高中数学竞赛训练题--选择题(每题含详解)

最新高中数学奥数竞赛训练题—选择题
1．当
0?x?1
时，
f(x)?
x
，则下列大小关系正确的是（ ）
lgx
A．
f
2
(x)?f(x
2
)?f(x)
B.
f(x
2
)?f
2
(x)?f(x)

C.
f(x)?f(x
2
)?f
2
(x)
D.
f(x
2
)?f(x)?f
2
(x)

2．设f(x)
在
[0,1]
上有定义，要使函数
f(x?a)?f(x?a)
有定义，则a的取值范围为
（ ）
A．
(??,?)
； B.
[?,]
； C.
(,??)
； D.
(??,?]?[,??)

3．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界）， 且满足
1
2
11
22
1
2
1
2
1
2
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv
(PB?PA)(PB?PA?2PC )?0
，则△ABC一定为 ( )
A．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形
4．已知
f
?
x
?
? x
2
?a
2
?b
2
?1x?a
2
?2ab ?b
2
是偶函数，则函数图象与
y
轴交点的纵
坐标的最大值是（ ）
A．
2
B. 2 C.
22
D. 4
5．已知函数
f(x)?x?4x?3
，集合
M?{(x,y)|f(x )?f(y)?0}
，集合
2
??
N?{(x,y)|f(x)?f(y) ?0}
，则在平面直角坐标系内集合
MIN
所表示的区域的面积
是（ ）
A.
?
?
B. C.
?
D.
2
?

42
6. 函数
f
?
x
?
?x?3?12?3x
的值域为（ ）
?
B.
?
1, 3
?
C.
?
1,
3
?
D.
?
1, 2
?

A.
?
1, 2
?
????
?
2
?
?
7. 设
f(x)
有反函数
f
?1
(x)
，将
y?f(2x?3)
的 图象向左平移2个单位，再关于x轴对称后
所得函数的反函数是（ ）
A．
y?
f
?1
(?x)?1

2
B．
y?
1?f
?1
(?x)
C．
y?
1?f
?1
(x)
D．
y?
22
f
?1
(x)?1

2
co s
4
x?sin
4
x?sin
2
xcos
2
x
8.化简三角有理式的值为（ ）
sin
6
x?cos
6
x?2sin
2
xcos
2
x
A. 1 B.
sinx?cosx
C.
sinxcosx
D. 1+
sinxcosx


v
vvvv
uuuv
v
uuuv
v
uuu
9.设
a
,
b
为两个相 互垂直的单位向量。已知
OP
=
a
，
OQ
=
b，
OR
=r
a
+k
b
.若△PQR为等

边三角形，则k，r的取值为（ ）
A．
k?r?
?1?31?31?3
,r?
B．
k?

222
C．
k?r?
1?3?1?3?1?3
,r?
D．
k?

222

10.设
?
a
n
?
，
?
b
n?
分别为等差数列与等比数列，且
a
1
?b
1
?4,a
4
?b
4
?1
，则以下结论正确
的是（ ）
A.
a
2
?b
2
B.
a
3
?b
3
C.
a
5
?b
5
D.
a
6
?b
6

11.若
x?R,则(1?2x)
的二项式展开式中系数最大的项为（ ）
A．第8项 B. 第9项 C. 第8项和第9项 D. 第11项
12. 设
f(x)?cos
?15
111
x
，
a?f(loge
),b?f(log
?
),c?f(log
1
2
)< br>，则下述关系式正确的
?
e
5
e
?
是（ ）。
A．
a?b?c
B.
b?c?a
C.
c?a?b
D.
b?a?c

13．已知－１＜< br>?
?
?
＜3，且２＜
?
?
?
＜４，则
2
?
?3
?
的范围是（ ）
A.
(?
1317
711713913
,)
B.
(?,)
C.
(?,)
D.
(?,)

222222
22
14．若函数
y?loga
x
2
?ax?1
有最小值，则a的取值范围是（ ）．
A
0?a?1
B
0?a?2,a?1
C
1?a?2
D
a?2

??
a
2?b
2
15．已知
a?b,ab?1,
则的最小值是（ ）．
a?b
A
22
B
2
C 2 D 1
16．已知
cosx?cosy?1
，则
sinx?siny
的取值范围是（ ）．
A
?
?1，1
?
B
?
?2，2
?
C
?
0，3
?
D
?
?3，3
?

????
17．函数
f(x)是
(0,??)
上的单调递增函数，当
n?N
时，
f(n)?N
，且
f[f(n)]?3n
，
则
f(1)
的值等于（ ）．A 1 B 2 C 3 D 4
18.设集合
M?{?2,0,1},N?{1,2,3,4,5}
，映射
f:M?N
使得对任意的
x?M
，都有
*
*

x?f(x)?xf(x)
是奇数，则这样的映射
f
的个数是
（ ）
（A）45 （B）27 （C）15 （D）11
19.设函数
f(x)?lnx,g(x)?ax?
b
，它们的图象在
x
轴上的公共点处有 公切线，则当
x
x?1
时，
f(x)
与
g(x)
的 大小关系是 （ ）
（A）
f(x)?g(x)
（B）
f(x)?g( x)
（C）
f(x)?g(x)
（D）
f(x)
与
g(x)
的大小不定
20.已知正方体ABCD—A
1
B
1
C1
D
1
，过顶点A
1
在空间作直线
l
，使直线
l
与直线AC和BC
1
所成的角都等于60
0
，这样的直线
l
可以作（ ）
（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条
21. 从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有（ ）
A. 89种 B. 90种 C. 91种 D. 92种
22.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的两个
m
多面体的内切球的半径之比是一个最简分数，那么积
m?n
等于（ ）
n
A．3 B．4 C．6 D．12 < br>23.圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占
的 比为（ ）
A．
84
1
2
B． C． D．
126
21217
24．把2008表示成两个整数的平方 差形式，则不同的表示方法有（ ）种．
A 4 B 6 C 8 D 16
2n?1
25.
(26?5)
的小数表示中，小数点后至少连续有 （ ）
（A）
2n?1
个零（B）
2n?2
个零（C）
2n? 3
个零（D）
2n?4
个零
x
2
y
2
2 6.设AB是椭圆
2
?
2
?1
（
a?b?0
）的长 轴，若把AB100等分，过每个分点作AB
ab
的垂线，交椭圆的上半部分于P
1< br>、P
2
、… 、P
99
，F
1
为椭圆的左焦点，则
F
1
A?F
1
P
1
?F
1
P2
+…
?F
1
P
99
?F
1
B
的值是（ ）
（A）
98a
（B）
99a
（C）
100a
（D）
101a

高中数学竞赛训练题—选择题 答案
?
x?
x
2
x
2
2
?0
?0
，
f (x)?
1.解：当
0?x?1
时，
f(x)?
，
f(x) ?
??
?0
。
lgx
2
lgx
lgx
? ?
xx
2
2x?x
2
(2?x)x
????0
。所 以
f(x)?f(x
2
)?f
2
(x)
。 选 C。 又 因为
2
lgxlgx2lgx2lgx
2解：函数
f(x?a)?f(x?a )
的定义域为
[a,1?a]?[?a,1?a]
。当
a?0
时， 应有
2
11
；当
a?0
时，应有
?a?1?a
，即
a??
。 因此，选 B。
22
r
uuu
ruuur
uuuvuuuv
uuu
vuuuvuuuv
uuu
3解：因为PB?PA?AB,PB?PA?2PC?CB?CA
，所以已知条件可改写为
a?1?a
，即
a?
uuuruuuruuur
AB?(CB?CA)?0
。容 易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 D。
4解：由已知条件可知，
a?b?1 ?0
，函数图象与
y
轴交点的纵坐标为
a?2ab?b
。
令
a?cos
?
,b?sin
?
，则
2222
a< br>2
?2ab?b
2
?cos
2
?
?2sin
?
cos
?
?sin
2
?
?cos2
?
? sin2
?
?2
。因此 选 A。
5．C提示：由已知可得
M={（
x
,
y
)|
f
(
x
)+
f
(
y
)≤0}=
22
{(
x
,
y< br>)|(
x
-2)+(
y
-2)≤2},
N
={(x
,
y
)|
f
(
x
)-
f
(
y
)≥0}
={(
x
,
y
)|(
x-
y
)(
x
+
y
-4)≥0}.
?
(x?2)
2
?(y?2)
2
?2
则
M
I
N?
?
,
?
(x?y)(x?y?4)?0
作出其交集部分可得如 图所示，其面积为圆面积的一半，
即为
?
(2)?
?
，故应选C.
6.
D
.解：
f
?
x
?
的定义域为
3?x?4,
则
0?x?3?1
，令
x?3?sin
?
, 0?
?
?
2
1
2
2
?
2
，则 < br>f
?
x
?
?x?3?3
?
4?x
?
?sin
?
?3
?
1?sin
2
?
?
?s in
?
?3cos
?
?2sin(
?
?)

3
??
5
?
1
??
因
?
?
??
，则
?sin(
?
?)?1, 1?2sin(
?
?)?2

336233
7. A 解：设
y?f(2x?3)
上有点
(x
0
,y
0
)
左移2
(x
0
?2,y
0
)
关于x轴对称
(x
0
?2,?y
0
)
取反函数
?
(?y
0
,x
0
?2)
，
?
?
?y
0
?x
?
x
0
?y?2
代入< br>y?f(2x?3)
得
?
??
?
x
0
?2? y
?
y
0
??x
?x?f(2y?1)
?

2y?1?f
?1
(?x)
?
y?
f
?1
(?x)?1
，
2
8.
解答为
A
。
分 母=(sin
2
x?cos
2
x)(sin
4
x?cos< br>4
x?sin
2
xcos
2
x)?2sin
2
xcos
2
x


?sin
4
x?co s
4
x?sin
2
xcos
2
x
。也可以用特殊值 法

9.解答．C.
PQ?QR?PR
，
即
r?(k?1)?
10.解答：A。
22
(r?1)
2
?k
2
?2，解得r=k=
1?3
。
2
3
设等差数列的公差为d，等比数列公比为q,由a
1
?b
1
?4,a
4
?b
4
?1，得d=-1,q=
3
24
得a
2
?3,b
2
?22;a
3
?2,b
3
?4;a5
?0,b
5
?;a
6
??1,b
6
?
。
24
33
3
2
2
2932
，r=10，第1 1项最大。
?r?
33
x
?
12.解答： D。函数
f( x)?cos
为偶函数，在（0，）上，
f(x)?cosx
为减函数，而
5
2
11.解答：D.
T
r?1
?C
15
2,由T
r
?T
r?1
，T
r?2
?T
r?1
?< br>rr
log
e
1
?
??log
e
?
,log
?
111
??,log
1
2
?2log
e
?
，
elog
e
?
e
?
0?
l og
e
?
2log
e
?
?
1
???
，所以
b?a?c
。
5log
e
?
554
13解：由待定系数法或线性规划可得。 2
14答案：C．解：当
0?a?1
时，
y?log
a
x
是递减函数，由于
t?x?ax?1
没有最大值，
所以
y?log
a
x
2
?ax?1
没有最小值；当
a?1
时，y?log
a
x
2
?ax?1
有最小值等价于
????
t?x
2
?ax?1
有大于0的最小值．这等价于
??a
2
?4?0
，因此
1?a?2
．
a
2
?b
2
t
2
?22
??t??22
，15答案：A.解：记
a? b?t
，则
t?0
，（当且仅当
a?btt
t?2,即a?
6?26?2
,b?
时取等号）．故选A．
22
t
2
?1
16答案：D．解：设
sinx?siny?t
，易得
cosxcosy?s inxsiny?
，即
2

t
2
?1
t
2
?1
cos
?
x?y
?
?
?1
，．由 于
?1?cos
?
x?y
?
?1
，所以
?1?解得
?3?t?3
．
2
2
17答案：B解：（用排除法）令
n?1
，则得
f[f(1)]?3
．
若
f(1)?1，则
f[f(1)]?f(1)?3
，与
f(1)?1
矛盾；
若
f(1)?3
，则
f[f(1)]?f(3)?3
，与“
f(x)
在
(0,??)
上单调递增”矛盾；
若
f(1)?4
，则
f[f(1)]?f(4)?3
，也与“
f(x)
在
(0,??)< br>上单调递增”矛盾．故选B．
18.A 提示：当
x??2
时，
x? f(x)?xf(x)??2?f(?2)
为奇数，则
f(?2)
可取1、3、
5，有3种取法；当
x?0
时，
x?f(x)?xf(x)?f(0)
为奇 数，则
f(0)
可取1、3、5，有
3种取法；当
x?1
时，
x?f(x)?xf(x)?1?2f(1)
为奇数，则
f(1)
可取1、2、3、 4、5，
有5种取法。由乘法原理知共有
3?3?5?45
个映射
19 B 提示：
f(x)
与
g(x)
的图象在
x
轴上有公共点
(1,0)
，∴
g(1)?0,即a?b?0
.
1
'
b 11
''
,
g(x)?a?
2
,由题意
f(1)?g(1) ?1,即a?b?1
,∴
a?,b?.

x22
x
1111 111
令
F(x)?f(x)?g(x)?lnx?(x?)
,则
F
'
(x)???
2
??(?1)
2
?0

22xx 2
2x
2x
∵
f'(x)?
∴
F(x)
在其定义域 内单调递减.由∵
F(1)?0
,∴当
x?1
时,
F(x)?0,即
f(x)?g(x)
.
20. B 提示：易知异面直线AC与BC
1
所成的角为60
0
，因此，本题等价于：已知直线
a
与
b
所成的角为60
0
，则过空间一点P且与
a
、
b
所成的角都是60
0
的直线有且仅有多少条？这
不难可判断有3条。
21解：若取出的３个数构成递增等比数列
a,aq,aq
，则有
1?a? aq?aq?169
。由
此有
2?q?13
。当
q
固定时， 使三个数
a,aq,aq
为整数的
a
的个数记作
N(q)
。 由
2
22
aq
2
?169
，知
N(q)
应 是
N(4)?10N(5)?6
169
?
169
??
169
?
N(3)??18
，
N(2)??42
的整数部分。，
2
2
?
2
??
?
q
?
3
?
?
2
?
N(6)?4N(7)?3

N(8)?2

N(9)?2


N(10)?N(11)?N(12)?N(13)?1
. 因此，取法共有
N(1) ?N(2)?L?N(13)?91
。
22．C提示：利用等体积法，可以求出
m2< br>?
，所以
m?n
等于6.
n3

4
23．D 提示：任选4点，共有
C
10?210
个凸四边形，其中梯形的两条平行边可以从5组平
行于直径的5条平行弦中选取， 也可以5组从不平行于直径的4条平行弦中选取，去除矩
形，梯形共有60个，所以，梯形所占的比为< br>22
2
．
7
24答案：C.解： 设
x?y?2008，即
(x?y)(x?y)?2008
．2008有8个正因数，分别
为1，2， 4，8，251，502，1004，2008．而且
(x?y)
与
(x?y)
只能同为偶数，因此对应
的方程组为
?2?4?502?1
?
x?y?

?
?21004502 42
?
x?y??1004?502?4
故
?
x，y
?共有8组不同的值：
(503,501),(?503,?501),(?503,501),(5 03,?501)
；
(253,249),(?253,?249),(?253,249), (253,?249)
．
2n?1
?(26?5)
2n?1
]?Z
，因此
(26?5)
2n?1
25.A提示：由二项式定理知易证
[ (26?5)
2n?1
与
(26?5)
的小数部分完全相同。
?0 ?26?5?
1
26?5
?
1
1
2n?1
，
?0?(26?5)?()
2n?1
，即
(26?5)
2n?1
的 小
10
10
2n?1
数表示中小数点后面至少接连有
2n?1
个零，因此，
(26?5)
的小数表示中，小数点
后至少连续有
2n?1< br>个零。
26.D提示：（方法一）由椭圆的定义知
F
1
P
i
?F
2
P
i
?2a
(
i?1,2,?,99
)，
?
?
(F
1
P
i
?F
2
P
i
)?2a?99?198a.
由题意知
P
1
,P
2
,?,P
99
关于
y
轴成对称分布，
i?1
99
99
1
99
?
?
(F
1
P
i
)?
?
(F
1
P
i
?F
2
Pi
)?99a.
又
?F
1
A?F
1
B?2a< br>，故所求的值为
101a
.
2
i?1i?1
（方法二）F
1
A?F
1
P
1
?F
1
P
2
+…
?F
1
P
99
?F
1
B

?(a?ex
A
)?(a?ex
1
)??
?(a?ex99
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