高中数学选修2-2模块综合测试

数学选修2-2模块综合检测题
一、选择题
1．某西方国家流传这样的一个政治笑话： “鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员
先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（ ）．
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
2．设复数
z?

3．新定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，
那 么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，现已知数列
{a
n
}
是等和数列，
且
a
1
?2
，公和为
5
，那么a
18
的值为（ ）．
A．
5
B．
1
C．
3
D．
18

4．
y?
3
1
．
?(a
2
?2a?15)i
为实数时，则实数a的值是 （ ）
a?5
A．
3
B．
?5
C．
3
，或
?5
D．
?3
，或
5

x?x
的导数
y
'
为（ ）．
5
6
x
5
5
5
6
A．
x
B．
x
C．
6
D．
6< br>6
6
6x
5．已知
f(x?1)?
2f(x)
,f( 1)?1

（x?N
?
）
，猜想
f(x)
的表达式为（ ）．
f(x)?2
4212
A．
f(x)?
x
B．
f(x)?
C．
f(x)?
D．
f(x)?

2?2x?1x?12x?1
6．下列函数中，在
(0,??)
上为增函数的是（ ）．
x3
A．
y?sinx
B．
y?xe
C．
y?x?x
D．
y?ln(1?x)?x

2
7． 若
log
2
[log
3
(log
4
x)]?log
3
[log
4
(log
2
x)] ?log
4
[log
2
(log
3
x)]?0
，
则
x?y?z?
（ ）．
A．
123
B．
105
C．
89
D．
58

8．设函数
f(x)?x?tx
的导数
f
?
(x)?2x?1
，则数列
?
和为（ ）．
A．
m
?
1
?
?
(n?N*)
的前n项
f(n)
??
n?2

n?1
n?1n?1
B．
nn
1?i1?i
??
（ ）．
(1?i)
2
(1?i)
2
C．
n

n?1
D．
9．计算
A．
0
B．
1
C．
?1
D．
2

10．给出以下命题：

（1）若
（2）
?
b
a
f(x)dx?0
，则
f(x)?0
；
?
2
?
0
sinxdx?4
；
（3）
f (x)
的原函数为
F(x)
，且
F(x)
是以
T
为 周期的函数，则
其中正确命题的个数为（ ）．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
0

11 ．用数学归纳法证明不等式
?
a
0
f(x)dx?
?
a?T
T

f(x)dx
；
111113
????????(n? 2)
的过程中，
n?1n?2n?32n24
由
n?k
递推到n?k?1
时的不等式左边（ ）．
A．增加了
1
项
111
?
B．增加了
2
项
2(k?1)2k?12(k?1)
C．增加了“
11
1
?
”，又减少了“”
2k?12(k?1)
k?1
D．增加了
1
1
，减少了“”
2(k?1)
k?1
12． 设函数
f(x),g(x)
在
[a,b]
上均可导，且
f
?
(x)?g
?
(x)
，则当
a?x?b
时，有（ ）．


A．
f(x)?g(x)
B．
f(x)?g(x)

D．
f(x)?g(b)?g(x)?f(b)
C．
f(x)?g(a)?g(x)?f(a)

二、填空题
13．设f(x)?
x
1?x
2
，试通过计算
f(f(x)),f(f( f(x))),
来猜想
f(f(...f(x)))
的
n次
解析式 ：
f(f(...f(x)))?
_________________________．
n次
14．关于
x
的不等式
mx?nx?p?0(m、n、p?R)
的解集为
(?1 2)，
，则复数
m?pi

所对应的点位于复平面内的第________象限．
15．函数
y?f(x)在
(0,2)
上是增函数，函数
y?f(x?2)
是偶函数，
则
f(1),f(2.5),f(3.5)
的大小关系是 ．
16．对于定义在区间
[a,b]
上的函数
f(x)
，给出下列 命题：（1）若
f(x)
在多处取得极大值，
那么
f(x)
的最大值 一定是所有极大值中最大的一个值；（2）若函数
f(x)
的极大值为
m
，< br>极小值为
n
，那么
m?n
；（3）若
x
0
? (a,b)
，在
x
0
左侧附近
f
'
(x)?0，且
f
'
(x
0
)?0
，
2

< br>则
x
0
是
f(x)
的极大值点；（4）若
f
'
(x)
在
[a,b]
上恒为正，则
f(x)
在
[ a,b]
上为增函数，
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题
17．计算
i?2i?3i?
23
?2008i
2008
．
18．在半径为
R
的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为多少时，它的面积最大？
19．已知函数
f(x)?ax?(a?1)x?48(a?2)x?b
的图象关于原 点成中心对称，试判断
32
f(x)
在区间
?
?4,4
?< br>上的单调性，并证明你的结论．
20．已知
a、b?R
,
a?b?e
(其中
e
是自然对数的底数)，求证：
b?a
．

21．已知正数数列
{a
n
}
(n?N)
中，前
n
项和为
S
n
，且
2S
n
?a
n
?
用数学归纳法证明：
a
n
?n?n?1
．
?
ab
1
，
a
n
22．已知函数
f(x )?lnx
(x?0)
，函数
g(x)?
1
?af
?
(x)(x?0)
：
f
?
(x)
（1）当
x?0
时，求函数
y?g(x)
的表达式；
（2）若
a?0
，函数y?g(x)
在
(0,??)
上的最小值是2 ,求
a
的值；
（3）在（2）的条件下，求直线
y?
27

x?
与函数< br>y?g(x)
的图象所围成图形的面积．
36
答案与解析：
1．C 推理形式不符合演绎推理的形式．
2．A
5
．
Z?R
，得
a
2
?2a?15?0?a?3,或?（舍）
3．C 该数列为
2,3,2,3,2,3,...

1
?1?
5
5
55
4．C
y?x?x?x ?x?x
，所以
y??x
6
??x
6
?
6
．
66
6x
3
1
3
1
2
5
6< br>'
5．B 计算得
f(1)?
'x'
222
,f(2)?, f(3)?
由归纳猜想可得．
234
xx
6．B
y?(xe)?e?xe?0
恒成立．
3
7．C
log< br>2
[log
3
(log
4
x)]?0,log
3(log
4
x)?1,log
4
x?3,x?4?64
， log
3
[log
4
(log
2
x)]?0,log< br>4
(log
2
x)?1,log
2
x?4,x?2
4
?16
，

log
4
[log
2
( log
3
x)]?0,log
2
(log
3
x)?1,lo g
3
x?2,x?9
，
x?y?z?89
．
8．C
f(x)?(x?tx)?mx

'm'm?1
?t?2x?1
，得
m?2,t?1
，即
f(x)?x
2
?x
，
1111
111111n
???
，
S
n
?1????…? ?
．
?1??
f(n)n(?n1)n?n1
223nn?1n?1n?1
1?i1?i1?i1?i
?????1
．
(1?i)
2
(1?i)
2
2i?2i
9．C
10．B 仅仅（1）是错误的，其余正确．
11．C 当
n?k
时，不等式左边为
不等式左边为
1111
，当
n?k?1
时， ???????
k?1k?2k?32k
11111
????????
， 对照可得出结论．
k?2k?32k2k?12(k?1)
12．C 令
F(x) =f(x)?g(x)
，由
F
?
(x)=f
?
(x)?g< br>?
(x)?0
，则
F(x)
在
[a,b]
上为减函数 ，
则由
a?x?b
，得
f(x)?g(x)
＜
f(a)?g (a)
，即
f(x)?g(a)?g(x)?f(a)
．
13．
x
1?nx
2
通过计算可知
f(f(x)) ?
x
1?2x
2
,f(f(f(x)))?
x
1?3x2
,
于是猜想
f(f(...f(x)))?
n次
x
1?nx
2
．
14．二 由一元二次不等式的解集的端点与相应一元二次方程的 根的关系得
m?0,
p
，即
m?0,p?0
．
??2?0 ?p?0
m
15．
f(2.5)?f(1)?f(3.5)

∵函数
y?f(x)
在
(0,2)
上是增函数，∴
0?x?2?2< br>即
?2?x?0
，
∴函数
y?f(x?2)
在
(?2,0)
上是增函数，又∵函数
y?f(x?2)
是偶函数，
∴函数
y?f(x?2)
在
(0,2)
上是减函数，由图象可得< br>f(2.5)?f(1)?f(3.5)
．
16．⑶⑷ （1）错，因为最值也可以 在区间
[a,b]
的端点处取得，故最值可能是
f(a)
或
f(b)
；
（2）错，极大值不一定大于极小值；（3）、（4）均符合相应的定义和性质，正确．
17．解：记
S?i?2i?3i?

iS?i?2i? 3i?
234
23
?2008i
2008
，
?2007i
2008
?2008i
2009
，

< br>(1?i)S?i?i
2
?i
3
?i
4
??i
2008
?2008i
2009

i(1?i
2008
)
??2008i
2009
??2008i

1?i
S?
?2008i
?1004?1004i
．
1? i
18．解：如图，设圆内接等腰三角形的底边长为
2x
，高为
h
， 那么

h?AO?DO?R?R
2
?x
2
，
解得
x?h(2R?h)
，于是内接三角形的面积为：
2
S?x? h?h(2R?h)?h?(2Rh
3
?h
4
)
，
11< br>??
11
3434'3422
从而
S?(2Rh?h)
2(2Rh?h)?(2Rh?h)
2
(6Rh?4h)

22
'
?
'
h
2
(3R?2h)
(2R?h)h
3
，
令
S?0
，解得
h?
h

S
'

3

R
，由于不考虑不存在的情况，所在区 间
(0,2R)
上列表示如下：
2
33
3
(0,R)

(R,2R)

R

22
2
?

?

0

增函数 最大值 减函数
S

由此表可知，当
h?
3
R
时，等腰三角形的面积最大．
2
19．解：答：
f(x)
在
?
?4,4
?
上是单调 递减函数．
证明：∵函数
f(x)
的图象关于原点成中心对称，
则
f(x)
是奇函数,，所以
a?1,b?0
，于是
f(x)?x?48x< br>，
2
∴
f
?
(x)?3x?48
，∴当
x ?(?4,4),f
?
(x)?0
，
3
又∵函数
f(x)
在
?
?4,4
?
上连续，

所以
f(x)
在[-4,4]上是单调递减函数．
ab
20．证明：∵
b?0,a?0
，∴要证
b?a
，只要证：
alnb?blna
，
ab
lnblna
，
?
ba
lnx1?lnx
取 函数
f(x)?
，∵
f
?
(x)?
，
xx
2
即只要证：
∴当
x?e
时,
f
?
(x)?0< br>,∴函数
f(x)
在
(e,??)
上是单调递减，
∴当a?b?e
时，有
f(b)?f(a)
，即
21．证明：（1）当
n?1
时．
lnblna
得证．
?
ba
a
1
?S
1
?
11
(a
1
?)
，∴
a
1
2
?1(a
n
?0)
，∴
a
1
?1
，又
1?0?1
，
2a
1
∴
n?1
时，结论成立．
（2）假设
n? k
时，
(n?N)
，结论成立，即
a
k
?k?k?1
，
当
n?k?1
时，
a
k?1
?S
k?1?S
k
?
?
1111
(a
k?1
?)?(a< br>k
?)
，
2a
k?1
2a
k
?
1 11111
(a
k?1
?)?(k?k?1?)?(a
k?1
?)? k

2a
k?1
22a
k?1
k?k?1
2
∴
a
k?1
?2ka
k?1
?1?0
，解得
a< br>k?1
?k?1?k(a
n
?0)
，
∴
n?k?1
时，结论成立，
由（1）（2）可知,对
n?N都有
a
n
?n?n?1
．
22．解：（1）∵
f(x)?lnx
,
?
∴当
x?0< br>时，
f(x)?lnx
，当
x?0
时,
f(x)?ln(?x )
，
111
?(?1)?
， ，当
x?0
时，
f
?
(x)?
x?xx
a
∴当
x?0
时,函数
y?g(x)?x?
；
x
a
（2）∵由⑴知当
x?0
时 ,
g(x)?x?
，
x
∴当
x?0
时，
f
?
(x)?
∴当
a?0,x?0
时,
g(x)≥2a
当 且仅当
x?
∴
函数
y?g(x)
在
(0,??)
上 的最小值是
2a
，
a
时取等号，

∴依题意得
2a?2
∴
a?1
；
273
?
?
y?x?
x?
?
x
2
?21
?
?
??
36
2
?
,
?
（ 3）由
?
，得
?
5
，
13
1
?
y?x?
?
y?
?
y
2
?
2?
1
?
?
6
x
?
?
∴
直线
y?
27< br>x?
与函数
y?g(x)
的图象所围成图形的面积，
36
2
?
271
?
7
S?
?
3
?
(x? )?(x?)
?
dx
=
?ln3
．
6x
?
24
2
?
3












2-2模块测试
_____________版______________年级 责编：________ 作者：_李传牛___

卷 数学思
题分考难
考查知识点 想
号 值 查能力 度预估
方法









1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
5
5
5
5
5
5
5
5
演绎推理的形式
复数的概念
新定义题目
函数求导
归纳推理
函数的单调性
对数运算
导数的综合计算
复数的计算
概念理解
概念理解
概念理解
求导运算
推理能力
逻辑推理
计算能力
计算能力
计算能力
注重概念
注重概念
注重概念
转化思想
化归思想
等价转化
等价转化
转化思想
转化思想
0．8
0．8
0．7
0．7
0．6
0．6
0．6
0．6
0．7

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
5
5
5
4
4
4
4
12
12
12
12
12
12
微积分应用
数学归纳法
导数的综合运用
归纳推理
复数的几何意义
函数性质的综合
函数导数的综合
复数与数列综合
导数的实际应用
函数的单调性
导数的应用
数学归纳法
函数综合问题
应用能力
逻辑推理
计算能力
实际应用
计算能力
求导运算
识别能力
数列求和
计算能力
逻辑推理
求导运算
运算能力
知识应用
等价转化
等价转化
转化思想
等价转化
转化思想
转化思想
转化思想
转化思想
转化思想
等价转化
转化思想
等价转化
函数思想
0．5
0．5
0．5
0．7
0．6
0．6
0．6
0．7
0．5
0．6
0．6
0．5
0．5