数学抽象在高中数学教学中的渗透-高中数学常用罗辑用语
第一章 计数原理
1、分类加法计数原理:做一件事情,完成它有N类办法,在第一类
办法中有M
1
种不同的
方法,在第二类办法中有M
2
种不同的方法,
……,在第N类办法中有M
N
种不同的方法,
那么完成这件事情共有M
1+M
2
+……+M
N
种不同的方法。
2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成N个步骤,做第一 步有m1种不同的方
法
,做第二步有M
2
不同的方法,……,做第N步有M
N
不同的方法.那么完成
这件事共有
N=M
1
M
2
...M
N
种不同的方法。
3、排列:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫
做从n个不
......
同元素中取出m个元素的一个排列
4、排列数:
A
m
?n(n?1)?(n?m?1)?
n!
(m?n,n,m?N)
(n?m)!
5、组合:从n个不同的元素中任取m(m
≤
n)个元素并
成一组,叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合。
m
A
m
)
1
?(n
(
??1)
1)
m
m
n!
n!
A
n
1
?)?n
m
?m?
nn
n(
n(
?
6、组合数:
C
C
?
?
m
m
?
?
C
C
?
?
n
n
m!m!(n
A
m
m!m!(
?
n
m
?<
br>)!
m)!
A
m
m
m
n
n<
br>n?m
C
m
n
?C
n
;
1m
C
m?
n
?C
m
?C
nn?1
n0n1n?12n?22rn?rrnn
(a?b)?Ca?Cab?Cab?…
?Cab?…?Cb
nnnnn
7、二项式定理:
rn?rr
8、二项式通项
公式
展开式的通项公式:T?Cab(r?0,1……n)
r?1n
9.二项式系数
的性质:
012nr
(a?b)
n
展开式的二项式系数是
C
n
,
C
n
,
C
n
,…,
C
n<
br>.
C
n
可以看成以
r
为自变
量的函数
f(r
)
,定义域是
{0,1,2,L,n}
,
mn?m
(1)对称性.
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵
C
n
).
?C
n
(2)增减性与最大值:当
n
是偶数时,中间一项
C
取得最大值;当
n
是奇数时,
中间两项
C
n?1
2
n
n<
br>2
n
,
C
n?1
2
n
取得最大值.
1rr
x?L?C
n
x?L?x
n
, (3)各二项式系数
和:∵
(1?x)
n
?1?C
n
012rn
?C
n
?C
n
?L?C
n
?L?C
n
令
x?1<
br>,则
2
n
?C
n
第二章 随机变量及其分布
知识点:
(3)随机变量:如果随机试验可能出现的结
果可以用一个变量X来表示,并且X是随着试
验的结果的不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量.
随机变量常用大写字母X、
Y等或希腊字母 ξ、η等表示。
(4)离散型随机变量:在上面
的射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,
我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变
量叫做离散型随机变量.
3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x
1
,x
2
,..... ,x
i
,......,x
n
X取每一个值 x
i
(i=1,2,..
....)的概率P(ξ=x
i
)=P
i
,则称表为离散型随机变量X
的概率分布,
简称分布列
4、分布列性质①
p
i
≥0, i =1,2, … ;② p
1
+
p
2
+…+p
n
= 1.
5、二点分布:如果随机变量X的分布列为:
其中0
6、超几何分布:一般地, 设总数为N件的两类物品,其中一类有M件,从所有物品中任取
n
(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量,
kn?k
C
M
C
N?M
则它取值为k时的概率为
P(X?k)?(k?0,1,2,L,m
)
,
n
C
N
其中
m?min
?
M,n<
br>?
,且
n≤N,M≤N,n,M,N?N
*
7、条件概率:对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,叫
做条件概率.
记作P(B|A),读作A发生的条件下B的概率
8、公式:
P(B|A)?
P(AB)
,P(A)?0.
P(A)
9、相互独立事件:事件A
(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事
件叫做相互独立事件。
P(A?B)?P(A)?P(B)
10、n次独立重复事件:在同等条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布:
设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数,A发生次数ξ是
一个随
机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,事件A不发生的概率为q=1-p,那么在<
br>kkn?k
?C
n
pq
P(
?
?k)
n次独
立重复试验中 (其中 k=0,1, ……,n,q=1-p )
于是可得随机变量ξ的概率分布如下:
这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p) ,其中n,p为参数
12、数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称
Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…
为ξ的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称
为期望.是离散型随机变量。
13、方差:
D(ξ)=(x
1
-Eξ)
2
·P
1
+(x
2-Eξ)
2
·P
2
+......+(x
n
-Eξ)
2
·P
n
叫随机变量ξ的均方差,
简称方差。
14、集中分布的期望与方差一览:
期望
方差
两点分布
Eξ=p
Dξ=pq
,
q=1-p
二项分布,
ξ
~
B
(
n,p
)
Eξ=np
Dξ=qEξ=npq
,(
q=1-p
)
15、正态分布:
若概率密度曲线就是或近似地是函数
f(x)?
<
br>1
e
2
??
?
(x?
?
)
2
2
?
2
,x?(??,??)
(
?
?0)
是参数,分别表示总体的平均数与标准差. 的图像,其中解析式
中的实数
?
、
?
则其分布叫正态分布
记作:N(
?
,
?
)
,f( x )的图象称为正态曲线。
16、基本性质:
①曲线在x轴的上方,与x轴不相交.
②曲线关于直线x=
?
对称,且在x=
?
时位于最高点.
③当时
x?
?
,曲线上升;当时
x?
?
,曲线下降.并且当
曲线向左、右两边无限延伸时,
以x轴为渐近线,向它无限靠近.
④当
?
一定时,曲线的形状由
?
确定.
?
越大,曲线越“矮胖”,表示总
体的分布越分散;
?
越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.
17、 3
?
原则:
从上表看到,正态总体在
(
?
?2
?
,
?
?2
?
)
以外取值的概率 只有4.6%,在
(
?
?3
?
,
??3
?
)
以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发
生为小
概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
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