这样一些命题：
（5）存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；
（6）存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．
（7） 存在一个（个别、某些）实数x（如
x
＝2），使x≤３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）
（8）不存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数．
这些命题用到了“存在一个”“至少有一个” 这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分
的词叫做存在量词。并用符号“
?
”表示 。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）命
题（5）－（8）都是特称命题（存在命题）．
特称命题：“存在
M
中一个
x
，使
p（x）
成立” 可以用符号简记为：
?x?M,p(x)
。读做“存
在一个
x
属于< br>M
,使p（x）成立”．
全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“ 任意一个”等；存在量词相当于日常
语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“ 至多有一个”等.
（四）、练习、感悟
（1）下列全称命题中，真命题是：
A. 所有的素数是奇数； B.
?x?R,(x?1)f0
； C.
?x?R,x?
2
，，
，
，
，
，
1
?
1
?2
D.
?x?(0,),sinx??2

x2sinx
（2）下列特称命题中，假命题是：
A.
?x?R,x
2
?2x?3?0
B.至少有一个
x?Z,x
能被2和3整除
C. 存在两个相交平面垂直于同一直线
?x?{x|x是无理数},
是有理数．
（3）已知：对
?x?R,apx ?
?2
?
1
恒成立，则a的取值范围是 ；
x
变式：已知：对
?x?R,x?ax?1p0
恒成立，则a的取值范围是 ；
（4）求函数
f(x)??cosx?sinx?3
的值域；
变式：已 知：对
?x?R,
方程
cosx?sinx?3?a?0
有解，求a的取值范 围．
2
2

（五）、作业、探究
（1）作业：P
29
习题1.4A组1、2题：
判断下列全称命题的真假：
①末位是o的整数，可以被5整除；
②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
③负数的平方是正数；
④梯形的对角线相等。
（2）判断下列特称命题的真假：
①有些实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有些菱形是正方形。
（3）探究：
①请课后探究命题（5）－（8）跟命题（5）－（8）分别有什么关系？
②请你自己写出几 个全称命题，并试着写出它们的否命题．写出几个特称命题，并试着写
出它们的否命题。
五、教后反思：








第十课时 1．4．3含有一个量词的命题的否定
一、教学目标
1.知识与技能目标
（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题 与它们的否定在形式上的
变化规律．
（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个 量词的命题与它们的否定在形式上的变化
，，

规律，正确地对含有一个量词的命 题进行否定．
2．过程与方法目标
使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
3.情感态度价值观 < br>通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩
证唯 物主义思想教育．
二、教学重点与难点
教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它 们的否定在形式上的变化规律，会正确地对
含有一个量词的命题进行否定．
教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、回顾
我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p ，如何得到命题p 的否定（或非
p ），它们的真假性之间有何联系？
（二）、探析新课
1、思考、分析：判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）?x∈R, x－2x＋1≥0。
（4）有些实数的绝对值是正数；
（5）某些平行四边形是菱形；
（6）? x∈R, x＋1＜0。
2、推理、判断
你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
（让学生自己表述）
前三个命题都是全称命题，即具有形式“
?x?M,p(x)
”
。
其中命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，
也就是说，存在一个矩形不都是平行四边形；
2
2

命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数；”，
也就是说，存在一个素数不是奇数；
命题（3）的否定是“并非?x∈R, x－2x＋1≥0”，
也就是说，?x∈R, x－2x＋1＜0；
后三个命题都是特称命题，即具有形式“
?x?M,p(x)
”。
其中命题（4）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，
也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；
命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，
也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；
命题（6）的否定是“不存在x∈R, x＋1＜0”，
也就是说，?x∈R, x＋1≥0；
3、发现、归纳
从 命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否定都变
成了全称命题。
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题P：
2
2
2
2
?x?M,p(x)

它的否定￢P
?x?M,p(x)

特称命题P：
?x?M,p(x)

它的否定￢P：
?x∈M，￢P(x)
全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。

4、练习、感悟
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：
（１） p：所有能被3整除的整数都是奇数；
（２） p：每一个四边形的四个顶点共圆；

（３） p：对?x∈Z，x个位数字不等于3；
（４） p：? x∈R, x＋2x＋2≤0；
（５） p：有的三角形是等边三角形；
（６） p：有一个素数含三个正因数。
（三）、小结与作业
（1）小结：如何写出含有一个量词的 命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么
变化？
（2）作业：P
29
习题1.4A组第3题：B组（1）（2）（3）（4）
五、教后反思：





第十一课时 全称量词与存在量词（一）量词
一、教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分 全称量词和存在量词的概
念，并能准确使用和理解两类量词。
二、教学重点：理解全称量词、 存在量词的概念区别；教学难点：正确使用全称命题、存在性命
题；
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情境：在前面的学 习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至
少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定 ，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天
我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结 。
问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词①一 纸；②一 牛；③一 狗；④一 马；
⑤一 人家；⑥一 小船 ①张②头③条④匹⑤户⑥叶
什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂，又有
兼表 形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不遵守
量词使用的这 些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。
（二）、活动尝试：所有已知人类语言 都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量
词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的 量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的
给予它数学的意境。
2
问题2：下列 命题中含有哪些量词？（1）对所有的实数
x
，都有
x
≥0；（2）存在实数
x
，满足
22
x
2
≥0；（3）至少有一个实数
x
，使得
x
－2＝0成立；（4）存在有理数
x
，使得
x－2＝0成立；
（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n × n；（6）有一个自然数s 使得对于所有
自然数n，有 s = n × n；上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体
和部分的量词。
2
2

（三）、师生探究：命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题 的量词，表示的是主词
数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量 词。
全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来
说，x都是F。”例句：“所有的鱼都会游泳。”存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。
其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F。”例句：“有的工程师是工人出身。”
含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。
单称命题：其公式为“（这 个）S是P”。例句：“这件事是我经办的。”单称命题表示个体，
一般不需要量词标志，有时会用“这 个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。
全称命题：其公式为“所有S是P”。例句： “所有产品都是一等品”。全称命题，可以用全称
量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的 形式来表达，甚至有时可以没有任何的量
词标志，如“人类是有智慧的。”
特称命题：其公式 为“有的S是P”。例句：“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量
词，如“有些”、“很少” 等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性
量词的命题也称存在性命题。
问题3：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？ （1）方程2x=5只有一解；（2）凡是质数
都是奇数；（3）方程2x＋1=0有实数根；（4）没有一个无理数不是实数；（5）如果两直线不相 交，
则这两条直线平行；（6）集合A∩B是集合A的子集；
分析：（1）存在性命题；（2 ）全称命题；（3）存在性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）
全称命题；
（四）、概括归纳
1．开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无 法确定语句真假的．这
种含有变量的语句叫做开语句。如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y) =0.
2．表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种：
(1) 全称 量词：日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，
“都”等 词可统称为全称量词，记作
?x
、
?y
等，表示个体域里的所有个体。
(2) 存在量词：日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词 统
称为存在量词，记作
?x
，
?y
等，表示个体域里有的个体。
3．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。
全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:
?x?M,p(x)

存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:
?x?M,q(x)

注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语中的首字母。
存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语中的首
2

字母。存在量词的“否”就是全称量词。
（五）、巩固运用
例1判断以下命题的真假：（1）
?x?R,x?x
（2）
?x?R,x?x
（3）
?x?Q,x?8?0
（4）
?x?R,x?2?0
分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真； < br>2
22
2
例2指出下述推理过程的逻辑上的错误：第一步：设
a
=
b
，则有
a
=
ab
第二步：等式两边都减去
222
b
2
，得
a
-
b
=
ab
-
b
第三步：因式分解得

(
a+b
)(
a-b)=
b
(
a-b
) 第四步：等式两边都除以
a-b
得，
a+b=b

2
第五步 ：由
a
=
b
代人得，2
b=b
第六步：两边都除以
b
得，2=1
分析：第四步错：因
a-b
＝0，等式两边不能除以
a-b
第六步错：因
b
可能为0，两边不能立即除
以
b
，需 讨论。心得：(
a+b
)(
a-b
)=
b
(
a-b
)
?
a+b=b
是存在性命题，不是全称命题，由此得到的
结论不 可靠。同理，由2
b=b
?
2=1是存在性命题，不是全称命题。

例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。
（1）中 国的所有江河都注入太平洋；（2）0不能作除数；（3）任何一个实数除以1，仍等于这个
实数；（4 ）每一个向量都有方向；
分析：（1）全称命题，
?
河流
x
∈{中 国的河流}，河流
x
注入太平洋；（2）存在性命题，
?
0∈R，
0 不能作除数；（3）全称命题，
?
x
∈R，
x
1
（4）全 称命题，
?
a
，
a
有方向；
?x
；
rr
（六）、回顾反思：要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素
x
，使命题
p(
x
)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素
x
，使命题p(
x
)为假。
要判断一个全称命题为真，必须对在给 定集合的每一个元素
x
，使命题p(
x
)为真；但要判断一个
全称命 题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素
x
，使命题p(
x
)为假。
即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。
（七）、作业布置：1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）
A．所有奇数都是质数 B．
?x?R,x?1?1

C．对每个无理数
x
，则
x
也是无理数 D．每个函数都有反函数
2．将“x+y≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A．
?x,y?R
，都有
x?y?2xy
B．
?x,y?R
，都有
x?y?2xy

C．
?x?0,y?0
，都有
x?y?2xy
D．
?x?0,y?0
，都有
x?y?2xy

3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是
2222
2222
22
2
2

A．
?x?R,x?1?0
B．
?x?R,x?1?0

C．
?x?R,sinx?tanx
D．
?x?R,sinx?tanx

4．下列命题中的假命题是（ ）
A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ
5．对于下列语句（1）
?x?Z,x?3
（2）
?x?R,x?2
（3）
?x?R,x
?2x?
3?0
（4）
?x?R,x
? x
?5
?0
其中正确的命题序号是 。（全部填上） 2
22
22
2
6．命题
(a?b)
b?1
2< br>?
a?b
b?1
是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命 题，请
补充必要的条件，使之成为全称命题。
【参考答案：1．B； 2．A；3．D；4．B；5．（2）（3）
6．不是全称命题，补充条件：
a??b?1< br>（答案不惟一）当
a??b?1
时,
a?b?0
，
b?1?0

(a?b)
2
?(a?b)a?b
??
】
b?1b?1b?1
五、教后反思：







第十二课时 全称量词与存在量词（二）量词否定
一、教学目标： 利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解
全称量词、存在量词的作 用.
二、教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；教学难点：隐蔽性否定命题的确定；
三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程
（一）、创设情 境：数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每
一个”等与“存在着” 、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分
别称为全称量词与存在性量词（ 用符号分别记为“
?
”与“
?
”来表示）；由这样的量词构成的
命 题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，
p?q,p?q
都
容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。
（二）、活动尝试
问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）
每一个素数都是奇数；（3）?x?R，x-2x+1≥0
分析：（1）?
x ?M,p(x)
，否定：存在一个矩形不是平行四边形；
?x?M,?p(x)
（2）
?x?M,p(x)
，否定：存在一个素数不是奇数；
?x?M,?p(x )

（3）
?x?M,p(x)
，否定：?x?R，x-2x+1<0；?x?M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.
（三）、师生探究
问题2：写出命题的否定（1）p：?
x
∈R，
x
＋2
x
+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；
（3）p：有些函数没有反函数；（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；
分析：（1）? x?R，x＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）任何函数都有反函数；
（4 ）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：
2
2
2
2
痧
U
(AIB)?
U
AU?
U
B< br>,
痧
U
(AUB)?
U
AI?
U
B

（四）、概括归纳
1.全称命题、存在性命题的否定：一般地，全称命题P：? x?M,有 P（x）成立；其否定命题┓P
为：?x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：?x?M，使P（x ）成立；其否定命题┓P为：? x?M,
有P（x）不成立。
用符号语言表示：P:??M, p(x）否定为? P: ??M, ? P（x）P:??M, p(x）否定为? P: ??M, ? P（x）
在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在 性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，
并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称 得存在，否定存在得全称，否定肯定
得否定，否定否定得肯定.
2.关键量词的否定

词语
词语的否
是 一定是 都是 大于 小于 且
不是
定
一定不是 不都是
至多有一
小于或等于 大于或等于
所有x不成
所有x成立
或
词语 必有一个 至少有n个
个

立

词语的否一个也没至多有n-1至少有两存在一个x不存在有一个
定 有 个 个 成立 成立
（五）、巩固运用
例1 写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p：?x?R，x＋x+1>0；
（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：?
x
∈R，
x
－
x
+1＝0；
分析：（1）? P：有的人不晨练；（2）?
x
∈R，
x
＋
x
+1≤0； （3）存在平行四边形，它的的对边不
相等；（4）?x?R，x－x+1≠0；
例2 写出下列命题的否定。（1） 所有自然数的平方是正数。 （2） 任何实数x都是方程5x-12=0
的根。 （3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. （4） 有些质数是奇数。
解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。 （2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的
根。 （3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。 （4）的否定：所有的质数都不是奇
数。 解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x＞9”。
在求解中极 易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出
其否定形式。
例3 写出下列命题的否定。 （1） 若x＞4 则x＞2.。 （2） 若m≥0,则x+x-m=0有实数根。
（3） 可以被5整除的整数，末位是0。 （4） 被8整除的数能被4整除。 （5） 若一个四边
形是正方形，则它的四条边相等。
解（1 ）否定：存在实数
x
0
，虽然满足
x
0
＞4，但
x
0
≤2。或者说：存在小于或等于2的数
x
0
，
满足
x
0
＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x＞4 则x＞2）；（2）否定：虽然实数 m≥0,但存
2
22
2
2
2
2
2
2
2
在一个
x
0
，使
x
0
+
x
0
-m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x+x-m=0有实数根。）
2
2
（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0；（4）否定：存在一个数能被 8整除，
但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)；（5）否定：存在一个四 边形，
虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，

则它的四条边中任何两条都相等。）
例4 写出下列命题的非命题与否命题， 并判断其真假性。（1）p：若x＞y,则5x＞5y；（2）p：若
x+x﹤2,则x-x﹤2；（3 ）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若x+ax+b≤0有
非空实解集，则a- 4b≥0。
解：（1）? P：若 x＞y，则5x≤5y； 假命题； 否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题
（2）? P：若x+x﹤2，则x-x≥2；真命题； 否命题：若x+x≥2，则x-x≥2）；假命题。
（3）? P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。
（4）? P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a-4b﹤0。假命题。
否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a-4b﹤0。真命题。
评注 ：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：1．任何命题均有否定，无论是真命题
还是假命题； 而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2．命题的否定（非）是原命题的矛盾
命题，两者的真假性 必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是
一真一假。3． 原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则?q”；而它的否命题为 “若
┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。
（六）、回顾反思：在教学中，务必理清各类 型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整
地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好 把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培
养和发展学生的逻辑思维能力。
（七）、作业布置： 1．命题p：存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的
命题是（ ）
A.存在实数m，使得方程x＋mx＋1＝0无实根；
B.不存在实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；
C.对任意的实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；
D.至多有一个实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；
2．有这样一段演绎推理是这样 的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然
是错误的，是因为（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
3．命题“?x?R，x-x+3>0”的否定是
4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的
否定形式是
2
2
2
2
2
2
2
2
22222
222

否命题是
5．写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p：?m∈R，方程x+x-m=0必有实根； （2）q：??R，使得x+x+1≤0；
6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：
（1）若m>1，则方程x-2x+m=0有实数根．（2）平方和为0的两个实数都为0．
（3）若
?ABC
是锐角三角形， 则
?ABC
的任何一个内角是锐 角．（4）若abc=0，则a,b,c中至
少有一为0．（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．
【参考答案：1． B；2．C；3．? x?R，x
2
-x+3≤0；4．否定形式：末位数是0或5的整数，不能
被5整除； 否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除；5．（1）?p：?m∈R，方程
x
2
+x-m=0无实根；真命题。（2）?q：??R，使得x
2
+x+1>0；真命题 。6． ⑴ 若m>1，则方程x
2
-2x+m=0
无实数根，(真)；⑵平方和为 0的两个实数不都为0(假)；⑶若
?ABC
是锐角三角形， 则
?ABC
的 任何一个内角不都是锐角(假)；⑷若abc=0，则a,b,c中没有一个为0(假)；⑸若(x-1)(x- 2)=0，
则
x?1
或
x?2
，(真)．】
五、教后反思：










第十三课时 常用逻辑用语复习与小结
一、教学目标：整 体理解逻辑用语，通过概念的整理和习题的讲解与练习，熟练逻辑用语的使用
技巧。通过四种命题的相互 关系，了解反证法的机理，能利用命题的等价关系转换角度、间接解
决或证明一些问题。
二、 教学重点：逻辑联结词“或”、“且”、“非”与含有量词的命题的否定。教学难点：对一些命
题真假的 判断。
2
22

三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、创设情境：1.知识网络










2. 概念与规律总结
（1）命题的结构
命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
“或”、“且”、 “非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单
命题和逻辑联结词“或”、 “且”、“非”构成的命题是复合命题
四种命题
充分条件与必要条件
或 并集
交集
补集
全称量词
存在量词
含有一个量词的否定
运算
命题及其关系
常
用
逻
辑
用
语
简单的逻辑联结词
且
非
构成复合命题的形式：p或q(记作p∨q)；p且q(记作p∧q)；非p(记作┑q)
（2）命题的四种形式与相互关系
原命题：若P则q；逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q； 逆否命题：若┑q则┑
p
原命题与逆否命题互为逆否，同真假；逆命题与否命题
互为逆否，同真假；
（3）命题的条件与结论间的属性
若p
?
q，则p是q 的充分条件，q是p的必要条件，即“推出人者为充分，被人推出者为必
要”。
（4）“或”、“且”、“非”的真值判断；“非p”形式复合命题的真假与P的真假相反；
“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；

全称量词与存在量词
量词
原命题
若p则q
互
否
否命题
若┐p则┐q
互
逆
互
为
为
互
逆否
逆命题
若q则p
互
否
逆否命题
若┐q则┐p
逆
否
互
逆

“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其 他情况时为真．
注意：“p或q”，“p且q”，“非p”命题中的“p”、“q”是两个命题，而原 命题，逆命题，
否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
（5）全称量词与存在量词
全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等；
存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；
全称命题P:??M, p(x） 否定为? P: ??M, ? P（x）
存在性命题P:??M, p(x） 否定为? P: ??M, ? P（x）
（6） 反证法是间接证法的一种．若要证的命题是“
p?q
”，反证法是假设
?q
为 真，即
q
不成
立，并根据有关公理、定理、公式进行逻辑推理，得出矛盾．因为公理、 定理、公式正确，推理
过程也正确，产生矛盾的原因只能是“假设
?q
为真”，由此假 设不成立，即“
q
为真”．这里的
“矛盾”可以是与条件
p
矛盾，即 推得“
?p
”，可以是和公理、定理或熟知的结论矛盾，也可以
是和“假设
? q
为真”矛盾．
（二）、师生探究
例1．分别写出由下列各种命题构成的“
p
或
q
”“
p
且
q
”“非
p
” 形式的复合命题：
（１）
p
：平行四边形对角线相等
q
：平行四边形对角线互相平分
解：
p
或
q
：平 行四边形对角线相等或互相平分
p
且
q
：平行四边形对角线相等且互相平分
非
p
： 平行四边形对角线不一定相等
（２）
p
：10是自然数
q
：10是偶数
解：
p
或
q
：10是自然数或是偶数
p
且
q
：10是自然数且是偶数 非
p
： 10不是自然数
例2．分别指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题：
（１）
x
= 2或
x
=3是方程
x
?5
x
+6=0的根
解：
p
：
x
=2是方程
x
?5
x
+6=0的根
q
：
x
=3是方程
x
?5
x
+6=0的根 ，是
p
或
q
的形式
（２）?既大于3又是无理数
解：
p
：?大于3
q
：?是无理数 是
p
且
q
的形式
（３）直角不等于90?
解：
p
：直角等于90? 是非
p
形式
（４）
x
+1≥
x
?3
解：
p
：
x
+1>
x
?3
q
：
x
+1=
x
?3 是
p
或
q
的形式
（５）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
22
2

解：
p
：垂直于弦的直径平分这条弦
q
：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧 是
p
且
q
的形式
例3．分别写出由下列各种命题构成的“
p
或
q
”“
p
且
q
”“非
p
”形 式的复合命题,并判断它们的
真假：
（１）
p
：末位数字是0的自然数能被5整除
q
：5?{
x
|
x
+3
x
?10=0}
解：
p
或
q
：末位数字是0的自然数能被5整除或5?{
x
|
x
+3
x
?10=0}

p
且
q
：末位数字是0的自然数能被5整除且5?{
x
|
x
+3
x
?10=0}
非
p
：末位数字是0的自然数不能被5整除
∵
p
真
q
假 ∴“
p
或
q
” 为真，“
p
且
q
”为假，“非
p
”为假。
（２）
p
：四边都相等的四边形是正方形
q
：四个角都相等的四边形是正方形
解：
p
或
q
：四边都相等的四边形是正方形或四个角都相等的四边形是正方形

p
且
q
：四边都相等的四边形是正方形且四个角都相等的四边形是正方形
非
p
：四边都相等的四边形不是正方形
∵
p
假
q
假 ∴“
p
或
q
” 为假，“
p
且
q
”为假，“非
p
”为真。
?
?
2
（３）
p
：0??
q
：{
x
|
x
?3
x
?5<0}
R

?
?
22
解：
p
或
q
： 0??或{
x
|
x
?3
x
?5<0}
R

p
且
q
： 0??且{
x
|
x
?3
x
?5<0}
R

?
?


非
p
： 0?? ∵
p
假
q
真 ∴“
p
或
q
” 为真，“
p
且
q
”为假，“非
p
”为真。
（４）
p
：不等式
x
+2
x
?8<0的解集是：{
x
|? 4<
x
<2}
q
：不等式
x
+2
x
?8<0的解集是：{
x
|
x
或
x
> 2}
解：
p
或
q
：不等式
x
+2
x?8<0的解集是：{
x
|?4<
x
<2}或{
x
|
x
x
> 2}

p
且
q
：不等式
x
+2
x
?8<0的解集是：{
x
|?4 <
x
<2}且{
x
|
x
x
> 2}
非
p
：不等式
x
+2
x
?8<0的解 集不是：{
x
|?4<
x
<2}
∵
p
真
q
假 ∴“
p
或
q
” 为真，“
p
且
q
”为假，“非
p
”为假。
例4．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假：
（１）面积相等的两个三角形是全等三角形。
解：逆命题：两个全等三角形面积相等。（真命题）
否命题：面积不等的两个三角形不是全等三角形。（真命题）
逆否命题：不全等的两个三角形面积不相等。（假命题）
（２）若
x
=0则
xy
=0。
解：逆命题：若
x y
=0则
x
=0。（假命题）否命题：若
x
?0则
xy?0。（假命题）
2
2
2
22
2
2
2

逆否命题：若
xy
?0则
x
?0。（真命题）
（ ３）当
c
<0时，若
ac
>
bc
则
a
<< br>b
。
解：逆命题：当
c
<0时，若
a
<
b
则
ac
>
bc
。（真命题）
否命题：当
c
<0时，若
ac
≤
bc
则
a
≥
b
。（真 命题）
逆否命题：当
c
<0时，若
a
≥
b
则ac
≤
bc
。（真命题）
（４）若
mn
<0，则方程
mx
?
x
+
n
=0有两个不相等的实数根。
解： 逆命题：若方程
mx
?
x
+
n
=0有两个不等实数根，则< br>mn
<0。（假命题）
否命题：若
mn
≥0，则方程
mx< br>?
x
+
n
=0没有两个不等实数根。（假命题）
逆否命题： 若方程
mx
?
x
+
n
=0没有两个不等实数根，则
mn
≥0。（真命题）
例5．写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假： （１）若
x
,
y
都是奇数，则
x
+
y
是偶数。
解：命题的否定：
x
,
y
都是奇数且
x
+
y
不是偶数。（假命题）
否命题：若
x
,y
不都是奇数，则
x
+
y
不是偶数。（假命题）
（２）若
xy
=0则
x
=0或
y
=0
解 ：命题的否定：
xy
=0且
x
?0又
y
?0。（假命题）； 否命题：若
xy
?0则
x
?0且
y
?0。（真命题） （三）、小结：本课要求从整体理解逻辑用语，通过概念的整理和习题的讲解与练习，熟练逻辑
用语 的使用技巧。理解和掌握四种命题的相互关系。
（四）、作业布置：本章复习题一A组2、3、5、7 B组1、2
五、教后反思：





第十四课时 常用逻辑用语复习与小结

一、教学目标：整体理解逻辑用语，通过 概念的整理和习题的讲解与练习，熟练逻辑用语的使用
技巧。通过四种命题的相互关系，了解反证法的机 理，能利用命题的等价关系转换角度、间接解
决或证明一些问题。
二、教学重点：逻辑联结词 “或”、“且”、“非”与含有量词的命题的否定。教学难点：对一些命
题真假的判断。
2
2
2
2

三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、概念与规律总结
（1）命题的结构：命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
“或”、“且”、“非”这 些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单
命题和逻辑联结词“或”、“且”、 “非”构成的命题是复合命题
构成复合命题的形式：p或q(记作p∨q)；p且q(记作p∧q)；非p(记作┑q)
（2）命题的四种形式与相互关系
互
逆
原命题逆命题
若p则q若q 则p
原命题：若P则q；逆命题：若q则p；
互
否
为
否命题：若┑P则┑q； 逆否命题：若┑q则┑
逆
互
互
p
否否
逆
为
否
原命题与逆否命题互为逆否，同真假；逆命题与否命题
互
逆否命题
否命题
互为逆否，同真假；
若┐q则┐p
若┐p则┐q
互
逆
（3）命题的条件与结论间的属性
若p
?
q，则p是q 的充分条件，q是p的必要条件，即“推出人者为充分，被人推出者为必
要”。
（4）“或”、“且”、“非”的真值判断；“非p”形式复合命题的真假与P的真假相反；
“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；
“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
注意：“p或q”，“p 且q”，“非p”命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，
否命题，逆否命题中的“p ”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
（5）全称量词与存在量词
全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等；
存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；
全称命题P:??M, p(x） 否定为? P: ??M, ? P（x）
存在性命题P:??M, p(x） 否定为? P: ??M, ? P（x）
（6）反证法是间接证法的一种．若要证的命题是“
p?q
”，反证法是假设
?q
为真，即
q
不成
立，并根据有关公理、定理、 公式进行逻辑推理，得出矛盾．因为公理、定理、公式正确，推理
过程也正确，产生矛盾的原因只能是“ 假设
?q
为真”，由此假设不成立，即“
q
为真”．这里的
“矛盾” 可以是与条件
p
矛盾，即推得“
?p
”，可以是和公理、定理或熟知的结论矛 盾，也可以
是和“假设
?q
为真”矛盾．
（二）、师生探究
例1、判断下列命题的真假：
22
（１）(
x
?2)(
x
+3)=0是(
x
?2)+(
y
+3)=0的充要条件。解：是假命 题。反例；若
x
=2,
y
??3
（２）
x
2
=4
x
+5是
x
4x?5< br>＝
x
2
的必要条件。解：是假命题。{
x
|
x
2
=4
x
+5}={?1,5} {
x
|
x
4x?5
＝
x
}={0,5}
(3)内错角相等是两直线平行的充分条件。解：是真命题。
(4)
ab
<0是 |
a
+
b
|<|
a
?
b
| 的必要而不充分条件。
222222
解：是假命题。|
a
?
b|>|
a
+
b
|≥0 ? (
a
?
b
)>(
a
+
b
) ?
a
?2
ab
+
b
>
a
+2
ab
+
b
? 4
ab
<0 ?
ab
<0 ∴
(
ab
<0是 |
a
+
b
|<|
a
?
b
| 的充要条件)
例2、判断下列命题是全称命题，还是存在性命题
（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等（2）负数的平方是正数（3）有些
三角形不是等腰三角形（4）有些菱形是正方形
2

答案（1）全称命题 （2）全称命题 （3）存在性命题 （4）存在性命题
例3、用量词符号“?”，“?”表达下列问题
（１）凸n边形的外角和等于２π；（２）不等式的解集为A，则A?R；（３）有的向量方向不定；
（４）至少有一个实数不能取对数；
答案（１）?
x
∈{
x
是凸n边形}，
x
的外角和等于２π；（２）?
A
∈{不等式的解集}，A ?R；
（３）?

0∈{向量}，0的方向任意；（４）?
x
∈R，
x
不能取对数；
例4、写出下列命题的否定：（1）对任意的正数
x
，
x
>
x
-1；（2）不存在实数
x
，
x
+1<2
x
；
2
（3）已知集合A?B，如果对于任意 的元素
x
∈A，那么
x
∈B；
（4）已知集合A?B，存在至少一个元素
x
∈B，使得
x
∈A；
答案（1）存在正数
x
，
x?
x
-1；（2）存在实数x
，
x
+1≥2
x
；（3）已知集合A?B，如果存在一
2
个元素
x?A
，那么
x?B
；（原对，否错）（4）已知集合A ?B，如果对于任意的元素
x
?B
，那么
x
?A
；（原错， 否对）
2
例5、已知关于
x
的方程 (1?
a
)
x
+(
a
+2)
x
?4=0
a
?
R
求：1) 方程有两个正根的充要条件；2) 方
程至少有一个正根的充要条件。
解：1) 方程(1?
a
)
x
+(
a
+2)
x
?4=0有两个实根的充要条件是：
?2
?
1?a?0

?
??0
?
a?1
?
a?1
即：
?
?
?
即：
a
≥10或
a
≤2且
a
?1
2
a?2, ora?10
(a?2)?16(1?a）?0
?
?
设此时方程两根为
x
1
，
x
2
∴有两正根的充要条件是：
?
a?1
?
a?2,ora?10
?< br>a?1
?
?
a?2,ora?10
?
a?2
?
? ? 1<
a
≤2或
a
≥10 即为所求。
?
?< br>?0
x?x?0
?
a?1
?
12
?
4
?
?
x
1
x
2
?0
?0
?
?< br>a?1
2) 从1)知1<
a
≤2或
a
≥10方程有两个正根 当
a
=1时, 方程化为 3
x
?4=0有一个正根
x
=
4
3

?
?
1?a?0
?
a?1
?
?
方程有一正、一负根的充要条件是：
?
??0
?
?
a?2,ora?10
?
a
<1
?
xx? 0
?
4
?
12
?
?0
?
a?1
综上：方程(1?
a
)
x
+(
a
+2)
x
?4=0至少有一正根的充要条件是
a
≤2或
a
≥10。
(三)、课堂练习：1、用反证法证明：若p+q=2，则p+q≤2
22
2
(p?q)
2
(p?q)
2
(p?q)
2
1
2< br>证明：当p+q＞2时，p+q=+≥＞×2=2
222
2
22

∴ p
2
+q
2
＞2，即p
2
+q
2
≠2∴ 逆否命题为真命题，即若p
2
+q
2
=2，则p+q≤2成立
2、把下列改写成“若
p
则
q
”的形式，并判断它们的真假：
（１）实数的平方是非负数。
解：若一个数是实数，则它的平方是非负数。（真命题）
（２）等底等高的两个三角形是全等三角形。
解：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形。（假命题）
（３）被6整除的数既被3整除又被2整除。
解：若一个数能被6整除，则它能被3整除又能被2整除。（真命题）
（４）弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧。
解：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧。 （真命题）
3、指出下列各组命题中
p
是
q
的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条 件，充要条件，既不
充分也不必要条件）：
22
（１）
p
：
a
>
b

q
：
a
>
b
则
p
是
q
的 既不充分也不必要条件 。
2
（２）
p
：{
x
|
x
>?2或
x
<3}
q
：{
x
|
x
?
x
?6<0} 则
p
是
q
的 必要而不充分条件 。
（３）
p
：
a
与
b
都是奇数
q
：
a
+
b
是偶数 则
p
是
q
的 充分不必要条件 。
1
2
（４）
p
：0<
m
<
q
： 方程
mx
?2
x
+3=0有两个同号且不相等的实数根，则
p
是
q
的充要条件。
3
五、教后反思：









第15课时
课题:2.3.2 抛物线的简单几何性质 (2)
教学目标：
知识与技能：
利用抛物线的标准方程和定义来解决问题；利用抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求法.
过程与方法：
让学生进一步体会数形结合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题.
情感态度与价值观：
通过具体的情境感知研究抛物线的简单几何性质；体会数学的对称美、简 洁美，培养学
生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度.
教学重点与难点
重点：抛物线定义的应用；抛物线的焦点弦长求法；抛物线综合知识的应用.

难点：抛物线各个知识点的灵活应用.
教学过程：
一、复习引入
1．抛物线的定义及几何性质．
说明：抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一 条准线，一条对称轴，
无对称中心，没有渐近线.
2．练习：
①抛物线
m x?ny?0(m?n?0)
的顶点坐标是
(0,0)
，焦点坐标是
(?2
m
,0)
，准线方程是
4n
x?
m
，离心率 是1．
4n
2
②抛物线
y?2x
上的两点
A
、则 线段
AB
的中点的横坐标是 2 ．
B
到焦点的距离之和为5，
二、讲授新课
例1． 斜率为1的直线经过抛 物线y
2
＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的
长．
解法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F(1, 0)，
则直线AB的方程为y＝x－1 ①
y
将①代入抛物线方程 y
2
＝4x，得(x－1)
2
＝4x．
化简得x
2
－6x＋1＝0．
A
解得
x
1
?3?22,

x
2
?3?22.

可得
y
1
?2?22,y
2
?2?22.

即A、B的坐标分别为
(3?22,2?22)
、
(3?22,2?22).

O
F
B
x
?AB?(42)
2
?(42)2
?8.

解法二：由第一种解法，x
2
－6x＋1＝0． < br>利用弦长公式
AB?1?k
2
?x
1
?x
2
?1?k
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x< br>1
?x
2

解法三：
由题意，p?2,

由 抛物线的定义知，
AF?AA
?
?x
1
?1,BF?BB
?
?x
2
?1.

于是得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x
1
＋x
2
＋2.
根据根与系数的关系可以直接得到x
1
＋x
2
＝6．
|AB|＝x
1
＋x
2
＋2＝6＋2＝8．

1、抛物线焦半径公式
抛物线 y
2
＝2px (p＞0)上的点 M(x
0
, y
0
) 与焦点F的距离|MF|＝
A
?< br>OF
y
A
B
?
B
x
p
?x
0
.
2
p
?x
0
.
2
抛物线y
2
＝－2px(p＞0)上的点M(x
0
, y
0
)与焦点F的距离|MF|＝

抛物线 x
2
＝2py (p＞0)上的点 M(x
0
, y
0
) 与焦点F的距离|MF|＝
p
?y
0
.
2
p
?y
0
.
2
抛物线x
2
＝－2py(p＞0)上的点M(x
0
, y
0
))与焦点F的距离|MF|＝
思考：抛物线 y
2
＝2px (p＞0)过焦点的弦与抛物线交于点 A(x
1
, y
1
)、B(x
2
, y
2
) ，则焦点弦|AB|的长
为多少？
y

2、焦点弦长公式
2p
抛物线 y
2
＝2px (p＞0)过焦点的弦与抛物线交于点 A(x
1
, y
1
)、B(x
2
, y
2
)，
O
F
x
则焦点弦|AB|的长为|AB|＝x< br>1
＋x
2
＋p．

3、抛物线的通径
抛物线y
2
＝2px (p＞0)，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线
两交点的坐标分别为
(
它的长为2p.

4、焦点弦的几条性质
设直线过焦点F与抛物线y
2
＝2px(p＞0)相交于 A(x
1
, y
1
)，B(x
2
, y
2
)两点，则：
pp
，p),(，?p),
连结这两点的线段叫做抛物线的通径，
22
p
2
① x
1
x
2
＝； ② y
1
y
2
＝－p
2
；③ 通径长为2p；④ 焦点弦长 |AB|＝x
1
＋x
2
＋p．
4
y
y

y
1

A
N
A

O

H
O
x
y
2
F
x

F
M
B

B

例2. 过抛物线 y
2
＝2px 的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y
1
、y
2
，
求证：y
1
y
2
＝－p
2
．

过抛物线 y
2
＝2px 的焦点的一条直线和此抛物线相交，

p
2
两个交点的横坐标为x
1
、x
2
，那么：x
1
x
2
=．
4
例3．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物
线的准线相切．
p
证明:(法一)设抛物线方程为
y?2px
,则焦点
F(,0)
,
2
2
M
1

M

p
．设以过焦点
F
的弦
AB
为直径的圆 < br>2
的圆心
M
，
A
、
B
、
M
在准线
l
上的射影分别是
A
1
、
B
1
、
M
1
，则
|AA
1
|?|BB
1
|?|A F|?|BF|?|AB|
，
又
|AA
1
|?|BB
1< br>|?2|MM
1
|
，
1
∴
|MM
1
|?|AB|
，即
|MM
1
|
为以
AB
为直径的 圆的半径，且准线
l?MM
1
，
2
准线
x??
∴命题成立．
（法二）设抛物线方程为
y? 2px
，则焦点
F(
准线
x??
2
p
,0)
，
2
p
．过点
F
的抛物线的弦的两个端点
A(x
1
,y
1
)
，
2
B(x
2
,y
2
)
，线段
AB
的中点
M(x
0
,y
0
)

pp
则
|AB|?x
1
??x
2??x
1
?x
2
?p
，
22
11
∴ 以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径
r?|AB|?(x
1
?x
2
?p)
．
22
p
px?x
2
p1
点
M
到准线
x??
的距离
d?x
0
??
1
?? (x
1
?x
2
?p)
，
2
2222
∴圆
M
与准线相切．
三、课堂小结
1．焦半径，焦点弦，
2．焦点弦的性质

四、布置作业
P64 B组 1,2题







第16课时
课题:2.3.2 抛物线的简单几何性质 (3)
教学目标：
知识与技能：
抛物线的性质的运用;与抛物线有关的轨迹的求法;直线与抛物线的位置关系.
过程与方法：
让学生进一步体会数形结合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题.
情感态度与价值观：
通过具体的情境感知研究抛物线的简单几何性质；体会数学的对称美、简 洁美，培养学

生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度.
教学重点与难点
重点：抛物线几何性质的运用,与抛物线有关的轨迹的求法及直线与抛物线的位置关系。
难点：抛物线几何性质的综合运用用.
教学过程：
一、复习引入
问题1、抛物线焦半径公式是什么？
问题2、抛物线焦点弦公式是什么？
问题3、直线与抛物线的位置关系有哪些？

二、讲授新课
1、直线与抛物线的位置关系
例1． 已知抛物线y
2
＝6x，过点P(4, 1)引一条弦，使它恰在点P被平分，
求这条弦所在的直线方程.



2、抛物线中的两弦垂直的问题
例2．直线y＝x
－
2与抛物线y
2
＝2x相交于点A、B（如图） ，求证：OA⊥OB．
证法1: 将y＝x
－
2代入y
2
＝2x 中，得(x
－
2)
2
＝2x，即 x
2
－
6x＋4＝0，
得
x
1
?3?5,x
2
?3?5,
则
y
1
?1?
∴
k
OB
?k
OA
?
5,y
2
?1?5.

y
B
1?51?5

?
3?53?5
1?5
??1.
∴ OA⊥OB．
9?5
O
A
x
∴
k
OB
?k
OA
?
证法2:同证法1得x
2
－
6x＋4＝0， 可知x
1
＋x
2
＝6， x
1
·x
2
＝4．
∴y
1
·y
2
＝(x
1
－2)·(x2
－2)＝x
1
·x
2
－2(x
1
＋x
2
)＋4＝4－12＋4＝－4．
∴
k
OA
?k
OB< br>?
?4
yy
y
1
y
2
??1.
∴ OA⊥OB．
?
12
?
?
4
x
1
x
2
x
1
x
2
例3 教科书70面例5
练习
1．若一直线与抛物线y
2
= 2px (p＞0)交于A
、
B两点且OA⊥OB，点O在直线AB上
的射影为D (2, 1)，求抛物线的方程.
【分析】由条件易求出直线AB的方程，联立方程组，得到一元二次方程，由 OA⊥
OB，利用根与系数间的关系，可建立关于p的等式.
【解析】∵
k
OD
?
，∴k
AB
= –2，则AB方程为y – 1 = –2 (x – 2)，
1
2

即y = –2x + 5与y
2
= 2px联立，可得4x
2
– 2 (10 + p) x + 25 = 0.
由 韦达定理知：
x
1
?x
2
?
10?p
25
,x
1
x
2
?
.
24
∵OA⊥OB，∴x
1
x
2
+ y
1
y
2
= 0，
又∵y
1
y
2
= (–2x
1
+ 5) (–2x
2
+ 5) = 4x
1
x
2
– 10(x
1
+ x
2
) + 25.
∴x
1
x
2
+ y
1
y
2
= 5x
1
x
2
– 10 (x
1
+ x
2
) + 25 = 0，即x
1
x
2
– 2 (x
1
+ x
2
) + 5 = 0，
∴
5
2 55
?(10?p)?5?0
，解之得
p?
， ∴所求抛物线方程为
y
2
?x
.
4
42
2
2．过抛物线
y?2x
的顶点做互相垂直的二弦
OA,OB
.（
O
为坐标原点）
（1）、求
AB
中点的轨迹方程
（2）证明：
AB
与
x
轴的交点为定点
（3）求△ABC面积的最小值





三、课堂小结
1. 抛物线中的平行问题；
2. 抛物线中的两弦垂直的问题；
3、中点弦问题

四、布置作业
P64 B组 3题






第17、18课时
课题: 圆锥曲线小结与复习
一、

定义
知识回顾：1、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆 双曲线 抛物线
1．到两定点F
1
,F
2
的距离之1．到两定点F
1
,F
2
的距
和为定值2a(2a>|F
1
F
2
|)的点离之差的绝对值为定值
的轨迹 2a(0<2a<|F
1
F
2
|)的点的
轨迹

图形
标准
方 方程


参数
程
方程
范围
中心
顶点
对称轴
焦点
焦距
离心率
准线
2．与定点和直线的距离之
比为定值e的点的轨迹.
（0
x
2
y
2
??1
(
a?b
>0)
a
2
b
2
2．与定点和直线的距离
之比为定值e的点的轨
迹.（e>1）

x
2
y
2
??1
(a>0,b>0)
a
2
b
2
与定点和直线的距离
相等的点的轨迹.

y
2
=2px
?
x?2pt
2
?
y?2pt
(t为参数)
?
?
x?acos
?
?
y?bsin
?

?
(参数
?
为离心角）
─a?x?a，─b?y?b
原点O（0，0）
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
2c （c=
a
2
?b
2
）
e?
c
(0?e?1)

a
?
x?asec
?
?
y?btan
?

?
(参数
?
为离心角）
|x| ? a，y?R
原点O（0，0）
(a,0), (─a,0)
x轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.
F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
2c （c=
a
2
?b
2
）
e?
c
(e?1)

a
x?0

(0,0)
x轴
p
F(,0)

2

e=1
x??
p

2
a
2
x=
?

c
a
2
x=
?

c
渐近线
焦半径
通径

y=±
b
x
a

r?x?
p

2
r?a?ex

2b
2
a

r??(ex?a)

2b
2
a


2p

P
焦参数
a
c

2
a
c

2
2、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.
3、等轴双曲线
4、共轭双曲线
5. 方程y
2
=ax与x
2
=ay的焦点坐标及准线方程.
6.共渐近线的双曲线系方程.

二、几种常见求轨迹方程的方法
1．直接法

由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的 几何条件列出
等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．
例1(1 )求和定圆x
2
+y
2
=k
2
的圆周的最小距离等于k的动 点P的轨迹方程；
(2)过点A(a，o)作圆O∶x
2
+y
2
= R
2
(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点
的轨迹．
2．定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所< br>求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．
例2 设Q是圆x
2
+y2
=4上的动点，另有点
A(3,0),
线段AQ的垂直平分线l交半
径 OQ于点P，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．
3．相关点法
若动点P(x，y )随已知曲线上的点Q(x
0
，y
0
)的变动而变动，且x
0
、y
0
可用x、y
表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方 程．这种方法称为
相关点法(或代换法)．
例3 已知抛物线y
2
=x+ 1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段
AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点 在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．
例4.垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y
2
=2(x–1)分别交于点A和点P，点B在y轴上且点A
分
OB
的比为1:2，求 线段PB中点的轨迹方程.

4．待定系数法
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．
例4 已知抛物线y
2
=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个
公共点，又直线y=2x被双曲线 截得线段长等于
25
，求此双曲线方程．
三、点、直线与圆锥曲线的位置关系 1．点P(x
0
，y
0
)和圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系有 ：点P在曲线C上、点P
在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．

2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置 关系可分为：相交、相
切、相离．这三种位置关系的条件是：
?
Ax?By?C?0
设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C：f(x,y)=0 由
?
消去y（或x）得：
?
F(x,y)?0
ax
2
+bx+c=0 (a≠0) 令Δ=b-4ac, 则
2
（1）Δ>0?相交；
（2）Δ=0?相切
（3）Δ<0?相离.
注意：直线与抛物线、双曲线有一个公 共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要
条件，但不是充分条件．
3、例题
x
2
y
2
?1
总有公共点，求m的取值例1 若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆
?
5m
范围．
提示：分别从曲线和方程与数形结合思想两个角度分析、解题.
x
2
y
2
??1
上有相异两点关系直线l: y=4x+m 对称，例2 椭圆C: 求m的取值范
43
围．

1
点拨1：对称点在直线 l’ ：
y??x?n
上，且l’与椭圆C有两个不同的交点，
4
可用“判别式法”.
点拨2：两对称点P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)连线的中点M(x
0
，y0
)在椭圆C内，可用
“内点法”．
说明：判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方
法
例 3.已知抛物线C：y=─x
2
+mx─1,点A(3,0),B(0,3)，若抛物线C与线 段AB有两个交
点，求m的取值范围.
提示：转化为一元二次方程根的分布.
例4 .过椭圆C：
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1
(a>b>0)上一动点P向圆O：x
2
+y
2
=b
2
引两条切线PA、
PB，切点分别是A、B，直线AB与x轴，y轴分别交于M，N 两点，求△MON面积
的最小值
点拨：充分利用平几知识解题.

四、与圆锥曲线有关的几种典型题
1．圆锥曲线的弦长求法
设圆锥曲线C∶f(x ，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x
2
，y2)两点，
则弦长|AB|为：

(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．
1
例1 过抛物线
y??x
2
的焦点作倾斜角为α的直线l交抛物线 于A、B两点，且
4
|AB|=8，求倾斜角α．
2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题
在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变 量的函数关系，再利用代数方
法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．
例2 已知x+4(y-1)
2
=4，求：
2
(1)x
2
+y
2
的最大值与最小值；
(2)x+y的最大值与最小值．
3．与圆锥曲线有关的证明问题
它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题
的判断方法．

例3 在抛物线x＝4y上有两点A(x
1
，y
1
)和B(x
2
，y
2
)且满足|AB|=y
1
+y
2
+2，求
证：
(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线；

4．圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题
直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用 △≥0来处理．但用△
≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1，由“△≥0 ”
与直观图形相结合；方法2，由“△≥0”与根与系数关系相结合；方法3，转换
参数法．
(y?a)
2
?1及C
2
:y?x
2
?1
有公共点，求实数a的取值范围．例4.已知曲线
C
1
:x?

2
2
2


五、练习
x
2
1. 求椭圆
?y
2
?1
到点A(1,0)的距离为最小的点P的坐标.
4

2．已知圆(x-1)+y
2
=1与抛物线y
2
=2px有三个公共点，求P的取值范围．

3.设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为
35
，求k的值．

4.(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？

(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？

5.求曲线C∶x2+4y
2
=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程． x
2
y
2
x
2
y
2
?1
与双 曲线
??1
的交点是一个矩形的顶点． 明：椭圆
?
205123
2

6．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹
方程．

7．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹．

8．已知圆x
2
+y
2
=4上有定点A( 2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使
3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．

9．求抛物线y
2
=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．

10．已知曲线C：y=-x
2
+x+2关于点(a，2a)对称的曲线是 C′，若C与C′有两
个不同的公共点，求a的取值范围．(-2＜a＜1)

11 .过圆O：x
2
+y
2
=4与y轴正半轴的交点A作这圆的切线l，M为l上 任一点，过
M作圆O的另一条切线，切点为Q，求点M在直线l上移动时，△MAQ垂心的轨迹
方程．

x
2
y
2
12．椭圆
2
?2
?1
(a>b>0)的左焦点到左准线的距离是
ab
c
2
b
2
（A）a－c （B）a－b （C） （D）
a
c

x
2
y
2
?1
的离心率e∈(1, 2)，则k的取值范围是 13．双曲线
?
4k
（A）(0, 6) （B）(3, 12) （C）(1, 3) （D）(0, 12)

14．抛物线y=x
2
上的点到直线2x－y=4的最短距离是
333
2
5
（C）
5
（D）
10
（A） （B）
555
5
x
2
y
2
?1
上的点P到点(5, 0)的距离是15，则点P到点(－5, 0)的距离是 15．双曲线
?
169
（A）7 （B）23 （C）5或25 （D）7或23

x
2
y
2
?1
上的点M到焦点 F
1
的距离是2，N是MF
1
的中点，则|ON|为 16．椭圆
?
259

（A）4 （B）2 （C）8 （D）

3
2

17．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，连接 它的四个顶点得到的四边形的面积
是4
2
，分别连接椭圆上一点(顶点除外)和椭圆的 四个顶点，连得线段所在四条直线
的斜率的乘积为，求这个椭圆的标准方程．

18．设抛物线y
2
=2px (p>0)上各点到直线3x+4y+12=0的距离的最小值为1，求p的值．

19．直线y=x+b与双曲线2x
2
－y
2
=2相交于A, B两点，若以AB为直径的圆过原点，
求b的值．

20．已知椭圆的中心在原点， 准线为x=±4
2
，若过直线x－
2
y=0与椭圆的交点
在x轴上的 射影恰为椭圆的焦点，
（1）求椭圆的方程；
（2）求过左焦点F
1
且与直线x－
2
y=0平行的弦的长．



1
4