高中数学需要教材全解吗-高中数学必修五不等式题目
高中数学:选修1-1、1-2知识点总结
第一部分 简单逻辑用语
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句.
2、“若
p
,则q
”形式的命题中的
p
称为命题的条件,
q
称为命题的结论.
3、原命题:“若
p
,则
q
” 逆命题:
“若
q
,则
p
”
否命题:“若
?p
,则
?q
”
逆否命题:“若
?q
,则
?p
”
4、四种命题的真假性之间的关系:
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
5、若
p?q,则
p
是
q
的充分条件,
q
是
p
的必
要条件.
若
p?q
,则
p
是
q
的充要条件(充分
必要条件).
利用集合间的包含关系: 例如:若
A?B
,则A是B的充分条件或B
是A的必要条件;若A=B,则A是B的
充要条件;
6、逻辑联结词:⑴且(
and
)
:命题形式
p?q
;⑵或(
or
):命题形式
p?q
;
⑶非(
not
):命题形式
?p
.
p?q
p
q
?p
p?q
真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
真
假
假
假
真
真
7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等,用“
?
”表示;
全称命题
p
:
?x?M,p(x)
;
全称命题
p
的否定
?
p
:
?x?M,?p(x)
。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等,用“
?
”表示;
特称命题
p
:
?x?M,p(x)
;
特称命题
p
的否定
?
p
:
?x?M,?p(x)
;
第二部分 圆锥曲线
1、平面内与两个定点
F
1
,F
2
的距离之和等于常数(大于
F
1
F
2
)的
点的轨迹称为椭圆.
即:
|MF
1
|?|MF
2
|?2a
,(2a?|F
1
F
2
|)
。
这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
2、椭圆的几何性质:
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形
标准方程
x
2
y
2
?
2<
br>?1
?
a?b?0
?
2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
2
ab
范围
?a?x?a
且
?b?y?b
1
?b?x?b
且
?a?y?a
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?
顶点
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?
?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
?
1
?
?
b,0
?
、
?
2
?
b,0
?
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a
<
br>F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?
F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?
关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?
<
br>aa
3、平面内与两个定点
F
1
,
F
2
的距
离之差的绝对值等于常数(小于
F
1
F
2
)的点的轨迹称为双曲线.
即:
||MF
1
|?|MF
2
||?2a,(2a?|F
1
F
2
|)
。
这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.
4、双曲线的几何性质:
焦点在
y
轴上
焦点的位置 焦点在
x
轴上
图形
标准方程
x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
x??a
或
x?a
,
y?R
y??a
或
y?a
,
x?R
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?
F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?
虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a
F
1<
br>F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b2
?
关于
x
轴、
y
轴对称,关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?
aa
y??
b
x
a
y??
a
x
b
渐近线方程
5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.
6、平面内与一个定点
F
和
一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点
F
称为抛物线的焦点,
定直
2
线
l
称为抛物线的准线.
7、抛物线的几何性质:
y
2
?2px
标准方程
y
2
??2px
x
2
?2py
x
2
??2py
?
p?0
?
图形
顶点
?
p?0
?
?
p?0
?
?
p?0
?
?
0,0
?
x
轴 对称轴
y
轴
p
??
F
?
0,
?
2
??
p
??
F
?
0,?
?
2
??
焦点
?
p
?
F
?
,0
?
?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?
?
2
?
准线方程
x??
p
2
x?
p
2
y??
p
2
y?
p
2
离心率
e?1
范围
x?0
x?0
y?0
y?0
8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、?
两点的线段
??
,称为抛物线的“通径”,即
???2p
.
9、焦半径公式:
p
;
2
p
2
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x?2py?
p?0
?
上,焦点为
F
,则
?F?y
0?
;
2
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y?2px
?
p?0
?
上,焦点为<
br>F
,则
?F?x
0
?
2
第三部分
导数及其应用
1、函数
f
?
x
?
从
x
1
到
x
2
的平均变化率:
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
x
2
?x<
br>1
x?x
0
2、导数定义:
f
?
x
?
在点
x
0
处的导数记作
y
?
?f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
;.
?x
3、函数
y?f
?
x
?<
br>在点
x
0
处的导数的几何意义是曲线
4、常见函数的导数公式: '
①
C
?0
;②
(x)?nx
n'n?1
'<
br>y?f
?
x
?
在点
?
?
x
0
,f
?
x
0
?
?
处的切线的斜率.
'
;
③
(sinx)?cosx
;④
(cosx)??sinx
;
3
x'x
'
⑤
(a)?alna
;⑥
(e)?
e
; ⑦
(log
a
x)?
x'x
11
'<
br>;⑧
(lnx)?
xlnax
5、导数运算法则:
??f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
fx?gx
?
????
?
1
?
?
??
;
?
?f
?
?
x
?g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?<
br>?
x
?
fx?gx
?
????
?
2
?
?
??
;
?
f
?
x
??
?
f
?
?
x
?
g
?
x?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?<
br>g
?
x
?
?0
??
??
?
2
?
?
3
?
?
g
?
x
?
?
?
g
?
x
?
?
?
.
6、在某个区间<
br>?
a,b
?
内,若
f
?
?
x
??0
,则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递增;
若
f
?
?
x
?
?0
,则函数
y?
f
?
x
?
在这个区间内单调递减.
7、求函数
y?f?
x
?
的极值的方法是:解方程
f
?
?
x?
?0
.当
f
?
?
x
0
?
?
0
时:
?
1
?
如果在
x
0
附近的左侧<
br>f
?
?
x
?
?0
,右侧
f
?
?
x
?
?0
,那么
f
?
x
0
?
是极大值;
?
2
?
如果在
x
0
附近的左
侧
f
?
?
x
?
?0
,右侧
f
?<
br>?
x
?
?0
,那么
f
?
x
0
?
是极小值.
8、求函数
y?f
?
x
?
在?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤是:
?
1
?<
br>求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的极值;
?
2
?
将函数
y?f
?
x<
br>?
的各极值与端点处的函数值
f
?
a
?
,
f
?
b
?
比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是
最小值.
9、导数在实际问题中的应用:最优化问题。
第四部分
复数
1.概念:
2
(1)
z
=
a
+
bi∈R
?
b
=0
(
a,b∈R
)
?
z=
z
?
z
≥0;
(2)
z
=
a
+
bi
是虚数
?
b
≠0(
a
,
b∈R
);
(3)
z
=
a+b
i是纯虚数
?
a
=0
且
b
≠0(
a,b∈R
)
?
z
+
z
=0(z≠0)
?
z
2
<0;
(4)
a
+<
br>b
i=
c
+
di
?
a
=
c
且
c
=
d
(
a,b,c,d∈R
);
2.复数的代数形式及其运算:
设
z
1
=
a
+
bi
, z
2
=
c
+
di
(
a,b,c,d∈R
),则:
(1)
z
1
±
z
2
= (
a
+
b
)± (
c
+
d
)i;
(2)
z
1
.
z
2
= (
a
+
bi<
br>)·(
c
+
di
)=(
ac
-
bd
)+ (
ad
+
bc
)
i
;
(3)
z
1
÷
z
2
=
(a?bi)(c?di)
?bdbc?ad
(
z
≠0)
?
ac
2
?
2
i
222
(c?di)(c?di)
c?dc?d
3.几个重要的结论:
(1)
(1?i)
2
??2i
;⑷
1?i
?i;
1?i
??i;
1?i1?i
4
(2)
i
性质:T=4;
i
4n
?1,i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n?3
??i;
i
4n
?i
4n?1
?i
4?2
?i
4n?3
?0;
(3)
z?1?zz?1?z?
4.运算律:
(1)
z?z?z
mnm?n
1
。
z
;(2)(z
m
)
n
?z
mn
;(3)(z
1
?z
2
)
m
?z
1
z
2
(m,n?N);
z
1
z
)?
1
;⑷
z?z
。
z
2
z
2
z
1
|z|
|?
1
;
⑷
|z
n
|?|z|
n
;
z
2
|z2
|
mm
5.共轭的性质:⑴
(z
1
?z
2<
br>)?z
1
?z
2
;⑵
z
1
z
2
?z
1
?z
2
;
⑶
(
6.模的性质:⑴
||z
1
|?|z
2
||?
|z
1
?z
2
|?|z
1
|?|z
2
|<
br>;⑵
|z
1
z
2
|?|z
1
||z
2
|
;⑶
|
第五部分 统计案例
1.线性回归方程
①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系;
②制作散点图,判断线性相关关系
③线性回归方程:
y?bx?a
(最小二乘法)
n
?
x<
br>i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?
?<
br>b?
n
2
注意:线性回归直线经过定点
(x,y)
。
2
?
x?nx
?
i
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
?2.相关系数(判定两个变量线性相关性):
r?
?
(x
i?1
n
i
?x)(y
i
?y)
n
?
(x
i?1
n
i
?x)
2
?
(y
i
?y)
2
i?1
注:⑴
r
>0时,变量
x,y
正相关;<
br>r
<0时,变量
x,y
负相关;
⑵①
|r|
越接近于1,两个变量的线性相关性越强;②
|r|
接近于0时,两个变量之间几乎不存在线性相
关关系。
3.回归分析中回归效果的判定: <
br>⑴总偏差平方和:
?
(y
i?1
n
i
?y)
⑵残差:
e
i
?y
i
?y
i
;⑶残差平方和:?
(yi?yi)
2
;⑷回归平方和:
2
i?1
??
n
?
?
(y
i?1
n
i
?y)
-
?
(yi?yi)
2
;⑸相关指数
R
2
?1?2
i?1
n
?
?
(y
?
(y
i?1<
br>i?1
n
n
i
?y
i
)
2
。 <
br>?
i
?y
i
)
2
注:①
R
得知越大
,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好;
②
R
越接近于1,,则回归效果越好。
5
2
2
4.独立性检验(分类变量关系):
随机变量
K
2
越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。
第六部分 推理与证明
一.推理:
⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已
有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然后
提出猜想的推理,我们把它们称为合情
推理。
①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的
推理,或者有个
别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。
注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
②类比推理:由两类对象具有类似和其
中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称
为类比推理,简称类比。
注:类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。
注:演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提
---------已知的一般结论;⑵小前提---------所研究的特
殊情况;⑶结 论
---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。
二.证明
⒈直接证明
⑴综合法
一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最
后推导出所要证明的结论成
立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明
的结论归结为判定一个明显
成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。
分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2.间接证明------反证法
一般地,假设原命题
不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种
证明方法叫反
证法。
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