高中数学选修2-2综合测试卷

综合检测
一、选择题
1.“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”.此推理方法是( )
A.完全归纳推理
B.归纳推理
C.类比推理
D.演绎推理
答案 B
解析 由特殊到一般的推理为归纳推理.故选B.
2.复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为( )
A.2＋i B.2－i C.5＋i D.5－i
答案 D
5
解析 由(z－3)(2－i)＝5得，z－3＝＝2＋i，
2－i
∴z＝5＋i，∴z＝5－i.
3.设f(x)＝10
x
＋lg x，则f′(1)等于( )
A.10
10
C.＋ln 10
ln 10
答案 B
解析 ∵f′(x)＝10
x
ln 10＋
1
，∴f′(1)＝10ln 10＋lg e，故选B.
xln 10
B.10ln 10＋lg e
D.11ln 10
→→→
4.如图，在复平面内，向量OP对应的复数是1－i， 若将OP向左平移1个单位长度后得到O
0
P
0
，
则点P
0
对应的复数为( )

A.－i B.1－2i C.－1－i D.1－i
答案 A
→→→
解析 ∵O
0
P
0
＝OP，OO
0
对应的复数是－1，
→
∴点P
0
对应的复数，即OP
0
对应的复数是－1＋(1－i)＝ －i.
1

11111111
5.已知n为正偶数，用数学归纳法 证明：1－＋－＋…＋－＝2(＋＋…＋)
2342n
n－1
n
n＋2n＋4
时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要利用归纳假设再证( )
A.n＝k＋1时等式成立
B.n＝k＋2时等式成立
C.n＝2k＋2时等式成立
D.n＝2(k＋2)时等式成立
答案 B
解析 由k≥2且k为偶数知选B.
6.函数f(x)＝x
3
－ax
2
－bx＋a
2
在x＝1处有极值10，则a，b的值为( )
?a＝3
?
a＝－4
??
A.
?
或
?

??
b＝－3b＝11
??
?
?
a＝－4
B.?

?
b＝11
?
?
a＝－1
?
C.
?

?
b＝5
?




D.以上都不对
答案 B
???
?
3－2a－b＝0，
?
a＝3，
?
a＝－4，
解析 ∵f′(x)＝3x－2ax－b，∴
?
解得
?
或
?
经检验a
2
?
1－a－b ＋a＝10，
??
b＝11.
??
b＝－3
?
2

＝3，b＝－3不合题意，应舍去.
7.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( )
①z
1
，z
2
不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z
1
，z
2
是虚数.
A.①②③
C.②③①
答案 C
解析 ②是大前提，③是小前提，①是结论.
1
8.设f(x) ＝x
3
＋ax
2
＋5x＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值 范围是( )
3
A.[－5，＋∞)
B.[－∞，－3]
C.(－∞，－3]∪[－5，＋∞)
D.[－5，5]
答案 C
解析 因f′(x)＝x
2
＋2ax＋5，若f(x)在[1,3]上为单调函数且单调递增，则x∈ [1,3]时，x
2
＋2ax
2
B.②①③
D.③②①

5
5
x＋
?
，而x∈[1,3]，x＋≥25， ＋ 5≥0恒成立，即2a≥－
?
?
x
?
x
5
x＋?
≤－25，∴2a≥－25，a≥－5，若f(x)在[1,3]上单调递减，则x∈[1,3] 时，x
2
∴－
?
?
x
?
55
?
5
?
x＋
?
，
x＋
＋2ax＋5≤0恒成立，即2a≤－?
而x∈[1,3]时，记h(x)＝x＋，h＝h(1)＝6，∴－
?
x
??
x
?
x
max
≥－6，∴2a≤－6，a≤－3，∴a的取值 范围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞).
|AG|
9.已知结论：“在正三角形ABC中， 若D是BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝
|GD|
2”.若把该结论推广到空间，则 有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心
|AO|
为M，四面体内部一点 O到四面体各面的距离都相等，则等于( )
|OM|
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，
|AG||AO|
＝2类比＝3，故选C.
|GD||OM|
10.已知a为常数，函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x
1
，x
2
(x
1
＜x
2
)，则( )
1
A.f(x
1
)＞0，f(x
2
)＞－
2
1
B.f(x
1
)＜0，f(x
2
)＜－
2
1
C.f(x
1
)＞0，f(x
2
)＜－
2
1
D.f(x
1
)＜0，f(x
2
)＞－
2
答案 D
解析 函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x
1
，x
2
(x
1
＜x
2
)，则f′(x)＝ln x－2ax＋1有两个零点，
1
即方程ln x＝2ax－1有两个根，由数形结合易知0＜a ＜且0＜x
1
＜1＜x
2
.因为在(x
1
，x
2< br>)上f(x)
2
1
递增，所以f(x
1
)＜f(1)＜f(x
2
)，即f(x
1
)＜－a＜f(x
2
)，所以f(x1
)＜0，f(x
2
)＞－.故选D.
2
二、填空题
11.若实数x，y满足(1－i)x＋(1＋i)y＝2，则xy的值是 .
答案 1
??
?
x＋y＝2，
?
x＝1，
解析 由(1－i)x＋(1＋i)y＝2得(x＋y)＋(－x＋y)i＝2，∴
?
解得
?
∴xy＝
?
－x＋y＝0，
?
??
y＝1，

1.
1
12.由抛物线y＝x
2
，直线x＝1，x＝3和x轴所围 成的图形的面积是________.
2
3

答案
13

3
解析 如图所示，

1
S＝
?
3
x
2
dx
?
21
1
?
3
113
＝x
3
?
＝(33
－1
3
)＝.
6
?
1
63
13. 已知函数f(x)＝x
3
＋2bx
2
＋cx＋1有两个极值点x
1< br>，x
2
，且x
1
∈[－2，－1]，x
2
∈[1,2 ]，则f(－
1)的取值范围是________.
答案 [3,12]
解析 因 为f(x)有两个极值点x
1
，x
2
，所以f′(x)＝3x
2＋4bx＋c＝0有两个根x
1
，x
2
，且x
1
∈[－
2，－1]，x
2
∈[1,2]，
f′?－2?≥0，
?
?
f′?－1?≤0，
所以
?
f′?1?≤0，
?
?
f′?2?≥0，

?
?
3－4b＋c≤0，
即
?
3＋4b＋c≤0，
?
?
12＋8b＋c≥0，
12－8b＋c≥0，



画出可行域如图所示.因为f(－1)＝2b－c，由图知经过 点A(0，－3)时，f(－1)取得最小值3，
经过点C(0，－12)时，f(－1)取得最大值1 2，所以f(－1)的取值范围为[3,12].

14.如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________.
4

答案
1

191
1
解析 设第 n(n≥2且n∈N
*
)行的第2个数字为，其中a
1
＝1，则由数阵可知a
n
＋
1
－a
n
＝n，
a
n
19 ×20
1
∴a
20
＝(a
20
－a
19
) ＋(a
19
－a
18
)＋…＋(a
2
－a
1
)＋a
1
＝19＋18＋…＋1＋1＝＋1＝191，∴
2a
20
＝
1
.
191
三、解答题
z
15.(1)已知z∈C，且|z|－i＝z＋2＋3i(i为虚数单位)，求复数的虚部.
2＋i
z
1
(2)已知z
1
＝a＋2i，z
2＝3－4i(i为虚数单位)，且为纯虚数，求实数a的值.
z
2
解 (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入方程|z|－i＝z＋2＋3i，
得出x
2＋y
2
－i＝x－yi＋2＋3i＝(x＋2)＋(3－y)i，
?
?
x
2
＋y
2
＝x＋2，
?
x＝3，
故有< br>?
解得
?

?
y＝4.
?
?
3－y＝－1，


3＋4i
z
∴z＝3＋4i，复数＝＝2＋i，虚部为1.
2＋i2＋i< br>z
1
a＋2i3a－8＋?4a＋6?i
z
1
(2)＝＝，且 为纯虚数，
z
2
3－4i
25z
2
8
则3a－8 ＝0，且4a＋6≠0，解得a＝.
3
16.已知a，b，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：
1
(1)a2
＋b
2
＋c
2
≥；(2)a＋b＋c≤3.
3
121212
证明 (1)∵a
2
＋≥a，b
2
＋≥b，c
2
＋≥c，
939393
111
22221
a
2
＋
?
＋?
b
2
＋
?
＋
?
c
2
＋?
≥a＋b＋c＝.∴a
2
＋b
2
＋c
2
≥. ∴
?
9
??
9
??
9
?
33
?< br>333
1
a＋
3
1
a·≤，
32
1
b＋
3
1
b·≤，
32
1
c＋
3
1abc 11
c·≤，三式相加得＋＋≤(a＋b＋c)＋
322
333
2
( 2)∵
＝1，∴a＋b＋c≤3.
5

17.已知数列{a
n
}满足S
n
＋a
n
＝2n＋1.
(1)写出a
1
，a
2
，a
3
，并推测a
n
的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论.
3
(1)解 S
n
＋an
＝2n＋1，当n＝1时，S
1
＝a
1
，∴a
1＋a
1
＝2×1＋1，得a
1
＝.当n＝2时，S
2
＝
2
3715
a
1
＋a
2
，则a
1
＋a
2
＋a
2
＝5，将a
1
＝代入得a
2
＝，同理可得a
3
＝.
248
2
n1
－1
1∴a
n
＝＝2－
n
.
n
22
＋
1
(2)证明 当n＝1时，结论成立.假设当n＝k(k ∈N
*
)时，命题成立，即a
k
＝2－
k
.当n＝k＋1< br>2
时，S
n
＋a
n
＝2n＋1，则a
1
＋a
2
＋…＋a
k
＋2a
k
＋
1
＝2(k＋1 )＋1.∵a
1
＋a
2
＋…＋a
k
＝2k＋1－a
k
，
11
∴2a
k
＋
1
＝4－
k
，a
k
＋
1
＝2－
k
＋
1
成立.∴根据上 述知对任意n∈N
*
，结论成立.
2
2
1
18.已知函数f(x)＝ln |x|(x≠0)，函数g(x)＝＋af′(x)(x≠0).
f′?x?
(1)当x≠0时，求函数y＝g(x)的表达式；
(2)若a＞0，函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2，求a的值；
27
(3)在(2)的条件下，求直线y＝x＋与函数y＝g(x)的图象所围成图形的面积.
36
解 (1)∵f(x)＝ln |x|，∴当x＞0时，f(x)＝ln x，当x＜0时 ，f(x)＝ln(－x)，∴当x＞0时，f′(x)
111a
＝，当x＜0时，f′(x) ＝·(－1)＝，∴当x≠0时，函数y＝g(x)＝x＋.
xxx
－x
a
(2)由(1)知当x＞0时，g(x)＝x＋，∴当a＞0，x＞0时，g(x)≥2a，当且仅当x＝a时取 等
x
号，∴函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2a，∴2a＝2，
∴a＝1.
?
y＝
3
x＋
6
，
(3)由
?
1
y＝x＋，
?
x
27

?
x ＝
2
，
得
?
13
y＝
?
6
，1
1
3

x＝2，
?
?
2
或
?

5
y＝，
?
?
2
2

27
∴直线 y＝x＋与函数y＝g(x)的图象所围成图形的面积S＝
36
＋ln 3－2ln 2.


?
2
3
2
71
?
7
?
2
(x?)?(x?)
dx＝
?
24
6x
??
3
?
6