高中数学选修2-1、2-2知识点小结

选修2-1、2-2知识点
选修2-1
第一章 常用逻辑用语
1. 命题及其关系
① 四种命题相互间关系：
② 逆否命题同真同假
2. 充分条件与必要条件
是的充要条件：
是的充分不必要条件：
是的必要不充分条件：
是的既充分不必要条件：
3. 逻辑联结词 “或”“且”“非”
4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化.
例：“a=1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
第二章 圆锥曲线与方程
1. 三种圆锥曲线的性质（以焦点在轴为例）

定义
标准方程
椭圆
与两个定点的距离和等于
常数

双曲线
与两个定点的距离差的绝对
值等于常数

抛物线
与一个定点和一条
定直线的距离相等

图形
顶点坐标
对称轴
(±a,0),(0,±b)
x轴，长轴长2a
y轴，短轴长2b
(±,0)




知二 求二
(±a,0)
x轴，实轴长2a
y轴，虚轴长2b
(±,0)




(0,0)
x轴
焦点坐标
离心率
准线
渐近线
焦半径
a,b,c,e，p
(,0)
e＝1




2. “回归定义” 是一种重要的解题策略。如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥
曲线的定义，则根据圆锥曲 线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个
焦点构成的焦点三角形问题时， 常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在

求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用
几何 意义去解决。
3. 直线与圆锥曲线的位置关系
（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数 问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、
相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元 得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方
程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相 交、相切、相离的充分必要条件分别是、、.
应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线 的斜率之间的关系考查直线与双曲线的
位置关系)
常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；
②点差法
（主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：）
（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）
① 直线具有斜率，两个交点坐标分别为

② 直线斜率不存在,则.
（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。
考查三个方面：A 存在性（相交）；B 中点；C 垂直（）
注: 1.圆锥曲线，一要重 视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练
掌握方程组理论，又关注图形的几 何性质，以简化运算。
2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.
3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；
二是建立不等式，通过解不等式求范围。
4.注意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角等）
（4）求曲线轨迹常见 做法：定义法、直接法（步骤：建—设—现（限）—代—化）、代入法（利
用动点与已知轨迹上动点之间 的关系）、点差法（适用求弦中点轨迹）、参数法、交轨法等。
例1.已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（答：C）；
A． B． C． D．

例2已知双曲线的离心率为2，F
1
、F
2
是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标
准方程（答：）
例3 已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若由焦点到直线的距离为3.
（1）求椭圆分 方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M,N，当|AM|=|AN|时，求m的取值
范围。（答 ：）
例4过点A（2，1）的直线与双曲线相交于两点P
1
、P
2
，求线段P
1
P
2
中点的轨迹方程。

第三章 空间向量与立体几何
1. 空间向量及其运算
① ,
② 共线向量定理：
③ 共面向量定理：；
四点共面
④ 空间向量基本定理 （不共面的三个向量构成一组基
底，任意两个向量都共面）
2. 平行：（直线的方向向量，平面的法向量）（是a,b的方向向量，是平面的法向量）
线线平行：
线面平行： 或 ， 或 是内不共线向量）

面面平行：
3. 垂直
线线垂直：
线面垂直： 或 是内不共线向量）
面面垂直：
4. 夹角问题
线线角 （注意异面直线夹角范围）
线面角
二面角 （一般步骤①求平面的法向量；②计算法 向量夹角；③回答二面角（空间想象二面角为
锐角还是钝角或借助于法向量的方向），只需说明二面角大 小，无需说明理由））
5. 距离问题（一般是求点面距离，线面距离，面面距离转化为点到面的距离）
P到平面的距离 （其中是平面内任一点，为平面的法向量）
6. 立体几何解题一般步骤
坐标法：①建系（ 选择两两垂直的直线，借助于已有的垂直关系构造）；②写点坐标；③写向量
的坐标；④向量运算；⑤将 向量形式的结果转化为最终结果。
基底法：①选择一组基底（一般是共起点的三个向量）；②将向量用 基底表示；③向量运算；④
将向量形式的结果转化为最终结果。
几何法：作、证、求
异面直线夹角——平移直线（借助中位线平行四边形等平行线）；
线面角——找准面的垂线，借助直角三角形的知识解决；
二面角——定义法作二面角，三垂线定理作二面角；作交线的垂面.

选修2-2
第一章 导数及其应用
1. 平均变化率
2. 导数（或瞬时变化率）
导函数(导数)：
3. 导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点x
0
处的导数(x
0
)就是曲线y＝f(x)在点(x0
，f(x
0
))处的切线的斜率，
即k＝(x
0
)．
应用：求切线方程，分清所给点是否为切点
4. 导数的运算：
(1)几种常见函数的导数：
①(C)′＝0(C为常数)； ②()′＝(x＞0，)； ③(sinx)′＝cosx；
④(cosx)′＝－sinx； ⑤(e
x
)′＝e
x
； ⑥(a
x
)′＝a
x
lna(a＞0，且a≠1)；
⑦； ⑧(a＞0，且a≠1)．
(2)导数的运算法则：
①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)； ②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；
③.
5. 设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点处也有导数，且 或。复合
函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。
6. 定积分的概念，几何意义，区边图形的面积的积分形式表示，注意确定上方函数，下方函数的选取，以及区间的分割.微积分基本定理.
物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题。
7. 函数的单调性
（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数 ；如果，则在此区间上为减函
数；

（2）如果在某区间内恒有，则为常数。
★★★反之，若已知可导函数在某个区间上单调递增 ，则，且不恒为零；可导函数在某个区间
上单调递减，则，且不恒为零.
求单调性的步骤：
① 确定函数的定义域（不可或缺，否则易致错）；
② 解不等式；
③ 确定并指 出函数的单调区间（区间形式，不要写范围形式），区间之间用“，”★隔开，不
能用“”连结。
8. 极值与最值
对于可导函数，在处取得极值，则.
最值定理：连续函数在闭区间上一定有最大最小值.
若在开区间有唯一的极值点，则是最值点。
求极值步骤：
① 确定函数的定义域（不可或缺，否则易致错）；
② 解不等式；
③ 检验的根的两侧的符号（一般通过列表），判断极大值，极小值，还是非极值点.
求最值时，步骤在求 极值的基础上，将各极值与端点处的函数值进行比较大小，切忌直接说某
某就是最大或者最小。
9. 恒成立问题 “”和“”，注意参数的取值中“=”能否取到。
例1 ，过的切线方程为
例2 设函数在处取得极值。
（1）求的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。
（答：(1)a=-3,b=4;(2)）
例3 设函数
（1）求函数的单调区间、极值.
（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围.
（答：（1）在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减；时，，时， （2）a
的取值范围是）

第二章 推理与证明
1. 分清概念：合情推理与演绎推理
2. 综合法 分析法的步骤规范
3. 反证法 步骤：①提出反设；②推出矛盾 ；③肯定结论
4. 数学归纳法 步骤规范：（1）归纳奠基；（2）递推步骤
（最后一定说明当n=k+1时，结论成立，根据（1） （2），结论对于(或者其他)成立，必不可少）
例1 用综合法和分析证明
例2 已知
例3 ，求的值，由此猜想的通项公式，并证明。
（答：）

第三章 数系的扩充与复数的引入
1. 复数的概念 三种表示形式：代数形式：，复平面内点Z(a,b)，向量.
2. 区分实数，虚数，纯虚数，复数
3. 复数的四则运算及其几何意义
4. 复数的模
例1 （）的充要条件是_________________________
例2 设复数满足条件那么的最大值是（ ）
（A）3 （B）4 （C） （D）

例3 实数为何值时，复数．
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数；
（4）对应点在第二象限.
例4．已知为实数．（1）若，求；（2）若，求，的值．