高中数学选修2-1知识点总结 (3)

高二数学选修2－1知识点
第一章 常用逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.
假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则
q
”形式的命 题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论.
3、对于两个命题 ，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，
则这两个命题称为互逆命题.其中一个命 题称为原命题，另一个称为原命题的逆
命题.
若原命题为“若
p
，则
q
”，它的逆命题为“若
q
，则
p
”.
4、对于两个命 题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定
和结论的否定，则这两个命题称为互否命 题.中一个命题称为原命题，另一个称
为原命题的否命题.
若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?p
，则
?q
”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定
和条件的否定，则这 两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另
一个称为原命题的逆否命题.
若原 命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?q
，则?p
”.
6、四种命题的真假性：

原命题 逆命题 否命题 逆否命题
四种命题的
真 真 真 真
真假性之间
真 假 假 真
的关系：
假 真 真 真
?
1
?
两个命
假 假 假 假
题互为逆否
命题，它们有相同的真假性；
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若
p?q
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、< br>q
都是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
两个命题中有一个命题是假命
题时，
p?q
是假命题．
用联结词“或”把 命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
两个命
题都是假命题时，
p?q是假命题．
对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
?p
．
若
p
是真命题，则
?p
必是假命题；若
p
是假命题，则
?p
必是真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用 “
?
”表
示．
含有全称量词的命题称为全称命题．

全称命题“对
?
中任意一个
x
，有
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“
?
”表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在
?
中的一个
x
，使p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，p
?
x
?
”．
10、全称命题
p
：
?x??，
p
?
x
?
，它的否定
?p
：
?x? ?
，
?p
?
x
?
．全称命题
的否定是特称命题．
第二章 圆锥曲线与方程
11、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
）的点的轨迹
1
F2
称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
12、椭圆的几何性质：
焦点在
y
轴上
焦点的位置 焦点在
x
轴上
图形
标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
准线方程







?a?x?a
且
?b?y?b

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
? a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?b
?
、?
2
?
0,b
?

F
1
?
?c,0
?
、
F
2< br>?
c,0
?

?
1
?
0,?a
?< br>、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、?
2
?
b,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0 ,c
?

短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
13、设
?
是椭圆上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为
d
1
，点
?
到
F
2
对应准线
的距离为
d2
，则
?F
1
d
1
?
?F
2
d
2
?e
．
14、平面内与两个定点
F
1
，F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
1
F
2）的
点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线
的焦距 ．
15、双曲线的几何性质：
焦点在
y
轴上
焦点的位置 焦点在
x
轴上
图形
标准方程
范围
顶点
轴长




x??a
或
x?a
，
y?R

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

焦点
焦距
对称性

F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、F
2
?
0,c
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称

离心率

准线方程

渐近线方程

16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
17、设
?
是双曲线上任 一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为
d
1
，点
?
到
F
2
对应准
线的距离为
d
2，则
??e
．
d
1
d
2
18、平面内与一个 定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定
点F
称为抛物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．
19、过抛物线的 焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段
??
， 称为
抛物线的“通径”，即
???2p
．
20、焦半径公式：
?F
1
?F
2
p
；
2
p
若点< br>?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y2
??2px
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则< br>?F??x
0
?
；
2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x
2
?2 py
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?y
0
?
；
2
p
若点
?
?
x
0< br>,y
0
?
在抛物线
x
2
??2py
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F??y
0
?．
2
21、抛物线的几何性质：

标准方程


图形
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
?2px
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?x
0
?
顶点

对称轴
x
轴
y
轴
焦点

准线方程

离心率

范围

第三章 空间向量与立体几何
22、空间向量的概念：
?
1
?
在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．
?
2
?
向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指
的方向表 示向量的方向．
uuur
uuur
，记作
??
．
?3
?
向量
??
的大小称为向量的模（或长度）
?
4?
模（或长度）为
0
的向量称为零向量；模为
1
的向量称为单位 向量．
?
5
?
与向量
a
长度相等且方向相反的向量称为< br>a
的相反向量，记作
?a
．
?
6
?
方向相同且模相等的向量称为相等向量．
23、空间向量的加法和减法：
rrr
?
1
?
求两个向量 和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间
r
r
以同一点
?
为起点的两个已知向量
a
、
b
为邻边作平行四边形
??C ?
，则以
?
起
uuur
r
r
点的对角线
? C
就是
a
与
b
的和，这种求向量和的
方法，称为向量加法的 平行四边形法则．

?
2
?
求两个向量差的运算称为向量的减法，它 遵
循三角形法则．即：在空间任取一点
?
，作
uuur
r
u uur
r
uuur
r
r
???a
，
???b
，则
???a?b
．
rr
24、实数
?
与空间向量a
的乘积
?
a
是一个向量，称为向量的数乘运算．当
?
?0
rrrrr
时，
?
a
与
a
方向相同；当
?
?0
时，
?
a
与
a
方向相反；当
?< br>?0
时，
?
a
为零向量，
r
rr
记为
0
．
?
a
的长度是
a
的长度的
?
倍．
r
r
25、设
?
，
?
为实数，
a
，
b
是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结
合律．
r
r
r
r
rr
分配律：
?
a?b?
?
a??
b
；结合律：
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
．
??
26、如果表示空间的有向线段所在 的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线
向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

r
r
r
rr
27、向量共线的充要条件：对于空间任意两 个向量
a
，
bb?0
，
ab
的充要条
??
r
r
件是存在实数
?
，使
a?
?
b
．
28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
29、向量共面定理：空间一点
?< br>位于平面
??C
内的充要条件是存在有序实数对
x
，
uuur uuuruuuruuuruuuruuuruuur
y
，使
???x???y?C< br>；或对空间任一定点
?
，有
??????x???y?C
；或
uuuruuuruuuruuur
若四点
?
，
?
，
?，
C
共面，则
???x???y???z?C
?
x?y?z?1
?
．
uuur
r
uuur
r
r
r
???b
，30、已知两个非零向量
a
和
b
，在空间任取一点?
，作
???a
，则
????
r
r
r
r
r
r
称为向量
a
，
b
的夹角，记作
?a ,b?
．两个向量夹角的取值范围是：
?a,b??
?
0,
?
?
．
r
r
r
r
?
r
r
rr
31、对于两个非零向量
a
和
b
，若
?a,b??< br>，则向量
a
，
b
互相垂直，记作
a?b
．
2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
b
的数量积，32、已知两个非零向量
a
和
b
，则
abcos?a,b?
称为
a
，记作
a?b
．即
r
r
r
r
r
r
a?b?abcos?a,b?
．零向量与任 何向量的数量积为
0
．
r
r
r
r
r
r< br>r
rr
33、
a?b
等于
a
的长度
a
与
b
在
a
的方向上的投影
bcos?a,b?
的乘积．
rrrrrrr
r
r
r
34、若
a
，
b< br>为非零向量，
e
为单位向量，则有
?
1
?
e?a?a ?e?acos?a,e?
；
r
r
r
r
?
rr
?
aba与b同向
r
r
r
r
rrr
rrr
2
，
a?a?a
，
a?a?a
；
?
2
?
a?b?a?b?0
；
?
3
?
a?b??
r
r
r
r
?aba与b反向
?
?
r
r
a?b
r
r
r
r
r
r
?
4
?
cos?a,b??
r
r
；
?
5
?
a?b?ab
．
ab
??
??
r
r
rr
r
r
r
r
r
r
35、向量数乘积的运算律：
?
1
?
a?b?b?a
；
?
2
?
??
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；
????
?
3
?
?
r
r
rrr
r
r
a?b?c?a?c?b?c
．
?
r
r
rr
36、若
i
，
j
，
k
是空间三个两两垂直的 向量，则对空间任一向量
p
，存在有序
r
r
r
r
r
rr
r
r
r
r
实数组
?
x,y,z
?
，使得
p?xi?yj?zk
，称
xi
，
yj
，
zk
为向量
p
在
i
，
j
，
k< br>上
的分量．
r
r
r
r
37、空间向量基本定理：若 三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则对空间任一向量
p
，
r
rrr
存在实数组
?
x,y,z
?
， 使得
p?xa?yb?zc
．

r
r
r
38 、若三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则所有空间向量组成的集 合是
r
rrrr
r
r
r
pp?xa?yb?zc,x,y ,z?R
．这个集合可看作是由向量
a
，
b
，
c
生 成的，
??
?
r
r
r
r
r
r
a ,b,c
称为空间的一个基底，
a
，
b
，
c
称为基 向量．空间任意三个不共面的向
?
量都可以构成空间的一个基底．
uruurur< br>39、设
e
1
，
e
2
，
e
3
为有公共起点
?
的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位
uruurururuu rur
正交基底），以
e
1
，
e
2
，
e< br>3
的公共起点
?
为原点，分别以
e
1
，
e< br>2
，
e
3
的方向为
x
r
轴，
y轴，
z
轴的正方向建立空间直角坐标系
?xyz
．则对于空间任意一个向 量
p
，
uuur
r
一定可以把它平移，使它的起点与原点
?
重合，得到向量
???p
．存在有序实
uruurur
r
r
数组
?
x,y,z
?
，使得
p?xe
1
? ye
2
?ze
3
．把
x
，
y
，
z
称作向量
p
在单位正交基底
uruurur
r
r
e
1
，
e
2
，
e
3
下的坐标，记作
p?
?
x,y,z
?
．此时，向量
p
的坐标是点
?
在空间直角
坐标系
?xyz
中的坐标
?
x,y,z
?
．
r
r
r
r
40、设
a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，
b?
?< br>x
2
,y
2
,z
2
?
，则
?
1
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?
．
r
r
?
2
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2< br>?
．
?
3
?
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
,
?
z
1
?
．
r
r
?
4
?
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2< br>．
r
r
r
r
r
r
?
5
?
若
a
、
b
为非零向量，则
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z2
?0
．
r
r
r
r
r
r
?
6
?
若
b?0
，则
ab?a?
?
b?x< br>1
?
?
x
2
,y
1
?
?
y
2
,z
1
?
?
z
2
．
r
rrr
a?a?a?x
1
2
?y
1
2
?z
1
2
．
7
??
r
r
r
x
1< br>x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
a?b
r
cos?a,b???
．
8
r
??< br>r
222222
ab
x
1
?y
1
?z
1
?x
2
?y
2
?z
2
则
d
? ?
??
?
x
2
,y
2
,z
2
?< br>，
?
9
?
?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，
uuur
????
?
x
2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1< br>?
?
?
z
2
?z
1
?
222
．
41、在空间中，取一定点
?
作为基点，那么空间中任意一点
?
的位置可以用向量
uuuruuur
??
来表示．向量
??
称为点
?
的位置向量．
42、空间中任意一条直线
l
的位置可以由
l
上一个定点
?
以及一个定方向确定．点

r
?是直线
l
上一点，向量
a
表示直线
l
的方向向量，则对 于直线
l
上的任意一点
?
，
uuur
r
r
有
???ta
，这样点
?
和向量
a
不仅可以确定直线
l
的位置，还可以具体表示出直
线
l
上的任意一点．
43、空间 中平面
?
的位置可以由
?
内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线
r
r
相交于点
?
，它们的方向向量分别为
a
，
b
．
?
为平面
?
上任意一点，存在有序
uuur
r< br>r
r
r
实数对
?
x,y
?
，使得
? ??xa?yb
，这样点
?
与向量
a
，
b
就确定了 平面
?
的位置．
rr
44、直线
l
垂直
?
，取直线
l
的方向向量
a
，则向量
a
称为平面
?
的法向量．
r
r
r
r
45、若空间不重合两条直线
a
，
b
的方向向量分别为
a
，
b
，则
a b?ab?

r
r
r
r
r
r
a?
?
b
?
?
?R
?
，
a?b?a?b?a?b?0< br>．
rrr
46、若直线
a
的方向向量为
a
，平面< br>?
的法向量为
n
，且
a?
?
，则
a
?
?a
?

rrrrrrrrr
?a?n?a?n?0
，< br>a?
?
?a?
?
?an?a?
?
n
． r
r
r
r
47、若空间不重合的两个平面
?
，
?
的法向量分别为
a
，
b
，则
?

?
?ab?

r
r
r
r
r
r
a?
?
b
，
?
?
?
?a?b?a?b?0
．
r
r
48、设异面直线
a
，
b
的夹角为
?
，方向向量为
a
，
b
，其夹角为
?
，则有
rr
a?b
cos
?
?cos
?
?
r
r
．
ab
rr
rr
49、设直线
l
的方向向量为< br>l
，平面
?
的法向量为
n
，
l
与
?
所成的角为
?
，
l
与
n
r
r
l? n
的夹角为
?
，则有
sin
?
?cos
?
?
r
r
．
ln
uruururuur
50、设
n
1
，
n
2
是二面角
?
?l?
?
的 两个面
?
，
?
的法向量，则向量
n
1
，
n
2
的夹
角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角
?
?l ?
?
的平面角为
?
，
uruur
n
1
?n
2
则
cos
?
?
uruur
．
n
1
n
2
uuur
uuur
51、点
?
与点
?
之间的距离可以转化为两点对应向量
??
的模
??
计算． r
52、在直线
l
上找一点
?
，过定点
?
且垂 直于直线
l
的向量为
n
，则定点
?
到直线
uuur
r
???n
uuuruuur
r
l
的距离为
d?? ?cos???,n??
r
．
n
r
53、点
?
是 平面
?
外一点，
?
是平面
?
内的一定点，
n
为平面
?
的一个法向量，

uuur
r
???nuuuruuur
r
则点
?
到平面
?
的距离为
d???cos???,n??
r
．
n