高中数学数形结合解选择题

选择快速解题法（一）数形结合例题演示
画出图形或者图象能够使问题提供 的信息更直观地呈现，从而大大降低思
维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。
【例题】设函数
f(x)
定义在实数集上，它的图象关于直线
x?1
对称，且当
x?1
时，
f(x)?3
x
?1
，则有（ ）。
1
3
2
C、
f()
3
A、
f()
32231
f()f()
B、
f()f()f()

23323
13321
f()f()
D．
f()f()f()

32233
【解析】、当
x?1
时，
f(x)?3
x
?1
，
f(x)
的
图象关于直线
x?1
对称，则图象如图所示。
这个图象是个示意图，事实上，就算画出
f(x)?|x?1|
的图象代替它也可以。由图知，
符合要求的选项是B， 【练习1】、若P（2，-1）为圆
(x?1)
2
?y
2
?25
的弦AB的中点，则直线AB
的方程是（ ）
A、
x?y?3?0
B、
2x?y?3?0
C、
x?y?1?0
D、
2x?y?5?0

（提示：画出圆和过点P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A）
?
x?y?2 ?0
y
?
【练习2】、（辽宁）已知变量
x
、
y
满 足约束条件
?
x?1
，则的取值
x
?
x?y?7?0
?
范围是（ ）
?
??
,6
??,
A、
?
B、
?
6,??
?
C、
?
??,3
??
6,??
?
D、
?
3,6
?

?
??
?
5
5
??
??
9
y
x
9
（提示：把看作可行域内的点与 原点所在直线的斜率，选A。）

1

【练习3】、曲线
y?1?4?x
2
(x?
?
?2,2
?
)
与直线
y?k(x?2)?4
有两个公共点时，
k
的取值范围是（ ）
A、
(0,
51153
5
)
B、
(,)
C、
(,??)
D、
(,)

1243124
12
（提示：事实上不难看出，曲线方 程
y?1?4?x
2
(x?
?
?2,2
?
)
的图象为
x
2
?(y?1)
2
?4(?2?x?2,1?y?3)
，表示以（1，0）为圆心，
2为半径的上半圆，如图。直线
y?k(x?2)?4< br>过定点（2，
4），那么斜率的范围就清楚了，选D）]
【练习4】、函数
y?|x|(1?x)
在区间A上是增函数，则区间A是（ ）
1
?
?
1
?
?
?
0,
0,? ?
A、
?
??,0
?
B、
?
C、 D、
,??
??

??
?
2
?
?
2
?
（提示：作出该函数的图象如右，知应该选B）
【练习5】、曲线
|x||y|
??1
与直线
y?2x?m

23
有两个交点，则
m
的取值范围是（ ）
A、
m?4
或
m??4
B、
?4?m?4

C、
m?3
或
m??3
D、
?3?m?3

（提示：作出曲线的图象如右，因为直线
y?2x?m
与其有两个交点，则
m?4
或
m??4
，选A）
【练习6 】、（湖南理8）设函数
f(x)?
x?a
，集合
M?
?
x |f(x)
x?1
P?
?
x|f
'
(x)
0
?
，
0
?
，
若
M?P
，则实数
a
的取值范围是（ ）
A、
(??,1)
B、
(0,1)
C、
(1,??)
D、
[1,??)

（提示：数形结合，先画出
f(x)
的图象。
f(x)?
a

x?ax?1?1?a1?a
??1?
。当
x?1x?1x?1
1< br>时，图象如左；当
a1
时图象如右。
2

由图象知，当
a1
时函数
f(x)
在
(1,??)
上递增，
f
'
(x)0
，同时
f( x)0
的
解集为
(1,??)
的真子集，选C）
【练习7】、（湖 南理10）若圆
x
2
?y
2
?4x?4y?10?0
上至少 有三个不同的点到
直线
l:ax?by?0
的距离为
22
，则直线< br>l
的倾斜角
?
的取值范围是（ ）
A、
?
??
?
?
?
?
5
?
??
??
?
,
?
B、
?
,
?
C、
?
,
?
D、
?
0,
?

?
2
?
?
124
??
1212
??
63
?
??
?
（提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为
(x? 2)
2
?(y?2)
2
?(32)
2
，由题意知，圆心到直 线
的距离
d
应该满足
0?d?2
，在已知圆中画一个半
径为
2
的同心圆，则过原点的直线
l:ax?by?0
与小圆有公共点，∴选 B。）
【练习8】、（浙江文10）若非零向量a，b满足|a-b|=| b |，则（ ）
A、|2b| ＞ | a-2b | B、|2b| ＜ | a-2b |
C、|2a| ＞ | 2a-b | D、|2a| ＜ | 2a-b |
（提示：关键是要画出向量a，b的关系图，为此
先把条件进行等价转换。|a-b|=| b |
?
|a-b|
2
=
| b |
2
?
a
2
+b
2
-2a·b= b
2
?
a·（a-2b）=0
?

a⊥（a-2b），又a-（a-2b）=2b，所以|a|，| a-2b |，
|2b|为边长构成直角三角形，|2b|为斜边，如上图，
∴|2b| ＞ | a-2b |，选A。

3

另外也可以这样解：先构造等腰△OAB，使OB=AB，
再构造R△OAC，如下图，因为OC＞AC，所以选A。）
【练习9】、方程cosx=lgx的实根的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
（提示：在同一坐标系中分别画出函数cosx与lgx的图象，如图，


由两个函数图象的交点的个数为3，知应选C）
【练习10】、(江苏7)若A、B、C为三个集合，
AB?BC
，则一定有（ ）
A、
A?C
B、
C?A
C、
A?C
D、
A??

【练习11】、(天津理7)在R上定义的函数
f(x)
是偶函数，且
f(x)?f(2?x)
。若
f(x)
在区间[1，2]上是 减函数，则
f(x)
（ ）
A、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
（如下左图知选B）


【练习12】、（山东文11改编）方程
x
3
?()< br>x?2
的解
x
0
的取值区间是（ ）
A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）
（提示：数形结合，在同一坐标系中作出 函数
y?x
3
,y?()
x?2
的图象，则立刻知
选B，如 上右图）

4
1
2
1
2

5