高中数学选修2-2全套知识点与练习答案解析

2020年9月22日发(作者：胡冰)

新课标人教 A 高中数学选修 2-2 同步练习

选修 2-2 知识点及习题答案解析





导数及其应用

一 .导数概念的引入

1. 导数的物理意义：
在
瞬时速率。一般的，函数



y



f (x)
x



x
0

处的瞬时变化率是

lim



f ( x
0

0


x

x) f (x
0
)

，


x






我们称它为函数


y



f ( x)
在

x


x
0

处 的 导 数 ， 记 作

f (x
0
)


或
y |
x x

， 即

0




f ( x
0
)
=
lim

f (x
0
x)

x 0


f ( x
0
)

x













2. 导数的几何意义：
曲线的切线 .通过图像 ,我们可以看出当点

斜率是
k

n

f (x
n
)

x
n


k，即
k



P
n

趋近于
P
时，直线
PT
与曲线相切。容易知道，割线

f (x)
在

x






PP
n

的

f ( x)
，当点
0
P
n

趋近于

P

时，函数

y






x
0

处的导数就是切线






PT 的斜率






x
0














f ( x
n
)

f ( x
0
)

f (x
0
)

lim

x
n

x
0

x

0



3.

导函数： 当 x 变化时，
f

也记作
y
,即


( x)
便是

x

的一个函数，我们称它为

f ( x)
的导函数

. y


f ( x)
的导函数有时


f

( x)



lim

f (x

x 0





x)

f (x)



x
























二 .导数的计算
基本初等函数的导数公式 :






1
若
f (x)

若
c
(c

为常数

)，则

f

(x)

0
；

sin x
,则

f ( x)

2

4

6

f ( x)

f ( x)

x
,
则
f ( x)

x
1

;

3

若
f ( x)

5

若
f ( x)

若
7


cos x



若
cos x
,

则

f (x )

sin x
;

a
x

,则

f ( x) a

x

ln a

log
a


x
f ( x)


,
则



f (x)



1


x ln a



f ( x)

e
x

,

则

f (x) e
x


若
,
则
1

8

f ( x)

ln x
f ( x)


若
导数的运算法则

1.




x

[ f ( x)

g ( x)]

f ( x)

g ( x)

2.

[ f ( x)

g ( x)]f ( x) g ( x)

f ( x) g ( x )

f ( x)

f ( x)

g (x)

f ( x)

g ( x)


]


3.

[


2

g (x)


[ g( x)]



复合函数求导







和
y f (u)
u


g (x)
,

称则

y

可以表示成为


x
的函数

,即

y


f ( g(x))
为一个复合函数

y f (g (x))

g ( x)

三 .导数在研究函数中的应用

1.函数的单调性与导数 :

一般的 ,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间
( a, b)


内
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，那么函数在这个区间单调递增；

2-2 同步练习


(1)如果
f ( x ) 0

个区间单调递减 .


y f ( x)

(2) 如果
f (x)










0
，那么函数

y




f ( x)
在这

2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.

求函数

y f ( x )

的极值的方法是
:
（
1
）如果在
x
0

附近的左侧

f

( x) 0
,

右侧

f (x ) 0

,那么
f (x
0
)
是极大值

（
2
）如果在

x
0

附近的左侧

f ( x) 0

,右侧

f (x) 0

,那么


f



(x
0

)
是极小值

（1）求函数
y


4.函数的最大 (小) 值与导数

求函数
y

f (x )
在
[ a,b]

上的最大值与最小值的步骤：

f ( x)
在
(a,b)

内的极值；

（ 2） 将函数
y f ( x)
的各极值与端点处的函数值是
最小值 .




f ( a)
，

f (b)

比较，其中最大的是一个最大值，最小的


推理与证明

考点一

合情推理与类比推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质

理,归纳是从特殊到一般的过程

,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理

, 叫做归纳推

, 它属于合情推理

根据两类不同事物之间具有某些类似





(或一致 )性 ,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的

推理 ,叫做类比推理 .

类比推理的一般步骤 :

(1)

找出两类事物的相似性或一致性

;






(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题 (猜想 );
(3) 一般的 ,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的 .如果两个事物在某些性质上相同
或相似 ,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的 .
(4) 一般情况下 ,如果类比的相似性越多 ,相似的性质与推测的性质之间越相关 ,那么类比得出的命题越可靠 .
考点二

演绎推理 (俗称三段论 )


由一般性的命题推出特殊命题的过程


,这种推理称为演绎推理 .

考点三

数学归纳法


1.

它是一个递推的数学论证方法 .

B.假设在 n=k 时命题成立； C.证明 n=k+1 时

2.


步骤 :A.命题在 n=1（或
n
0
）时成立，这是递推的基础；
命题也成立 ,

完成这两步 ,就可以断定对任何自然数 (或 n>=
n
0

,
且

n

N
)

结论都成立。


考点三

证明


1.



反证法 :2、分析法 :3、综合法 :
数系的扩充和复数的概念

复数的概念

(1)

复数 :形如
a

(2)

分类 :复数
a

bi (a

R,b

R)
的数叫做复数，

a

和

b

分别叫它的实部和虚部

.








bi(a

R,b

R)
中

,当

b 0

,就是实数

;

b 0

,叫做虚数

;当
a 0,b

.

0
时

,叫做纯虚数

.

(3)

复数相等 :如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等

(4) 共轭复数 :当两个复数实部相等 ,虚部互为相反数时 , 这两个复数互为共轭复数 .
(5)

复平面 :建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面

,x 轴叫做实轴， y 轴除去原点的部分叫做虚轴。

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2-2 同步练习

(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
复数的运算

1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行

设
z
1

a

bi, z
2
c

di( a, b, c, d

R)
则

z
2

(a

c)

(b d)i





（ 1 ）
z
1

（
z
1



2
）
z
2


(ac

bd )

( ad bc)i













（ 3 ）

z
1


(ac

bd)

(ad

bc)i
( z
2

0)


z
2


c
2

d
2




2,几个重要的结论


(1)

| z
1

z
2
|
2

| z
1

z
2

|
2
2(| z
1
|
2

| z
2
|
2
)


(2)

z

z


| z |
2

| z |
2


| z |
2

z
2


3.运算律


(1)

z
m

z
n

z
m n

;(2)

( z
m
)
n

z
mn

;(3)
(z
1

z
2
)
n

z
1
n

z
2

n
(m,n

R)


4.关于虚数单位

i 的一些固定结论：



（1）
i

2

1
（

2）
i
3

i

（3）
i

4

1
（2）
i
n


i
n 2
i
n 3
i
n 4
0

练习一组



一、选择题



1．在平均变化率的定义中，自变量


x 在 x
0
处的增量

x(


)



A ．大于零


B．小于零



C．等于零


D．不等于零



[答案 ]

D



[解析 ]

x 可正，可负，但不为

0，故应选 D.



2．设函数 y＝ f(x)，当自变量 x 由 x
0
变化到 x
0
＋ x 时，函数的改变量



A ． f(x
0
＋ x)


B． f(x
0
)＋ x



C．f(x
0
) ·Δx


D． f(x
0
＋ x)－ f(x
0
)



[答案 ]

D



[解析 ]

由定义，函数值的改变量


y＝ f( x
0
＋ x)－ f(x
0
)，故应选 D.



3．已知函数 f(x) ＝－ x
2
＋ x，则 f(x)从－ 1 到－ 0.9

的平均变化率为 (



A ． 3


B． 0.29



C．2.09


D． 2.9



[答案 ]

D



[解析 ]

f( －1)＝－ (－ 1)
2
＋ (－ 1)＝－ 2.



f(－0.9)＝－ (－ 0.9)
2
＋ (－ 0.9)＝－ 1.71.



f(－ 0.9)－ f(－ 1)

－1.71－ (－ 2)

＝


∴ 平均变化率为

－ 0.9－(－ 1)

0.1


＝ 2.9，故应选 D.


第3页共27页

(3)若
z
为虚数 , 则

y 为 ()

)

2
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2-2 同步练习

4．已知函数

A ． 2



f(x) ＝x

＋4 上两点 A， B， x
A
＝1， x
B
＝ 1.3，则直线 AB 的斜率为 ()

B． 2.3

D． 2.1





C．2.09


[答案 ]


B


[解析 ]

f(1) ＝ 5， f(1.3) ＝5.69.


∴ k
AB
＝
f(1.3)
－

f(1)
＝
5.69
－

5
＝ 2.3，故应选 B.

1.3－ 10.3
5．已知函数 f(x) ＝－ x

2
＋ 2x，函数 f(x)从 2 到 2＋ x 的平均变化率为 ()

A ． 2－ x

B．－ 2－ x

C．2＋ x

D． ( x)
2
－ 2·Δx

[答案 ]

B



[解析 ]

∵ f(2) ＝－ 2
2
＋ 2×2＝ 0，

∴ f(2＋ x)＝－ (2＋ x)
2
＋2(2＋ x)

＝－ 2 x－(

x)
2
，


∴
f(2
＋

x)
－

f(2)
＝－ 2－ x，故应选 B.
2＋ x－ 2


6．已知函数

y＝x

2
＋ 1 的图象上一点 (1,2)及邻近一点 (1＋

x,2＋ y) ，则

y

等于(
)


x

A ． 2


B． 2x



2

C．2＋

x


D． 2＋ ( x)


[答案 ]

C


[解析 ]

y
＝
f(1＋ x)－ f(1)



x

x


[(1＋ x)

2
＋1] －2


＝


＝ 2＋ x.故应选 C.



x


7．质点运动规律 S(t)＝ t
2
＋ 3，则从 3 到 3.3 内，质点运动的平均速度为

()

A．6.3


B． 36.3


C．3.3


D． 9.3


[答案 ]

A



[解析 ]

S(3) ＝ 12，S(3.3)＝ 13.89，


∴ 平均速度

v ＝
S(3.3)

－
S(3)
＝
1.89
＝ 6.3，故应选

A.

3.3－3

0.3


x＝ 0.3，在四个函数① y＝ x、② y＝ x
2
、③ y＝ x
3
、④ y＝
1
中，平
均 x


变化率最大的是 (

)



A ．④

B．③




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2-2 同步练习

C．②

[答案 ]

[解析 ]





D．①








B


2
x＝ 0.3

时， ① y＝ x 在 x＝1

附近的平均变化率 k
1
＝ 1； ②y＝ x
在 x＝ 1 附近的

平均变化率 k
2
＝2＋ x＝ 2.3； ③ y＝ x
3
在 x＝ 1

附近的平均变化率 k
3
＝ 3＋ 3 x＋( x)
2
＝ 3.99；

④y＝ 在 x＝1 附近的平均变化率

k
4
＝－

1

＝－
.∴ k
3
＞ k
2
＞ k
1
＞ k
4
，故应选 B.

1＋ x


x


13


s 可以表示为时间

)











110
9．物体做直线运动所经过的路程

隔[ t
0
， t
0
＋ t]内的平均速度是 (












t 的函数 s＝ s(t) ，则物体在时间间

t

A ． v
0

s(t
0
＋ t)－ s(t
0
)


C.

[答案 ]

[解析 ]


B.
s(t
0
＋ t)－ s( t
0
)








s(t)

D.
t






t

C



由平均变化率的概念知

1

2

C 正确，故应选 C.





1


10．已知曲线 y＝
4
x


和这条曲线上的一点

Q 的坐标为 (


P 1，
4

，Q 是曲线上点 P 附近的一点， 则点


2

)

1


2




2












2

1


B.


A. 1＋ x，
4
( x)

1



x，

4
( x)


1


C. 1＋ x，
4
( x＋ 1)


[答案 ]

[解析 ]


D.


x，

4
(1＋

x)


C


点 Q 的横坐标应为







1＋ x，所以其纵坐标为











f(1 ＋ x)＝( x＋1)
2
，故应选 C.

1
4

二、填空题


11．已知函数 y＝ x

－ 2，当 x＝ 2 时， ＝ ________.

x


[答案 ]

[解析 ]

( x)
2
＋ 6 x＋ 12

y (2＋ x)

＝


x


3

3
y
















－ 2－ (2
3
－ 2)

x




3
2
＝
( x)
＋ 6(

x)＋ 12 x

x





＝ ( x)
2
＋6

x＋ 12.


1
时，函数 y＝
1
的平均变化率为
________．

12．在 x＝

2 附近，

x＝

4


x



2

[答案 ] －
9

第5页共27页

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2-2 同步练习

1
－
1
[解析 ]


y
＝

x


2＋ x

x

＝－

＝－

2
.

4＋ 2

x

9

2


1



1

时的平均变化率为 ________．

13．函数 y＝

x在 x＝ 1 附近，当

x＝
2


[答案 ]

6－ 2


[解析 ]

y
＝

1＋ x－ 1
＝


1

＝ 6－2.



x


x


1＋ x＋ 1



14．已知曲线 y＝ x
2
－1 上两点 A(2,3)， B(2＋ x,3＋ y)，当

x＝ 1 时，割线
是________；当


x＝ 0.1 时，割线 AB 的斜率是 ________．


[答案 ]

5

4.1



[解析 ]

当

x＝1 时，割线 AB 的斜率



2 2 2 2
k
1
＝

y
＝
(2＋

x) － 1－ 2

＋ 1
＝
(2

＋1) －2

＝5.



x

x


1


当 x＝ 0.1 时，割线 AB 的斜率

k
2
＝
y
＝
(2＋ 0.1)
2
－

1
－

2
2
＋
1

＝ 4.1.


x

0.1


三、解答题


15．已知函数

f( x)＝ 2x＋1 ，g( x)＝－ 2x，分别计算在区间

[ － 3，－ 1]，
及 g(x) 的平均变化率．


[解析 ] 函数 f(x)在 [－ 3，－ 1] 上的平均变化率为


f(－1) － f(－ 3)
＝
[2× (－ 1)＋1] －[2× (－ 3)＋ 1]
＝

2.



－1－ (－ 3)


2



函数 f(x)在 [0,5] 上的平均变化率为

f(5) － f(0)
＝

2.

5－ 0


函数 g(x)在 [ － 3，－ 1]上的平均变化率为


g(－ 1)－ g(－ 3)

－1－(－3)
＝－

2.



函数 g(x)在 [0,5] 上的平均变化率为

g(5)－ g(0)
＝－

2.

5－ 0


2


16．过曲线 f(x)＝
x
2
的图象上两点

A(1,2)，B(1＋ x,2＋ y)作曲线的割线
＝
1
时割线的斜率．

4
(2
＋

y)
－
2

y


[解析 ]

割线 AB 的斜率 k＝

＝




第6页共27页

AB 的斜率

上函数 f(x)

AB，求出当 x
[0,5]

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2-2 同步练习



2

(1＋ x)
2
－
2



－ 2( x＋ 2)


2
72

＝
＝

x

(1＋ x)
2

＝－

25

.

17．求函数 y＝ x 在 x＝ 1、2、3 附近的平均变化率，

判断哪一点附近平均变化率最大？

f(1 ＋ x)－ f(1)

(1＋ x)
2
－ 1

k
1
＝

x

＝


＝ 2

x

＋ x；


在 x＝ 2 附近的平均变化率为


f(2 ＋ x)－ f(2)

(2＋ x)
2
－ 2
2

k
2
＝


x

＝


＝ 4＋ x；


x


在 x＝ 3 附近的平均变化率为


f(3 ＋ x)－ f(3)

(3＋ x)
2
－ 3
2

k
3
＝


x

＝


＝ 6＋ x.


x


对任意 x 有， k
1
＜ k
2
＜ k
3
，


∴ 在 x＝3 附近的平均变化率最大．

18．路灯距地面 8m，一个身高为 1.6m 的人以 84mmin

上的射影点 C 处沿直线离开路灯．


(1)求身影的长度 y 与人距路灯的距离 x 之间的关系式；

(2)求人离开路灯的第一个

10s 内身影的平均变化率．

[解析 ] (1)如图所示，设人从

C 点运动到 B 处的路程为
度为 ym，由于 CD∥ BE，




则

AB
＝
BE
，

AC CD



即
y
＝
1.6

，所以y
1

＋ x 8
y
＝
f( x)
＝

4
x.


(2)84mmin ＝ 1.4ms，在 [0,10] 内自变量的增量为

x
2
－ x
1
＝ 1.4× 10－ 1.4× 0＝ 14，

f(x
117
2
)－ f(x
1
)＝

× 14－

× 0＝

.


4

4

2

7

所以
f(x
2
) －f(x
1
) 2

1


x
2
－x
1

＝
14
＝

4
.

即人离开路灯的第一个

10s 内身影的平均变化率为

1
4
.

第7页共27页














的速度在地面上从路灯在地面




xm， AB 为身影长度， AB 的长

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2-2 同步练习

第8页共27页

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2-2 同步练习

练习二组

一、选择题

1．函数在某一点的导数是 (

)

A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比
B．一个函数

C．一个常数，不是变数

D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率

[答案 ]

C


y
无限趋近的常数，故应选 C.

[解析 ]

由定义， f′ (x
0
)是当

x 无限趋近于

0 时，

x

2．如果质点 A 按照规律 s＝ 3t
2
运动，则在 t
0
＝3 时的瞬时速度为 ()

A ． 6


B． 18


C．54


D． 81


[答案 ]

B


[解析 ]

∵ s(t) ＝3t
2
， t
0
＝ 3，


∴ s＝ s(t
0
＋ t)－ s(t
0
)＝ 3(3＋ t)
2
－ 3·3
2

2

s

＝ 18 t＋ 3( t) ∴

＝ 18＋3 t.


s


当 t→ 0

时，

t
→ 18，故应选 B.

2
3． y＝x

在 x＝ 1 处的导数为 (

)

A ． 2x


B． 2

C．2＋ x


D． 1

[答案 ]

B



2

[解析 ]

∵ f(x)＝ x ，x＝ 1，


∴ y＝ f(1＋ x)
2
－ f(1)＝ (1＋

x)
2
－ 1＝ 2·Δx＋ ( x)
2

y

∴

x
＝
2＋

x

y

当

x→ 0 时，

x
→
2

∴ f′ (1) ＝ 2，故应选 B.
4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为

s(t)＝ 4t
2
－ 3(s(t)的单位：
t 的单位： s)，则 t＝ 5

时的瞬时速度为 ()


A．37

B． 38


C．39

D． 40


[答案] D


第9页共27页

，


















m

新课标人教 A 高中数学选修 2-2 同步练习


s

4(5＋ t)
2
－ 3－ 4×5
2
＋3


[解析 ]

∵
t
＝


t

＝ 40＋4

t，

∴ s′ (5) ＝ li m
s

＝ li m

(40 ＋4

t)＝ 40.故应选 D.


t
→
0
t

t
→

0

5．已知函数 y＝ f(x)，那么下列说法错误的是 (

)

A ． y＝ f( x
0
＋ x)－ f(x
0
)叫做函数值的增量

y

f(x
0
＋ x)－ f(x
0
)

B.
x
＝

x

叫做函数在 x
0
到 x
0
＋ x 之间的平均变化率

C．f(x)在 x
0
处的导数记为

y′

D． f(x)在 x
0
处的导数记为

f′ (x
0
)

[答案 ]

C


[解析 ]

由导数的定义可知

C 错误．故应选 C.

6．函数 f(x)在 x＝ x
0
处的导数可表示为

y′ |x＝ x
0
，即 ()

A ． f′ (x
0
)＝ f(x
0
＋ x)－ f(x
0
)


B．f ′ (x
0
)＝ li m [f(x
0
＋

x)－ f(x
0
)]

x
→
0
f(x
0
＋

x)－ f(x
0
)

C．f ′ (x
0
)＝

x

D． f′ (x
0
)＝ li

f(x
0
＋ x)－ f(x
0
)


m


x
→
0
x

[答案 ]

D


[解析 ]

由导数的定义知

D 正确．故应选 D.

7．函数 y＝ ax

2
＋ bx＋ c(a≠0， a， b， c 为常数 ) 在 x＝ 2 时的瞬时变化率等于 ()

A ． 4a


B． 2a＋ b

C．b


D． 4a＋b

[答案 ]

D



y
＋ b(2＋ x)＋ c－ 4a－ 2b－ c

＝


a(2 ＋ x)
2


[解析 ]

∵
x


＝ 4a＋b＋ a x，
x

∴ y′ |
x
y
＝

2
＝ li m

＝ li m

(4 a＋ b＋ a·Δx)＝ 4a＋ b.故应选 D.



x
→
0
x
x
→
0

8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是 (

)

A ．圆


B．抛物线


C．椭圆


D．直线


[答案 ]

D


[解析 ]

当 f(x)＝ b 时， f′ (x)＝ 0，所以 f(x)的图象为一条直线，故应选

D.

9．一物体作直线运动，其位移

s 与时间 t 的关系是 s＝ 3t－ t
2
，则物体的初速度为
第10页共27页
















()

新课标人教 A 高中数学选修



2-2 同步练习

A ． 0










B． 3

D． 3－ 2t


C．－ 2


[答案 ]


B

2
s

3(0＋ t)－ (0＋ t)

[解析 ]



∵
t

＝


t
0
→
∴ s′ (0) ＝ li m

s
t

t


＝ 3－ t，

＝ 3.故应选 B.



1
，则 li m

x a
→
f(x)－ f(a)
等于

()

10．设 f(x)＝
x

1


A ．－
a


1


C．－
a
2

[答案 ]







x－ a













2

B.
a

1

D.
a
2

C


1
－
1

[解析 ]


li m

f(x)－ f(a)
＝

li m
x

x
a

a

→


x－ a

＝ li m

x
→
a


a－ x

＝－ li m

x
－

a

11
xa
→
＝－
2
.

a

→
(x－ a) ·xa
x
a
ax

二、填空题

11．已知函数 y＝ f(x)在 x＝ x
0
处的导数为

11，则


li m



f(x
0
－ x)－ f(x
0
)

x

f(x)－ f( x
0
)



＝________；

x
→

0


li m



x→ x
0

2(x
0

－
x)
＝ ________.

[答案 ]


11

－ 11，－
2

[解析 ]


li

m

x
→
0
f(x
0
－ x)－ f(x
0
)





x





＝－ li

m


x
0
→
f(x
0
－ x)－ f(x
0
)

－ x


＝－ f′ (x
0
)＝－ 11；


li


0
)
＝－
1
li

m

m


f(x)－ f( x

x→ x
0

0
－x)

2
x 0
→
f(x
0
＋ x)－ f(x
0
)


x

2(x


1

11


＝－ f

′ (x
0
)＝－

.











2


1
2


在 x＝ 1 处的导数是

________．










12．函数 y＝ x＋
x

[答案 ]

0


[解析 ]




∵ y＝

1＋ x＋


1

－

1＋
1


1＋

x

1

第11页共27页

新课标人教 A 高中数学选修 2-2 同步练习

＝ x－ 1＋
1
＝
( x)
2
，x＋
1 x＋1
∴
x
.∴ y′ |
x
x

y
＝

＝
1
＝ li m

＝ 0.


x

x＋ 1
x
→
0
x＋1

13．已知函数 f(x)＝ ax＋ 4，若 f′(2) ＝2，则 a 等于 ______．

[答案 ]

2



y

a(2 ＋ x) ＋ 4－ 2a－ 4

[解析 ]

∵
x
＝

x

＝ a，

∴ f′ (1) ＝ li m
y
x
＝a.∴ a＝ 2.
x
→
0

14．已知 f′( x
f(x)
－
0
)＝ li


m


f(x
0
)
， f(3) ＝ 2， f′ (3)＝－ 2，则

x→ x
0

x－ x
0
________．


[答案 ]

8


2x－ 3f(x)
＝

li m

2x－ 3f( x)＋ 3f(3)－ 3f(3)

[解析 ] li
x
m

x
→
→
3

x－ 3


3
x－ 3

＝ lim


2x－3f(3)
＋

li m

3(f(3) － f(x))
.

x
→
3

x－ 3
x
→
3

x－ 3

由于 f(3) ＝ 2，上式可化为


li m
2(x
－
f(x)
－


3)
－ 3li m

f(3)
＝2－ 3× (－ 2)＝ 8.

x
→
3

x－ 3
x
→
3

x－ 3


三、解答题

15．设 f(x)＝ x
2
，求 f′ (x
0
)， f′( －1)， f′(2) ．

[解析 ]

由导数定义有 f′ (x
0
)


＝ li m

f(x
0
＋ x)－ f(x
0
)



x
→
0
x


＝ li m
(x
0
＋ x)
2
－ x
0
2


＝ li m

x(2x
0
＋ x)


＝ 2x
0
，

x
→
0
x

x
→
0
x

16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是

枪口射出时所用时间为

1.6×10
－
3

s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
[解析 ]
1

位移公式为 s＝
at
2



2


∵ s＝
1

2
1


a(t
2
0
＋ t) －

at
0
＝ att＋
1
a( t)
2
0

2

2

2


s 1
∴
t
＝ at
0
＋
2
a t，
第12页共27页

































li m

2x－ 3f(x)
的值是

x
→
3
x－ 3


5 2
5.0× 10 ms ，枪弹从

新课标人教 A 高中数学选修



2-2 同步练习

∴ li m

t 0
→
s

＝ li m

at
0
＋ a

t ＝ at
0
，

1

t
t 0
2


－
已知 a＝ 5.0× 10
5
ms
2
，t
0
＝ 1.6× 10
3
s，


→
∴ at
0
＝ 800ms.

所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为


800ms.

17．在曲线 y＝ f(x) ＝x
2
＋ 3 的图象上取一点 P(1,4)及附近一点 (1＋ x,4＋ y)，

y


求(1)
x


(2) f′ (1) ．



＝
y f(1＋ x)－f(1)

[解析 ]

(1)

x


x

(1＋ x)
2
＋ 3－ 1
2
－ 3


＝


＝

x


2＋ x.



(2)f′ (1)

＝ lim
f(1＋ x)－ f(1)




→

x
0

x


＝ lim

(2＋ x)＝ 2.


x
→
0

18．函数 f(x)＝ |x|(1＋ x)在点 x
0
＝ 0 处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．

x＋ x
2

(x≥ 0)

[解析 ]

f( x)＝
－

x
－

x
2
(x<0)

y＝ f(0＋ x)－f(0)＝ f(

x)

＝
x＋ ( x)
2

(

x>0)




－ x－
y
( x)
2

(

x<0)


∴ lim

＝ lim

x
→
0
＋

x

x
→
0
＋

(1＋ x)＝ 1，

lim
y

＝ lim

(－ 1－ x)＝－ 1，

x
→
0
－

x

→－

∵ lim
y
x
0

y

≠ lim


y

， ∴Δx→ 0 时， 无极限．

x
→
0
－

x

x
→
0
＋

x

x

∴ 函数 f(x)＝ |x|(1＋ x)在点 x
0
＝ 0 处没有导数，即不可导．
无限趋近于

0，即 x＞0 且 x 趋近于 0)

第13页共27页



























(x→ 0
＋
表示 x 从大于 0 的一边

新课标人教 A 高中数学选修



2-2 同步练习

练习三组


1．如果曲线 y＝ f(x)在点 (x
0
， f( x
0
))处的切线方程为

A ． f′ (x
0
)＞ 0


C．f ′ (x
0
)＝ 0


[答案 ]

[解析 ]

B





x＋2y－ 3＝ 0，那么 ()




B． f′ (x
0
)＜ 0

D． f′ (x
0
)不存在



切线 x＋ 2y－ 3＝0 的斜率 k＝－

，即 f′(x
0
)＝－

＜0.故应选 B.

11

2



2．曲线 y＝ x －
1
2

在点
2

1，－

3

处切线的倾斜角为 ()


2


2



π


A ．
5
1


B.
4




π




C.
4
π


D．－
4


[答案 ]

B



1
[

(x＋

x)
2

1
2



－2]－(

x － 2)


[解析 ]

∵ y′ ＝ li m
22









x
→
0

x


＝ li m

1



x
→
0
(x＋
2

x)＝x


∴ 切线的斜率

k＝y′ |
x
＝
1
＝ 1.

π

∴ 切线的倾斜角为

4
，故应选

B.


3．在曲线 y＝ x
2


上切线的倾斜角为 的点是
π

(

)


4


A ． (0,0)


B． (2,4)

1

1


1

1

C.
4
，


D.
2
，
16

4

[答案 ]

D


[解析 ]

易求 y′ ＝ 2x，设在点


P(x
2
0
， x
0
)处切线的倾斜角为


1

1

.

P
2
，

4



3 2

4．曲线 y＝ x －

3x ＋ 1 在点 (1，－ 1)处的切线方程为 ()

A ． y＝ 3x－ 4


B． y＝－ 3x＋ 2

C．y＝－ 4x＋ 3


D． y＝ 4x－ 5

[答案 ]

B


[解析 ]

y′ ＝ 3x
2
－ 6x， ∴ y′|
x
＝
1
＝－ 3.


由点斜式有

y＋ 1＝－ 3(x－ 1)．即 y＝－ 3x＋ 2.

第14页共27页

2
























π
，则

4









2x
0
＝ 1，







∴ x
0
＝

1

，
2
























∴

新课标人教 A 高中数学选修


2-2 同步练习

5．设 f(x)为可导函数，且满足


lim

f(1) － f(1－ 2x)
＝－

1
，则过曲线

→
x
0
2x






y＝ f(x)上点 (1， f(1))
















处的切线斜率为 (


A ． 2

C．1

[答案 ]

[解析 ]









)

B．－ 1

D．－ 2









B


lim

f(1) － f(1－ 2x)
＝
lim
f(1－ 2x)－ f(1)

→→
x
0

x 0
－ 2x


2x


＝－ 1，即 y′ |
x
＝

1
＝－ 1，

则 y＝ f(x)在点 (1， f(1)) 处的切线斜率为－ 1，故选 B.

6．设 f′ (x
0
)＝ 0，则曲线 y＝ f(x)在点 (x
0
，f(x
0
)) 处的切线 ()

A ．不存在









B．与 x 轴平行或重合

D．与 x 轴斜交


C．与 x 轴垂直

[答案 ]

[解析 ]

B


由导数的几何意义知

B 正确，故应选

B.


7．已知曲线 y＝ f(x)在 x＝ 5 处的切线方程是

A．3,3







y＝－ x＋ 8，则 f(5)及 f′ (5)分别为 (









)

B． 3，－ 1

C．－ 1,3

[答案 ]

[解析 ]


D．－ 1，－ 1


B

由题意易得： f(5)＝－ 5＋ 8＝ 3， f′ (5) ＝－ 1，故应选 B.

3
8．曲线 f(x)＝ x

＋ x－ 2 在 P 点处的切线平行于直线 y＝ 4x－1，则 P 点的坐标为 (

A ． (1,0)或 (－1，－ 4)

C．( －1,0)

[答案 ]







3
)

B． (0,1)

D． (1,4)




















A


[解析 ]

∵ f(x)＝ x ＋x－ 2，设 x
P
＝x
0
，

∴ y＝ 3x
2
0
·Δx＋ 3x
0
· (x)
2
＋ ( x)
3
＋ x，
∴


y
＝ 3x
0
2
＋ 1＋ 3x
0
(

x)＋ ( x)
2
，

2

x

2

2
∴ f′ (x
0
) ＝ 3x
0
＋1，又 k＝4，


∴ 3x
0
＋ 1＝4， x
0
＝ 1.∴ x
0
＝ ±1，



故 P(1,0)或(－ 1，－ 4)，故应选 A.
2
9．设点 P 是曲线 y＝ x
3
－





上的任意一点， P 点处的切线倾斜角为 α，则 α的取
3x＋

值

3







范围为()

π



2


π

B. 0，
2

∪

5

A. 0，
2

∪

3
π， π


6
π， π

第15页共27页

新课标人教 A 高中数学选修

2-2 同步练习

2



C.
3
π， π

[答案]

[解析 ]





x
0
→
π

5

，
π
D.
2

6



A

设 P(x
0
，y
0
)，

3

(x＋ x)
－ 3(x＋ x) ＋－ x＋ 3x－
3




2
3
2

∵ f′ (x)＝ li m

＝ 3x
2
－


3

x

3， ∴切线的斜率 k＝ 3x
2
－

3，

0


∴ tanα＝ 3x
2
0
－ 3≥ － 3.
π 2
2


∴ α∈ 0，
2
∪
3
π， π.故应选 A.
为[0 ， ]，则点 P 横坐标的取值范围为

10．设 P 为曲线 C：y＝ x

π


4


＋ 2x＋ 3 上的点，且曲线

C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围






(



)









1

A．[－1，－

2
C．[0,1]



]




B． [－ 1,0]

D． [

， 1]

2


1




[答案]

[解析 ]

A

考查导数的几何意义．

π



∵ y′ ＝ 2x＋ 2，且切线倾斜角

θ∈ [0，
4
] ，

∴ 切线的斜率 k 满足 0≤ k≤1，即 0≤2x＋ 2≤ 1，

1

∴ － 1≤ x≤ －
2
.

11．已知函数 f(x)＝ x
2
＋ 3，则 f(x)在 (2，f(2))处的切线方程为 ________．

[答案 ]

[解析 ]

4x－ y－ 1＝ 0

∵ f(x)＝ x
2
＋3， x
0
＝ 2






∴ f(2) ＝ 7， y＝ f(2＋ x) －f(2) ＝ 4·Δx＋ ( x)
2

∴


y
＝ 4＋ x.∴ li m

x
0
→
y
＝4.即 f′ (2) ＝4.



x

x

又切线过 (2,7)点，所以

f(x)在 (2， f(2)) 处的切线方程为

y－ 7＝4(x－ 2)



即 4x－y－ 1＝ 0.
12．若函数 f(x)＝x－
，则它与 x 轴交点处的切线的方程为


1
________．



x

y＝ 2(x－1) 或 y＝ 2(x＋ 1)

[答案 ]

[解析 ]







由 f(x)＝ x－ ＝ 0 得 x＝ ±1，即与 x 轴交点坐标为

(1,0)或 (－ 1,0)．

x


1

第16页共27页

新课标人教 A 高中数学选修


2-2 同步练习





∵ f′ (x)＝ li m

→
x
0

1

－ x＋
(x＋

x)－

x＋ x
x



1


x

＝ 1＋

1



2
＝ li m


1＋

1

x 0
→
x(x＋ x)


1
∴ 切线的斜率 k＝1＋ ＝ 2.





x
.




∴ 切线的方程为

y＝ 2(x－ 1)或 y＝ 2(x＋1) ．


13．曲线 C 在点 P(x
0
， y
0
)处有切线

l ，则直线 l 与曲线 C 的公共点有 ________个．

[答案 ]


至少一

[解析 ]



由切线的定义，直线

l 与曲线在

P(x
0
， y
0
)处相切，但也可能与曲线其他部分有

公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．

14．曲线 y＝ x
3
＋ 3x
2
＋ 6x－10 的切线中，斜率最小的切线方程为

[答案 ]

[解析 ]


________．


3x－ y－ 11＝ 0



设切点

P( x
0
， y
0
)，则过 P(x
0
， y
0
)的切线斜率为


，它是

x
0
的函数，求

出其最小值．


设切点为 P(x
0
， y
0
)，过点 P 的切线斜率

k＝

＝ 3x
0
2
＋ 6x
0
＋ 6＝ 3(x
0
＋ 1)
2
＋ 3.当 x
0

3x－y－ 11＝ 0.

＝－ 1 时 k 有最小值

3，此时 P 的坐标为 (－ 1，－ 14)，其切线方程为

三、解答题









1

7













15．求曲线 y＝
x
－

x上一点

P 4，－
4

处的切线方程．

1

1


x＋ x

－
x

－ ( x＋ x－ x)


[解析 ]

∴ y′ ＝ lim


→
x
0
x




x


－ x


＝ lim

x 0
→
－

x(x＋ x)



x＋ x＋ x














x

－ 1

－

1




＝ lim

x 0
→
＝－
2
－
x




11

.







x( x＋ x)

16

∴ y′ |
＝
＝－

－＝－ ，


x 4

1
1
x＋ x＋ x

5
2 x










4

7

16




∴ 曲线在点

P 4，－
4
处的切线方程为：

7

5

y＋
4
＝－
16
(x－ 4)．

即 5x＋16y＋ 8＝ 0.


16．已知函数 f(x)＝ x
3
－ 3x 及 y＝ f(x)上一点 P(1，－ 2)，过点 P 作直线 l.

(1)求使直线 l 和 y＝ f(x)相切且以 P 为切点的直线方程；

第17页共27页

新课标人教 A 高中数学选修



2-2 同步练习

(2)求使直线 l 和 y＝ f(x)相切且切点异于点

[解析 ]

P 的直线方程

y＝ g(x)．

(1)y′ ＝ li m

33
(x＋ x)

－ 3(x＋

x)－ 3x＋3x

x
0
→
＝ 3x

2
－ 3.


x


则过点 P 且以 P(1，－ 2)为切点的直线的斜率

k
1
＝ f′ (1) ＝ 0，

∴ 所求直线方程为 y＝－ 2.

(2)设切点坐标为

(x
0
，x
3
0
－ 3x
0
)，

则直线 l 的斜率 k
2
＝ f′ (x
0
) ＝ 3x
2
0
－ 3，

3 2
∴ 直线 l 的方程为

y－( x
0
－3x
0
)＝ (3x
0
－ 3)(x－ x
0
)

又直线 l 过点 P(1，－ 2)，

∴ － 2－ (x
3
0
－3x
0
)＝ (3x
2
0
－ 3)(1－ x
0
)，

∴ x
3
0
－ 3x
0
＋ 2＝(3x
2
0
－3)(x
0
－ 1)，
1

解得 x
0
＝ 1(舍去 )或 x
0
＝－
2
.


2
9

，

故所求直线斜率

k＝ 3x
0
－ 3＝－

4


于是： y－ (－ 2)＝－

9
(x－ 1)，即 y＝－

9


x＋
1
.



4

4

4

1

17．求证：函数 y＝ x＋
x
图象上的各点处的切线斜率小于

[解析 ]



y′ ＝ li m
f(x＋ x) － f(x)



x
→
0
x


1

1

＝ li

m


x＋ x＋
x
＋

x
－ x＋
x


x
→
0

x


＝ li

m


x·Δx(x＋ x)－ x


→


x
0

(x＋ x) ·x·Δx


＝ li

m


(x＋ x)x－ 1




x
→
0

(x＋ x)x


x
2
－ 1

1


＝

x
2

＝ 1－
1
x
2
＜ 1，



∴ y＝ x＋ 图象上的各点处的切线斜率小于

1.

18．已知直线

l
1
为曲线 y＝ x
2
＋ x－ 2 在点 (1,0)处的切线，
1
⊥ l
2
.

(1)求直线 l
2
的方程；

(2)求由直线

l
1
、 l
2
和 x 轴所围成的三角形的面积．

[解析 ]

(1)y′ |
x
＝

1

第18页共27页

1.

2
为该曲线的另一条切线，且














l


l

新课标人教 A 高中数学选修


2-2 同步练习

＝ li m



x 0
→
22
(1＋

x)

＋ (1＋ x)－ 2－(1 ＋1－ 2)


＝ 3，


x

所以 l
1
的方程为： y＝3(x－ 1)，即 y＝ 3x－3.

设 l
2
过曲线 y＝ x
2
＋ x－ 2

上的点 B( b，b
2
＋ b－ 2)，

22
(b＋ x)

＋ (b＋ x)－ 2－(b＋ b－ 2)

y′ |
x
＝

b
＝ li m

→
x 0

x





＝ 2b＋1，所以 l
2
的方程为： y－(b
2
＋b－ 2)＝ (2b＋ 1) ·(x－ b)，即 y＝(2b＋ 1)x－ b
2
－ 2.
因为 l
1
⊥ l
2
，所以 3× (2b＋ 1)＝－ 1，所以 b＝－
，所以 l
2

的方程为： y＝－

x－

22

.

21

3


1
，




y＝ 3x－ 3，


x＝
6


(2)由

得



y＝－ x－
1

22



，


5


，


y＝－

2



3

9



即 l
1
与 l
2
的交点坐标为
15

，－
.



6

2


又 l
1
， l
2
与 x 轴交点坐标分别为

(1,0)， －
22
，0 .


所以所求三角形面积
15

3


S＝
× －


×

22

＝
125

.

2

2


1＋

3

12

第19页共27页













3

9

新课标人教 A 高中数学选修 2-2 同步练习

练习三组

1．下列结论不正确的是 (

)

A ．若 y＝ 0，则 y′＝ 0

B．若 y＝ 5x，则 y′＝ 5

－
1
－
2
C．若 y＝ x

，则 y′＝－ x

[答案] D

2. 曲线 y＝

1
x － 2
3


在点 － 1，－

7

处切线的倾斜角为 ()


3


3


A．30°


B． 45°

C．135 °


D． 60°

[答案 ]

B


[解析 ]

y′ |
x
＝－

1
＝ 1， ∴倾斜角为 45°.

3.函数 y＝ (x＋ 1)
2
(x－ 1)在 x＝ 1

处的导数等于 ()

A ． 1


B． 2

C．3


D． 4

[答案 ]

D


[解析 ]

y′ ＝ [(x＋ 1)
2
] ′ (x－ 1)＋ (x＋ 1)
2
(x－ 1)′

＝ 2(x＋ 1) ·(x－ 1)＋ (x＋ 1)
2
＝ 3x
2
＋ 2x－ 1，
∴ y′ |
x
＝

1
＝ 4.
4.设 f(x)＝ ax
3
＋ bx
2
＋ cx＋ d(a>0)，则 f(x)为 R 上增函数的充要条件是
A ． b
2
－ 4ac>0

B． b>0，c>0

2
C．b＝ 0， c>0

D． b

－ 3ac<0

[答案 ]

D


[解析 ]

∵ a>0 ， f(x)为增函数，


∴ f′ (x)＝ 3ax
2
＋ 2bx＋ c>0 恒成立，
∴ ＝ (2b)
2
－ 4× 3a× c＝ 4b
2
－ 12ac<0， ∴ b
2
－ 3ac<0.
第20页共27页


)


































(

新课标人教 A 高中数学选修



2-2 同步练习

5．已知函数 f(x) 在点 x
0
处连续，下列命题中，正确的是



(

)

A ．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点 x
0
附近的左侧

C．如果在点 x
0
附近的左侧

D．如果在点 x
0
附近的左侧

f′ (x)>0，右侧 f′ (x)<0，那么 f( x
0
)是极小值

f′ (x)>0，右侧 f′ (x)<0，那么 f( x
0
)是极大值

f′ (x)<0，右侧 f ′ (x)>0，那么 f(x
0
)是极大值



[答案 ]

[解析 ]

C


导数为

0 的点不一定是极值点，例如

f(x)＝x
3
，f′ (x) ＝3x
2
，f′ (0)＝ 0，但 x＝ 0

不是 f( x)的极值点，故

A 错；由极值的定义可知

C 正确，故应选 C.

6.函数 y＝ f(x)在区间 [a， b] 上的最大值是 M，最小值是 m，若 M ＝m，则 f′( x)(

A ．等于 0

B．大于 0

C．小于 0

D．以上都有可能

[答案]

A

[解析 ]

∵ M＝m， ∴ y＝ f(x)是常数函数

∴ f′ (x)＝ 0，故应选 A.
7.内接于半径为


R 的球且体积最大的圆锥的高为 ()

A ． R


B． 2R

4


3


C.
3
R


D.
4
R

[答案 ]

C


[解析 ]

设圆锥高为 h，底面半径为

r，则 R
2
＝ (R－ h)
2
＋ r
2
， ∴ r
2
＝ 2Rh－ h
2

1


2
π

2
∴ V＝ πr h
2

2
π
3
＝

h(2Rh－ h )＝

πRh －

h

3


3


3

3


4


2

4


V′＝
3
πRh－πh .令 V′＝ 0 得 h＝
4
3
R.


4R


当 0
3
R 时， V′ >0；当

3



<0.


因此当 h＝
4

R 时，圆锥体积最大．故应选C.


3


5
8.．和式

(y
i
＋ 1)可表示为 (

)

i
＝
1
A ． (y
1
＋ 1)＋( y
5
＋ 1)

B．y
1
＋ y
2
＋ y
3
＋y
4
＋y
5
＋1

C．y
1
＋ y
2
＋ y
3
＋y
4
＋y
5
＋5

D． (y
1
＋ 1)(y
2
＋ 1)? (y
5
＋ 1)

第21页共27页

)

新课标人教 A 高中数学选修



2-2 同步练习

[答案 ]

[解析 ]


C

5

i
＝
1

( y
i
＋ 1)＝ (y
1
＋ 1)＋ (y
2
＋ 1)＋ (y
3
＋ 1)＋ (y
4
＋1)＋ (y
5
＋ 1)＝ y
1
＋ y
2
＋ y
3
＋ y
4
＋ y
5
＋


5，故选 C.


9．设 f(x)是 [a， b] 上的连续函数，则 f( x)dx－ f(t)dt 的值 (

A ．小于零

C．大于零

[答案 ]

[解析 ]

B










)




B．等于零

D．不能确定

f( x)dx 和 f(t)dt 都表示曲线 y＝ f(x)与 x＝a， x＝ b 及 y＝ 0 围成的曲边梯形面积，

0.

不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为




10.．设 f(x)＝



x

2
(0≤ x<1)



，则 f(x)dx 等于 (


)










2－ x










(1≤ x≤2)






3

A.
4

5

C.
6

[答案 ]

[解析 ]








4

B.
5

D．不存在

C


f( x)dx＝x
2
dx＋ (2－ x)dx

1

3
取 F
1
(x)＝ x ， F
2
(x)＝ 2x－ x

1

2

2
，

3







2



则 F′
1
( x)＝ x ， F′
2
(x)＝ 2－ x

∴ f(x)dx＝ F
1
(1) －F
1
(0) ＋F
2
(2) －F
2
(1)
＝

1














3
－ 0＋ 2× 2－
2
× 2
1
2
－ 2× 1－
(

1
2
× 1
)

2
＝
5
6
.故应选 C.
11.．如图所示，阴影部分的面积为

A. f(x)dx


B.g(x)dx

D.[g(x)－f(x)]d x

C.[f(x) －g( x)]d x


[答案]




C

由题图易知，当

x∈ [a， b] 时， f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为

[f( x)－ g( x)]d x.

[解析 ]

12 已知 f(x)＝ x
3
的切线的斜率等于




1，则其切线方程有 ()


A．1 个

第22页共27页

新课标人教 A 高中数学选修



2-2 同步练习

B．2 个


C．多于两个


D．不能确定



[答案]

[解析 ]

B

∵ f(x)＝ x
3
，∴ f′ (x)＝ 3x
2
，



令 3x＝ 1，得 x＝ ± ，
3
2
3
即切点坐标为



3
，
3

或 －

39



3
，－

3

3

3

y－


9

3

.




3





2

3



3


2

3

由点斜式可得切线方程为

故应选 B.


9
＝ x－

3
或 y＋


9

＝ x＋

3
，即 y＝ x－

9

或 y＝ x＋


9






.

13.若曲线 y＝ x
2
＋ ax＋b 在点 (0， b)处的切线方程是


x－ y＋ 1＝ 0，则 (

A ． a＝ 1， b＝ 1


B．a＝－ 1，b＝ 1


)

















C．a＝ 1， b＝－ 1


D． a＝－ 1，b＝－ 1


[答案]


A

y′ ＝ 2x＋ a， ∴y′ |
x
＝

0
＝ (2x＋ a)|
x
＝

0
＝ a＝ 1，

[解析 ]


将 (0， b)代入切线方程得

b＝ 1.


14.关于归纳推理，下列说法正确的是


(

)

A ．归纳推理是一般到一般的推理

B．归纳推理是一般到个别的推理


C．归纳推理的结论一定是正确的


D．归纳推理的结论是或然性的


[答案]

D

归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选

)

D.

[解析 ]


15.下列说法正确的是 (



A ．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论


C．合情推理不能猜想


D．合情推理得出的结论无法判定正误


[答案]


B

[解析 ]





由合情推理得出的结论不一定正确，

A 不正确； B 正确；合情推理的结论本身

D 也不正确，故应选

就是一个猜想， C 不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，

第23页共27页

新课标人教 A 高中数学选修



2-2 同步练习

B.


16.“∵四边形

ABCD 是矩形，∴四边形 ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前

提是(



)

A ．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形


C．等腰梯形都是对角线相等的四边形


D．矩形都是对边平行且相等的四边形


[答案]




B

由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边

[解析 ]

形．故应选

B.

17.证明命题“ f(x)＝ e
＋

∵ f(x)＝e ＋
x
，∴ f′(x)＝ e －
x
.

x
1

x
1
x
在 (0，＋∞ )上是增函数”，一个同学给出的证法如下：

e

x

1

e

e

∵ x>0，∴ e >1,0<


x
1

e

x
<1





x

1


∴ e －
e
x
>0，即 f ′ (x)>0，
∴ f(x)在(0 ，＋∞ )上是增函数，他使用的证明方法是

A ．综合法

C．反证法

[答案 ]

[解析 ]


(







)

B ．分析法

D ．以上都不是


A

该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选

(

)

A.

18.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是

A ．有一个解

B．有两个解


C．至少有三个解


D．至少有两个解


[答案 ]

[解析 ]

C


在逻辑中 “ 至多有 n 个” 的否定是 “ 至少有 n＋ 1 个 ”，所以 “至多有两个解 ”


n
的否定为 “至少有三个解 ” ，故应选 C.

19.用数学归纳法证明




1＋
＋ ＋?＋

2 3

11
1
*
， n>1) 时，第一步应验证不等式


2 － 1


(

)

1

A．1＋
2
<2






第24页共27页

新课标人教 A 高中数学选修

2-2 同步练习

11
B．1＋ ＋ ＜2




1 1

C．1＋
2
＋
3
＜3

11


D．1＋ ＋ ＋ ＜3

[答案 ]

[解析 ]

B

∵ n∈N ， n＞1， ∴ n 取第一个自然数为



2



1

*
2，左端分母最大的项为

1
＝，故

3

1



2

－ 1

选 B.

20.命题“对于任意角



θ， cos
4
θ－ sin
4
θ＝ cos2θ”的证明：“

)

cos
4
θ－ sin
4
θ＝ (cos
2
θ－

sin
2
θ)(cos
2
θ＋ sin
2
θ)＝ cos
2
θ－sin
2
θ＝ cos2θ”的过程应用了

(

A ．分析法

B．综合法


C．综合法、分析法综合使用


D．以上都不是


[答案]


B

[解析 ]



所用方法符合综合法的定义，故应选

B.

21.．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；

直角三角形的面积等于底乘高的一半；


钝角三角形的面积等于底乘高的一半；


所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．


以上推理运用的推理规则是


(

)

A ．三段论推理

B．假言推理


C．关系推理


D．完全归纳推理


[答案]

D

所有三角形按角分，只有锐角三角形、

Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述

[解析 ]



推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．

22.i 是虚数单位，计算

i＋ i
2
＋ i
3
＝ (

)

A．－ 1


B．1


C．－ i


D． i




[答案]

A

第25页共27页

新课标人教 A 高中数学选修



2-2 同步练习

[解析 ]


i＋ i
2
＋ i
3
＝ i－ 1－ i＝－ 1.

23.．如果复数 a＋ bi( a，b∈ R)在复平面内的对应点在第二象限，则

(

)

A ． a>0， b<0

B．a>0， b>0

C．a<0， b<0

D． a<0， b>0

[答案] D

[解析 ]

复数 z＝ a＋ bi 在复平面内的对应点坐标为

(a， b)，该点在第二象限，需
b>0，故应选 D.


24.i 是虚数单位，

i

＝ ()


3＋ 3i


A.
13

－
i



4

12


B.
1

3



＋

i



4

12

1 3
C.
2
＋
6
i
1 3
D.
2
－
6
i
[答案 ]

B


[解析 ]


i

i(

3－ 3i)



＝




3＋ 3i

(

3＋ 3i)( 3－ 3i)


＝
3＋

3i
＝
1
＋
3

i

12


4

12

，故选 B.


25.复数 z 是实数的充分而不必要条件为

()

A ． |z|＝ z


B ． z＝ z


C．z
2
是实数


D ．z＋ z 是实数


[答案 ]

A


[解析 ]

由 |z|＝ z 可知 z 必为实数，但由 z 为实数不一定得出

故|z|＝ z 是 z 为实数的充分不必要条件，故选

A.

26.．复数 i

3
(1＋ i)

2
＝ (

)


A ． 2


B．－ 2


C．2i


D ．－ 2i


[答案 ]

A


[解析 ]

考查复数代数形式的运算．


i
3
(1＋ i)
2
＝－ i ·(2i)＝ 2.


3－ i

2
＝ (


)


27.复数

1＋ i


A ．－ 3－ 4i


B ．－ 3＋ 4i


C．3－ 4i


D ．3＋ 4i


[答案 ]

A


第26页共27页


a<0 且
|z|＝ z，如 z＝－ 2，此时 |z|≠ z，

新课标人教 A 高中数学选修


2-2 同步练习

[解析 ]














































































































3－ i

2
＝

8－

＝－ 3－ 4i.

1＋ i

2i

6i
第27页共27页