高考数学选择题的解题技巧

高考数学选择题的解题技巧
解数学选择题的常用方法，主要分直 接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、
最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题 都用直接法解答，不但时间不允许，甚
至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些 技巧．总的来说，选择题
属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做．
方法一 直接法
直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一
些定性的 问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断
题改编而成的，可直接 从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等
通过准确的运算、严谨的推理、合理 的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出
相应的选择．
1
例1 数列{ a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
1
＝，且对任意正整数m 、n，都有a
m
＋
n
＝a
m
·a
n
，3
若S
n
123
A. B. C.
232
D．2
a
n
＋
1
1
解析 对任意正整数m、n，都有a
m
＋
n
＝a
m
·a
n
，取m＝1，则有a
n
＋
1
＝a
n
·a
1
?
＝a
1＝，故
a
n
3
11
?1－
n
?
33< br>11111
数列{a
n
}是以为首项，以为公比的等比数列，则S
n< br>＝＝(1－
n
)<，由于S
n
331232
1－
3
11
意n∈N
*
恒成立，故a≥，即实数a的最小值为，选A .
22
思维升华 直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算 正确
必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特
点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会
快中出错．
将函数y＝sin 2x(x∈R)的图象分别向左平移m(m>0)个单位、向右平移n(n>0) 个单
π
位所得到的图象都与函数y＝sin(2x＋)(x∈R)的图象重合，则|m－n|的 最小值为( )
3
π5ππ
A. B. C.
663
2π
D.
3
解析 函数y＝sin 2x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位可得y＝sin 2(x＋m)＝sin(2x＋2m)
的图象，向右平移n(n>0)个单位可得y＝sin 2(x－n)＝sin(2x－2n)的图象．若两图象都与函数

1

π
y＝sin(2x＋)(x∈R)的图象重合，则
3?
?
π
2n＝－＋2k
π，
?
3
2
π
2m＝＋2k
1
π，
3

?
(k，k∈Z)即?
π
n＝－
?
6
＋k
π.
12
2π
m＝＋k
1
π，
6

(k
1
，ππ
k
2
∈Z)所以|m－n|＝|＋(k
1
－k
2< br>)π|(k
1
，k
2
∈Z)，当k
1
＝k
2
时，|m－n|
min
＝.故选C.
33
方法二 特例法
特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条
件，得出特 殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、
特殊数列、特殊函数、 特殊图形、特殊角、特殊位置等．
特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的 所有元素、某种关系恒
成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不 真，则它
在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．
例2 (1)等差数列{a
n
}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )
A．130 B．170 C．210 D．260
(2)如图，在棱柱的侧棱A
1
A和B
1
B上各有一动点P、Q满足A
1
P＝BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )
A．3∶1 B．2∶1 C．4∶1 D.3∶1
解析 (1)取m＝1，依题意a
1
＝30，a
1
＋a
2
＝100，则a
2
＝70，又{an
}是
等差数列，进而a
3
＝110，故S
3
＝210 ，选C.
(2)将P、Q置于特殊位置：P→A
1
，Q→B，此时仍满足条件A1
P＝BQ(＝0)，则有
V
C?AA
1
B
＝
V
A
1
?ABC
＝
V
ABC?A
1
B1
C
1
3
，故选B.
思维升华 特例法具有简化运算和推理的 功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结
论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点 ：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在不同的特殊情况下有两个或两 个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，
或改用其他方法求解．
cos B
→
cos C
→→
已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A＝60°，·AB＋·AC＝2m·AO，
sin Csin B
则m的值为( )
A.
31
B.2 C．1 D.
22
答案 A
解析 如图，当△ABC为正三角形时，A＝B＝C＝60°，取D为BC的中点，

2

→
2
→
AO＝AD，则有
3
1
→
1
→→
AB＋AC＝2m·AO，
33< br>∴
∴
1
→→
2
→
(AB＋AC)＝2m×AD，
3
3
1
→
4
→
·2AD＝mAD，
3
3
3
，故选A.
2
∴m＝
方法三 排除法(筛选法)
例3 函数y＝xsin x在[－π，π]上的图象是( )


解析 容易判断函数y＝xsin x为偶函数，可排除D；
π
当00，排除B；
2
当x＝π时，y＝0，可排除C；故选A.
思维升华 排除法适应于定性型或不易 直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先
根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否 定，再根据另一些条件在缩小选项的范
围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法 、图解法等结合使用是解
选择题的常用方法．
函数y＝2
|x|
的定义 域为[a，b]，值域为[1,16]，a变动时，方程b＝g(a)表示的图
形可以是( )


解析 研究函数y＝2
|x|
，发现它是偶函数，x≥0时，它 是增函数，因此x＝0时函数取得最小
值1，而当x＝±4时，函数值为16，故一定有0∈[a，b] ，而4∈[a，b]或者－4∈[a，b]，从

3

而有结论a＝－4时，0≤b≤4，b＝4时，－4≤a≤0，因此方程b＝g(a)的图形只能是B.
方法四 数形结合法(图解法)
在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形 有机结合起来，通过对规范图
形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性 、求取值范围等)
与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题 得到
解决，这种方法称为数形结合法．
1
?
|x
－
1|
例4 函数f(x)＝
?
?
2
?
＋2cos πx(－2≤x≤4)的所有零点之和等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
1
?
|x
－
1|
解析 由f(x)＝
?
?
2
?
＋2cos πx＝0，
1
?
|x
－
1|
得
?
?
2
?
＝－ 2cos πx，
1
?
|x
－
1|
令g(x)＝
?
?
2
?
(－2≤x≤4)，
h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)，
?
?
1
?
x
－
1
， 1≤x≤4，
?
1
?
|x
－
1|
＝
?
?
2< br>?
又因为g(x)＝
?
?
2
?
?
?
2
x
－
1
， －2≤x<1.


1
?
|x
－
1|
在同一坐标系中分别作出函数g(x)＝
?
?< br>2
?
(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的图象
(如图)，

1
?
|x
－< br>1|
由图象可知，函数g(x)＝
?
?
2
?
关于x＝ 1对称，
又x＝1也是函数h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的对称轴，
1< br>?
|x
－
1|
所以函数g(x)＝
?
?
2< br>?
(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的交点也关于x＝1对称，且
两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.
答案 C
思维升华 本题考查函数图象的应用，解题的关键是将零点问题转化为两图象的交点 问题，
然后画出函数的图象找出零点再来求和．

4

< br>严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，但它在解有关选择题时非常简便有效．运
用图解 法解题一定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟悉．图解法实际上是一种
数形结合的解题策略 ．
过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x
2
相交于A、B两点，O为坐标原点 ，当△AOB
的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )
A.
333
B．－ C．± D．－3
333
答案 B
解析 由y＝1－x< br>2
，得x
2
＋y
2
＝1(y≥0)，其所表示的图形是以原点 O为圆心，1为半径的
上半圆(如图所示)．

由题意及图形，知直线l的斜率必为 负值，故排除A，C选项．当其斜率为－3时，直
线l的方程为3x＋y－6＝0，点O到其距离为B.
方法五 估算法
由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有 些题目，不必进行准确的
计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这 就是估算法．估
算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．
x≤0，
?
?
例5 若A为不等式组
?
y≥0，
?
?
y－x≤2
|－6|
6
＝>1，不符合题意，故排除D选项．选< br>3＋1
2

表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线
x ＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( )
37
A. B．1 C. D．2
44
解析 如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形．
1
阴影部 分面积比1大，比S
△
OAB
＝×2×2＝2小，故选C项．
2
答案 C
思维升华 “估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算” 就没有意义．本题
的关键在于所求值应该比△AOB的面积小且大于其面积的一半．
m－34－2m
πθ
已知sin θ＝，cos θ＝(<θ<π)，则tan等于( )
2
m＋5m＋5
2

5

m－3m－3
1
A. B. C. D．5
3
9－m|9－m|
答案 D
θ
解析 利用同角正弦、余 弦的平方和为1求m的值，再根据半角公式求tan，但运算较复杂，
2
试根据答案的数值特征 分析．由于受条件sin
2
θ＋cos
2
θ＝1的制约，m为一确定的值，进 而推
θππθπθ
知tan也为一确定的值，又<θ<π，因而<<，故tan>1.
224222

1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法 和数形结合法．但大部
分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运 用上述一
种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．
2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，
应 该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．
3．作为平时训练，解完一道 题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及
时总结，这样才能有效地提高解选择题的 能力．

6