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(完整版)高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 04:56
tags:高中数学选修2

曹县高中数学老师招聘-高中数学导数的几何意义教学视频

2020年9月22日发(作者:丁履德)



导数及其应用知识点必记
1.函数的平均变化率为
f(x
2
)?f (x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?

??
x
2
?x
1
?x
?x? x
注1:其中
?x
是自变量的改变量,可正,可负,可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数
y?f(x)

x?x
0
处的瞬时变化率是
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
,则称函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导,并把这个极限叫
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
lim

y?f(x)

x
0处的导数,记作
f
'
(x
0
)

y
'
|
x?x
0

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的
斜率。
4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;
5、常见的函数导数和积分公式
函数 导函数 定积分
y?c

————————

y?x
n
?
n?N
*
?



y?a
x
?
a?0,a?1
?









————————



y?e
x

y?log
a
x
?
a?0,a?1,x?0
?

y?lnx

y?sinx

y?cosx

常见 的导数和定积分运算公式:若
f
?
x
?

g
?x
?
均可导(可积),则有:
和差的导数运算
积的导数运算
商的导数运算
复合函数的导数
微积分基本定理
和差的积分运算
积分的区间可加性







- 1 -



6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数
f'(x)
②令
f'(x)
>0,解不等
式,得x的范围就是递增区间.③令
f'(x)
<0 ,解不等式,得x的范围,就是递减区
间;[注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数
f'(x)
(3)求方程
f'(x)
=0的根(4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区
间分成若干小开区间,并列成表格,检查
f

(x)
在方程根左右的值的符号,如果
左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大 值;如果左负右正,那么f(x)在这个根
处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根 处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求
f(x)

?
a, b
?
上的最大值与最小值的步骤如
下: ⑴求
f(x)

?
a,b
?
上的极值;⑵将
f(x)
的各极值与
f(a),f (b)
比较,其中最
大的一个是最大值,最小的一个是最小值。[注]:实际问题的开区间唯一 极值点
就是所求的最值点;
9.求曲边梯形的思想和步骤:分割
?
近似代替
?
求和
?
取极限
10.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
性质1
b
?
1dx?b?a

a
b
a
bbbb
性质2 若
f(x)?0,x?
?
a,b
?
,则
?
f(x)dx?0

①推广:?
[f
1
(x)?f
2
(x)?
L
?f
m
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f2
(x)dx?
L
?
?
f
m
(x)

aaaa
②推广:
?
f(x)dx?
?
f(x)d x?
?
f(x)dx?
L
?
?
f(x)dx
aac
1
c
k
bc
1
c
2
b
11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值,也
可能取负值,还可能是0.
( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定
积分的值取正值,且等于x轴上方的图形面积;
(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定
积分的值取负值,且等于x轴上方图形面积的相
反数;
(3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于
位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为
0,且等于 x轴上方图形的面积减去下方的图形的
面积.

12.物理中常用的微积分知识( 1)位移的导数为速
度,速度的导数为加速度。(2)力的积分为功。
- 2 -



推理与证明知识点
13.归纳推理的定义:从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理 通常称
.......
为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
....
14.类比推理的定义:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,这样的推理称为类比推理。类比推理是由
特殊到特殊的推理。
....
15.演绎推理的定义:演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到
..
特殊的 推理。演绎推理的主要形式:三段论
..
16.直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已 知的定义、公理、定理,直接
推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
17.综合 法就是“由因导果”,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条
件,直至推出要证的结论。 18.分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者
一定成立的式子, 可称为“由果索因”。要注意叙述的形式:要证A,只要证B,
B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开。
19反证法:是指从否定的结论出发,经过逻辑推理 ,导出矛盾,证实结论的否
定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。
反证法的一般步骤(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)
从假设出发, 经过推理论证,得出矛盾;(3)从矛盾判定假设不正确,即所求
...
证命题正确。反证法的 思维方法:正难则反。矛盾(1)与已知条件矛盾:(2)与
.........
已有公理、定 理、定义矛盾; (3)自相矛盾.
............
20常见的“结论词”与“反义词”
原结论词 反义词 原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个




对所有的x都成立
对任意x不成立
p或q
p且q
反义词




21.数学归纳法(只 能证明与正整数有关的数学命题)的步骤(1)证明:当n取
...
?
*
第一 个值
....
n
0
?
n
0
?N
?
时命题成立;(2)假设当n=k (k∈N,且k≥n
0
)时命题成立,
证明当n= k+1时命题也成立.由(1),(2)可知,命题对于从n
0
开始的所有正整数n
. ....
都正确 [注]:常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
数系的扩充和复数的概念知识点
22.复数的概念:形如a+bi的数叫做复数,其中i叫虚数单位,
a
叫实部, < br>b

....
虚部,数集
C?
?
a?bi|a,b? R
?
叫做复数集。
- 3 -



规定:
a?bi?c?di?
a=c且,强调:两复数不能比较大小,只有相等或不相
....
b=d
...
等。
?
实数 (b?0)
?
23.数集的关系:
复数Z
?
?
?
一般虚数(a?0)< br>
?
虚数 (b?0)
?
?
?
纯虚数(a?0)?
24.复数的几何意义:复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
25.复平面:根 据复数相等的定义,任何一个复数
z?a?bi
,都可以由一个有序
实数对
( a,b)
唯一确定。由于有序实数对
(a,b)
与平面直角坐标系中的点一一对
应,因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了
直角坐标系来表示复数 的平面叫做复平面,
x
轴叫做实轴,
y
轴叫做虚轴。实轴
上的点都表 示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。
26.求复数的模(绝对值)与复数
z对应的向量
OZ
的模
r
叫做复数
z?a?bi
的模(也叫绝对值)记作
z或a?bi
。由模的定义可知:
z?a?bi?a
2
?b
2

27.复数的加、减法运算及几何意义①复数的加、减法法则:< br>z
1
?a?bi与z
2
?c?di


z< br>1
?z
2
?a?c?(b?d)i
。注:复数的加、减法运算也可以按 向量的加、减法来进
..
行。
②复数的乘法法则:
(a?bi)(c?di )?
?
ac?bd
?
?
?
ad?bc
?
i

③复数的除法法则:
因子
28.共轭复数:两复数
a?bi与 a?bi
互为共轭复数,当
b?0
时,它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad
??
2
?
2
i
其中
c?di
叫做实数化
22
c?di(c?di)( c?di)c?dc?d
(1)z?z;
2
(2)z?z?2a,z?z?2bi;< br>
2
(3)z?z?z?z?a
2
?b
2
;(4)z ?z;(5)z?z?z?R

(6)i
4n?1
?i,i
2
4n?2
??1,i
4n?3
??i,i
4n?4
?1;

2
(7)
?
1?i
?
1?i1?i
?
1? i
?
??i;(8)?i,??i,
?
??i

?
1?i1?i
?
2
?
?1?3i
3n?1
2
??
,
?
3n?2
?
?
,
?
3n?3< br>?1
是1的立方虚根,则
1?
?
?
?
?0

?
2
(9)

?
?
- 4 -

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