【苏教版】2017-2018学年高中数学选修2-2教学案全集(含答案)

1
1
，＋∞
?
上单调递增； 当x>时，f′(x) >0，f(x)在
?
?
a
?
a
1
1
0，< br>?
上单调递减． 当0?
?
a
?
a
1
所以当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.
a
1 13
(2)由题设知，f′(x)＝a－
2
，f′(1)＝a－＝，
axa2
1
解得a＝2或a＝－(不合题意，舍去)．
2
13
将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，
a2
解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.
1
8．已知函数f(x)＝x
3
－2x
2
＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线y＝f(x)的所有切线中， 有且仅有
3
一条切线l与直线y＝x垂直．求a的值和切线l的方程．
1
解：∵f(x)＝x
3
－2x
2
＋ax，
3
∴f′(x)＝x
2
－4x＋a.
由题意可知，方程f′(x)＝x
2
－4x＋a＝－1有两个相等的实根．
∴Δ＝16－4(a＋1)＝0，∴a＝3.
∴f′(x)＝x
2
－4x＋3＝－1.
化为x
2
－4x＋4＝0.
解得切点横坐标为x＝2，
12
∴f(2)＝×8－2×4＋2×3＝.
33
2
∴切线l的方程为y－＝(－1)(x－2)，
3
即3x＋3y－8＝0.
∴a＝3，切线l的方程为3x＋3y－8＝0.






1．2.3 简单复合函数的导数

[对应学生用书P11]

π
2x＋
?
，g(x)＝(3x＋2)
2
. 已知函数f(x)＝sin
?
6
??
问题1：这两个函数是复合函数吗？
提示：是复合函数．
问题2：试说明g(x)＝(3x＋2)
2
是如何复合的？
提示：函数g(x)＝(3x＋2)
2
是由 g(u)＝u
2
，u＝3x＋2复合而成的．
问题3：试求g(x)＝(3x＋2)
2
，g(u)＝u
2
，u＝3x＋2的导数．
提示：g′(x)＝ [(3x＋2)
2
]′＝[9x
2
＋12x＋4]′＝18x＋12.g′( u)＝2u，u′＝3.
问题4：观察问题3中导数有何关系？
提示：g′(x)＝g′(u)·u′.

若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′
x
＝y′
u
·u′
x
，即y′
x
＝y′< br>u
·a.

1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量．
2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单．
3．判断复合函 数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是
以基本函数为主要形式，各层的中 间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最
里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量 x的基本函数经过有限次四则运算而得到的
函数．


[对应学生用书P11]



[例1] 求下列函数的导数．
(1)y＝
(2)y＝e
1
；
?2x＋3?
3
－
0.05x
＋
1
复合函数的求导
；
(3)y＝cos(ωx＋φ)(其中ω、φ为常数)；
(4)y＝log
2
(5－3x)．
[思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则
求解．
[精解详析] (1)y＝
133
3
＝(2x＋3)－
2
是函数y＝u－
2
，u＝2x＋3的复合函数，
?2x＋3?

3
所以y′x
＝y′
u
·u′
x
＝(u－)′·(2x＋3)′
2
3555
＝－u－·2＝－3u－＝－3(2x＋3)－.
2222

(2)y＝e
－
0.05x
＋
1
是函数y＝e
u
，u＝－0.05x＋1的复合函数，所以y′
x
＝y′< br>u
·u′
x
＝(e
u
)′·(－
0.05x＋1)′
＝－0.05e
u
＝－0.05e
－
0.05x
＋
1
.
(3)y＝cos(ωx＋φ)是y＝cos u，u＝ωx＋φ的复合函数，
所以y′
x
＝y′
u
·u′
x
＝(cos u)′·(ωx＋φ)′
＝－sin u·ω＝－ωsin(ωx＋φ)．
(4)y＝lo g
2
(5－3x)是y＝log
2
u，u＝5－3x的复合函数，
1
所以y′
x
＝y′
u
·u′
x
＝(log
2
u)′·(5－3x)′＝－3·
uln 2
＝
－3
3
＝.
?5－3x?ln 2?3x－5?ln 2
[一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：
(1 )弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最
终结果 要将中间变量换成自变量．

1
1．若函数f(x)＝ln，则f′(x)＝________.
x
11
解析：f(x)＝ln是f(u)＝ln u与u＝的复合函数，
xx
?
1
?
′ 所以y′
x
＝y′
u
·u′
x
＝(ln u)′·
?
x
?
1
?
1
?
1
－
2
＝－. ＝·
u
?
x
?
x
1
答案：－
x
2．函数y＝sin
3
x＋sin x
3
的导数为________．
解析：y′＝(sin
3
x＋sin x
3
)′＝(sin
3
x)′＋(sin x
3
)′
＝3sin
2
xcos x＋cos x
3
·3x
2

＝3sin
2
xcos x＋3x
2
·cos x
3
.
答案：3sin
2
xcos x＋3x
2
·cos x
3

3．求下列函数的导数：
1
(1)y＝e2x
2
＋3x；(2)y＝.
?1－3x?
4

解：(1)y＝e
u
，u＝2x
2
＋3x， < br>所以y′
x
＝y′
u
·u′
x
＝e
u
·(2x
2
＋3x)′
＝e
u
·(4x＋3)＝(4x＋3)e2x
2
＋3x.
1
－
4
(2)∵y＝
4
＝(1－3x)，
?1－3x?
∴可设y＝u
4
，u＝1－3x，
－
∵y′
u
＝－4u
5
，u′
x
＝－3，
－
∴y′
x
＝y′
u
·u′
x
＝－4u< br>5
×(－3)＝12(1－3x)
5
.
－－

[例2] 求下列函数的导数．
(1)y＝3
1x
sin(2x－1)；
－
求导法则的综合应用
ln?2x－1?
(2)y＝.
2x－1
[思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解．
[精解详析] (1)y′＝(3
1x
)′sin(2x－1)＋3
1x·[sin(2x－1)]′
－－
＝－3
1x
ln 3·sin(2x－1)＋3
1x
·2cos(2x－1)
－－
＝3
1x
[2cos(2x－1)－sin(2x－1)·ln 3]．
－
[ln?2x－1?]′·2x－1－ln?2x－1?·?2x－1?′
(2)y ′＝
?2x－1?
2
22x－1
11
－ln?2x－1?·?2x －1?－·2
22
2x－1
＝
2x－1
ln?2x－1?
2
－
2x－12x－1
＝
2x－1
＝ .
?2x－1?·2x－1
2－ln?2x－1?
[一点通] (1)利用加减乘除四则 运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成
一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结 构．
(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函
数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．

4．若函数f(x)＝xcos 2x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′cos 2x＋x(cos 2x)′
＝cos 2x－2xsin 2x.
答案：cos 2x－2xsin 2x

5．求下列函数的导数：
(1)y＝
2x－1
1
；(2)y＝sin
2
(1－x)．
x2
?2x－1?′x－2x－1·x′
解：(1)y′＝
2
x
x
－2x－1
2x－1
＝
x
2
＝ .
x
2
2x－1
1－x
11< br>(2)∵y＝sin
2
(1－x)＝[1－cos(2－2x)]
24
1111
＝－cos(2－2x)＝－cos(2x－2)．
4444
1
∴y′＝sin(2x－2)．
2

1
l，若l与圆C：x
2
＋y
2
＝相切，求a的值．
4
[思路点拨] 求函数f?x?的导数→
求f′?1?得切
线l的斜率→
写出直线l的
点斜式方程
复合函数导数的应用
[例3] 已知函数 f(x)＝ax
2
＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线为
→由l与圆C相切列方程→解方程求a.
1
[精解详析] ∵f′(x)＝a(x
2
)′＋2··(2－x)′
2－x
2
＝2ax－，
2－x
∴f′(1)＝2a－2，又f(1)＝a＋2ln 1＝a，
∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－1)，
即2(a－1)x－y－a＋2＝0.
1
∵直线l与圆C：x
2
＋y
2
＝ 相切，
4
1
∴圆心(0,0)到直线l的距离为，
2
所以有
111
＝，解得a＝.
8
4?a－1?
2
＋1
2
|2－a|
11
∴a的值为.
8
[一点通] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，< /p>

先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综
合应用．

π
?
6．函数y＝cos 2x在点
?
?
4
，0
?
处的切线方程是________．
π
解析：∵y′＝－2sin 2x，∴k＝－2sin＝－2.
2
π
x－
?
， ∴切线方程为y－0＝－2
?
?
4
?
π
即2x＋y－＝0.
2
π
答案：2x＋y－＝0
2
1
－，ln 2
?
处切线的倾斜角． 7．求y＝ln(2x＋3)的导数，并求在点
?
?
2
?
12
解：令y＝ln u，u＝2x＋3，则y′
x
＝y′
u
·u′
x
＝(ln u)′·(2x＋3)′＝·2＝.
u
2x＋3
12
当x＝－时，y′＝＝1，
2
3－1
1
－，ln 2
?
处切线的倾斜角的正切值为1， 即在
?
?
2
?
π
所以倾斜角为.
4
8． 设曲线y＝e
x
(x≥0)在点M(t，e
t
)处的切线l与x轴，y轴围成 的三角形面积为S(t)．
－－
(1)求切线l的方程；
(2)求S(t)的解析式．
解：∵y＝e
x
，
－
∴y′＝(e
x
)′＝－e
x
，
－－
∴y′|
x
＝
t
＝－e
t
.
－
故切线方程为y－e
t
＝－e
t
(x－t)，
－－
即x＋e
t
y－(t＋1)＝0.
(2)令y＝0得x＝t＋1.
令x＝0得y＝e
t
(t＋1)．
－
1
－
∴S(t)＝(t＋1)·e
t
(t＋1)
2
1
－
＝(t＋1)
2
e
t
(t≥0)．
2

求复合函数导数的技巧及注意点

(1)对于分式、根式 、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于
分析清楚函数的复合关系，选好中间变 量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．
(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以 省略，不必再写出函数的复合过程，对
于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和 法则，从最外层开始由表
及里逐层求异．
(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求 导运算，树立多角度、换方位思考问
题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．


[对应课时跟踪训练(五)]


一、填空题
1．设函数f(x)＝sin(4x－2)，则f′(x)＝________.
解析：∵f(x)＝sin(4x－2)，
∴f′(x)＝[sin(4x－2)]′＝4cos(4x－2)．
答案：4cos(4x－2)
2．(全国大纲卷改编)曲线y＝xe
x
－－
－
1
在点(1,1)处切线的斜率等于________．
解析：y′＝e
x1
＋xe
x1
，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y′|
x< br>＝
1
＝2.
答案：2
3．设曲线y＝f(x)＝e
ax< br>在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析：∵切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，
∴切线的斜率k＝2.
又∵f′(x)＝(e
ax
)′＝ae
ax
，
∴k＝f′(0)＝a＝2.
答案：2
ππ
2x＋
?
c os
?
2x＋
?
的导数为________． 4．函数y＝xsin
?
2
??
2
??
ππ
xx
2x＋
?cos
?
2x＋
?
＝sin(4x＋π)＝－sin 4x， 解析：∵ y＝xsin
?
2
??
2
?
2
?
2
xx
－
?
′sin 4x＋
?
－
?
·∴y′＝< br>?
?
2
??
2
?
(sin 4x)′
1
＝－sin 4x－2xcos 4x.
2
1
答案：－sin 4x－2xcos 4x
2
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
解析：设切点为(x
0
，y
0
)，则y
0
＝x0
＋1，

且y
0
＝ln(x
0
＋a) ，所以x
0
＋1＝ln(x
0
＋a)①
对y＝ln(x＋a)求导得y′＝
则
1
，
x＋a
1
＝1，x
0
＋a＝1，②
x
0
＋a
由①②可得x
0
＝－1，所以a＝2.
答案：2
二、解答题
6．求下列函数的导数．
(1)y＝5log
2
(2x＋1)；
5
(2)y＝cos(
π－7x)；
3
(3)y＝(2x－1)
5
.
解：(1)设y＝log
2
u，u＝2x＋1.
51010
则y′＝y′
u
·u′
x
＝×2＝＝.
uln 2uln 2
?2x＋1?ln 2
5
(2)设y＝cos u，u＝
π－7x.
3
5
π－7x
?
.
则y′＝y′
u
·u′
x
＝－sin u×(－7)＝7sin?
?
3
?
(3)设y＝u
5
，u＝2x－1，
则y′＝y′
u
·u′
x
＝5u
4
×2＝10u
4
＝10(2x－1)
4
.
7．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋ x
2
.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
1
解：f′(x)＝－1＋2x.
1＋x
3
由于f(1)＝ln 2，f′(1)＝，
2
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
3
y－ln 2＝(x－1)，
2
即3x－2y＋2ln 2－3＝0.
8．已知A(1，f′(x))是函数y＝f(x)的导函数图象上的一点，点B的坐标为(x，ln( 2－x))，
向量a＝(1,1)，设f(x)＝AB―→·a，试求函数y＝f(x)的表达式．
解：∵AB―→＝(x，ln(2－x))－(1，f′(1))
＝(x－1，ln(2－x)－f′(1))，
a＝(1,1)，
∴f(x)＝AB―→·a＝x－1＋ln(2－x)－f′(1)
＝ln(2－x)＋x－f′(1)－1

11
∴f′(x)＝·(2－x)′＋1＝＋1，
2－xx－2
∴f′(1)＝0，
∴f(x)＝ln(2－x)＋x－1.


_1.3

导数在研究函数中的应用
1.3.1 单 调 性

[对应学生用书P13]


1
已知函数y< br>1
＝x，y
2
＝x
2
，y
3
＝.
x
问题1：试作出上述三个函数的图象．
提示：图象为

问题2：试根据上述图象说明函数的单调性．
提示：函数y
1
＝x在R上为增函数，
y
2
＝x
2
在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，
1
y
3
＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．
x
问题3：判断它们导函数的正负．
1
提示：y
1
′＝1 >0，y
2
′＝2x，当x>0时，y
2
′>0，当x<0时，y
2
′<0，y
3
′＝－
2
<0.
x
问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．
提示：当f′(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数．

一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：
导数
f′(x)>0
函数的单调性
f(x)为该区间上的增函数

f′(x)<0

上述结论可以用下图来直观理解．
f(x)为该区间上的减函数


1．根据导数的几何意义，可以用曲线切 线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切
线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈现上升的 状态，即函数单调递增；如果切
线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈现下降的状态，即函数 单调递减．
2．在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x) 在此区间内为增( 减)函数的充分条件，
而不是充要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包 含该点的某个区间内
的单调性．例如函数f(x)＝x
3
在定义域(－∞，＋∞)上是 增函数，但由f′(x)＝3x
2
知，f′(0)
＝0，即并不是在定义域内的任意一 点处都满足f′(x)>0.


[对应学生用书P14]



[例1] 讨论下列函数的单调性．
(1)y＝ax
5
－1(a>0)；
(2)y＝a
x
－a
x
(a>0且a≠1)．
－
判断(或证明)函数的单调性
[思路点拨] 先求出函数的导数，然后通过导数的符号来讨论函数的单调性．
[精解详析] (1)∵y′＝5ax
4
且a>0，
∴y′≥0在R上恒成立，
∴y＝ax
5
－1在R上为增函数．
(2)y′＝a
x
ln a－a
x
ln a(－x)′＝(a
x
＋a
x
)ln a，
－－
当a>1时，ln a>0，a
x
＋a
x
>0，
－
∴y′>0在R上恒成立，
∴y＝a
x
－a
x
在R上为增函数．
－
当0x
＋a
x
>0，
－
∴y′<0在R上恒成立，
∴y＝a
x
－a
x
在R上为减函数．
－
[一点通] 判定函数单调性的方法有两种：
(1)利用函数的单调性的定义，在 定义域内任取x
1
，x
2
，且x
1
2
，通过判断f(x
1
)－f(x
2
)

的符号确立函数 的单调性．
(2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x) ，②确定f′(x)
在(a，b)内的符号，③得出结论．

1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的有________．
1
①y＝2－3x
2
；②y＝ln x；③y＝；④y＝sin x.
x－2
解析：显然，函数y＝2－3x
2
在区间(－1,1)上是不单调的；
函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，不满足题目要求；
－1
1
对于 函数y＝，其导数y′＝<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y
x－2?x－2?2
＝
1
在区间(－1,1)上是减函数；
x－2
ππ
－，
?
上是增函数，所以函数y＝sin x在区间(－1,1)上也是增函数． 函数y＝sin x在
?
?
22
?
答案：③
2．证明：函数y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．
证明：显然函数的定义域为{x|x>0}，
1
又f′(x)＝(ln x＋x)′＝＋1，
x
当x>0时，f′(x)>1>0，
故y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．
3．判断y＝ax
3
－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．
解：因为y′＝3ax
2
，又x
2
≥0.
(1)当a>0时，y′≥0，函数在R上是增函数；
(2)当a<0时，y′≤0，函数在R上是减函数；
(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．


[例2] 求下列函数的单调区间：
(1)y＝x
3
－2x
2
＋x；(2)f (x)＝3x
2
－2ln x.
[思路点拨] 先确定函数的定义域，再对函数求导 ，然后求解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，
并与定义域求交集从而得到相应的单调区间．
[精解详析] (1)y′＝3x
2
－4x＋1.
1
令3x
2
－4x＋1>0，解得x>1或x<，
3
求函数的单调区间

1
－∞，
?
. 因此 ，y＝x
3
－2x
2
＋x的单调递增区间为(1，＋∞)，
?
3
??
1
再令3x
2
－4x＋1<0，解得 3
1
?
因此，y＝x
3
－2x
2
＋x的单调递减区 间为
?
?
3
，1
?
.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
3x
2
－1
2
f′(x)＝6x－＝2·.
xx
3x
2
－1
令f′(x)>0，即2·>0，
x
解得－
33
.
33
3
. 3
又∵x>0，∴x>
3x
2
－1
令f′(x)<0，即2·< 0，
x
解得x<－
33
或033
3
.
3
33
???
.
，＋∞
，单调递减区间为
0，< br>3
??
3
??
又∵x>0，∴0∴f(x)的单调递增 区间为
?
[一点通] (1)利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f ′(x)>0或
f′(x)<0，不等式的解集就是函数的单调区间．
(2)如果函数的单调 区间不止一个时，应用“及”、“和”等连接，而不能写成并集的
1
－∞，
?
∪(1，＋∞)． 形式．如本例(1)中的单调增区间不能写成
?
3
??
( 3)要特别注意函数的定义域．

4．若函数f(x)＝x
2
－2x－4ln x，则函数f(x)的单调递增区间为________．
解析：由已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
2
4
2x－2x－4
f′(x)＝2x－2－＝，
xx
由f′(x)>0得x
2
－x－2>0，解得x<－1或x>2，
又x>0，所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
5．函数f(x)＝xln x的单调递增区间为________．
解析：∵f(x)＝xln x(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1，

令f′(x)>0，则ln x＋1>0，即ln x>－1.
1
∴x>，
e
1
?
即函数f(x)＝xln x的单调递增区间为
?
?
e
，＋∞
?
.
1
?
答案：
?
?
e
，＋∞
?

ln x＋k
6．已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数 )，曲线y＝f(x)在
e
x
点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间．
ln x＋k
解：(1)由f(x)＝，
e
x
1－kx－xln x
得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
xe
x
由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，
所以f′(1)＝0，因此k＝1.
1
(2)由(1)得f′(x)＝
x
(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，
xe
令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.
又e
x
>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，
单调递减区间为(1，＋∞)．


已知函数的单调性求参数
a
[例3] 已知函数f(x)＝x
2
＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f (x)在x∈[2，＋∞)上是增函数，
x
求a的取值范围．
[思路点拨] 解答本题可先对函数求导，再将问题转化为f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒
成立问题求解．
3
a
2x－a
[精解详析] f′(x)＝2x－
2
＝
2
.
xx
要使f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，

2x
3
－ a
即
2
≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立．
x
∵x
2
>0，∴2x
3
－a≥0，
∴a≤2x
3
在x∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x
3
)
min
.
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x
3
是增函数，
∴(2x
3
)
min
＝16，∴a≤16.
2x
3
－16
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))恒成立．
x
2
∴a的取值范围是a≤16.
[一点通] (1)已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法：
①利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
②利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上单调，则f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a ，b)内
恒成立，注意验证等号是否成立．
(2)两个非常重要的转化：
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)
max
；
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)
min
.

7．函数f(x )＝x
3
－mx
2
＋m－2的单调递减区间为(0,3)，则m＝_____ ___.
解析：∵f(x)＝x
3
－mx
2
＋m－2，
∴f′(x)＝3x
2
－2mx.
2
令f′(x)＝0，则x＝0或x＝m，
3
又∵函数f(x)的单调递减区间为(0,3)，
29
∴m＝3，即m＝.
32
9
答案：
2
1
8．若f(x)＝－(x－2)
2
＋bln x在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
2
b
解析：由 题意可知f′(x)＝－(x－2)＋≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x－2)在x∈(1，
x
＋∞)上恒成立，由于φ(x)＝x(x－2)＝x
2
－2x(x∈(1，＋∞)) 的值域是(－1，＋∞)，故只要b≤
－1即可．
答案：(－∞，－1]
1
9．已知函数f(x)＝2ax－
2
，x∈(0,1]．若f(x)在(0,1]上是增函数 ，求a的取值范围．
x

2
解：由已知得f′(x)＝2a＋
3
，
x
∵f(x)在(0,1]上单调递增，
1
∴f′(x)≥0，即a≥－
3
在x∈(0,1]上恒成立．
x
1
而g(x)＝－
3
在(0,1]上单调递增，
x
∴g(x)
max
＝g(1)＝－1，∴a≥－1.
2
当a＝－1时，f′(x)＝－2＋
3
.
x
对x∈(0,1]也有f′(x)≥0.
∴a＝－1时，f(x)在(0,1]上为增函数．
∴综上，f(x)在(0,1]上为增函数，
a的取值范围是[－1，＋∞)．

1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程
中只能在 定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
2．一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间．
3．如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．


[对应课时跟踪训练(六)]


一、填空题
1．函数y＝x< br>3
－x
2
－40x＋80的增区间为________，减区间为______ __．
解析：y′＝3x
2
－2x－40＝(3x＋10)(x－4)，
1010
由y′>0，得x>4或x<－；由y′<0，得－33
1010
－∞，－
?
和(4，＋∞)，单调减区间为
?
－，4?
. 所以函数的单调增区间为
?
3
???
3
?
1010
－∞，－
?
和
(
4，＋∞
)

?
－，4
?
答案：
?
3
???
3
?
x
2．函数f(x)＝的单调递减区间是________．
ln x
ln x－1
解析：令f′(x)＝
2
<0，解得0lnx
又因为函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，
x
所以函数f(x)＝的单调递减区间是(0,1)，(1，e)．
ln x

答案：(0,1)，(1，e)
1
3．函数y＝x
2
－ln x的单调减区间为________．
2
1
解析：y′＝x－，由y′<0，得x<－1或0x
又∵x>0，∴0即函数的单调减区间为(0,1)．
答案：(0,1)
4.(浙江高考改编)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一， 且其
导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是________．

解析：由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先增后减，可知函数y＝f(x)图象
的切线的斜率自左至右先增大后减小．
答案：②
1
?
5．已知函数f( x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)．则不等式x
2
f
?
?
x
?
－f(x)<0
的解集为________．
xf′?x?－f?x?
f?x?
解析：令φ(x)＝，则φ′(x)＝<0.
xx
2
∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，
1
??
1
?
<
f?x?
. 又x
2
f
?
?
x
??
x
?
x
1
?
f
?
?
x
?
f?x?
1< br>?
即<，∴φ
?
?
x
?
<φ(x)．
1x
x
1
故>x.又∵x>0，∴0x
答案：(0,1)
二、解答题
6．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x
4
－2x
2
＋3；
(2)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0解：(1)函数f(x) 的定义域为R.
f′(x)＝4x
3
－4x＝4x(x
2
－1)＝ 4x(x＋1)(x－1)．
令f′(x)>0，则4x(x＋1)(x－1)>0，

解得－11，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
令f′(x)<0，则4x(x＋1)(x－1)<0.
得x<－1或0所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)．
(2)f′(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x)＝2cos
2
x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)．
∵00，
π
由f′(x)>0得03
ππ
π
0，
?
，单调减区间为
?
，π
?
. 由f′(x)<0得?
?
3
??
3
?
3
7．设函数f(x)＝ax－2－ln x(a∈R)．
(1)若f(x)在点(e，f(e))处的切线为x－ey－2e＝0，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)∵f(x)＝ax－2－ln x(x＞0)，
1
ax－1
∴f′(x)＝a－＝.
xx
又f(x)在点(e，f(e))处的切线为x－ey－2e＝0，
11
∴f′(e)＝a－＝，
ee
2
故a＝.
e
1
ax－1
(2)由(1)知：f′(x)＝a－＝(x＞0)，
xx
当a≤0时，f′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上是单调减函数．
1
当a＞0时，令f′(x)＝0解得：x＝，
a
当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
0
f′(x)
f(x)
?
0，
1
?

?
a
?
－
1

a
0

?
1
，＋∞
?

?
a
?
＋


11
0，
?
上是单调减函数，在
?
， ＋∞
?
上是单调增函数． 由表可知：f(x)在
?
?
a
? ?
a
?
综上所述：当a≤0时，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)；
11
0，
?
，单调增区间为
?
，＋∞
?
. 当a＞0时，f(x)的单调减区间为
?
?
a
??
a
?

11
8．若函数f(x)＝x
3
－ax
2
＋(a －1)x在区间(1,4)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递
32
增，试求实数a的取 值范围．
解：f′(x)＝x
2
－ax＋(a－1)，因为f(x)在(1,4)上 单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成
立，即a(x－1)≥x
2
－1在 (1,4)上恒成立，所以a≥x＋1.因为2因为f(x)在(6，＋ ∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1.
因为x＋1>7，所以a≤7.
综上可知，实数a的取值范围是5≤a≤7.




1．3.2 极大值与极小值

[对应学生用书P16]




已知y＝f(x)的图象(如图)．
极 值

问题1：当x＝a时，函数值f(a)有何特点？
提示：在x＝a的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值．
问题2：当x＝b时，函数值f(b)有何特点？
提示：在x＝b的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是y＝f(x)的最大值．
1．观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下
降”(函数由 单调递增变为单调递减)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x
1
)比它附
近点的函数值都要大，我们称f(x
1
)为函数f(x)的一个极大值．

2．类似地，上图中f(x
2
)为函数的一个极小值．
3．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．

观察图(Ⅰ)．
问题1：试分析在函数取得极大值的x
1
的附近左右两侧导数的符号有什么变化？
提示：左侧导数大于0，右侧导数小于0.
问题2：试分析在函数取得极小值的x
2
的附近左右两侧导数的符号有什么变化？
提示：左侧导数小于0，右侧导数大于0.

1．极大值与导数之间的关系如下表：
x
f′(x)
f(x)

2．极小值与导数之间的关系如下表：
x
f′(x)
f(x)


1．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或 最小，
并不意味着它在整个定义域内是最大或最小．
2．函数的极值并不惟一(如图所示)．
x
2
左侧
f′(x)<0
减
x
2

f′(x)＝0
极小值f(x
2
)
x
2
右侧
f′(x)>0
增
x
1
左侧
f′(x)>0
增
x
1

f′(x)＝0
极大值f(x
1
)
x
1
右侧
f′(x)<0
减
极值与导数的关系

3．极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如 图所示，f(x
1
)是极大值，f(x
4
)是极小值，
而f(x4
)>f(x
1
)．


[对应学生用书P17]



[例1] 求下列函数的极值：
求函数的极值

(1)f(x)＝x
3
－3x
2
－9x＋5；
ln x
(2)f(x)＝.
x
[思路点拨] 按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域．
[精解详析] (1)函数f(x)＝x
3
－3x
2
－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x
2
－6x－ 9.解方程
3x
2
－6x－9＝0，得x
1
＝－1，x
2< br>＝3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
f(x)

因此，函数f(x)的极大值为f(－1)＝10；
极小值为f(3)＝－22.
ln x
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
x
1－ln x
且f′(x)＝.
x
2
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
f(x)
(0，e)
＋
e
0
1
极大值
e
(e，＋∞)
－

(－∞，－1)
＋
－1
0
极大值10
(－1,3)
－
3
0
极小值－22
(3，＋∞)
＋



1
因此函数f(x)的极大值为f(e)＝，没有极小值．
e
[一点通] (1)求可导函数极值的步骤：
①求导数f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根； < br>③检查f′(x)的值在方程f′(x)＝0的根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
(2)注意事项：
①不要忽视函数的定义域；
②要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函< br>数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值．

解 析：由图可知，在区间(a，x
1
)，(x
2,
0)，(0，x
3< br>)内f′(x)>0；
在区间(x
1
，x
2
)，(x
3
，b)内f′(x)<0.
即f(x)在(a，x
1
)内单调递增，
在(x
1
，x
2
)内单调递减，
在(x
2
，x
3
)内单调递增，
在(x
3
，b)内单调递减．
所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值，
极小值为f(x
2
)．
答案：1
2．关于函数f(x)＝x3
－3x
2
有下列命题，其中正确命题的序号是________．
① f(x)是增函数；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
解析：f′(x)＝3x
2
－6x，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2.
易知当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2 ，＋∞)，减区间是(0,2)；极大值为f(0)，极小值
为f(2)．
答案：③④
13
3．设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f( 1))处的切线垂直于y
2x2
轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
13
解：(1)因f(x)＝aln x＋＋x＋1，
2x2
a13
故f′(x)＝－
2
＋.
x2x2
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′ (1)＝0，
13
从而a－＋＝0，
22
解得a＝－1.

13
(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x>0)，
2x2
2
113
3x－2x－1?3x＋1??x－1?
f′(x)＝－－< br>2
＋＝＝.
x2x22x
2
2x
2
11
令 f′(x)＝0，解得x
1
＝1，x
2
＝－(因x
2
＝－不 在定义域内，舍去)．
33
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.


已知函数极值求参数
[例2] 已知f(x)＝x
3
＋3ax
2
＋bx＋a
2< br>在x＝－1时有极值0.求a，b的值．
[思路点拨] 解答本题可先求f′(x)，利用x＝ －1时有极值0这一条件建立关于a，b
的方程组．解方程组可得a，b的值，最后将a，b代入原函数 验证极值情况．
[精解详析] ∵f(x)在x＝－1时有极值0且f′(x)＝3x
2
＋6ax＋b，
??
?
f′?－1?＝0，
?
3－6a＋b＝0，
∴
?
即?

2
??
f?－1?＝0，－1＋3a－b＋a＝0.
??< br>??
?
a＝1，
?
a＝2，
?
解得或
?
?
b＝3
?
??
b＝9.


当a＝1，b＝3时，
f′(x)＝3x
2
＋6x＋3＝3(x＋1)
2
≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x
2
＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数．
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
[一点通] 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注
意两点：
(1)常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因 为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验
证根的合理性．

4．已知函数f(x)＝x
3
＋ax
2
＋ bx＋a
2
在x＝1处有极值为10，则ab＝________.
解析：f′(x)＝3x
2
＋2ax＋b，
?
?
f′?1?＝0，
由题意可知：
?

?
f?1?＝10，
?
?
2a＋b＋3＝0，
?
即
?
2

?
a＋a＋b＋1＝10，
?
??
?
a＝4
?
a＝－3，
?
得或
?

?
b＝－11
?
??
b＝3.



当a＝－3，b＝3时，
f′(x)＝3x
2
－6x＋3＝3(x－1)
2
，
易知在x＝1的左右两侧都有f′(x)＞0，
即函数f(x)在R上是单调递增的，
因此f(x)在x＝1处并不存在极值，
?
?
a＝4，
故
?
ab＝－44.
?
?
b＝－11.

答案：－44
5．已知函数y＝3x－x
3
＋m的极大值为10，则m的值为________ .
解析：y′＝3－3x
2
＝3(1＋x)(1－x)，
令y′＝0得x
1
＝－1，x
2
＝1，
经判断知极大值为f(1)＝2＋m＝10，m＝8.
答案：8
6．已知函数f( x)＝ax
3
＋bx
2
－3x在x＝±1处取得极值．讨论f(1)和f(－ 1)是函数f(x)的极
大值还是极小值．
解：∵f′(x)＝3ax
2
＋2bx－3，
?
?
3a＋ 2b－3＝0，
依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即
?

?
3a－2b－3＝0.
?

解得a＝1，b＝0，∴f(x)＝x
3
－3x，
∴f′(x)＝3x
2
－3＝3(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1，
x
f′(x)
f(x)

所以f(－1)＝2是极大值，f(1)＝－2是极小值．
(－∞，－1)
＋
－1
0
极大值
(－1,1)
－
1
0
极小值
(1，＋∞)
＋

极值的综合应用
[例3] 已知a为实数，函数f(x)＝－x
3
＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；
(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？
[精解详析] (1)由f(x)＝－x
3
＋3x＋a，
得f′(x)＝－3x
2
＋3，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；
极大值为f(1)＝a＋2.
由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示．这里，极
大值a＋2大于极小值a－2.
(2)结合图象，当极大值a＋2＝0或极小值a－2＝0时，曲线f(x)
与x轴恰有两个交 点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根．
综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．
[一点通] 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，
题目 着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，
在解题过程中， 熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．

7．在例3中当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x) 与x轴仅有一个交点？
解：函数f(x)的大致图象如图所示：

当函数f(x)的极大值a＋2<0或极 小值a－2>0时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，所
以所求实数a的范围是a<－2或a>2 .
8．已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x
2
－10x的一个极值点．
(1)求a；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．
a
解：(1)因为f′(x)＝＋2x－10，
1＋x

a
所以f′(3)＝＋6－10＝0，因此a＝16.
4
(2)由(1)知，
f(x)＝16ln(1＋x)＋x
2
－10x，x∈(－1，＋∞)．
2 ?x
2
－4x＋3?
f′(x)＝，当x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，
1＋x
f′(x)>0，当x∈(1,3)时，f′(x)<0，
所以f(x)的单调增区间是(－1,1)和(3，＋∞)，f(x)的单调减区间是(1,3)． < br>(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)上单 调递增，且
当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0，
所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln 2－9，
极小值为f(3)＝32ln 2－21，
所以要使直线y＝b与y＝f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)因此b的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．

根据可导函数极值的定义、方法、步骤，要弄清以下几点：
(1)极大(小)值未必是最大(小)值，可以有多个数值不同的极大(小)值；
(2)极大(小)值是局部充分小的领域内的最大(小)值；
(3)极大(小)值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值；
(4)f ′(x
0
)＝0只是可导函数f(x)在x
0
取得极值的必要条件，不是充分 条件．


[对应课时跟踪训练(七)]


一、填空题
1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b )上的图象如图所示，则
函数y＝f(x)在(a，b)上极大值点的个数为________．

解析：极大值点在导函数f′(x
0
)＝0处，且满足x
0
左侧为正，右侧为负，由图象知有3
个．
答案：3
2．(新课标全国卷Ⅰ改编)函数f(x) 在x＝x
0
处导数存在．若p：f′( x
0
)＝0；q：x＝x
0
是f(x)的极值点，则p是q的_______ _条件．

解析：设f(x)＝x
3
，f′(0)＝0，但是f(x) 是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p
则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真 命题．故p是q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
3．若函数f(x)＝x·2
x
在x
0
处有极小值，则x
0
＝________.
解析：f′(x)＝2
x
＋x·2
x
ln 2，
1
令f′(x)＝0，得x＝－.
ln 2
1
答案：－
ln 2
4．设a∈R，若函数y＝e
ax
＋3x，x∈R取极值的点大于0 ，则a的取值范围是________．
解析：令x＝f(x)，则f′(x)＝ae
ax
＋3，
函数f(x)取极值的点大于0，
即f′(x)＝ae
ax
＋3＝0有正根．
当f′(x)＝ae
ax
＋3＝0成立时，显然有a＜0，
3
1
－
?
， 此时x＝ln
?
a
?
a
?
由x＞0可得a＜－3.
答案：(－∞，－3)
5．(福建高考改编)设函数f(x)的定义域为R，x
0< br>(x
0
≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一
定正确的是________ ．
①?x∈R，f(x)≤f(x
0
)；
②－x
0
是f(－x)的极小值点；
③－x
0
是－f(x)的极小值点；
④－x
0
是－f(－x)的极小值点．
解析：不妨取函数f(x)＝x3
－x，则x＝－
3
3
为f(x)的极大值点，但f(3)>f
?
－
?
，∴排除
3
?
3
?
①；取函数f( x)＝－(x－1)
2
，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点， ∴排
除②；
－f(x)＝(x－1)
2
，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除③，
∵－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得－x
0
应为函 数－
f(－x)的极小值点，∴填④.
答案：④
二、解答题
1
6．已知函数f(x)＝x
3
－4x＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．
3
解：(1)f′(x)＝x
2
－4.

解方程x< br>2
－4＝0，得x
1
＝－2，x
2
＝2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
f(x)

28
从上表看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为f(－2)＝；
3
4
而当x＝2时，函数有极小值，且极小值为f(2)＝－.
3
1
函数f(x)＝x
3
－4x＋4的图象如图所示．
3
(－∞，－2)
＋
－2
0
28

3
(－2,2)
－
2
0
4
－
3
(2，＋∞)
＋



7．已知函数f(x)＝x
3
－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝ f(x)的图象有三个不同的交点，求m
的取值范围．
解：(1)∵f′(x)＝3x
2
－3a＝3(x
2
－a)．
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，

∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，由f′(x)>0解得x<－a，或x>a，
由f′(x)<0解得－a∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a )，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，
a)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
f′(－1)＝3×(－1)
2
－3a＝0.
∴a＝1.
∴f(x)＝x
3
－3x－1，f′(x)＝3x
2
－3.
由f′(x)＝0解得x
1
＝－1，x
2
＝1，
由(1)中f(x)的单调性可知，

f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3,1)．
8．(重庆高考)已知函数f(x )＝ae
2x
－be
－
2x
－cx(a，b，c∈R)的导函数f′ (x)为偶函数，且
曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.
(1)确定a，b的值；
(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；
(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝2a e
2x
＋2be
－
2x
－c，
由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，
即2(a－b)(e
2x
－e
－
2x
)＝0，所以a＝b.
又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.
(2)当c＝3时，f(x) ＝e
2x
－e
－
2x
－3x，那么f′(x)＝2e
2x< br>＋2e
－
2x
－3≥22e
2x
·2e
－
2 x
－3＝1>0，
故f(x)在R上为增函数．
(3)由(1)知f′(x)＝2 e
2x
＋2e
而2e
2x
＋2e
－
2x
－
2x
－c，
≥22e
2x
·2e
－
2x
＝4，
当x＝0时等号成立．
下面分三种情况进行讨论．
当c<4时，对任意x∈R，f ′(x)＝2e
2x
＋2e
－
2x
－c>0，此时f(x)无极值；
－4>0，此时f(x)无极值； 当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e
2x
＋2e
2x
－
2x
c±c
2
－16
2
当 c>4时，令e＝t，注意到方程2t＋－c＝0有两根t
1,2
＝>0，
t4
11
即f′(x)＝0有两个根x
1
＝ln t
1
或x
2
＝ln t
2
.
22
当x< br>1
2
时f′(x)<0；又当x>x
2
时，f′(x )>0，从而f(x)在x＝x
2
处取得极小值．
综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，＋∞)．




1．3.3 最大值与最小值

[对应学生用书P19]

1．问题：如何确定你班哪位同学最高？
提示：方法很 多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，
便可确定班中最高的同学．
2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．

问题1：试说明y＝f(x)的极值．
提示：f(x
1
)，f(x
3
)为函数的极大值，f(x
2
)，f(x
4
)为函数的极小值．
问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？
提示：函数的最小值是f(a) ，f(x
2
)，f(x
4
)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1
)，f(x
3
)中
最大的．
3．函数y＝g(x)，y＝h (x)在闭区间[a，b]的图象都是一条连续不断的曲线(如下图所示)．

问题1：两函数的最大值和最小值分别是什么？
提示：函数y＝g(x)的最大值为g(a) ，最小值是其极小值g(c)；函数y＝h(x)的最大值为
h(b)，最大值为h(a)．
问题2：函数的最大值和最小值是否都在区间的端点处取得？
提示：不一定．
问题3：函数的极值与函数的最值是同一个问题吗？
提示：不是．

1．最大值与最小值
(1)如果在函数定义域I内存在x
0
，使得对任意的 x∈I，总有f(x)≤f(x
0
)，则称f(x
0
)为函
数在定义 域上的最大值．
最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值惟一．
(2)如果在函数定义域I内存在x
0
，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x
0
)，则称f(x
0
)为函
数在定义域上的最小值．最小值是相对函数定义域 整体而言的，如果存在最小值，那么最小
值惟一．
2．求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；

(2)将第(1)步中求得的 极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．

1 ．函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对
性；而函数的最值则 是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
2．函数在一个闭区间上若存在 最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具
有惟一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可 能没有，例如：常数函数就既没有极大值
也没有极小值．
3．极值只能在区间内取得，最值则 可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最
值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不 在端点处取必定是极值．


[对应学生用书P19]



求函数的最大值与最小值
[例1] 求函数f(x)＝－x
4
＋2x
2
＋3，x∈[－3,2]上的最值．
[思路点拨]
令f′?x?＝0得
求f′?x?→
到相应的x的值
→列表→确定函数取极值的点
求极值与端点比较大小
→
处的函数值
→
确定最值

[精解详析] f′(x)＝－4x
3
＋4x，
令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，
得x＝－1，x＝0，x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
f(x)

所以当x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.

[一点通] 求函数的最值需要注意的问题：
(1)用导数求函数的最值与求函数的极值方法类似，在给定区间是闭 区间时，极值要和
区间端点的函数值进行比较，并且要注意取极值的点是否在区间内；
－3

－60
(－3，－1)
＋
－1
0
极大
值4
(－1,0)
－

0
0
极小
值3
(0,1)
＋

1
0
极大
值4
(1,2)
－

2

－5

(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求解时，可考虑用导数的方法求解．

1．已知函数f(x)＝x
3
－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值 与最小值分别为M，m.则M－m
＝________.
解析：令f′(x)＝3x
2
－12＝0，解得x＝±2.
计算f(－3) ＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m
＝ 32.
答案：32
2．求函数f(x)＝e
x
(3－x
2
)在区间[2,5]上的最值．
解：∵f(x)＝3e
x
－e
x
x
2
，
∴f′(x)＝3e
x
－(e
x
x
2
＋2e
xx)
＝－e
x
(x
2
＋2x－3)
＝－e
x
(x＋3)(x－1)，
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－e
x
(x＋3)(x－1)<0，
即函数f(x)在区间[2,5]上是单调递减函数，
∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e
2
；
x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e
5
.


已知函数的最值求参数
[例2] 已知函数f(x)＝ax
3
－6ax2
＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求
a，b的值．
[思路点拨] 根据导数与单调性之间的关系求解，由于f(x)既有最大值，又有最小值，
因 此a≠0，要注意对参数的取值情况进行讨论．
[精解详析] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．
取导得f′(x)＝3ax
2
－12ax＝3ax(x－4)．
令f′(x)＝0，得x
1
＝0，x
2
＝4(舍)．
(1)∵当a＞0时，如下表：
x
f′(x)
f(x)

∴当x＝0时，f(x)取得最大值，f(0)＝3，∴b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3＞f(2)＝－16a＋3，
∴最小值f(2)＝－16a＋3＝－29，a＝2.
(－1,0)
＋
0
0
最大值
(0,2)
－

(2)∵当a＜0时，如下表：
x
f′(x)
f(x)

∴当x＝0时，f(x)取得最小值，
∴b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29＜f(2)＝－16a－29，
∴最大值f(2)＝－16a－29＝3，a＝－2.
?
a＝2，
?
a＝－2，
??
综上，
?
或
?

??
b＝3b＝－29.
??
(－1,0)
－
0
0
最小值
(0,2)
＋



[一点通] 解决由函数的最值来确定参数问题的关键是利用函数的单调性确定某些极
值就是函 数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，其最值也受a
的符号的影响，因此，需 要进行分类讨论．本题是运用最值的定义，从逆向出发，由已知向
未知转化，通过待定系数法，列出相应 的方程，从而得出参数的值．

1
3．已知函数f(x)＝x
2
－aln x，a∈R.
2
(1)若a＝2，求函数在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[1，e]上的最小值．
1
解：(1)a＝2时，f(x)＝x
2
－2ln x，
2
12
f(1)＝，f′(x)＝x－，f′(1)＝－1，
2x
1
故切线方程为y－＝－(x－1)，即2x＋2y－3＝0.
2
a1
(2)依题意，x＞0，f′(x)＝x－＝(x
2
－a)，
xx
①a≤1时，因为x∈[1，e]，1≤x
2
≤e
2
， 所以f′(x)≥0(当且仅当x＝a＝1时等号成立)，
1
所以f(x)在区间[1，e]上 单调递增，最小值为f(1)＝.
2
②a≥e
2
时，因为1≤x
2
≤e
2
，所以f′(x)≤0(当且仅当x＝e，a＝e
2
时等号成 立)，所以
1
f(x)在区间[1，e]上单调递减，最小值为f(e)＝e
2
－a.
2
1
③1＜a＜e
2
时，解f′(x)＝(x
2
－a)＝0得x＝±a(负值舍去)，f′(x)的符号和f(x)的单调
x
性如下表 ：

x
f′(x)
f(x)

[
1，a
)

－
a
0
最小值
(
a，e
]

＋


11
f( x)在区间[1，e]上的最小值为f
(
a
)
＝a－aln a.
22
1
综上所述，a≤1时，f(x)的最小值为f(1)＝；
2
11
1＜a＜e
2
时，f(x)的最小值为f
(
a
)
＝a－aln a；
22
1
a≥e
2
时，f(x)的最小值为f (e)＝e
2
－a.
2
4．已知函数f(x)＝ax
2
＋ 1(a>0)，g(x)＝x
3
＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g( x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a＝3，b＝－9时，若函数 f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x
2
＋b.
因为曲线y＝ f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，
且f ′(1)＝g′(1)，
即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，
解得a＝3，b＝3.
(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，
h(x)＝x
3
＋3x
2
－9x＋1，
h′(x)＝3x
2
＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x
1
＝－3，x
2
＝1.
h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：
x
h′(x)
h(x)

由此可知：
当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；
当－3因此，k的取值范围是(－∞，－3]．

与最值有关的恒成立问题
(－∞，－3)
＋
－3
0
28
(－3,1)
－
1
0
－4
(1,2)
＋
2

3

[例3] 设函数f(x)＝tx
2
＋2t
2
x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；

(2)若h(t)<－2t＋m，对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
[思路点拨] (1)可通过配方求函数f(x)的最小值；
(2)h(t)<－2t＋m， 即m>h(t)＋2t恒成立，从而可转化为求h(t)＋2t的最大值问题解决．
[精解详析] (1)∵f(x)＝t(x＋t)
2
－t
3
＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取得最小值f(－t)＝－t
3
＋t－1，即h(t)＝－ t
3
＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)＋2t＝－t
3
＋3t－1.
则g′(t)＝－3t
2
＋3＝－3(t－1)(t＋1)．
令g′(t)＝0，得t
1
＝1，t
2
＝－1(舍去)．
列表：
t
g′(t)
g(t)

由表可知，g(t)在(0,2)内有最大值1.
∵h(t)<－2t＋m在(0,2)恒成立等价于m>g(t)在(0,2)内恒成立．
∴m>1.即实数m的取值范围是(1，＋∞)．
[一点通] 有关恒成立问题，一般是转化 为求函数的最值问题．求解时要确定这个函数，
看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为 自变量的函数．
一般地，λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]
max
；λ≤f( x)恒成立?λ≤[f(x)]
min
.

5．已知g(x)＝ln x－a，若g(x)2
在(0，e]上恒成立，求a的取值范围．
解：g(x)2
即ln x－a2
，所以a>ln x－x
2
，
故g(x)2
在(0，e]上恒成立也就是a>ln x－x
2
在(0，e]上恒成立．
1－2x
2
1
设h(x)＝ln x－x，则h′(x)＝－2x＝，
xx
2
(0,1)
＋
1
0
极大值1
(1,2)
－


由h′(x)＝0及0当02
.
2
22
时h′(x)>0，当22
即 h(x)在
?
0，
?
2
?
2
上为增函数，在
?
，e
?
上为减函数，
2
??
2
?
所 以当x＝
221
2
时h(x)取得最大值为h
??
＝ln－. 222
?
2
?
所以g(x)2
在(0，e]上恒成 立时，
a的取值范围为
?
ln
?
21
?
－，＋∞
.
22
?

6．设函数f(x)＝e
x
－ax－2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝e
x
－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增．
(2)由于a＝1，
所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(e
x
－1)＋x＋1.
故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于
x＋1
k<
x
＋x(x>0)．①
e－1
x＋1
令g(x)＝
x
＋x，则
e－1
－ xe
x
－1e
x
?e
x
－x－2?
g′(x)＝< br>x
＋1＝.
?e－1?
2
?e
x
－1?
2
由(1)知，函数h(x)＝e
x
－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)< 0，h(2)>0，所以h(x)在
(0，＋∞)上存在惟一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)上存 在惟一的零点．设此零点为α，则α
∈(1,2)．
当x∈(0，α)时，g′(x)<0； 当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小
值为g(α)．
又由g′(α)＝0，可得e
α
＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．
由于①式等价于k
1．函数的最大值与最小 值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与
最小值；但在开区间(a， b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．
1
例如：函数f(x)＝在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值．
x

2．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[ a，b]上的最大值和最小值的
步骤如下
(1)求f(x)在(a，b) 内的极值．

(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值与最小值．
3．求实际问题的最大值(最小值)的方法
在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点 ，那么只要根据实际意义判定是最大
值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．



[对应课时跟踪训练(八)]


一、填空题
π
?
1．函数f(x)＝x－sin x，x∈
?
?
2
，π
?
的最大值是________．
解析：∵f(x)＝x－sin x，∴f′(x)＝1－cos x≥0.
π
?
∴函数f(x)＝x－sin x在
?
?
2
，π
?
上为单调增函数，
∴当x＝π时，f(x)取最大值π.
答案：π
ln x
2. 函数y＝的最大值为________．
x
?ln x?′·x－ln x·x′1－ln x
解析：y′＝＝，
2
xx
2
令y′＝0，则x＝e.
1
因此函数f(x)的最大值为f(e)＝.
e
1
答案：
e
3．函数f(x)＝x·e
x
，x∈[0,4]的最小值为________．
－
解析：f′(x)＝e
x
－x·e
x
＝e
x(1－x)，
－－－
令f′(x)＝0，得x＝1.
14
而f(0)＝0，f(1)＝，f(4)＝
4
.
ee
因此函数f(x)的最小值为0.
答案：0
15
4．已知函 数y＝－x
2
－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a＝________.
4
解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1.
15
而f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠，∴a>－1.
4

而f(2)＝－4－4＋3＝－5，
15
因此f(a)＝－a
2
－2a＋3＝，
4
31
解得a＝－(舍去)或a＝－.
22
1
答案：－
2
5．函数f(x)＝ax
4
－4ax
3
＋b(a>0)在 [1,4])上的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝
________.
解析：f′( x)＝4ax
3
－12ax
2
(a>0，x∈[1,4])．
由f′(x)＝0，得x＝0(舍)，或x＝3，可得x＝3时，f(x)取到最小值为b－27a.
又f(1)＝b－3a，f(4)＝b，
因此f(4)为最大值．
?
?< br>?
a＝
3
，
?
b＝3，
?
由解得
?
?
b－27a＝－6.
?
?

1
?
b＝3.


10
所以a＋b＝.
3
10
答案：
3
二、解答题
6．已知函数f(x)＝aln x＋1(a＞0)．
(1)若a＝2，求函数f(x)在(e，f(e))处的切线方程；
1
1－
?
. (2)当x＞0时，求证：f(x)－1≥a
?
?
x
?
解：(1)当a＝2时，f(x)＝2ln x＋1，
22
f′(x)＝，f(e)＝3，k＝f′(e)＝，
xe
所以函数f(x)在(e，f(e))处的切线方程为
2
y－3＝(x－e)，
e
即2x－ey＋e＝0.
1
1－
?
(2)令g(x)＝f(x)－1－a
?
?x
?
1
1－
?
(x＞0)， ＝aln x－a
??
x
?
aa
a?x－1?
则g′(x)＝－
2
＝，由g′(x)＝0，得x＝1.
xxx
2
当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)在(0,1)上单调递减；

当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
所以g(x)在x＝1处取得极小值，也是最小值．
1
1－
?
. 因此g(x)≥g(1)＝0，即f(x)－1≥a
?
?
x
?
7．已 知函数f(x)＝－x
3
＋3x
2
＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解：( 1)f′(x)＝－3x
2
＋6x＋9＝－3(x
2
－2x－3)
＝－3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)<0，则－3(x＋1)(x－3)<0，
解得x<－1或x>3.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)结合(1)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.
又∵x∈[－2,2]，∴x＝－1.
当－2当－10.
∴x＝－1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在[－2,2]上的最小值，
即f(x)
min
＝f(－1)＝a－5.
又函数f(x)的区间端点值为
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝a＋22，
f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2.
∵a＋22>a＋2，∴f(x)
max
＝a＋22＝20，∴a＝－2.
此时f(x)
min
＝a－5＝－2－5＝－7.
8．已知函数f(x)＝ax
4
ln x＋bx
4
－c(x＞0)在 x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常
数．若对任意x＞0，不等式f(x)≥－2c
2
恒成立，求c的取值范围．
解：由题意知f(1)＝－3－c.
因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.
1
对f(x)求导，得f′(x)＝4ax
3
ln x＋ax
4
×＋4bx
3
＝x
3
(4aln x＋a＋4b)．
x
由题意知f′(1)＝0，
得a＋4b＝0，解得a＝12.
因为f′(x)＝48x
3
ln x(x>0)，
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0当x>1时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．

所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，
并且此极小值也是最小值．
所以要使f(x)≥－2c
2
(x>0)恒成立，
只需－3－c≥－2c
2
即可．
3
整理得2c
2
－c－3≥0，解得c≥或c≤－1.
2
3
?
所以c的取值范围为(－∞，－1]∪
?
?
2
，＋∞< br>?
.



_1.4

导数在实际生活中的应用
[对应学生用书P22]



面积、体积最大问题
[例1] 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长 方体的长与宽之比为
2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
[思路点拨] 不妨设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h＝
3
0?
.建立长方体的体积函数模型，再求最值． 3x)m
?
2
??
[精解详析] 设长方体的宽为x m，
则长为2x m，
18－12x3
0?
. 高为h＝＝(4.5－3x)m
?
2
??
4
故长方体的体积为
3
0?
. V(x)＝2x
2
(4.5－3x)＝( 9x
2
－6x
3
)m
3
?
2
??
从而V′(x)＝18x－18x
2
＝18x(1－x)．
令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)，或x＝1，因此x＝1.
当00；
3
当12
值．
从而最大体积V ＝V(1)＝9×1
2
－6×1
3
＝3(m
3
)，此时长方 体的长为2 m，高为1.5 m.
18－12x
＝(4.5－
4

故当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m
3
.
[一点通] 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函
数关系式，并确定其定义域， 利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结
合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时 ，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据
实际意义，该极值点也就是最值点．

1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________cm.
1
解析：设该漏斗的高为x cm，则底面半径为20
2
－x
2
cm，其体积为V＝
πx(20
2
－x
2
)
3
11
＝
π(400x－x< br>3
)(0π(400－3x
2
)．
33
203203
令V′＝0，解得x
1
＝，x
2
＝－(舍 去)．
33
203
当00；
3
当
203
3
203
所以当x＝时，V取得最大值．
3
203
答案：
3
2．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉 一
个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器
的容积最大？最大容积是多少？
解：设容器的高为x cm，容积为V(x) cm
3
，则
V(x)＝x(90－2x)(48－2x)
＝4x
3
－276x
2
＋4 320x(0故V′(x)＝12x
2
－552x＋4 320
＝12(x－10)(x－36)．
令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝36(舍去)．
当00，即V(x)为增函数；
当10因此，在定义域(0,24) 内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19
600(cm
3
)．
因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm
3
.

成本最低(费用最省)问题
[例2] 如图，某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m
2
的三级污水处理池，由于
地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建 造单价为每米400元，中间两条隔墙
建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁 厚度忽略不计，且池无盖)．









(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；
(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．
分析写出函数对函数关讨论
[思路点拨]
题意
→
关系式
→ 写出定义域→
系式求导
→
单调性
→求最值
200
[精解详析] (1)污水处理池长为x m，则宽为 m.
x
0?
?
据题意
?
200

0<≤16，
?
?
x
25
解得≤x≤16，
2
200
400
2x＋2·
?
×400＋×248＋16 000 y＝
?
x
??
x
25
259 200
?
＝800x＋＋16 000
?
?
2
≤x≤16
?
，
x
259 200
(2)由(1)知y′＝800－＝0，
x
2
解得x＝18，
当x∈(0,18)时，函数y为减函数；
当x∈(18，＋∞)时，函数y为增函数．
25
又∵≤x≤16，
2
∴当x＝16时，y
min
＝45 000.
∴当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，
总造价y最低为45 000元．
[一点通] (1)实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导
数 求解相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出函数取极值的点(注意根据实际意义舍去
不合适的 函数取极值的点)，若函数在该点附近满足左减右增，则此时惟一的极小值就是所
求函数的最小值．
(2)在解题过程中很容易忽略关键词“无盖”，从而多求了一个底面积．实际问题中的

用料最省问题一般都是要求几何体的表面积，但要注意实物的表面积往往会缺少一个底面或< br>侧面等．

3．做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________分米时最省材料．
2 56256
解析：设水箱底面边长为x分米，则高为
2
分米，用料总面积S＝x
2
＋4·
2
·x＝x
2
＋
xx
256×4
，
x
256×4
S′＝2x－，令S′＝0得x＝8，
x
2
当0＜x＜8时，S′＜0，当x＞8时，S′＞0，
所以当x＝8时，S取得最小值，则高为4分米．
答案：4
4．某地建一座桥，两 端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之
间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工 程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的
桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离 分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因
素．记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解：(1)设需新建n个桥墩，
m
则(n＋1)x＝m，即n＝－1.
x
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x
m
?
m
＝256
?
?
x
－1
?
＋
x
(2 ＋x)x
＝
256m
＋mx＋2m－256.
x
(2)由(1)知，
256m11m3
f′(x)＝－
2
＋mx－＝
2
(x－512)．
x222x2
3
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
2
当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；
当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数．
所以f(x)在x＝64处取得最小值．
m640
此时n＝－1＝－1＝9.
x64
故需新建9个桥墩才能使y最小．

利润最大问题
[例3] 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格P(元吨)
1
之间的关系式为P＝24 200－x
2
，且生产x吨的成本为R＝50 000＋ 200x(元)．问该工厂每
5
月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利 润＝收入－成本)
[思路点拨] 根据利润与生产量以及价格之间的关系，建立满足题意的函数关系式，然
后利用导数求解．
[精解详析] 每月生产x吨时的利润为
1
24 200－x
2
?
x－(50 000＋200x) f(x)＝
?
5
??
1
＝－x
3
＋24 000x－50 000(x≥0)．
5
3
由f′(x)＝－x
2
＋24 000＝0，
5
解得x
1
＝200，x
2
＝－200(舍去)．
因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，且0＜x＜200时，f′(x)＞ 0；x
1
＞200时，f′(x)＜0；故x＝200就是最大值点，且最大值为f(200) ＝－×200
3
＋24 000×200
5
－50 000＝3 150 000(元)．
所以每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．
[一点通] 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建
立函数 关系式，再利用导数求最大值．求解时要注意：①价格要大于成本，否则就会亏本；
②销量要大于0，否 则不会获利．

5．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出 (200－x)件，
当每件商品的定价为________元时，利润最大．
解析：利润为S(x)＝(x－30)(200－x)
＝－x
2
＋230x－6 000(30≤x≤200)，
S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，
当30≤x<115时，S′(x)>0；
当115所以当x＝115时利润最大．
答案：115
6．某商场销售某种商品的经验表明 ，该商品每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单
a
位：元kg)满足关系式y＝＋1 0(x－6)
2
.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元kg
x－3

时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成 本为3元kg，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得
的利润最大．
解：(1)因为x＝5时，y＝11，
a
所以＋10＝11，a＝2.
2
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
2
y＝＋10(x－6)
2
.
x－3
所以商场每日销售该商品所获得的利润
2
2
f(x)＝(x －3)
?
x－3
＋10?x－6?
?

??
＝2＋10(x－3)(x－6)
2,
3＜x＜6.
从而，f′(x)＝10[(x－6)
2
＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
f(x)

由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元kg时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

1．解决实际生活问题的基本思路：
实际问题 用函数表示的数学问题

用导数解决数学问题 实际问题的答案
2．求实际问题中的最大(小)值，主要步骤如下：
(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使 f′(x)＝0的点处的取值大小，最大者为最大值，最小者为
最小值．
(3,4)
＋
4
0
极大值42
(4,6)
－

[对应课时跟踪训练(九)]


一、填空题
1．已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)之间的 函数关系式
1
为y＝－x
3
＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利 润的年产量为________万件．
3
解析：y′＝－x
2
＋81，令y ′＝0，得x＝9(x＝－9舍)，且经讨论知x＝9是函数取极大
值的点，所以厂家获得最大年利润的 年产量是9万件．
答案：9
2．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比
高长0.5 m，则当高为________m时，容器的容积最大．
14.8
－2x－0.5
?
，令V′＝－6x
2
＋4.4x＋1.6＝0， 解析：设高为x米，则V＝x(x＋ 0.5)
?
?
4
?
4
x＝－舍去
?
. 解得x＝1
?
15
??
答案：1
3.如图，将直径为d的圆木锯成 长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强
度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0 )．要将直径为d
的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为________．
解析：设 断面高为h，则h
2
＝d
2
－x
2
.设横梁的强度函数为f (x)，则f(x)＝kxh
2
＝kx(d
2
－x
2
)，< br>33
02
－3x
2
)＝0， 解得x＝±d(舍去负值)．当00，f(x)
33
单调递增；
当
3
d3
33
d.所以x＝d时，f(x)有最大值．
33
所以函数f( x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x＝
答案：
3
d
3
4.如图，已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL，则它的底面半径等于
________时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省． 解析：设圆柱的高为h，表面积为S，容积为V，底面半径为r，则表面积
250250500S＝2πrh＋2πr
2
，而V＝250＝πr
2
h，得h＝
2
，则S＝2πr·
2
＋2πr
2
＝＋2πr
2
，< br>πrπr
r

33
5005
π
2
5π
2
S′＝－
2
＋4πr，令S′＝0得r＝，因为S只有一个极值，所 以当r＝时，S取
r
ππ
得最小值，即此时所用的材料最省．
3
5
π
2
答案：
π
5.如图，内接于抛物线y＝ 1－x
2
的矩形ABCD，其中A、B在抛物
线上运动，C、D在x轴上运动，则此矩 形的面积的最大值是________．
x
，0
?
. 解析：设CD＝x， 则点C坐标为
?
?
2
?
x
?
2
?
x
点B坐标为
?
2
，1－
?
?
2
?

??
所以矩形ABCD的面积
?
1－
?
x
?
2
?
＝－
x
＋x(x∈(0,2))． S＝f(x)＝x·
??
2
??
4
3
由f′(x)＝－x
2
＋1＝0 ，
4
得x
1
＝－
22
(舍)，x
2
＝，
33
2
?
时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，
3
?
3
所以x∈
?
0，
?
x∈
?
2
， 2
?
时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，
?
3
?
243
时，f(x)取最大值.
9
3
当x＝
43
答案：
9
二、解答题
6．某品牌电视生产厂家有A，B两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A，
1
B两 种型号的电视机的投放金额分别为p，q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为p，
10
2< br>ln q万元，已知A，B两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A，B两种型号的电视
5
机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴
最多 ，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)
解：设B型号电视机的投放金额为 x万元(1≤x≤9)，农民得到的补贴为y万元，则A
型号的电视机的投放金额为(10－x)万元， 由题意得
1221
y＝(10－x)＋ln x＝ln x－ x＋1,1≤x≤9，
105510

21
∴y′＝－.
5x10
令y′＝0得x＝4，
由y′>0得1≤x<4，由y′<0得4故y在[1,4)上单调递增，在(4,9]上单调递减，
21
∴当x＝4时，y取得最大值，且y
max
＝ ln 4－×4＋1≈1.2，这时，10－x＝6.
510
故厂家对A，B两种型号的电视机的投 放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补
贴最多，最多补贴约1.2万元．
7．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴
影 部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合
于图中的点P， 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等
腰直角三角形斜边的两个端点 ．设AE＝FB＝x(cm)．

(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm
2
)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm
3
)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与
底面边长的比值．
解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．
60－2x
由已知得a＝2x，h＝＝2(30－x)，0＜x＜30.
2
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)
2
＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a
2
h＝22(－x
3
＋30x
2
)，
V′＝62x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
h11
此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.
a22
8．统计表明， 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(L)关于行驶速度x(kmh)
13
的函数解 析式可以表示为：y＝x
3
－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100 km.
128 00080

(1)当汽车以40 kmh的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少L?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为多少L?
解：(1)当x＝40 kmh时，
100
汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5 h，
40
13
×40
3
－×40＋8
?
×2.5＝17 .5(L)． 要耗油
?
80
?
128 000
?
∴当汽车以40 kmh的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 L.
100
(2)设当速度为x kmh时，汽车从甲地到乙地行驶了 h，耗油量为h(x)升，依题意得
x
13
100
x
3
－x＋8
?
· h(x)＝
?
80
?
128 000
?
x
＝
1
2
80015
x＋－(0＜x≤120)，
1 280x4
3 3
x800
x－80
则h′(x)＝－
2
＝(0＜x≤120)．
640x640x
2
令h′(x)＝0，得x＝80，
当x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是单调递减函数；
当x∈(80,120)时，h′(x)＞0，h(x)是单调递增函数．
∴当x＝80时，h(x)取到极小值，h(80)＝11.25.
∵h(x)在(0,120]上只有一个极值，
85
且h(120)＝>h(80)．
6
∴当x＝80时函数取得最小值．
∴当汽车以80 kmh的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L.



_1.5

定__积__分
1．5.1 & 1.5.2 曲边梯形的面积 定积分


[对应学生用书P24]


曲边梯形的面积

如图，阴影部分是由直线x＝1，x＝ 2，y＝0和函数f(x)＝x
2
所围成的图形，

问题1：利用你已学知识能求出阴影部分的面积吗？
提示：不能．
问题2：若把区 间[1,2]分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，你能
近似地求出这些小曲边梯形 的面积吗？
提示：可以．把每一个小曲边梯形看作一个小矩形求解．
问题3：我们知道，拆 分后的所有小曲边梯形的面积和是该阴影部分的面积，如何才能
更精确地求出阴影部分的面积呢？
提示：分割的曲边梯形数目越多，所求面积越精确．

1．曲边梯形的面积
将已知区间[a，b]等分成n个小区间，当分点非常多(n很大)时，可以认为f(x)在小区间
上 几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点x
i
对应的函数值f(x
i
)作为小
矩形一边的长．于是，可用f(x
i
)Δx来近似表示小曲边梯 形的面积，这样，和式f(x
1
)Δx＋f(x
2
)Δx
＋…＋f( x
n
)Δx表示了曲边梯形面积的近似值．

2．求曲边梯形的面积的步骤
求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为：
分割→以直代曲→作和→逼近

定积分

设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，将区间[a，b]等分成n个 小区间，每个小区间长度为
b－a
?
Δx
?
Δx＝
，在每个 小区间上取一点，依次为x
1
，x
2
，…，x
i
，…，x< br>n
，作和S
n
＝f(x
1
)Δx
n
??＋f(x
2
)Δx＋…＋f(x
i
)Δx＋…＋f(x
n
)Δx.
如果当Δx→0(亦即n→＋∞)时，S
n
→S(常数)，那么称常数S 为函数f(x)在区间[a，b]上

的定积分．记为S＝
∫
b
a
f(x)dx.
其中，f(x)称为被积函数，[a，b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限．



问题1：试利用定积分的定义计算
?
?
0
xdx的值．
提示：将区间[0,1]等分成n个小区间，则第i个小区间为
?
积为
i
?
1i1
ΔS
i
＝f
?
＝·，
?
n
?
·
nnn
i11
所以S
n
＝?
ΔS
i
＝
?
·＝
2
(1＋2＋3＋…＋n)
i
＝
1i
＝
1< br>nnn
nn
1
定积分的几何意义
i－1
i
?
?
n
，
n
?
，第i个小区间的面
1
n?n＋1?
11
＝
2
·＝＋，
n222n
1
11
?
当n→＋∞时，S
n
→，所以
?
0
xdx＝.
22
问题2：直线x＝0，x＝1，y＝0和函数f(x)＝x围成的图形的面积是多少？
11
提示：如图，S＝×1×1＝.
22
问题3：以上两个问题的结果一样吗？
提示：一样．
问题4：以上问题说明了什么道理？
提示：定积分
?
?
a
f(x)dx(f(x)≥0)的值等于直线x＝a，x＝b，(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)
所围成的面积．

一般地，定积分
?
?
a
f(x)dx 的几何意义是，在区间[a，b]上曲线与x轴所围图形面积的代
数和(即x轴上方的面积减去x轴下方 的面积．)


1．“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”，例子中以“矩 形”代替“曲边梯
形”，分割越细，这种“代替”就越精确．当n越大时，所有“小矩形的面积和就越逼 近曲
边梯形的面积”．
2．定积分
?
?
a
f(x)dx是 一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分
b
b
b

区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如
?
?
a
x
2< br>dx＝
?
?
a
t
2
dt.


[对应学生用书P26]

bb


利用定积分的定义求曲边梯形的面积
[例1] 求由直线x＝1，x＝2和y＝0及曲线y＝x
3
围成的图形的面积．
[思路点拨] 依据求曲边梯形面积的步骤求解．
[精解详析] (1)分割
n＋1n＋2n＋?n－1?
如图，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把
nnn
n＋1< br>??
n＋1n＋2
?
n＋i－1n＋i
?
区间[1,2]等分 成n个小区间：
?
1，
，，…，
?
，
n
??
nn
???
n
，
n
?
，…，
?
n＋?n －1?
，2
?
，每个小区间的长度为Δx＝
n＋i
－
n＋i －1
＝
1
，
nnn
n
??
过各分点作x轴的垂线，把曲
边梯形ABCD分割成n个小曲边梯
形，它们的面积分别记作ΔS
1
，ΔS
2
，…，ΔS
n
.
(2)以直代曲
1
取各小区 间的左端点ξ
i
，用ξ
i
3
为一边长，以小区间长Δx＝为其邻边长 的小矩形面积近
n
似代替第i个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为
?
ΔS
i
≈ξ
3
i
·Δx＝
(3)作和
n＋i－1
?
3
1
(i＝1,2,3，…，n)．
n?
n
?
·
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近 似值，所以n个小矩形
面积的和就是曲边梯形ABCD的面积S的近似值，即S＝
?
Δ S
i
≈
?

?
i
＝
1i
＝
1
nn
n＋i－1
?
3
1
?
n
?
n
.①
(4)逼近
当分割无限变细，即Δx→0时，和式①的值→S.
因为
?

?
i
＝
1
n
n＋i－1
?
3
11
n
＝
4
?
(n＋i－1)
3

?
n
?
nn
i
＝1
1
n
＝
4
?
[(n－1)
3
＋3( n－1)
2
i＋3(n－1)i
2
＋i
3
]
n< br>i
＝
1

n?n＋1?
1n1
＝
4[n(n－1)
3
＋3(n－1)
2
·＋3(n－1)··(n＋1)· (2n＋1)＋n
2
(n＋1)
2
]，
n264
当n→∞时，
S＝
?

?
i
＝
1
n
n＋i－1
?
3
13115
＝1＋＋1＋＝.
244
?
n
?
n
[一点通]
四边形面积的求解

(1)规则四边形：利用四边形的面积公式．
(2)曲边梯形
①思想：以直代曲；
②步骤：分割→以直代曲→作和→逼近；
③关键：以直代曲；
④结果：分割越细，面积越精确．

1．已知汽车做 变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t
2
＋2t(单位：kmh)，求它在
1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？
解：将时间区间[1,2]等分成n个小区间，
i－1
i
则第i个小区间为
?
1＋，1＋
?
， < br>nn
??
iii
1
1＋
?
Δt＝
?
－
?
1＋
?
2
＋2
?
1＋
??
· ，i＝1,2，…，在第i个时间段的路程近似为ΔS
i
＝v
?
?
n
???
n
??
n
??
n
n.
11
222
?
1＋
i
?
2
＋2
?
1＋
i
??
·所以S
n
＝
?
ΔS
i
＝
?

?
－＝－
3
[(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋< br>??
n
??
n
??
nn
i
＝
1i< br>＝
1
nn
(2n)
2
]＋
2
[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]
n
2
1
2n? 2n＋1??4n＋1?n?n＋1??2n＋1?
?
2
n?n＋1＋2n?
＝－
3
?

－
n
?
2
66
?＋
n
2
·
11
1
11
11
2＋
??
4＋
?
＋
?
1＋
??
2＋
?
＋3＋， ＝－
?
n
?
3
?
n
??
n< br>?
6
?
n
??
n
11
1
11
11
2＋
??
4＋
?
＋
?
1＋
??2＋
?
＋3＋→S. n→＋∞时，－
?
n
?
6
?
n
??
n
?
3
?
n
??
n< br>11
1
1
1
2＋
??
4＋
?
＋?
1＋
?
则当n→∞时，－
?
3
?
n
??
n
?
6
?
n
?
?
2＋
1< br>?
＋3＋
1
→
2
.
?
n
?
n3

2
由此可知，S＝.
3
2
所以这段时间行驶的路程为 km.
3

利用定积分的几何意义求定积分
[例2] 利用定积分的几何意义，求：
3
－3
(1)
?

?
3
9－x
2
dx；
(2)
?
?
0
(2x＋1)dx.
[思路点拨] ?
?
a
f(x)dx的几何意义：介于x＝a，x＝b之间，x轴上、下相应曲边 平面图
形面积的代数和．
[精解详析] (1)在平面上y＝9－x
2
表示 的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半
圆(如图(1)所示)．
19
其面积为S＝
·π·3
2
＝
π.
22
3
－3
9
由定积分的几何意义知
?
9－x
2
dx ＝
π.
?
2
b
(2)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线．
?
?
0
(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3围成 的直角梯形OABC的面积(如图(2)
所示)．
1
其面积为S＝(1＋7)×3＝12.
2
根据定积分的几何意义知
?
?
0
(2x＋1)dx＝12.
3
3

[一点通] (1)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象以及积分区间，
正 确利用相关的几何知识求面积，不规则图形常用分割法求面积，注意分割点的确定．
(2)两种典型的曲边梯形面积的计算方法：
①由三条直线x＝a、x＝b(aS＝
?
?
a
f(x)dx(如图(1)所示)．
b