高考数学选择题技巧

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高考数学选择题的解题策略
解答选择题的基本策略是准确、迅速。 准确是解答选择题的先决条件，选择
题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、 深入分析、
正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于
选择题 的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求
每道选择题在1～3分钟内解完 ，要避免“超时失分”现象的发生。
高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题， 当中的
大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各
类常规题的 解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支
中有且仅有一个是正确的，因而，在解 答时应该突出一个“选”字，尽量减少
书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据 题目的具体
特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策
略。
（一）数学选择题的解题方法
1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判 断，直接得
出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎
实的数 学基础。
例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2
次击中 目标的概率为
（ ）
A.
81
125
B.
54
125
C.
36
125
D.
27

125
解析：某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。
64627
故选A。
3
C
3
2
?( )
2
??C
3
?()
3
?
101010125例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的
一条斜线l有且仅有一个平 面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的
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任一个平面与b都不垂直。其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，
易得都是正确的，故选D。
x
2
y
2
例3、已知F
1< br>、F
2
是椭圆+=1的两焦点，经点F
2
的的直线交椭圆于
1 6
9
点A、B，若|AB|=5，则|AF
1
|+|BF
1
|等于（ ）
A．11 B．10 C．9 D．16
解析：由椭 圆的定义可得|AF
1
|+|AF
2
|=2a=8,|BF
1
|+|BF
2
|=2a=8，两式相加后将
|AB|=5=|AF
2
|+|BF
2
|代入，得|AF
1
|+|BF
1
|＝11 ，故选A。
例4、已知
y?log
a
(2?ax)
在[0，1]上 是
x
的减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．[2，+∞）
解析：∵a>0,∴y
1
=2-ax是减函数，∵
y?log
a
(2?ax)
在[0，1]上是减函
数。
∴a>1，且2-a>0，∴12、特例法：就是运用满足题设条件的某 些特殊数值、特殊位置、特殊关系、
特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用 问题在某
一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方
法。用特 例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。
（1）特殊值
例5、
过抛物线< br>y?ax
2
(a?0)
的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点，若线段PF< br>与FQ的长分别为p,q,则
11
?
等于( )
pq
A.
4a
B.
2a
C.
a
D.
1
a

2
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解：若用常规方法，运算量很大，不妨设PQ∥x轴，则
p?q?
故选A.
11
1
，∴
?
=
4a
.
pq
2a

例6、一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和
为（ ）
A．－24 B．84 C．72 D．36
解析：结论中不含n，故本 题结论的正确性与n取值无关，可对n取特殊值，
如n=1，此时a
1
=48,a2
=S
2
－S
1
=12，a
3
=a
1
+2d= －24，所以前3n项和为36，故
选D。
（2）特殊函数
例7、如果奇函数f(x) 是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间
[－7，－3]上是（ ）
A.增函数且最小值为－5
C.增函数且最大值为－5
5
3


B.减函数且最小值是－5
D.减函数且最大值是－5
解析：构造特殊 函数f(x)=x，虽然满足题设条件，并易知f(x)在区间[－7，
－3]上是增函数，且最大值为 f(-3)=-5，故选C。
例8、定义在R上的奇函数f(x)为减函数，设a+b≤0，给出下列 不等式：
①f(a)·f(－a)≤0；②f(b)·f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－ a)+f(－b)；④f(a)+f(b)
≥f(－a)+f(－b)。其中正确的不等式序号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③
解析：取f(x)= －x，逐项检查可知①④正确。故选B。
（3）特殊数列
例
0
1
，
?
9、已知等差数列
{a
n
}
满足
a
1
?a
2
????a
1
?
0
则有
（ ）
A、
a
1
?a
101
?0
B、
a
2
?a
102
?0
C、
a
3
?a
99
?0
D、
a
51
?51

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解析：取满足题意的特殊数列
a
n
?0
，则
a
3< br>?a
99
?0
，故选C。
（4）特殊位置
例9、过
y?ax
2
(a?0)
的焦点
F
作直线交抛物线与
P、Q
两点，若
PF
与
FQ
的长分别是
p、q
，则
11
??

pq
（ ）
A、
2a
B、
1
4
C、
4a
D、
2a
a
1
解析：考虑特 殊位置PQ⊥OP时，
|PF?||FQ?|
，所以
2a
11
??2 a?2a?4a
，故选C。
pq
例10、向高为
H
的水瓶中注水， 注满为止，如果注水量
V
与水深
h
的函数
关系的图象如右图所示，那 么水瓶的形状是 ( )

解析：取
h?

（6）特殊方程
例11、双曲线b
2
x
2
－a
2
y
2
=a
2
b
2
(a>b>0)的渐近线夹角为 α，离心率为e,则
cos
H
1
，由图象可知，此时注水量
V
大于容器容积的，故选B。
2
2
?
等于（ ）
2
A．e B．e
2

1
C．
e
D．
1

2
e
解析：本题是考查双曲线渐近线 夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊
x
2
5
y
2
?2
方程来考察。取双曲线方程为－=1，易得离心率e=,cos=，故
2
41
2
5
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选C。
（7）特殊模型
例12、如果实数x,y满足等式(x－2)
2
+y
2
=3，那么
1
A．
2
y
的最大值是（ ）
x
B．
3

3
C．
3

2
D．
3

解析：题中
k=
y?0
y< br>可写成。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式
x?0
x
y
2
?y
1
，可将问题看成圆(x－2)
2
+y
2
=3上的点 与坐标原点O连线的斜率的最
x
2
?x
1
大值，即得D。
3、图解法：就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解
方程、解不等式、求最值，求 取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，
再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯 穿数形结合思想，每年高
考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结
合思想解决 ，既简捷又迅速。
例13、已知α、β都是第二象限角，且cosα>cosβ，
则（ ）
A．α<β B．sinα>sinβ
D．cotαtanβ
解析：在第二象限角内通过余弦函数线cos
α>cosβ找出α 、β的终边位置关系，再作出
判断，得B。
例14、已知
a
、
b< br>均为单位向量，它们的
夹角为60°，那么｜
a
＋3
b
|= （ ）
A．
7
B．
10
C．
13
D．4
a
O
A
b
3b
a
＋3
b

B
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解析：如图，
a
＋3
b
＝< br>OB
，在
?OAB
中，
|OA|?1,|AB|?3,?OAB?12 0,?
由余弦定理得｜
a
＋3
b
|=｜
OB
｜＝< br>13
，故选C。
例15、已知{a
n
}是等差数列，a
1< br>=-9,S
3
=S
7
,那么使其前n项和S
n
最小的 n
是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
S
n
O
3
5
7
n
d
d
解析：等差数列的前n项和 S
n
=n
2
+(a
1
-)n
2
2
可表示
为过原点的抛物线，又本题中a
1
=-9<0, S
3
=S
7
,可表
示如图，
由图可知，n=
3?7
?5
,是抛物线的对称轴，所以n=5是抛
2
物线的对称轴，所以n=5时S
n
最小，故选B。
4、验证法： 就是将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证
是否满足题设条件，然后选择符合题设条件 的选择支的一种方法。在运用验证
法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。
例
( )
A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞）
16、方程
x?lx?g
的解
x
0
?
< br>解析：若
x?(0,1)
，则
lgx?0
，则
x?lgx?1
；若
x?(1,2)
，则
0?lgx?1
，
则
1? x?lgx?3
；若
x?(2,3)
则
x?lgx?3
，故选C。
将题目所提供的各选择支或特值逐一代入题干中进行验证，从而确定正确的答案. 有
时可通过 初步分析，判断某个(或某几个)选项正确的可能性较大，再代入检验，可节省时
间.
◆例1 7：(2007年全国卷Ⅰ)下面给出的四个点中，到直线
x?y?1?0
的距离为
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，则
0?g
则
2?x?g
若
x?3lx1?
，
lx4?
；
,glx0?
,
x + y –1＜0
x – y +1＞ 0
2
，
2

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且位于 表示的平面区域内的点是( )
A.
(1,1)
B.
(?1,1)
C.
(?1,?1)
D.
(1,?1)

解：将点(1,1)代入
x?y?1
中得1+1 -1=1＞0，排除A；将(-1,1)代入
x?y?1
得
-1-1+1=-1＜0， 排除B；D中的点(1,-1)到直线
x?y?1?0
的距离为
D. 正确选项为C.
例18：数列
{a
n
}
满足
a
1
?1，
a
2
?
n?1
2
3
≠，故排除
2< br>2
112
2
??
(n≥2)，则
a
n
等于( ) ，且
a
n?1
a
n?1
a
n
3
n2
?
2
?
A. B.
??
n?1< br>?
3
?
解：先代入求得
a
3
?
可得出结论， 选A.
2
?
2
?
C.
??
D.
n?2
?
3
?
121
，再对照给出的选择支，分别验 证
a
1
?1
，
a
2
?
，
a
3
?
即
232

5、筛选法（也叫排除法、淘汰法）：就是充分运 用选择题中单选题的特征，
即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择
支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设
相矛盾的干扰支逐 一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答
案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案 正确。
例19、若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（ ）
A．（1，
2
]
B．（0，

解析：因
x
为三角形中的最小内角，故
x?(0,]
，由此可得y=sinx+cosx>1，< br>3
排除B,C,D，故应选A。
6、分析法：就是对有关概念进行全面、正确、深刻的 理解或对有关信息
提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法。
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3
2
1
]
]
C．[，
2
2
2
D．（
2
1
，
]
2
2
?

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（1）特征分析法——根据题目所提供的 信息，如数值特征、结构特征、位
置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法。
例20、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线
表示它们有网线相联，连线标的数字表示该段网线单
位时
间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传
送信
息，信息可以分开沿不同的路线同时传送，则单位时间内
传递的最大信息量为（ ）
A．26 B．24 C．20 D．19
解析：题设中数字所标最大通信量是限制条件，每 一支要以最小值来计算，
否则无法同时传送，则总数为3+4+6+6=19，故选D。
例21、设球的半径为R, P、Q是球面上北纬60
0
圈上的两点，这两点在
纬度圈上的劣弧的长是
（ ）
A、
3R
B、
2
?
R
?
R
?
R
C、 D、
2
32
?
R
2
，则这两点的球面距离是
解析：因纬线弧长＞球面距离＞直线距离，排除A、B、D，故选C。
m?34?2m
?
?
则
n
等于 （ ）
,cos
?
?(?
?
?
?
)
，
atm?5m?522
m?3m?31
A、 B、
||
C、 D、
5

9?m9?m3
例22、已知
si n
?
?
解析：由于受条件sin
2
θ+cos
2
θ =1的制约，故m为一确定的值，于是sin
?
?
θ,cosθ的值应与m的值无关， 进而推知tan的值与m无关，又<θ<π，
22
?
?
?
?
<<,∴tan>1，故选D。
4222
（2）逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑 关系的分析，达到否定
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谬误支，选出正确支的方法，称为逻辑分析法。
例23、设a,b是满足ab<0的实数，那么
（ ）
A．|a+b|>|a－b| B．|a+b|<|a－b| C．|a－b|<|a|－|b| D．|a－
b|<|a|+|b|
解析：∵A，B是一 对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又
由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B为真，故选B。
例24、
?ABC
的三边
a,b,c
满足等式
acosA?bcosB?ccosC
，则此三角形
必是（）
A、以
a
为斜边的直角三角形 B、以
b
为斜边的直角三角形
C、等边三角形 D、其它三角形
解析：在题设条件中的等式是关于
a, A
与
b,B
的对称式，因此选项在A、B
为等价命题都被淘汰，若选项C正确 ，则有
1
2
?
1
2
?
11
2
，即
1?
2
，从而C被淘汰，
故选D。
7、估算法：就是把复杂问题转 化为较简单的问题，求出答案的近似值，
或把有关数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作 出一个估计，
进而作出判断的方法。
（二）选择题的几种特色运算
1、借助结论——速算
例25、棱长都为
2
的四面体的四个顶点在同一球面 上，则此球的表面积
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为
（


）

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A、
3
?
B、
4
?
C、
33
?
D、
6
?

解析：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内 接一个正
四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直
径。可 以快速算出球的半径
R?
2、借用选项——验算
?
3x?y?12,
?
2x?9y?36,
?
例26、若
x,y
满足
?
，则使得
z?3x?2y
的值最小的
(x,y)
是
2x? 3y?24,
?
?
?
x?0,y?0,
3
，从而求出球的表 面积为
3
?
，故选A。
2
（ ）
A、（4.5，3） B、（3，6） C、（9，2） D、（6，4）
解析：把各 选项分别代入条件验算，易知B项满足条件，且
z?3x?2y
的
值最小，故选B。
3、极限思想——不算
例27、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为
?
，侧面与底面所成的
二面角的平面角为
?
，则
2cos
?
?cos2
?
的值是
（ ）
A、1 B、2 C、－1 D、
3

2
解析：当正 四棱锥的高无限增大时，
?
?90
?
,
?
?90
?
，则
2cos
?
?cos2
?
?2cos90
?< br>?cos180
?
??1.
故选C。
4、平几辅助——巧算
例28、在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离
为2的直线共有
（ ）
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A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
解析：选项暗示我们，只要判断出直线的条数就行，无须具体求出直线方
程。以A（1，2）为圆心，1为半径作圆A，以B（3，1）为圆心，2为半径作
圆B。由平面几何 知识易知，满足题意的直线是两圆的公切线，而两圆的位置
关系是相交，只有两条公切线。故选B。
5、活用定义——活算
例29、若椭圆经过原点，且焦点F（0），F（0），则其离心率为 （ ）
1
1，
2
3，
3
A、
4
B、
2

3
C、
1

2
D、
1

4
解析：利用椭圆的定义可得
2a?4,2c?2,
故离心率
e?
6、整体思想——设而不算
例30、若
(2x?3)
4
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?a
3
x
3
?a
4
x
4
，则
c1
?.
故选C。
a2
(a
0
?a
2
?a< br>4
)
2
?(a
1
?a
3
)
2
的值为
（ ）
A、1 B、-1 C、0 D、2
解析：二项式中含有
3
，似乎增加了计算量 和难度，但如果设
a
0
?a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a?(2?3)
4
，
a
0
?a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?b?(2?3)
4
，则待求
式子
?ab?[(2?3)(2?3)]
4
?1
。故选A。
7、大胆取舍——估算
例31、如图，在多面体ABCDFE中，已知 面ABCD
是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=
的距离为
（ ）
9
A、
2
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3
，EF与面ABCD
2
2，则该多面体的体积为
B、5 C、6 D、
15

2

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解析：依题意可计算
V
E?A
V
ABCDE?F
B
1?
CD
S
A
3
B
1
?h??3?3?2?6< br>，而
CD
3
?V
＝
E
6，故选D。
8、发现隐含——少算
y
2
?1
交于A、B两点，且
k< br>OA
?k
OB
?3
，则直线例32、
y?kx?2与x?2
2
AB
（ ）
的方程为
A、
2x?3y?4?0

C、
3x?2y?4?0









B、
2x?3y?4?0

D、
3x?2y?4?0

解析：解此题具有很大的迷惑性，注意题目隐含直线AB的方程就是
，只有C项满足。故选C。
y?kx?2
，它过定点（0，2）
解析：生活常识告诉我们利息税的税率是20%。 故选B。
（四）选择题解题的常见失误
1、审题不慎
例33、设集合M＝｛直线｝，P＝｛圆｝，则集合
M?P
中的元素的个数为
（ ）
A、0 B、1 C、2 D、0或1或2
误解：因为直线与圆的位置关系有三种，即交点的个数为0或1或2个，
所以
M?P
中的元素的个数为0或1或2。故选D。
剖析：本题的失误是由于审题不慎引起的，误认为集合M，P 就是直线与
圆，从而错用直线与圆的位置关系解题。实际上，M，P表示元素分别为直线
和圆的 两个集合，它们没有公共元素。故选A。
2、忽视隐含条件
例34、若
s
则
cos2xni2x
、
sinx
分别是
sin
?
与cos
?
的等差中项和等比中项，
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的
（ ）
A、
1?33

8
值为
B、
1?33

8
C、
1?33

8
D、
1?2

4
误解：依题意有
2sin2x? sin
?
?cos
?
， ①
si
2
nx?
②
?
sin
?

c

os
由①
2
-②×2得，
4cos
2
2x?cos2x?2?0
，解得
cos2x?
C。
1?33。故选
8
剖析：本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。事实
上，由
sin
2
x?sin
?
cos
?
，得cos2x?1?sin2
?
?0
，所以
选A。
3、概念不清
例35、已知
l
1
:2x?my?2?0,l
2
:mx?2 y?1?0
，且
l
1
?l
2
，则m的值为（ ）
A、2 B、1 C、0 D、不存在
1?33
不合题意。故
8
误解：由
l
1
?l
2
，得
k
1
k
2
??1.
??
选D。
2?m
?()??1
， 方程无解，m不存在。故
m2
剖析：本题的失误是由概念不清引起的，即
l
1
?l
2
，则
k
1
k
2
??1
，是 以两直
线的斜率都存在为前提的。若一直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0，则
两直线也垂 直。当m=0时，显然有
l
1
?l
2
；若
m?0
时 ，由前面的解法知m不
存在。故选C。
4、忽略特殊性
例36、已知定点A（1， 1）和直线
l:x?y?2?0
，则到定点A的距离与
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到定直线
l
的距离相等的点的轨迹是
（ ）
A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、直线
误解：由抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线。故选C。
剖析：本题的失误在于忽略了A点的特殊性，即A点落在直线
l
上。故选D。
5、思维定势
例37、如图1，在正方体AC
1
中
盛满水，E、F 、G分别为A
1
B
1
、BB
1
、
BC
1< br>的中点。若三个小孔分别位于
E、F、G三点处，则正方体中的水
最多会剩下原体积的 （ ）
A、
117523
B、 C、 D、
24
128 6
误解：设平面EFG与平面CDD
1
C
1
交于MN，则平面EFM N左边的体积即
1
为所求，由三棱柱B
1
EF—C
1
NM的 体积为
V
正方体
，故选B。
8
剖析：在图2中的三棱锥ABCD中 ，若三个小孔E、F、G分别位于所在棱
的中点处，则在截面EFG下面的部分就是盛水最多的。本题的 失误在于受图2
的思维定势，即过三个小孔的平面为截面时分成的两部分中，较大部分即为所
求 。事实上，在图1中，取截面BEC
1
时，小孔F在此截面的上方，
V
B1
?BEC
1
?
1
V
正方体
，故选A。
12




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