高中数学高考选择填空题解法总结及专项训练资料

?
x
2
?6x?6,x?0,
例12【陕西省镇安中学高三月 考】设函数f(x)=
?
若互不相等的实数x
1
,x
2
,x
3
3x?4,x?0,
?
满足f(x
1
)=f(x
2
)=f(x
3
),则x
1
+x
2
+x
3
的取值范围是( )
A.
(
2026
,]

33
B.
(
202611
,)
C.
(,6]

333
D.
(
11
,6)

3
分析：根据题意作出f(x)的图像，问题转化为与直线的交点问题即可.
【答案】D
【解析】作出函数
f
?
x
?
的图像如图:
< br>点评：本题以分段函数图像为载体，考查数形结合思想，意在考查考生的化归与转化能力.难
度较 大.
【规律总结】图解法(数形结合法)是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，< br>只要把握图形的性质必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，
准确 把握题目的特点．用图解法(数形结合法)的方法巧解选择题，是建立在扎实函数图像的
基础上的，否则 会因为图像的把握不准而不能得到正确的结论．
【举一反三】
1. 【浙江省绍兴市一中高三9月回头考】 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面
积是（ ）
- 11 -

（A）
2?
【答案】B
【解析】三棱锥的高为1，底面为等腰三角形，如图 ：因此表面积是
111
?2?2+2??5?1+?5?2=2?25
，选B．
222
5
（B）
2?25
（C）
42
（D）
33

?
?
2?x,x?2,
2. 【2015高考天津】已知函数
f
?
x
?
?
?
函 数
g
?
x
?
?b?f
?
2?x
?
，其
2
?
?
?
x?2
?
,x?2,
中b?R
，若函数
y?f
?
x
?
?g
?
x
?
恰有4个零点，则
b
的取值范围是( )
（A）< br>?
7
??
7
???
7
??
7
?,??
?
（B）
?
??,
?
（C）
?
0,
?
（D）
?
,2
?

4
?
?
4
??
4
?
??
4
?
【答案】D
f(x)?f(2?x )?b?0
有4个不同的解，即函数
y?b
与函数
y?f(x)?f(2?x )
的图象
的4个公共点，由图象可知
7
?b?2
.
4
- 12 -

8
6
4
2
5
2
5

1015

4
6
8

1.【重庆市巴蜀中学高三月 考】若直线
ax?2y?1?0
与直线
x?y?2?0
互相垂直，那么a的值等于( )
A．1 B．
?
C．
?
【答案】D
1
3
2
D．
?2

3

y
A
F
B
x
【解析】由
【用到方法】直接法.
得，故选D.
2.如图,直线y=m与抛物线y=4x交于点A，与圆(x－1)+y=4的 实线部分交于点B,F为抛物线
的焦点，则三角形ABF的周长的取值范围是 ( )
A.(2,4) B.(4,6) C. D.

【答案】B
222

【用到方法】1.图像法.2.排除法.
- 13 -

3. 【2015高考新课标1】函数
f(x)?cos(
?
x?
?
)
的部分图像如图所示，则
f(x)
的单调递
减区间 为（ ）
（A）
(k
?
?
1313
,k
?
?),k?Z
（B）
(2k
?
?,2k
?
?),k?Z

4444
1313
（C）
(k?,k?),k?Z
（D）
(2k?,2k?),k?Z

4444
【答案】D
【用到方法】图像法.
32
c
、4.已知函数
f(x)?x?bx ?cx?d
（
b
、，当
x?(0,1)
时取极大值，当
x? (1,2)
d
为常数）
时取极小值，则
(b?)?(c?3)
的取值 范围是 （ ）
1
2
22
A.
(
37
37
,5)
B.
(5,5)
C.
(,25)
D.
(5,25)

2
4< br>c
A
B
D
o
4b+c+12=0
2b+c+3=0< br>b

【答案】D
322
【解析】因为函数
f(x)?x?b x?cx?d
的导数为
f'(x)?3x?2bx?c
.又由于当
?
f'(1)?0
?
2b?c?3?0
?
?
x?(0,1)
时 取极大值，当
x?(1,2)
时取极小值.所以
?
f'(0)?0
即 可得
?
c?0
，因
?
f'(2)?0
?
4b?c? 12?0
?
?
- 14 -

为
(b?) ?(c?3)
的范围表示以
(?
1
2
22
1
,3)
圆心的半径的平方的范围.通过图形可得过点A最
2
22
大，过点B最小，通 过计算可得
(b?)?(c?3)
的取值范围为
(5,25)
.故选D.
【用到方法】1.图像法.2.特值法.
1
5.【阜阳一中月考】数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
＝，且对任意正整数
m
、
n
，都有
a
m
＋
n
3
＝
a
m
·
a
n
，若
S
n
<
a
恒成立，则实数
a
的最小值为( )
1
A.
2
3
C.
2
【答案】A
2
B.
3
D．2
1
2
【用到方法】直接法.
22
2
5
3
5
2
6.【安徽省示范高中高三第二次 联考】已知
a?(),b?(),c?log
3
,则a,b,c
的大小关55
5
5
系是（ ）
A. a【答案】D
【解析】因为
?
2
?
2
??
3
?
??1,log?1
.所以
a?b?c
,故D正确.

3
???
555
????
5
2
5
2
5
【用到方法】构造函数法
7.【三明一中2014—2015学年上学期学段考高三】原命题
p
：“设
a、b、c?R,若a?b,则ac
2
＞
bc
2
”以及它的逆命题 ，否命题、逆否命题中，真命题共
有（ ）个.
A.0 B.1 C.2 D.4
【答案】C.
- 15 -

【解析】
?当c?0
时，
ac?bc?0
，即原命题错误，则其逆否命题错误；原命题的逆命
22
题为“设a、b、c?R,若ac?bc,则a?b
”为真命题，则原命题的否命题为真命题；故
2 2
选C.
【用到的方法】1.排除法；2.特值法.
8.【广东省惠州市高三第一次调研】下列命题中的假命题是（ ）．
（A）
?x?R,lgx?0
（B）
?x?R,tanx?0
（C）
?x?R,2?0
（D）
x
?x?R,x
2
?0

【答案】D
【 解析】对选项D，由于当
x?0
时，
x
2
?0
，故选D．
【用到方法】1.特值法.
9.【安徽省示范高中高三第一次联考】在复平面内复数
z?
数
a
的取值可以为（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.2
【答案】A
【解析】
z?
ai?1
对应的点在第一象限，则实1?i
?
1?a?0
ai?1(ai?1)(1?i)(1?a)?(1?a)i
??
?
，，∵复数在第一象限，∴
?
1?a?0
1?i(1 ?i)(1?i)2
?
?1?a?1
选A.
【用到的方法】直接法. 10.【广东省广州市荔湾区高三调研测试】某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边
长为
2
的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是
A
.
20
16
?
?

B
.
C
.
8?

D
.
8?

3
3
63
【答案】A
【用到的方法】数形结合法.
x
2
y
2
11.【广东省广 州市荔湾区高三调研测试】如图，
F
1
、
F
2
是双曲线2
?
2
?1(a?0,b?0)
ab
- 16 -

的左、右焦点，过
F
1
的直线
l
与双曲线的 左右两支分别交于点
A
、
B
.若
?ABF
2
为等边 三角
形，则双曲线的离心率为

A.4 B.
7
C.
【答案】B
23
D.
3

3
【解 析】设正三角形的边长为
m
，即
AB?AF
2
?BF
2?m
，结合双曲线的定义，可知
BF
1
?2a,BF
2
?4a,F
1
F
2
?2c
，根据等边三角形，可知
?F1
BF
2
?120?
,应用余弦定理，
可知
4a
2
?16a
2
?2?2a?4a?
【用到的方法】数形结合.
1 2.【宁夏银川九中高三年级期中试卷理科数学】已知函数
f(x)
是奇函数，当
x? 0
时，
c
1
?4c
2
，整理得
?7
，故选 B.
a
2
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
, 且
f(log
0.5
4)??3
，则
a
的值为（ ）
A.
3
B. 3 C. 9 D.
【答案】A
【解析】
3

2
【用到的方法】直接法.
测试二
1.【重庆市部分区县高三上学期入学 考试】已知正数组成的等比数列
{a
n
}
，若
a
1
a
20
?100
，
那么
a
7
?a
14的最小值为（ ）
A．20

B．25 C．50 D．不存在
- 17 -

【答案】A
【解析】由已知得
a
7
?a
14
?2a
7
a
14
?2a
1
a
20
?2100?20
．故选：A．
【用到方法】直接计算.
2.【长春市普通高中高三质监】已知向量
a
，
b
满足
a+b?( 5,?10)
，
a?b?(3,6)
，则
a,b
夹角的余弦值为( )
A.
?
【答案】D
【解析】
a?
13

13
B.
13

13
C.
?
213

13
D.
213

13
(a?b)?(a?b)(a?b)?(a?b)
?( 4,?2)
，
b??(1,?8)
，则
a,b
的夹角余弦
2 2
值为
cos
?
?
a?b20213
. 故选D.
??
13
|a|?|b|20?65
【用到方法】直接法
3．【广 东省广州市荔湾区高三调研测试】将函数
f(x)?sin(2x?
?
)(
?
?
?
2
)
的图象向左平移
?
?
?
?
个单位后的图形关于原点对称，则函数
f(x)
在
?
0,
?
上的最小值为
6
?
2
?
A.
【答案】D
1
1
33
B. C.
?
D.
?

2
2
22
【用到方法】图像法.
x
3
4．【长春 市普通高中高三质监】已知函数
y?
|x|
,则其图像为( )
e
- 18 -

A. B.

C. D.
【答案】A
x
3
【解析】函数
y?
|x|
为奇函数，且
y
?
|
x?0
?0
，可推出在原点处切线的斜 率为0，故选A.
e
【用到方法】特值法.
5.【宁夏银川一中高三模拟考试】下列图象中，有一个是函数
1

f(x) ?x
3
?ax
2
?(a
2
?1)x?1(a?R,a?0)
的导函数
f
?
(x)

的图象，则
f(?1)?
（ ）
3



A．
11715
B．
?
C． D．
?
或
33333
【答案】B
【解析】

【用到方法】数形结合.
- 19 -

6.【辽宁省五 校协作体高三上学期期初考试】已知
F
1
,F
2
分别为双曲线
PF
1
x
2
y
2
??1(a?0,b?0)
的左 、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值
22
ab
PF
2
为8
a
，则双曲线的离心率
e
的取值范围是（ ）
A.
?
1,3
?
B.
1,3
?
C.
?
3,3
?
D.
?
3,??
?

2
?
?
??
【答案】A
PF
1
(2a? PF
2
)
2
4a
2
【解析】：
???PF
2
?4a?8a
当且仅当
PF
2
?2a
时取得最小值，PF
2
PF
2
PF
2
此时
PF2a?c?a< br>解得，
e?
1
?4a
.已知
PF
2
?c?a ,即
故选A。
【用到方法】数形结合.
2x
7.【河南省师范大学附属中 学高三12月月考理科数学】若曲线
C
1
:y?x
与曲线
C
2
:y?ae
2
c
?3
.又因为双曲线离心率
e?1
.
a
(a?0)
存在公共切线，则a的取值范围为（ ）
A．
[
8844
,??)(0,][,??)(0,]
B． C． D．
2222
eeee
【答案】D
2
【解析 】设公共切线与曲线
C
1
切于点
(x
1
,x
1)
，与曲线
C
2
切于点
(x
2
,ae
2
)
，则
x
ae
x
2
?x
1
2< br>ae
x
2
?x
1
2
x
，将
ae?2 x
1
代入
2x
1
?
，可得
2x
2
?x
1
?2
，又由
2x
2
?ae?
x
2< br>?x
1
x
2
?x
1
x
2
2
ae
x
2
?2x
1
得
x
1
?0
， ∴
x
2
?1
，且
a?
4(x
2
?1)4(x?1)
f(x)?
，记，
x?1
，求导得
e
x< br>2
e
x
f
'
(x)?
4(2?x)4
f(x )(1,2)(2,??)
f(x)?f(2)?
，可得在上递增，在上递减，∴，
m ax
e
x
e
2
4
]
.
e
2
∴
a?(0,
【用到方法】直接法
8.【福建省厦门双十中学高三上学期期中考试】下列函数存在极值的是（ ）
- 20 -

A.
y?2x?cosx

x32
B.
y?e?lnx
C.
y?x?3x?3x?1
D.
y?lnx?
1

x
【答案】
B

【用到方法】排除法
9.【长春市十一高 中2014-2015学年度高三上学期阶段性考试数学试题（理）】在非直角
?ABC
中 “
A?B
”是“
tanA?tanB
”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要
条件
【答案】D
【解析】：在非直角
?ABC
中 ， 由“
A?B
”不能推出“tanA?tanB
”，如A=120，B=30
00
此时满足A>B，但tan A<0,而tanB>0不满足
tanA?tanB
，所以不充分；反之，当
tanA ?tanB
时，也不能推出
A?B
，如A为锐角，B为钝角时有
tanA?t anB
，但A选D．
【用到方法】特值法.
10 .【2014-2015学年度上学期省五校协作体高三期中】函数
f
?
x
?
?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0,|< br>?
|?
y
x

?
2
)
的图象如下图所示，则下列说法正确的是（ ）
1
O
5
-

6
6
A
．对称轴方程为x?
?
3
?2k
?
(k?Z)

B
．
?
??
?
6

C
.最小正周期是
?

- 21 -

D
．
f
?
x
?
在区 间
(?
【答案】
D

3
?
5
?
,?)
上单调递减
26
【用到方法】排除法，直接法.
11.【拉萨中学高三年级（）第三次月考试卷 】已知单位向量
向量与的夹角为，则
与的夹角为，且，
=（ ）
D． A． B．
【答案】B.
【解析】因为单位向量与
C．
的夹角的余弦值为，所以e
1
?e
2
?e
1
e
2
cos
?
?
?
2
?
2
????
1
；
3
又因为
a?b?(3e
1
?2e
2
)(3e
1?e
2
)?11?9e
1
?e
2
?8
，而3e
1
?2e
2
????
????????
?
?9
，
3e
1
?e
2
?
?8
，
? ?
所以
3e
1
?2e
2
?3
，
3e
1
?e
2
?22
，所以
a?b
ab
??
?
22
，故应选B.
3
【用到方法】直接法.
12.【河南省师 范大学附属中学高三12月月考】如图，在平行四边形ABCD中，
BH?CD
于
AB ?AC?BE?CB?AE?15
，点H，BH交AC于点E，已知
|AB|?|BE|?3< br>，则
3

2
2
AE
（ ）
?
EC
A．6 B．3 C．2 D．
- 22 -

【答案】D

【用到方法】数形结合法.
测试三
1. 【2015高考上海】设
z
1
、
z
2
?C
，则“
z
1
、
z
2
均为实数”是“
z
1
?z
2
是实数”的（ ）.
A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非
必要条件
【答案】A
【解析】设
z
1
?a
1
?b
1
i(a
1
,b
1
?R)，
z
2
?a
2
?b
2
i(a
2
,b
2
?R)
，若
z
1
、
z
2
均为实数，则
b
1
?b
2
?0
，所以
z
1
?z
2
?a
1
?a
2
?(b
1
? b
2
)i?a
1
?a
2
是实数；若
z
1< br>?z
2
?a
1
?a
2
?(b
1
?b
2
)i
是实数，则
b
1
?b
2
，所以“< br>z
1
、
z
2
均为实数”是“
z
1
? z
2
是实数”
的充分非必要条件，选A.
【用到方法】特值法.
- 23 -

2
x
?1
2. 【201 5高考山东，文8】若函数
f(x)?
x
是奇函数，则使
（fx）?3
成立的
x
的取值
2?a
范围为( )
（A）(
【答案】
C

) (B)() （C） （D）
（0,1）（1,??）
【用到方法】图像法.
222
3.【山东省实验中学高三6月份模拟考试】已知a>0，b>0，c>0，且
ab?1,a?b?c?4
，
则
ab?bc?ac
的最大值为
A．
1?22
B．
3
C．3 D． 4
【答案】A
222
【解析】因为
ab?1,a?b?c?4，所以
a
2
?b
2
?4?c
2
?2ab?2< br>，当且仅当
a?b?1
时取等号，所以
c
2
?2
，因 为
c?0
，所以
0?c?2
，当
c?2
时，
a?b ?1
，所以
(a?b)c?2
，则
ab?bc?ac?1?(a?b)c?1 ?22
，所以
ab?bc?ac
的最大值为
1?22
，故选A．
【用到方法】直接法.
4.【吉林省实验中学高三上学期第一次模拟】一个几何体的三视图如 右图所示，则该几何体
的体积是 （ ）
- 24 -

（A）64 （B）72 （C）80 （D）112
【答案】B
【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是下部是棱长为4的正方体，上部是三 棱锥的组
合体，如图所示，所以该几何体的体积是
V
组合体
=V
正方 体
+V
三棱锥
=4
3
???4
2
?3?72
．
11
32

【用到方法】数形结合.
5.【湖北省八校高三 第一次联考】已知复数
z
1
?2?ai(a?
R
)，
z2
?1?2i
，若
|z
1
|?
( )
z
1
为纯虚数，则
z
2

A
．
2

【答案】
D

【解析】由于
故选择
D
.

B
．
3

C
．2
D
．
5

z
1
2?ai
?
2?a i
??
1?2i
?
2?2a?
?
4?a
?
i
???
为纯虚数，则
a?1
，则
z
1
?
z
2
1?2i55
5
，
【用到方法】直接法.
6.【金太 阳“巴蜀好教育联盟”(四川)12月大联考数学(理工类)】云南师范大学附属中学高
三月考四在区间
A． B．
内任取两个数
C．
，则满足
D．
概率是（ ）

【答案】B
- 25 -

【用到方法】数形结合法
7.【湖南省长沙市一中高三上学期月考五】若如下框图所给的程序 运行结果为S=35，那么判
断框中应填入的关于k的条件是（）

A．k=7 B．
k?6
C．k<6 D．k>6
【答案】D
【用到方法】直接法，排除法
8.【金太阳“巴蜀好教育联盟”(四川)12月大联考】从0 ，1，3，4，5，6六个数字中，选出
一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的 三位数共有( )

A
、24个
【答案】
C

【解析】若包括0，则还需要两个奇数，且0不能排在最高位， 有
C
3
A
2
A
2
＝3×2×2＝12个
若不包括0，则有
C
2
C
3
A
3
＝3×2×6＝3 6个
共计12＋36＝48个
【用到方法】直接法
9.【湖北省八校高三第一次 联考】棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几
何体的三视图如图所示，那么该几何体的 体积是( )

A
．
123
212
B
、36个
C
、48个
D
、54个
14

B
．4
3
- 26 -

C
．
10
3

D
．3

【答案】
B

【解析】几何体如图，体积为：
1
2
?2
3
?4
，故选择
B


【用到方法】数形结合法
?
10.【浙江新高考单科综合调研卷】已知
?< br>x?1
?
x?y?1?0
，若
ax?y
的最小值是
2
，则
a?
?
?
2x?y?2?0
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B.

y
（3，4）


（1，2）

O
（1，0）
x
- 27 -

） （

【用到方法】数形结合法，排除法.
11.【南昌二中 第四次考试】已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
Sn
?a?1??(a?0)
，则数列
{a
n
}
（ ）
A. 一定是等差数列 B. 一定是等比数列
C. 或者是等差数列，或者是等比数列 D. 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
【答案】C
nn?1
1
【解析】当
a?1
时，
a
1
?s
1
?1?1?0
，当
n?2
时，
a
n
?s
n
?s
n?1
?1?1?(1?1)?0
，
n
所以数列
{a
n
}
是等差数列，当
a?1
时，
a
1
?s
1
?a?1
，当
n?2
时 ，
a
n
?s
n
?s
n?1
?a
n
?1?(a
n?1
?1)?a
n
?a
n?1
，所以
a
n?1
?a
n?1
?a
n?2
所以
a
n
a
n
?a
n?1
??a
，数列
{a
n}
是等差数列，综上所述该数列是等差数列，或者是等比数
a
n?1
a< br>n?1
?a
n?2
列.
【用到方法】特值法
x
2
y
2
12.【河南省师范大学附属中学2015届高三12月月考】已知双曲线
2
?
2
?1
(a?0,b?0)
ab
222
的左 焦点为F，左顶点为C，过点F作圆O：
x?y?a
的两条切线，切点为A、B，若
? ACB?120
0
，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
y??3x
B．
y??
【答案】A
32
x
C．
y??2x
D．
y??x

32
【用到方法】数形结合法.


填空题的特征：填空题是 不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解
题”．填空题与选择题也有质的区别：第一 ，填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误
干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结 构往往是在一个正确的命题或断言
- 28 -

中，抽出其中的一 些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考
查方法比较灵活．
从历年高考成绩看，填空题得分率一直不是很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式
规范、表 < br>达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填
空题不 需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题
大做”，而要达到“ 准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．
2． 解填空题的基本原则：解填 空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”．解
填空题的常用方法有：直接法、数形结合 法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法
等．
【方法要点展示】
方法一 直接法：直接法就是从题干给出的条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则
等知识，通过变形、推 理、计算等，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解
填空题最常用的策略．这类填空题是 由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直
接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、 公理、定理、法则等通过准确的运算、严
谨的推理、合理的验证得出正确的结论，使用此法时，要善于透 过现象看本质，自觉地、有
意识地采用灵活、简捷的解法．
?
x
3
,x?a
例1【湖南】已知
f(x)?
?
2
，若存在实数
b
，使函数
g(x)?f(x)?b
有两个零点，
x,x?a
?则
a
的取值范围是 .
思路分析：本题是一道函数的零点 问题，可转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数
a
的不等式，解不等式可求出参数的取 值范围.
【答案】
(??,0)?(1,??)
.
?
1
?
3
2
无解，方程
x?b(x?a)
有2个根：则可知关于
b
的不等式组
?
b?a
有解，从而
a?0
，
??
?b?a
综上，实数
a
的取值范围是
(??,0)?(1,? ?)
.
- 29 -

点评：本题主要考查了函数的零点 ，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零
点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有 解的问题，结合函数与方程思想和转化思想
求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组 有解的参数，从而得到关于参
数
a
的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问 题数形结合转化为函数图象交点的解
法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.
x
2
y
2
例2【山东】平面直角坐标系
xoy
中， 双曲线
C
1
:
2
?
2
?1
?
a? 0,b?0
?
的渐近线与抛物线
ab
C
2
:x
2< br>?2py
?
p?0
?
交于点
O,A,B
，若
?OAB
的垂心为
C
2
的焦点，则
C
1
的离心率< br>为 .
思路分析：本题求出双曲线的渐进线方程，与抛物线结合可 得
A
点坐标，利用垂心可得
k
OB
?k
AF
??1
，从而建立等式，可求出双曲线的离心率.
【答案】
3

2点评：本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问
题的把握 以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及
两直线垂直的条件是突 破此题的关键.
【规律总结】直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题 目的
要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简
化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．
【举一反三】
- 30 -

1. 【天津】在
?ABC
中，内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，已知
?ABC
的面积为
315
，
1
b?c?2,cosA??,
则
a
的值为 .
4
【答案】
8


2. 【2015江苏高考】数列< br>{a
n
}
满足
a
1
?1
，且
an?1
?a
n
?n?1
（
n?N
*
），则数列
{
前10项和为
【答案】
20

1 1
1
}
的
a
n
【解析】由题意得：
a
n< br>?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n ?2
)??(a
2
?a
1
)?a
1
?n?n?1? ?2?1?
n(n?1)

2
所以
11112n20
?2( ?),S
n
?2(1?)?,S
10
?

a
n
nn?1n?1n?111
方法二 特例法
当填空题已知条件 中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗
示答案是一个定值时，可以将题 中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数，
或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特 殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出
待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．
2
x?1
?m
例3【如东中学高三周练】若函数
f(x)?
是奇函数，则
m?
.
2
x
?1
思路分析：根据奇函数的特点，带入特殊值即可求出
m
的值.
解析：显然
f (x)
的定义域为
(??,0)?(0,??)
，∴令
x?1,x??1，则
2
0
?m2
2
?m
f(?1)?f(1)?
?1
?
1
?0
，
2?12?1
则
m?2
.
点评： 特例法的巧妙运用，能大大减少一些复杂的运算．
- 31 -

【规律总结】求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限
于求解结论只 有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该
种方法求解．本题中的发现 函数过一个定点是本题的运用特值法的前提条件，从而减少了计
算量．
【举一反三】
→→
8. 如图所示，在平行四边形
ABCD
中，
AP
⊥< br>BD
，垂足为
P
，且
AP
＝3，则
AP
·< br>AC
＝________.

【答案】
18

< br>→→
【解析】把平行四边形
ABCD
看成正方形，则
P
点为对 角线的交点，
AC
＝6，则
AP
·
AC
＝18.
方法三 数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以 借助图形的直观性，
迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数 的图象及方
程的曲线等，都是常用的图形．
例1【新课标1】在平面四边形
ABCD
中，∠
A
=∠
B
=∠
C
=75°，
BC< br>=2，则
AB
的取值范围是 .
思路分析：本题是一道解三角形题，作出图像，结合图像利用正弦定理可得
AB
的取值 范围．
【答案】（
6?2
，
6+2
）

点评： 本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，
边BC长定，平移< br>AD
，当
AD
重合时，
AB
最长，当
CD
重 合时
AB
最短，再利用正弦定理求出两
种极限位置是
AB
的长，即可 求出
AB
的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的
关键.
【规律总结】图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直
- 32 -

观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的 热点．准确运用此类方法
的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形 中的相关结
论求出结果．
【举一反三】
1. 【天津】在等腰梯形
ABCD
中,已知
ABDC,AB?2,BC?1,?ABC?60
,动点
E
和
F
分别在线段
BC
和
DC
上,且,
BE?
?
BC,DF?
为 .
【答案】
1
DC,
则
AE?AF
的最小值
9
?
29

18

D
F
C
E
A
方法四 构造法
B

构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推
理与计算过 程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积
累，需要从一般的方法原 理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问
题中寻找灵感，构造出相应的函数、概 率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．
例5【江西省五校高三第二次联考】
A,B, C,D
是同一球面上的四个点，其中
?ABC
是正三角
形,
AD
⊥平面
ABC
，
AD?4
，
AB?23
,则该球的 表面积为_________.
思路分析：本题是一道几何体的结合问题，由所给三棱锥的特征，不难想到是正三棱柱的一
- 33 -

部分，而球与正三棱柱的组合是立几考查中常考常新的问题． < br>解析：由题意画出几何体的图形如图，把
A,B,C,D
扩展为三棱柱，上下底面的中心 连线的中
点与
A
距离为球的半径，
AD?4
，
AB?23< br>，所以
AE?2,AO?22
，
?ABC
是正三角形，
所以球 的表面积
4
?
22?32
?
.
??
2

点评：简单几何体与球的组合问题是高考中最常见的问题．通常情况下要去转化构造成常考
的、 熟悉的做法.
【规律总结】构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要 解
决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己
熟 悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易
得到解决．
【举一反三】
111111
1. 已知
a
＝ln－，
b< br>＝ln－，
c
＝ln－，则
a
，
b
，
c的大小
2 0132 0132 0142 0142 0152 015
关系为________．
【答案】
a
>
b
>
c


方法五 归纳推理法
做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几 个
结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解
决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．
例6【安徽省 蚌埠三中月考卷】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角
形数1,3,6,10， …，第
n
个三角形数为

nn
＋
2
1
2< br>1
＝
n
＋
n
，记第
n
个
k
边形数为
N
(
n
，
k
)(
k
≥3)，22
- 34 -

以下列出了部分
k
边形数中第
n
个数的表达式：
三角形数
正方形数
五边形数
六边形数
N
(
n,
3)＝
n
2
＋
n
，
N
(
n,
4)＝
n
2
，
N
(
n,
5)＝
n
2
－
n
，
N
(
n,
6)＝2
n
2
－
n
< br>3
2
1
2
1
2
1
2
………………… ……………………
可以推测
N
(
n
，
k
)的表达 式，由此计算
N
(10,24)＝____________.
思路分析：本题中如 何求出
N
(
n
，
k
)是解题的一个关键，也是一个难点，观 察所给条件不难发
现运用特殊到一般的规律进行处理，进而求解．

点评：归纳推理 法在填空题中的运用不是十分严格的，但在本题中不失是一种行之有效的方
法，如在解答题中运用是要加 以证明的．
【规律总结】这类问题是近几年高考的热点．解决这类问题的关键是找准归纳对象．如本题
把函数的前几个值一一列举出来．观察前面列出的函数值的规律，归纳猜想一般结论或周期，
从 而求得问题．
【举一反三】
1. 【陕西】观察下列等式：
11
?

22
11111
1－
????

23434
11111111
1－
???????

23456456
1－
…………
据此规律，第
n
个等式可为______________________.
【答案】
1?
11111111

???????????????
2342n?12nn?1n?22n
【解析】观察等式知：第
n
个等式的左 边有
2n
个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分
子为1，分母是1到
2 n
的连续正整数，等式的右边是
111
.故答案为
??????
n? 1n?22n
11111111

1????????????????
2342n?12nn?1n?22n
- 35 -

22
1.【湖南省师大附中等高三四校联 考】已知点
A(?1,0)
，过点
A
可作圆
x?y?mx?1?0< br>的
两条切线，则
m
的取值范围是______．
【答案】
(2,??)
．

【用到方法】直接法
2．正 六棱柱
ABCDEF?A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
的底面边长为
3
，侧棱长为1，则动点从
A
沿表面移
到点
D
1
时的最短的路程是 ．
【答案】
19

【解析】如下图所示，作出正六棱柱
ABCDE F?A
1
B
1
C
1
D
1
E
1F
1
的展开图，如果动点从
A
经
侧面通过
BB
1
,CC
1
移到点
D
1
时，则路程为
?
3 3
?
2
?1
2
?27
；如果动点从
A
经经
A
1
B
1
沿
上底面移到点
D
1
时 ，根据题目条件，
BD
1
?BB
1
?B
1
D
1
?1?3?3?4
，则路程为
4?3?19
；而
19?27，所以最短的路程是
19
.
2
2

【用到方法】数形结合法
3.【山西省山大附中高三上学期期中考试】已知函数
f( x)?
?
?lg(?x),
2
x?0
?
x?6x?4,x? 0
若关于
x
的函
2
数
y?f(x)?bf(x)?1
有8个不同的零点，则实数
b
的取值范围是（ ）
- 36 -

A．
(2,??)
B．
[2,??)
C．
(2,
【答案】D
1717
)
D．
(2,]
44


【用到方法】数形结合法
4.已知数列
?
a
n
?
满足
a
n?1
___________．
【答案】1017072
【解析】这个数列既不是等差数列也不是等比数列，因此我们要研究数列的各项之间有什么
?
?
?1
?
a
n
?n,
?
n?N
?
?
，则数列
?
a
?
的前2016项的和
S
2016
的值是
n
n
a
3
?a
2
?2
，< br>a
4
?a
3
?3
，关系，与它们的和有什么联系？把已知条件 具体化，有
a
2
?a
1
?1
，
a
5
?a
4
?4
，…，
a
2015
?a
2014?2014
，
a
2016
?a
2015
?2015，我们的目的是求
S
2016
?a
1
?a
2
? a
3
?a
4
??a
2016
，因此我们从上面2015个等 式中寻找各项的和，可能首
先想到把出现“＋”的式子相加（即
n
为偶数的式子相加） ，将会得到
a
2
?a
3
?a
4
?a
5??a
2014
?a
2015
?2?4??2014
，好像离目 标很近了，但少
a
1
?a
2016
，
而
a
1
与
a
2016
分布在首尾两个式子中，那么能否把首尾两个式子相减呢？相 减后得到
- 37 -

(a
1
?a
20 16
)?(a
2
?a
2105
)
?

21 05?1?2014
，为了求
a
1
?a
2016
，我们又不 得不求
a
2
?a
2015
，依次下去，发现此路可能
较复杂 或者就行不通，重新寻找思路，从头开始我们有
(a
4
?a
3
)?( a
2
?a
1
)?3?1?2
，即
(a
1
? a
4
)?(a
2
?a
3
)?2
，而
a2
?a
3
?2
，∴
a
1
?a
4
?4
，因此
a
1
?a
2
?a
3
?a4
?2?4?6
，
我们由开始的三个等式求出了
a
1
? a
2
?a
3
?a
4
，是不是还可用这种方法求出
a
5
?a
6
?a
7
?a
8
呢？下面舍去a
5
?a
4
?4
，考察
a
6
?a5
?5
，
a
7
?a
6
?6
，
a
8
?a
7
?7
，同样方法处理，
(a
8
?a
7
)?(a
6
?a
5
)?(a
5
?a
8
)?(a
6
?a
7
)?7?5?2
，从而
a
5
?a
8
?2?(a
6
?a
7
)?8
，于
是
a
5
?a
6
?a
7
?a< br>8
?8?6?14
，而
得
S
2016
?(a
1
?a
2
?a
3
?a
4
)?
2016?504
，正好504组，看来此法可行，由此我们可
4
?(a
2013
?a
2014
?a
2015

?(a
4k?3?a
4k?2
?a
4k?1
?a
4k
)?
?a
2016
)
?(2?2?2)?(2?2?6)??(2?2?(4k?2))??( 2?2?2014)
?2?504?4?(1?3?
5?
【用到方法】归纳推理法
?1007)
?
1017072
．
第二组
1.已知tan(?
?
)=
【答案】
?
?
4
1?
，
?
?(,?)
，则
tan
?
的值是_______;
cos
?
的值是_______.
72
34
;
?

45
【用到方法】直接法
2.【安徽省红旗中学月考】若锐角α，β，γ满足cosα＋cosβ＋cosγ＝1，那么tan α·tan
β·tan γ的最小值为________．
【答案】22.
【解 析】如图，构造长方体
ABCD
?
A
1
B
1
C1
D
1
.设
AB
＝
a
，
AD
＝
b
，
AA
1
＝
c
，∠
C
1AB
＝α，∠
C
1
AD
＝β，
- 38 -

222

∠
C
1
AA
1
＝γ，则co sα＋cosβ＋cosγ＝1.从而有tan α·tan β·tan γ＝
222
b2
＋
c
2
a
2
＋
c
2
a2
＋
b
2
2
bc
·2
ac
·2
ab
··≥＝22.当且仅当
a
＝
b
＝
c
时，t an α·tan
abcabc
β·tan γ有最小值22.

【用到方法】构造法
32
3.【河北省冀州市中学高三上学期期中】过函数
f(x)?x?3x?2x?5
图像上一个动点作
函数的切线，则切线倾斜角的范围是 ．
【答案】
?
0,
?
?
?
?
?
2
?
?
3
?
?
,
?
?

?
4
??
【用到方法】直接法
4.【浙江省绍兴市一中高三9月回 头考】已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D1
的棱长为1，点P是
线段
A
1
C
1
上的动点 ，则四棱锥
P?ABCD
的外接球的半径R的取值范围为 ．
【答案】
[,
33
]

42
【解析】外接球的球心 必在上下底面中心
OO
1
的连线上，也在线段PA中垂线
l
上,即球 心为线
段
OO
1
与
l
的交点，当点P是线段
A1
C
1
中点
O
1
时，球的半径R最小，由三角形相似得 半径R
为
3
3
；当点P是
A
1
或
C
1
中点时，球心为
OO
1
中点，球的半径R最大，为；半径R的取值
2
4
33
]
．
42
- 39 -
范围为
[,

【用到方法】数形结合法
第三组
1.【安徽省六安市一中高三上学期第四次月考】分形是几何学是美籍法国数学家伯努 瓦·曼
德尔布罗（BenoitMandelbrot）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创 立为解决传统
科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照下图1的分形规律可得到如图2所示的一个树
*
形图，则当
n?3
时，第
n(n?N)
行空心圆点个数< br>a
n
与第
n?1
行及第
n?2
行空心圆点个数
a
n?1
,a
n?2
的关系式为________；第12行的实心圆点的 个数是_______．

【答案】
a
n
?a
n?1?a
n?2
；89
【用到方法】归纳推理
2.【浙江省效实中学高三 上学期期中考试】已知正项数列
?
a
n
?
的首项
a
1
?1
，且
22*
2na
n?1
?(n?1)a
n
a
n?1
?(n?1)a
n
?0(n?N)
，则
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
．
【答案】
n

2
n?1
【解析】
22*
试题分析：因为
2na
n?1
?(n?1)a
n
a
n?1< br>?(n?1)a
n
?0(n?N)
，所以
?
2na
n ?1
?(n?1)a
n
?
(a
n?1
?a
n
)?0
，所以
2na
n?1
?(n?1)a
n
- 40 -

?0
或
a
n?1
?a
n
?0
（舍去），

所以
a
n?1
n?1
a
n，
n
?

?
a
n
2na
n?!
2(n?1)
n
a
a
2
a
3
23n
??
?
?
n
?1???
?
??
n?1
. a
1
a
2
a
n?1
2?12?22?(n?1)
2
a
n
?a
1
?
【用到方法】直接法
22
3. 【贵州省贵阳市六中高三元月月考】已知圆
O:x?y?1,直线x?2y ?5?0
上动点
P
，
过点
P
作圆
O
的一条 切线，切点为
A
,则
PA
的最小值为 ．
【答案】
2


【用到方法】数形结合法
?
x? y?4
?
4.【浙江省效实中学高三上学期期中考试】已知点
P(x,y)
的 坐标满足：
?
y?x
，过
P
的
?
y?1
?
22
直线交圆
C:x?y?25
于
A、B
两点，则弦长AB
的最小值为 ．
【答案】
215

?
x? y?4
?
【解析】如图所示，阴影部分
?
y?x
的可行域，要弦长< br>AB
取得最小值，则AB离圆心的
?
y?1
?
?
x? y?4
?
x?3
解得
距离最大，易得当AB过点F，且
AB?OF< br>与DF满足题意，由
?
所以
?
y?1y?1
??
F (3,1)
|OF|?3
2
?1
2
?10
，
AB< br>最小值=
25
2
?(10)
2
?215
.
- 41 -

【用到方法】数形结合法
第四组
1.【重庆市巴蜀中学高三上学期期中】若
z?C
，且
z? 2?2i?1
，则
z?2?2i
的最小值
为 ．
【答案】
3
．
【用到方法】数形结合法
?
x?1
?
2. 【江西省名校学术联盟高三第一次调研】已知
x, y
满足
?
x?y?4?0
，，记
z?2x?y
的
?
x?y?0
?
最大值为
m
，则函数
y?a
【答案】
(1,3)

【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，解方程组得边界点的 坐标为
A(1,3),B(2,2),C(1,1)，易知将
B(2,2)
代入时会使 得目标函数取得最大值z=2×2-2=2.所以
x?1
?m
（
a?0
且
a?1
）的图象所过定点坐标为 .
y?a
x?1
?m?a
x?1
?2
过定点(1,3).
- 42 -

x

【用到方法】数形结合法
3.设
f
?
x
?
是定义在
R
上的函数，且 对任意
x,y?R
,均有
f
?
x?y
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?
?2014
成立，若 函数
g
?
x
?
?f
?
x
?
?20 14x
【答案】-4028
2013
有最大值
M
和最小值
m
，则
M?m
=__________.
【用到方法】特例法（赋值）
4.【湖北省八校联考】如图，已知球
O
的面上有四点
A
、
B
、
C
、
D
，
DA
⊥平面
ABC
，
AB
⊥
BC
，
DA
＝
AB
＝
B C
＝2，则球
O
的体积等于________．

【答案】6π
- 43 -

【用到方法】构造法
第五组
1. 【辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】
36
的所有正约数之和可按如下方法得 到：因为
36?2
2
?3
2
，所以
36
的所有正约 数之和为
(1?3?3
2
)?(2?2?3?2?3
2
)?(22
?2
2
?3?2
2
?3
2
)?(1?2?2
2
)(1?3?3
2
)?91
，参照上
述方法，可求得200
的所有正约数之和为 ．
【答案】
465
．
【解析】类比
36
的所有正约数之和的方法有：
200
的所有正约数 之和可按如下方法得到：因
为
200?2
3
?5
2
，所以< br>200
的所有正约数之和为
(1?2?2
2
?2
3
) (1?5?5
2
)?465
，所以
200
的所有正约数之和为
465
，故应填
465
．
【用到方法】归纳推理法
2. 【襄阳五中 宜昌一中 龙泉中学高三年级联考】已知
sin(
?
?
?< br>1
?
5
?
)?,
?
?(,)
，则
6 336
cos(
?
?)?
_________．
3
【答案】
?
?
1?26

6
【解析】因 为
?
?(
?
5
?
36
,)
，
?< br>?
?
?
22
?
?
1
结合
sin(< br>?
?)?,
所以
cos(
?
?)??
，
?( ,
?
)
，
63
6263
所以
cos(
?< br>?
?
3
?
1
?
??
cos(
??)?sin(
?
?)
)?
cos[(
?
?)?]?
2626
3
66
?
322111?26
?(?)?? ??
.
23236
【用到方法】直接法
x
2
y
2
3.【浙江省效实中学高三上学期期中考试】已知
F
1
、F
2分别是双曲线
2
?
2
?1
的左、右焦
ab
点， 过
F
2
且垂直于
x
轴的直线与双曲线交于
A、B
两 点，若
?ABF
1
为锐角三角形，则双曲线
- 44 -

的离心率
e
的取值范围是 ．
【答案】
(1,2?1)

【用到方法】直接法
4. 【吉林省吉 林大学附中高三上第四次摸底】甲船在岛的正南方处，千米，甲船
以每小时千米的速度向正北航行，同时 乙船自出发以每小时千米的速度向北偏东60°的
方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时 间是 小时.
【答案】
的三角形，设
，乙船距离B
，由于抛物
小时.
【解析】两船轨迹及 距离最近时两船连线构成一个以B岛为顶点，角度为
距离最近时航行时间
岛，所以
，此 时距离，此时甲船到B岛距离为
，化简得
线的考口向上，在对称轴处有最小值，当取最小值时，

【用到方法】数形结合法
第六组
?
x?y?1
y1< br>?
?
1.【新高考单科综合调研卷（浙江卷）】已知变量
x
，
y
满足约束条件
?
x?y?1
，若
x?22
?
x? a
?
恒成立，则实数
a
的取值范围为________．
1]
. 【答案】
[0，
- 45 -

y

1

1
-1



P

Q
2

x

【用到方法】数形结合法
2. 【江省新余一中、万载中学、宜春中学联考】设< br>f(x)
、
g(x)
分别是定义在R上的奇函数
和偶函数，当
x
＜0时，
f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)?0
， 且
g(3)?0
，则不等式
f(x)?g(x)?0
的解集是
【答案】
(??,?3)(0,3)

【解析】根据题意可知
f?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)?(f(x)?g(x))'?0
，令
F(x)?f(x)?g(x)
，
可知
F(3)?0
，函数< br>F(x)
在
(??,0)
上是增函数，又根据条件可知
F(x)
是奇函数，根据函数
图像的对称性，可知不等式
f(x)?g(x)?0
的解集是< br>(??,?3)
【用到方法】构造函数法
3.【江西省南昌市二中高三上第四次考试】 已知
?ABC?90
，
PA?
平面
ABC
，若
o< br>(0,3)
.
PA?AB?BC?1
，则四面体
PABC
的 外接球（顶点都在球面上）的表面积为 ．
【答案】
3
?

【解析】取
PC
的中点
O
，连接
OA,OB
，如下 图
- 46 -

由题意知
PA?BC
，又
?AC?BC,PC?AC?A
，
?BC?
平面
PAC
，
?BC?PB
，
在
Rt?PBC
，
OB?
11
1
PC
，同理
OA?PC
，
?OA?OB?OC?OP?P C
，因此
22
2
22
P,A,B,C
四点在以
O< br>为球心的球面上，在
Rt?ABC
，
AC?AB?BC?2
，在
22
Rt?PAC
中，
PC?PA?AC?3
，球
O
的半 径
R?
13
PC?
，因此球的表面积为
22
S?4
?
R
2
?3
?
．
【用到方法】直接法
4.【江苏省苏州市高三第一次模拟考试】阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果
为 ．
开始

x←1 ，y←1
z←x+y
z < 6
Y
x← y
y← z

【答案】

N
输出

结束

y
x
5

3
【用到方法】直接法
- 47 -