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高中数学选修1-1、1-2、4-4知识点归纳

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 04:59
tags:高中数学选修2

海淀名师伴你学高中数学必修一答案-高中数学文科与理科用的教材一样吗

2020年9月22日发(作者:郁瑞王)


本资料由备课吧-(谐音:123皮皮的 .呐)搜集整理
选修1-1、1-2数学知识点
第一部分 简单逻辑用语
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句.
2、“若
p
,则q
”形式的命题中的
p
称为命题的条件,
q
称为命题的结论.
3、原命题:“若
p
,则
q
” 逆命题: “若
q
,则
p

否命题:“若
?p
,则
?q
” 逆否命题:“若
?q
,则
?p

4、四种命题的真假性之间的关系:
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
5、若
p?q,则
p

q
的充分条件,
q

p
的必 要条件.

p?q
,则
p

q
的充要条件(充分 必要条件).
利用集合间的包含关系: 例如:若
A?B
,则A是B的充分条件或B 是A的必要条件;若A=B,则A是
B的充要条件;
6、逻辑联结词:⑴且(and) :命题形式
p?q
;⑵或(or):命题形式
p?q

⑶非(not):命题形式
?p
.
p?q

p

p?q

?p

q





















7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等,用“
?
”表示;
全称命题p:
?x?M,p(x)
; 全称命题p的否定
?
p:
?x?M,?p(x)

⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等,用“
?
”表示;
特称命题p:
?x?M,p(x)
; 特称命题p的否定
?
p:
?x?M,?p(x)


第二部分 圆锥曲线
1、平面内与两个定点
F
1

F2
的距离之和等于常数(大于
F
1
F
2
)的点的轨迹称 为椭圆.
即:
|MF
1
|?|MF
2
|?2a,(2a? |F
1
F
2
|)

这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
2、椭圆的几何性质:
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2
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范围
?a?x?a

?b?y?b

?b?x?b

?a?y?a

?
1
?
? a,0
?

?
2
?
a,0
?

顶点
?
1
?
0,?a
?

?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?

?
2
?
b,0
?

F
1
?
0,?c
?

F
2
?
0,c
?

?
1
?
0,?b
?

?
2
?
0,b
?

轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?

F
2
?
c ,0
?

F
1
F
2
?2c
?
c< br>2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?
< br>aa
3、平面内与两个定点
F
1

F
2
的距 离之差的绝对值等于常数(小于
F
1
F
2
)的点的轨迹称为双曲线. 即:
||MF
1
|?|MF
2
||?2a,(2a?|F
1
F
2
|)

这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.
4、双曲线的几何性质:
焦点在
y
轴上
焦点的位置 焦点在
x
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
x??a

x?a

y?R

y??a

y?a

x?R

?
1
?
?a,0
?

?
2
?
a,0
?

F
1
?
?c,0
?

F
2
?
c,0
?

?
1
?
0,?a
?

?
2
?
0,a
?

F
1
?
0,?c
?

F
2
?
0,c
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1< br>F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b2
?

关于
x
轴、
y
轴对称,关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
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渐近线方程
y??
b
x

a
y??
a
x

b
5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.
6、平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点
F
称为抛物 线的焦点,定直
线
l
称为抛物线的准线.
7、抛物线的几何性质:
y
2
?2px

标准方程
y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

图形

顶点
对称轴
焦点
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?




?
0,0
?

x

y

p
??
F
?
0,
?

2
??
p
??
F
?
0,?
?
< br>2
??
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
准线方程
离心率
范围
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
e?1

x?0

x?0

y?0

y?0

8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?

?
两点的线段
??
,称为抛物线的“通径”,即
?

??2p

9、焦半径公式:
p

2< br>p
2
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x?2py
?
p?0
?
上,焦点为
F< br>,则
?F?y
0
?

2
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y?2px
?p?0
?
上,焦点为
F
,则
?F?x
0
?2

第三部分 导数及其应用
1、函数
f
?
x
?

x
1

x
2
的平均变化率:
f?
x
2
?
?f
?
x
1
?

x
2
?x
1
x?x
0
2、导数定义:
f< br>?
x
?
在点
x
0
处的导数记作
y
?
?f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
;.
?x
3、函数
y? f
?
x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义是曲线4、常见函数的导数公式:
'

C
?0
;②
(x)? nx
n'n?1
'
y?f
?
x
?
在点
?< br>?
x
0
,f
?
x
0
?
?
处 的切线的斜率.
'
; ③
(sinx)?cosx
;④
(cosx)??sinx

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x'x

(a)?alna
;⑥
(e)?e
; ⑦< br>(log
a
x)
'
?
x'x
11
;⑧
(lnx)
'
?

xlnax
5、导数运算法则:
?< br>?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
fx?gx
?
????
?
1
?

?
??

?
?
2
?

?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
??
?f
?
?
x
?
g
?
x
?< br>?f
?
x
?
g
?
?
x
?

?
f
?
x
?
?
?
f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
g
?
x
?
?0
??
??
?
2
?
?
3
?
?< br>g
?
x
?
?
?
g
?
x
?< br>?
?

6、在某个区间
?
a,b
?
内,若
f
?
?
x
?
?0
,则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递增;

f
?
?
x
?
?0
,则函数
y?f
?
x
?
在这个 区间内单调递减.
7、求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法 是:解方程
f
?
?
x
?
?0
.当
f
?
?
x
0
?
?0
时:
?
1
?
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
,右侧
f
?
?
x
?
?0
, 那么
f
?
x
0
?
是极大值;
?
2
?
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x?
?0
,右侧
f
?
?
x
?
?0
,那么
f
?
x
0
?
是极小值.
8、求函数y?f
?
x
?

?
a,b
?
上的最大 值与最小值的步骤是:
?
1
?
求函数
y?f
?
x
?

?
a,b
?
内的极值;
?
2
?
将函数
y?f
?
x
?
的各极值与端点处的函数值
f
?
a
?

f
?
b
?
比较,其 中最大的一个是最大值,最小的一个是
最小值.
9、导数在实际问题中的应用:最优化问题。



第四部分 复数
1.概念:
(1) z=a+bi

R
?
b=0 (a,b

R)
?
z=
z
?
z
2
≥0;
(2) z=a+bi是虚数
?
b≠0(a,b

R);
(3) z=a+ bi是纯虚数
?
a=0且b≠0(a,b

R)
?
z+z
=0(z≠0)
?
z
2
<0;
(4) a+bi=c+di
?
a=c且c=d(a,b,c,d

R);
2.复数的代数形式及其运算:
设z
1
= a + bi , z
2
= c + di (a,b,c,d

R),则:
(1) z
1
±z
2
= (a + b)± (c + d)i;
(2) z
1
.z
2
= (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;
(3) z
1
÷z
2
=
(a?bi)(c?di)
?bdbc?ad
(z≠0)
?

ac
2
?
2
i
222
(c? di)(c?di)
c?dc?d
3.几个重要的结论:
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(1)
(1?i)
2
??2i
;⑷
1?i
?i;
1?i
? ?i;

1?i1?i
(2)
i
性质:T=4;
i
4n
?1,i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n ?3
??i

i
4n
?i
4n?1
?i
4 ?2
?i
4n?3
?0;

(3)
z?1?zz?1?z ?
4.运算律:(1)
z?z?z
mn
1

z
m ?n
;(2)(z
m
)
n
?z
mn
;(3)(z< br>1
?z
2
)
m
?z
1
z
2
(m,n?N);

z
1
z
)?
1
;⑷
z?z

z
2
z
2
z
1
|z|
|?
1
;⑷
|z
n
|?|z|
n
z
2
|z
2
|
mm
5.共轭的性质:⑴
(z< br>1
?z
2
)?z
1
?z
2
;⑵
z
1
z
2
?z
1
?z
2
; ⑶
(
6.模的性质:⑴
||z
1
|?|z
2
||? |z
1
?z
2
|?|z
1
|?|z
2
|< br>;⑵
|z
1
z
2
|?|z
1
||z
2
|
;⑶
|

第五部分 统计案例
1.线性回归方程
①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系;
②制作散点图,判断线性相关关系
③线性回归方程:
y?bx?a
(最小二乘法)
n
?
x< br>i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?
?< br>b?
n
2
注意:线性回归直线经过定点
(x,y)

2
?
x?nx
?
i
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
?2.相关系数(判定两个变量线性相关性):
r?
?
(x
i?1
n
i
?x)(y
i
?y)
n
?
(x
i?1
n

i
?x)
2
?
(y
i
?y)
2
i?1
注:⑴
r
>0时,变量
x,y
正相关;< br>r
<0时,变量
x,y
负相关;
⑵①
|r|
越接近于1,两个变量的线性相关性越强;②
|r|
接近于0时,两个变量之间几乎不存在线性相
关关系。
3.回归分析中回归效果的判定: < br>⑴总偏差平方和:
?
(y
i?1
n
i
?y)
⑵残差:
e
i
?y
i
?y
i
;⑶残差平方和:?
(yi?yi)
2
;⑷回归平方和:
2
i?1
??
n
?
?
(y
i?1
n
i
?y)

?
(yi?yi)
2
;⑸相关指数
R
2
?1?2
i?1
n
?
?
(y
?
(y
i?1< br>i?1
n
n
i
?y
i
)
2
。 < br>?
i
?y
i
)
2
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注:①
R
2
得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好;

R
2
越接近于1,,则回归效果越好。
4.独立性检验(分类变量关系):
随机变量
K
2
越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。

第六部分 推理与证明
一.推理:
⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已 有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然后
提出猜想的推理,我们把它们称为合情 推理。
①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的 推理,或者有个
别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。
注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
②类比推理:由两类对象具有类似和其 中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称
为类比推理,简称类比。
注:类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。
注:演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提 ---------已知的一般结论;⑵小前提---------所研究的特殊情况;
⑶结 论 ---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。
二.证明
⒈直接证明
⑴综合法
一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最 后推导出所要证明的结论成
立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明 的结论归结为判定一个明显
成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。 分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2.间接证明------反证法
一般地,假设原命题 不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种
证明方法叫反 证法。

选修4-4数学知识点
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求:
1.坐标系:
① 理解坐标系的作用.
② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行
极坐标和直角坐标的互化.
④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极 点的圆)的方程.通过比较这些图形在
极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时 选择适当坐标系的意义.
2.参数方程:① 了解参数方程,了解参数的意义.
② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
二、知识归纳总结:
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1.伸缩变换:设 点
P(x,y)
是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
?
:
??
x
?
?
?
?x,(
?
?0),
的作 用下,点
P(x,y)
?
y
?
?
?
?y,(
?
?0).
对应到点
P
?
(x
?
,y
?
)
,称
?
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
2 .极坐标系的概念:在平面内取一个定点
O
,叫做极点;自极点
O
引一条射线
Ox
叫做极轴;再选定一个长度单
位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常 取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。
3.点
M
的极坐标:设
M< br>是平面内一点,极点
O
与点
M
的距离
|OM|
叫做点
M
的极径,记为
?
;以极轴
Ox
为始边,射线
OM
为终边的
?xOM
叫做点
M
的极角,记为
?
。有序 数对
(
?
,
?
)
叫做点
M
的极坐标,记为
M(
?
,
?
)
.
极坐标
(
?
,
?
)

(
?
,
?
?2k
?
)(k?Z)
表示同一个点。极点
O
的坐标为
(0,
?
)(
?
?R)
.
4.若
?
?0
,则?
?
?0
,规定点
(?
?
,
?
)与点
(
?
,
?
)
关于极点对称,即
(?
?
,
?
)

(
?
,
?
?
?
)
表示同一点。
如果规定
?
?0,0?
?
? 2
?
,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标
(
?
,
?
)
表示;同时,极坐标
(
?
,
?
)
表示 的点也是唯一确定的。

5.极坐标与直角坐标的互化:
?
2
?x
2
?y
2
,x?
?
cos
?
,


y

y?
?
sin
?
,tan
?
?(x?0)

x

6。圆的极坐标方程:
在极坐标系中,以极点为圆心,
r
为半径的圆的极坐标方程是
?
?r

在极坐标系中,以
C(a,0)(a?0)
为圆心,
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?2acos
?

)
(a?0)
为圆心,a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?2asin
?

2
7.在极坐标系中,
?
?
?
(
?
?0)
表 示以极点为起点的一条射线;
?
?
?
(
?
?R)
表 示过极点的一条直线.
在极坐标系中,过点
A(a,0)(a?0)
,且垂直于极轴 的直线l的极坐标方程是
?
cos
?
?a
.
在极坐标系中,以
C(a,

8.参数方程的概念:在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标
x,y
都是某个变数
t
的函数
?
?
?
x?f(t),

y?g(t),
?
且对于
t
的每一个允许值,由这个方程所确定的点
M(x,y)
都在这条曲线上,那么这个方 程就叫做这条曲线的
参数方程,联系变数
x,y
的变数
t
叫做参变数 ,简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
?
x?a?rcos
?
,
(
?
为参数)
.
?
y?b?rsin
?
.
?
x?acos
?
,
x
2
y
2
椭圆
2
?
2
?1
(a?b?0)
的参数方程可表示为
?
(
?
为参数)< br>.
ab
y?bsin
?
.
?
?
x?2px
2
,
2
(t为参数)
. 抛物线
y?2px
的参数方程可表示为
?
y?2pt.
?
9.圆
(x?a)?(y?b )?r
的参数方程可表示为
?
222
经过点
M
O
(x
o
,y
o
)
,倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程可表示为
?
?
x?x
o
?tcos
?< br>,

t
为参数).
y?y?tsin
?
.
o
?
10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的 互化中,必须使
x,y

取值范围保持一致.


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