高中数学选修2-2导数的概念

导数的概念
教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数
教学难点：导数的概念
教学过程：
一、导入新课：
上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同 ，但从函
数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。
二、新授课：
1.设函数
y?f(x)
在
x?x
0
处附近有定义，当自变量在
x?x
0
处有增量
?x
时，则函数
Y?f(x)
相应地有增量
?y?f(x
0
?? x)?f(x
0
)
，如果
?x?0
时，
?y
与?x
的比
变化率）有极限即
的导数，记作
y

?y
（也叫函数的平均
?x
?y
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数
y?f(x)
在
x?x
0
处
?x
x?x
0
，即
f

(x
0
)?lim
?x?0
f(x0
??x)?f(x
0
)

?x
注：1.函数应在点
x
0
的附近有定义，否则导数不存在。 < br>2.在定义导数的极限式中，
?x
趋近于0可正、可负、但不为0，而
?y可能为0。
3.
?y
是函数
y?f(x)
对自变量
x
在
?x
范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线
?x
y?f(x )
上点（
x
0
,f(x
0
)
）及点
(x< br>0
??x,f(x
0
??x)
）的割线斜率。
4.导数f

(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
是函数
y?f(x)
在点
x
0
的处瞬时变化率，它反映的
?x
函数
y?f(x)
在点
x
0
处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线
y?f(x)
上点（
x
0
,f(x
0
)
）
处的切线的斜率。因此，如果
y ?f(x)
在点
x
0
可导，则曲线
y?f(x)
在点（x
0
,f(x
0
)
）
处的切线方程为
y?f( x
0
)?f

(x
0
)(x?x
0
)
。
5.导数是一个局部概念，它只与函数
y?f(x)
在
x
0< br>及其附近的函数值有关，与
?x
无关。
6.在定义式中，设
x?x< br>0
??x
，则
?x?x?x
0
，当
?x
趋近 于0时，
x
趋近于
x
0
，因此，导
数的定义式可写成
f

(x
0
)?lim
?x?o
f(x
0
??x)?f(x
0
)f(x)?f(x
0
)
?lim
。
x?x
0
?xx?x
0

7.若极限
lim< br>?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
不存在，则 称函数
y?f(x)
在点
x
0
处不可导。
?x
8 .若
f(x)
在
x
0
可导，则曲线
y?f(x)
在 点（
x
0
,f(x
0
)
）有切线存在。反之不然，若曲线< br>y?f(x)
在点（
x
0
,f(x
0
)
）有 切线，函数
y?f(x)
在
x
0
不一定可导，并且，若函数
y?f(x)
在
x
0
不
可导，曲线在点（
x
0,f(x
0
)
）也可能有切线。
一般地，
?x?0
l im(a?b?x)?a
，其中
a,b
为常数。
特别地，
lima?a
。
?x?0
如果函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内的每点处都有导数，此时对于每一个
x?(a,b)< br>，都对应
着一个确定的导数
f

(x)
，从而构成了一个新的函 数
f

(x)
。称这个函数
f

(x)
为函数
y?f(x)
在开区间内的导函数，简称导数，也可记作
y

，即 < br>f

(x)
＝
y

＝
lim
?yf(x ??x)?f(x)
?lim

?x?0
?x
?x?0
?x
x?x
0
函数
y?f(x)
在
x
0
处的导 数
y

就是函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
( x?(a,b))
上导数
f

(x)
在
x
0
处的函数值，即
y

x?x
0
＝
f

(x0
)
。所以函数
y?f(x)
在
x
0
处的导数 也记作
f

(x
0
)
。
注：1.如果函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内每一点都有导数，则称函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内可导。
2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分 ：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个
函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导
数就是导函数
f

(x)
在点
x
0
的函数值。
3.求导函数时，只 需将求导数式中的
x
0
换成
x
就可，即
f

(x)
＝
lim
4.由导数的定义可知，求函数
y?f(x)
的导数 的一般方法是：
（1）.求函数的改变量
?y?f(x??x)?f(x)
。
?yf(x??x)?f(x)
?
。
?x?x
?y
（3） .取极限，得导数
y

＝
lim
。
?x?0
?x
?x?0
f(x??x)?f(x)

?x< br>（2）.求平均变化率
例1.求
y?2x
2
?1
在
x
＝－3处的导数。

例2.已知函数
y?x
2
?x

（1）求
y

。
（2）求函数
y?x
2
?x
在
x
＝2处的导数。









小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。