高中数学必修一模型解题-高中数学必胜秘诀
高中数学选修 2-2 知识点
第一章 导数及其应用
一．
导数概念的引入
1. 导 数 的 物 理 意 义 ： 瞬 时 速
率 。 一 般 的 ， 函 数
y ? f (x)
在
x ? x
0
处 的 瞬 时 变 化 率 是
?x?0
lim
f
(x
0
? ?x) ? f (x
0
)
，
?x
我们称它为函数
y ? f (x)
在
x
? x
0
处的导数，记作
f
?
(x
0
)
或
y
?
|
x?
，
0
x
即
f
?
(x )
=
lim
f
(x
0
? ?x) ? f (x
0
)
0
?x?0
?x
2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点
P
n
趋近于
P
时，直线
PT
与曲线相切。容易
知道，割线
PP
的斜率是
k ?
n
n
f (x
n
) ? f (x
0
)
x
n
? x
0
，当点
P
趋近于
P
时，函数
y ? f (x)
在
x ?
x
处的导
n 0
数就是切线PT 的斜率
k，即
k ? lim
f (x
n
) ? f (x
0
)
? f
?
(x )
?x?0
x
n
? x
0
0
3. 导函数：当 x
变化时，
f
?
(x)
便是 x 的一个函数，我们称它为
f
(x)
的导函数.
y ? f (x)
的导函数有
时也记作
y
?
,即
f
?
(x) ?
lim
二.导数的计算
1）
基本初等函数的导数公式:
f (x ?
?x) ? f (x)
?x?0
?x
1 若
f (x) ? c
(c 为常数)，则
f
?
(x) ? 0
；
2 若
f (x) ? x
,则
f
?
(x) ?
?
x
?
?
?1
;
3 若
f (x) ? sin x
,则
f
?
(x) ? cos x
4 若
f (x) ? cos
x
,则
f
?
(x) ? ?sin x
;
5 若
f (x) ? a
,则
f
?
(x) ?
aln a
x x
6 若
f (x) ?
e
,则
f
?
(x) ? e
?
?
x
x
1
x ln a
1
8 若
f (x) ? ln x
,则
f
?
(x) ?
x
7 若
f
(x) ? log
a
,则
f
?
(x) ??
x
2）
导数的运算法则
1.
[ f (x) ? g(x)]
?
? f
?
(x) ? g
?
(x)
2.
[ f (x) ? g(x)]
?
? f
?
(x) ?
g(x) ? f (x) ? g
?
(x)
3.
[
f (x)
]
?
??
f
?
(x) ?
g(x) ? f (x) ? g
?
(x)
g(x)
[g(x)]
2
3）
复合函数求导
y ? f (u)
和
u ? g(x)
,称则
y
可以表示成为
x
的函数,即
y ? f (g(x))
为一个复合函数
y
?
? f
?
(g(x)) ? g
?
(x)
三.导数在研究函数中的应用
1.
函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
在某个区间
(a, b)
内，如果
f
?
(x) ? 0
，那么函数
y ?
f (x)
在这个区间单调递增；
如果
f
?
(x) ? 0
，那么函数
y ? f (x)
在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数
y ? f (x)
的极值的方法是:
(1) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x) ? 0
,右侧
f
?
(x) ? 0
,那么
f (x
0
)
是极大值;
(2) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x) ? 0
,右侧
f
?
(x) ? 0
,那么
f (x
0
)
是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数
y ? f (x)
在
[a, b]
上的最大值与最小值的步骤
（1） 求函数
y ? f (x)
在
(a, b)
内的极值；
（2） 将函数
y ? f (x)
的各极值与端点处的函数值
f (a)
，
f (b)
比较，其中最大的是一个最大值，最
小的是最小值.
四.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
第二章 推理与证明
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：
?
通过观察个别情况发现某些相同的性质；
?
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；
?
证明（视题目要求，可有可无）.
2、类比推理
由两类对象具有某
些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推
理称为类比推理（简称
类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤：
?
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
?
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
?
检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析
、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提
出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推
理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———
“三段论”，
包括
⑴大前提 --
已知的一般原理；
⑵小前提 -- 所研究的特殊情况；
⑶结论
---据一般原理，对特殊情况做出的判断．
5、直接证明与间接证明
⑴综合法：利用已知
条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证
明的结论成立.要点：
顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把
要证明的结论归结为判
定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后
得出矛盾，因此说明假设错误，从而证
明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤：
(1)（反设）假设命题的结论不成立；
(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；
(3)（归谬）断言假设不成立；
(4)（结论）肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数
n
的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
（1）（归纳奠基）证明当
n
取第一个值
n
0
(n
0
? N )
时命题成立；
*
（2）（归纳递推）假设
n ? k(k ? n
0
, k ? N )
时命题成立，推证当
n ? k
?1
时命题也成立.
*
只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从
n
0
开始的所有正整数
n
都成立.
第三章 数系的扩充与复数的引入
一:复数的概念
(1) 复数:形如
a ? bi(a ? R,b ?R)
的数叫做复数，
a
和
b
分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数
a ? bi(a ? R,b ?R)
中,当
b ?
0
,就是实数;
b ? 0
,叫做虚数;当
a ? 0,b ? 0
时,叫做纯虚数.
(3)
复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4)
共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5)
复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
2.
相关公式
⑴
a ? bi ? c ? di ? a ? b,且c ? d
⑵
a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0
⑶
z ? a ?
bi ??
a? b
2 2
⑷
z ? a ? bi
z，z
指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.
3.
复数运算
⑴复数加减法：
?
a ? bi
?
?
?
c ? di
?
?
?
a ?
c
?
?
?
b ? d
?
i
；
⑵复数的乘法：
?
a ? bi
??
c ? di
?
?
?
ac ? bd
?
?
?
bc ?
ad
?
i
；
a ? bi
?
a ?
bi
??
c ? di
?
?
?
⑶复数的除法：
c ? di
?
c ? di
??
c ?
di
??
?
?
?
ac ? bd
?
?
?
bc ? ad
?
i
?
ac ? bd
?
bc ? ad
i
c
2
? d
2
c
2
? d
2
c
2
? d
2
（类似于无理数除法的分母有理化
?
虚数除法的分母实数化）
4.
常见的运算规律
(1) z ? z
2
(2)z
? z ? 2a, z ? z ? 2bi;
2
(3)z ? z ? z ? z
? a
2
? b
2
;(4)z ? z;(5)z ? z ? z ?
R
(6)i
4n?1
? i,i
4n?2
?
?1,i
4n?3
? ?i,i
4n?4
?1;
2
(7)
?
1? i
??
1? i 1? i
?
1? i
??
2
? ?i;(8) ? i, ? ?i,
? ?
?? ?i
1? i 1? i
?
2
??
?1?
?
3i
是 1 的立方虚根，则
1?
?
?
?
2
? 0
，
?
3n?1
?
?
,
?
3n?2
?
?
,
?
3n?3
? 1
2
(9)
设
?
?