高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)

椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P
处的外角.
2. PT平分△PF
1
F
2
在点P处的外角，则焦
点在直 线PT上的射影H点的轨迹是以
长轴为直径的圆，除去长轴的两个端
点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线
相离.
4. 以焦点半径PF
1
为直径的圆必与以长
轴为直径的圆内切.
5. 若
P
x
2
y
2
0
(x
0
,y
0< br>)
在椭圆
a
2
?
b
2
?1
上，则过
P
0
的椭圆的切线方程是
x
0
xy
0
y< br>a
2
?
b
2
?1
.
6. 若
P< br>x
2
y
2
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
a
2
?
b
2
?1
外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P
1
、P
2
，
则切点弦P
1
P
2
的直线方程是
x
0
x
a
2
?
y
0
y
b
2
?1
.
7. 椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1 (a＞b＞0)的左右焦点
分别为F
1
，F
2
，点P为椭圆 上任意一
点
?F
1
PF
2
?
?
，则椭圆的 焦点角形的面
积为
S
?
?F
1
PF
2
?b
2
tan
2
.
8. 椭圆
x
22
a2
?
y
b
2
?1
（a＞b＞0）的焦半径公
式 ：
|MF
1
|?a?ex
0
,
|MF
2
|?a?ex
0
(
F
1
(?c,0)
,
F2
(c,0)
M(x
0
,y
0
)
).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、
Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连
结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭
圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于
两点P、Q, A
1
、A
2
为椭 圆长轴上的顶
点，A
1
P和A
2
Q交于点M，A
2
P和A
1
Q
交于点N，则MF⊥NF.
11. AB是椭圆
x2
y
2
a
2
?
b
2
?1
的不 平行于对称轴
的弦，M
(x
0
,y
0
)
为AB的中 点，则
k
b
2
OM
?k
AB
??
a
2
，
即
K?
b
2
x
0
AB
?
a
2
y
。
0
双曲线
1. 点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点
P处的内角.
2. PT平分△PF
1
F
2
在点P处的内角，
则焦点在直 线PT上的射影H点的
轨迹是以长轴为直径的圆，除去长
轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应
准线相交.
4. 以焦点半径PF
1
为直 径的圆必与以
实轴为直径的圆相切.（内切：P在
右支；外切：P在左支）
5. 若
x
2
P
y
2
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
a
2
?
b
2
?1
（a＞

0,b＞0）上，则过
P
0
的双曲线的切
线方 程是
x
0
x
a
2
?
y
0
y
b
2
?1
.
6. 若
P(x
x
2
y< br>2
00
,y
0
)
在双曲线
a
2
?< br>b
2
?1
（a＞
0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的
两条 切线切点为P
1
、P
2
，则切点弦
P
1
P
2
的直线方程是
x
0
x
a
2
?
y
0
y
b
2
?1
.
7. 双曲线
x
2y
2
a
2
?
b
2
?1
（a＞0,b＞ o）的左
右焦点分别为F
1
，F
2
，点P为双曲
线上任意 一点
?F
1
PF
2
?
?
，则双曲线
的焦点 角形的面积为
S
?
?F
1
PF
2
?b
2< br>cot
2
.
8. 双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（a＞0,b＞o）的焦
半径公 式：(
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)

当
M(x
0
,y
0
)
在右支上时，
|MF
1
|?ex
0
?a,
|MF
2
|?ex
0
?a
.
当
M (x
0
,y
0
)
在左支上时，
|MF
1
| ??ex
0
?a
,
|MF
2
|??ex
0
?a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线
相交 P、Q两点，A为双曲线长轴
上一个顶点，连结AP 和AQ分别
交相应于焦点F的双曲线准线于
M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲
线交于两点P、Q, A
1
、A
2
为双曲线
实轴上的顶点，A
1
P和A
2
Q交于点
M，A2
P和A
1
Q交于点N，则MF
⊥NF.
11. AB是双曲 线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（a＞0,b＞0）
的不平行于对称轴的弦，M
(x
0
,y0
)
为AB的中点，则
K
OM
?K
AB
?b
2
x
0
a
2
y
，
0
即K
AB
?
b
2
x
0
a
2
y< br>。
0
12. 若
y
x
2
P
y
2< br>0
(x
0
,
0
)
在双曲线
a
2?
b
2
?1
（a＞
0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是
x
0
xy
2
0
yx
0
y< br>2
0
a
2
?
b
2
?
a
2< br>?
b
2
.
13. 若
x
2
P,y
y
2
0
(x
00
)
在双曲线
a
2
?
b
2
?1
（a＞
0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨
迹方程是
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
a
2
?
b
2
?
a
2
?
b
2
.
椭圆与双曲线的对偶
性质--椭 圆
1. 椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1（a＞b＞o）的两个顶
点为
A
1
(?a,0)
,
A< br>2
(a,0)
，与y轴平行的
直线交椭圆于P
1
、
P
2
时A
1
P
1
与A
2
P
2
交点的轨迹方程是
x
2
y
2
a
2
?
b< br>2
?1
.
2. 过椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
(a＞0, b＞0)上任
一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互
补的直线交 椭圆于B,C两点，则直
线BC有定向且
2
k?
bx
0
BC
a
2
y
（常数）.
0
3. 若P为椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（a＞ b＞0）上
异于长轴端点的任一点,F
1
, F
2
是焦
点,
?PF
1
F
2
?
?
,
?PF
2
F
1
?
?
，则
a?c
a?c
?tan?
2
cot
?
2
.
4. 设椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（a＞b ＞0）的两个
焦点为F
1
、F
2
,P（异于长轴端点）

为椭圆上任意一点，在△PF
1
F
2
中，
记
?F
1
PF
2
?
?
,
?PF
1
F< br>2
?
?
,
?F
1
F
2
P?
?
，则有
sin
?
c
sin
?
?sin
?
?
a
?e
.
5. 若椭圆
x
22
a2
?
y
b
2
?1
（a＞b＞0）的左、
右焦点 分别为F
1
、F
2
，左准线为L，
则当0＜e≤
2?1时，可在椭圆上求
一点P，使得PF
1
是P到对应准线
距离d与PF2
的比例中项.
6. P为椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（a＞b＞0）上任
一点,F
1
,F
2
为二焦点，A为椭圆内一
定点，则
2a?|AF
2
|?|PA|?|PF
1
|?2a?|AF
1
|
,当且< br>仅当
A,F
2
,P
三点共线时，等号成立.
7. 椭圆(x?x
0
)
2
(y?y
0
)
2
a< br>2
?
b
2
?1
与直线
Ax?By?C?0
有 公共点的充要条件
是
A
2
a
2
?B
2
b< br>2
?(Ax
2
0
?By
0
?C)
.
8. 已知椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（a＞b＞0），O
为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，
且
OP?OQ
.
1)
111
|OP|
2
?|OQ|
2
?
a
2
?
1
b
2
;
2) |OP|
2
+|OQ|
2
的最大值为
4a
2
b
2
a
2
?b
2
;
3)
S
a
2
b
2
?OPQ
的最小值是
a
2?b
2
.
9. 过椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（a＞b＞0）的右焦
点F作直线交 该椭圆右支于M,N两
点，弦MN的垂直平分线交x轴于
P，则
|PF|
|M N|
?
e
2
.
10. 已知椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（ a＞b＞0）
,A、B、是椭圆上的两点，线段
AB的垂直平分线与x轴相交于点
x
a
2
?b
2
a
2
?b
2
P(0
,0)
, 则
?
a
?x
0
?
a
.
11. 设P点是 椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（ a＞b＞0）
上异于长轴端点的任一点,F
1
、F
2为
其焦点记
?F
1
PF
2
?
?
，则
1)
|PF
2b
2
1
||PF
2
|?< br>1?cos
?
.
2)
S
?PF
1
F2
?b
2
tan
?
2
.
12. 设A、B是 椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（ a＞b
＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的
一点，
?PAB?
?
,
?PBA?
?
,
?BPA?
?
，c、e分别是椭
圆 的半焦距离心率，则有
(1)
|PA|?
2ab
2
|cos
?
|
a
2
?c
2
cos
2
?
.( 2)
tan
?
tan
?
?1?e
2
.(3) < br>S
?PAB
?
2a
2
b
2
b
2?a
2
cot
?
.
13. 已知椭圆
x
2< br>y
2
a
2
?
b
2
?1
（ a＞b＞ 0）的
右准线
l
与x轴相交于点
E
，过椭圆
右焦点
F
的直线与椭圆相交于A、B
两点,点
C
在右准线
l
上，且
BC?x
轴，则直线AC经过线段EF 的中
点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切
线，与以长轴为直径的圆相交，则
相应交点与相应焦点的连线必 与切
线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线
交相应准线于一点，则该点 与焦点
的连线必与焦半径互相垂直.
16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的
距离与 以该焦点为端点的焦半径之
比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点
的内、外角平分线与长轴交点分别称为
内、外点.）
17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非
焦顶点连线段分成定比e.
18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外
点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性
质--双曲线
1. 双曲线
x
22
a
2
?
y
b
2
?1
（a＞0,b＞0）
的 两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a,0)< br>，
与y轴平行的直线交双曲线于
P
1
、
P
2
时A
1
P
1
与A
2
P
2
交点的轨迹
方程是
x
22
a
2
?
y
b
2
? 1
.
2. 过双曲线
x
2
y
2
a
2?
b
2
?1
（a＞0,b＞o）
上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾
斜角互补的直线交双曲线于
B, C两点，则直线BC有定向且
2
k??
bx
0
BC
a
2
y
（常数）.
0
3. 若P为双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（a＞0,b
＞0）右（或左）支上除顶点外
的任一点,F
1
, F
2
是焦点,
?PF
1
F
2
?
?
,
?PF
2
F
1
?
?
，则
c?a
c?a
?tan??
2
cot
2
（或
c?a
c?a
?tan< br>?
2
cot
?
2
）.
4. 设双曲线
x< br>2
a
?
y
2
2
b
2
?1
（ a＞0,b＞0）
的两个焦点为F
1
、F
2
,P（异于长
轴 端点）为双曲线上任意一点，
在△PF
1
F
2
中，记
?F< br>1
PF
2
?
?
,
?PF
1
F2
?
?
,
?F
1
F
2
P?
?
，则有
sin
?
c
?(sin
?
?sin
?
)
?
a
?e
.
5. 若双曲线
x
2< br>y
2
a
2
?
b
2
?1
（a＞0,b ＞0）
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，左
准线为L，则当 1＜e≤
2?1
时，
可在双曲线上求一点P，使得
PF
1
是 P到对应准线距离d与
PF
2
的比例中项.
6. P为双曲线
x< br>2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（ a＞0,b＞
0）上任一点,F
1
,F
2
为二焦点，A

为双曲线内一定点，则
|AF
2
|?2a?|PA|?|PF
1< br>|
,当且仅当
A,F
2
,P
三点共线且
P
和
A,F
2
在y
轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线
x2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（a ＞0,b＞0）
与直线
Ax?By?C?0
有公共点
的充要条件是
A
2
a
2
?B
2
b
2
?C
2
.
8. 已知双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（b＞a ＞
0），O为坐标原点，P、Q为双
曲线上两动点，且
OP?OQ
.
（1）
11
|OP|
2
?
|OQ|
2
?
1
a
2
?
1
b
2
;
（2）|OP|2
+|OQ|
2
的最小值为
4a
2
b
2
b
2
?a
2
;
（3）
S
a
2
b
2
?OPQ
的最小值是
b
2
?a
2
.
9. 过双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（a＞0,b＞0）
的右焦点F作直线交该双曲线
的右支于 M,N两点，弦MN的
垂直平分线交x轴于P，则
|PF|
|MN|
?
e
2
.
10. 已知双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（a＞0,b＞
0）,A、B是双 曲线上的两点，
线段AB的垂直平分线与x轴相
交于点则
x
a
2P(x
?b
2
0
,0)
,
0
?
a< br>或
a
2
?b
2
x
0
??
a
.
11. 设P点是双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（a＞
0,b＞0）上异于实轴端点的任一
点 ,F
1
、F
2
为其焦点记
?F
1
PF
2< br>?
?
，
则(1)
|PFPF
2b
2
1
||
2
|?
1?cos
?
.(2)
S
?PF< br>1
F
2
?b
2
cot
?
2
.
12. 设A、B是双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（a
＞0,b＞0）的长轴两端点，P是
双曲线 上的一点，
?PAB?
?
,
?PBA?
?
,
?B PA?
?
，c、e分别是
双曲线的半焦距离心率，则有
1)
|P A|?
2ab
2
|cos
?
|
|a
2
?c
2
cos
2
?
|
.
2)
tan
?
tan
?
?1?e
2
.
3)
S?
2a
2
b
2
?PAB
b
2
? a
2
cot
?
.
13. 已知双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
（a＞0,b＞< br>0）的右准线
l
与x轴相交于点
E
，
过双曲线右焦点
F
的直线与双
曲线相交于A、B两点,点
C
在右
准线
l上，且
BC?x
轴，则直线
AC经过线段EF 的中点.
14. 过双 曲线焦半径的端点作双曲
线的切线，与以长轴为直径的圆
相交，则相应交点与相应焦点的
连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲
线的切线交相应准线于一点，则
该点与焦点的连线必与焦半径
互相垂直.
16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的
焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形 中,非焦顶

点的内、外角平分线与长轴交点分
别称为内、外点).
17.双曲线焦三角形中,其焦点所对
的旁心将外点与非焦顶点连线
段分成定比e.
18.双曲线焦三角形中,半焦距必为
内、外点到双曲线中心的比例中
项.

圆锥曲线问题解题方法

圆锥曲线中的知识综合性较强，因 而解题
时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段
来处理问题。熟记各种定义、基本公式、 法则固
然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一
些方法和技巧。
一. 紧扣定义，灵活解题
灵活运用定义，方法往往直接又明了。
例1. 已知点A（3，2）， F（2，0），双曲线
y
2
x
2
?
3
?1
，P为双曲线上一点。
求
|PA|?
1
2
|PF|
的最小值。
解析：如图所示，

?
双曲线离心率为2

，F为右焦点， 由第
二定律知
1
2
|PF|
即点P到准线距离。

?|PA|?
1
2
|PF|?|PA|?|PE|?AM?
5
2


二. 引入参数，简捷明快
参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和
加快问题的解决。
例2. 求共焦点F、共准线
l
的椭圆短轴端点的
轨迹方程。
解：取如图所 示的坐标系，设点F到准线
l
的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）
（t 为参数）
2


?p?
b
c
，而
c?t


?b
2
?pc?pt

再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则

?
?
x?c?t
?
?
y?b?pt

?
消去t，得轨迹方程
y
2
?px


三. 数形结合，直观显示
将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”
的严密 性和“形”的直观性，以数促形，用形助
数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题
形象化 。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌
似困难和麻烦的问题。
例3. 已知
x,y ?R
，且满足方程
x
2
?y
2
?3(y?0)
，又
m?
y?3
x?3
，求m范围。
解析：
?m?< br>y?3
x?3
的几何意义为，曲线
x
2
?y
2
?3(y?0)
上的点与点（－3，－3）连线
的斜率，如图所示

k

PA
?m?k
PB


?
3?3
2
?m?
3?5
2


四. 应用平几，一目了然
用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，
因此，很多 “解几”题中的一些图形性质就和“平
几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题
就会迎刃 而解。
例4. 已知圆(x?3)
2
?y
2
?4和直线
y ?mx
的
交点为P、Q，则
|OP||?OQ|
的值为________。
解：
??OMP~?OQN


|OP||?OQ|?|OM||?ON|?5


五. 应用平面向量，简化解题
向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因
此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
例5. 已知椭圆：
x
2
y
2
24
?
16
?1
，直线
l
：
x
12
?
y
8< br>?1
，P是
l
上一点，射线OP交椭圆于一

点R，点Q 在OP上且满足
|OQ||?OP|?|OR|
2
，当
点P在
l上移动时，求点Q的轨迹方程。
分析：考生见到此题基本上用的都是解析

几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向
量共线的条件便可简便地解出。
解：如图，
OQ
?
，OR
?
，OP
?
共线，设OR
?
?
?
OQ
?
，
OP
?
?
?
OQ
?
，
OQ
?
?(x，y)
，则< br>OR
?
?(
?
x，
?
y)
，
OP< br>?
?(
?
x，
?
y)


?|OQ
?
||?OP
?
|?|OR
?

|
2


?
?
|OQ
?
|
2
?
?
2
|OQ
?
|
2


?
?
?
?
2


?
点R在椭圆上，P点在直线
l
上
?
2
x
2
?
2
y
2
?
24
?
16
?1
，
?
x
12
?
?
y
8
?1

即
x
2
24
?
y
2
16
?
x
12
?
y
8

化简整理得点Q的轨迹方程为：

(x?1)
2
(y?1)
2
5
?
5
?1
（直线
y??
2
3
x
上方
23
部分）

六. 应用曲线系，事半功倍
利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功
倍之效。所以灵活运用曲 线系是解析几何中重要
的解题方法和技巧之一。
例6. 求经过两圆
x
2< br>?y
2
?6x?4?0
和
x
2
?y
2
?6y?28?0
的交点，且圆心在直线
x?y?4?0
上的圆的方程。
解：设所求圆的方程为：

x
2
?y
2
?6x?4 ?
?
(x
2
?y
2
?6y?28)?0


(1?
?
)x
2
?(1?
?
)y
2
?6x?6
?
y?(28
?
?4)?0

则圆心 为
(
?3?3
?
1?
?
，
1?
?
)
，在直线
x?y?4?0
上

?
解得
?
??7

故所求的方程为
x
2
?y
2
?x?7y?32?0


七. 巧用点差，简捷易行
在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用
点差法，此法比其它方法更简捷一些。
例7. 过点A（2，1）的直线与双曲线
x
2
?
y
22
?1
相交于两点P
1
、P
2
，求线段P
1< br>P
2
中点
的轨迹方程。
解：设
P
1
(x
1
，y
1
)
，
P
2
(x
2
，y
2
)
，则
?
2
?
2
y1
?
x
1
??1?1?

?
2

?
2
?
x
2
?
y
2
?
2
2
?1?2?
<2>－<1>得

(x
( y
2
?y
1
)(y
1
?y
2
)
2
?x
1
)(x
1
?x
2
)?
2

即
y
2
?y
1
2(x
1
?x2
)
xx
?

2
?
1
y
1
?y
2
设P
1
P
2
的中点为
M(x
0
，y
0
)
，则
k
y?y
1
2x
0
P
1
P
2
?
2
x
?

2
?x
1
y
0


又
k
y?1
AM
?
0
x
，而P
1
、A、M、P
2
共线
0
?2

?kk
y
0
? 1
P
1
P
2
?
AM
，即
x?2
?
2x
0
y
?P
1
P
2
中点M
00
的轨迹方程是
2x
2
?y
2
?4x?y?0

解析几何题怎么解
高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的
知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆,
圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识
的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基
本知识,这点值得考生在复课时强化.

例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0AA
?
B
?
B
，使
AA
?
垂直且等于A T，使
BB
?
垂直且等于BT，
A
?
B
?
交半圆于P、Q两点，建立如图所
示的直角坐标系.
(1)写出直线
A
?
B
?
的方程； （2）计算出点P、Q的坐标；
（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线
通过点Q.
讲解: 通过读图, 看出
A
'
,B
'
点的坐标.
‘
?
?1，1?t
?
，
(1 ) 显然
A
'
?
1,1?t
?
,
B
于是 直线
A
?
B
?

的方程为
y??tx?1
；
?
x
2
?y
2
?1,
2
t
1?
t
2
（2）由方程组
?
解出
P(0,1)
、
Q
(,)
；
22
1?
t
1?
t
?
y??tx?1,
（3）
k
PT
?
1?01
??
,
k
QT
0?
tt
1?
t
2
?0
2
1?
t
2
1
1?
t
.
???
2
2
t
t
t(
1?
t)
?
t
2
1?
t
由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通
过点Q.
需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?
x
2
y
2
例2 已知直线l与椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，
ab< br>求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．
讲解：从直线
l
所处的位置, 设出直线
l
的方程,
由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为
y?kx?m(k?0).
代入椭圆方程
b
2
x
2
?a
2
y
2< br>?a
2
b
2
，
得
b
2
x
2
?a
2
(k
2
x
2
?2kmx?m< br>2
)?a
2
b
2
.

化简后，得关于
x
的一元二次方程
(a
2
k
2
?b
2
)x
2
?2ka
2
mx?a
2
m
2
?a
2
b
2
?0.

于是其 判别式
??(2ka
2
m)
2
?4(a
2
k
2
?b
2
)(a
2
m
2
?a
2
b
2
)?4a
2
b
2
(a
2
k
2
?b
2
?m
2
).

由已知，得△=0．即
a
2
k
2
?b
2
?m
2
.
①
在直线方程
y?kx?m
中，分别令y=0，x=0，求得
R(?
m
,0),S(0,m).

k

my
??
x??,k??,
??
kx
??
令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得
解得
??
?
y?m.
?
m?y.
??
??
22
代入①式并整理，得
a
?
b
?1
, 即为所求顶点P的轨迹方程．
22
xy
方程
a
?
b
?1
形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? < br>22
xy
22
23
x
2
y
2
3.
例3已知双曲线
2
?
2
?1
的离心率
e?
，过
A(a,0),B(0,?b)
的直线到原点的距离是
3
2
ab
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线
y?kx?5(k?0 )
交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k
的值.
abab
d???
c23
xy
讲解：∵（1）
22?,
原点到直线AB：
??1
的距离
c
a?b
a3ab
?b?1,a?3.
3
.
2
.
故所求双曲线方程为
x
2
?y
2
?1.

3（2）把
y?kx?5代入x
2
?3y
2
?3
中消去y ，整理得
(1?3k
2
)x
2
?30kx?78?0
.
设
C(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
),CD
的中点是
E(x
0
,y
0
)
，则

x
0
?
x
1
?x< br>2
?
15k
21?3k
2
?y
0
?kx0
?5?
y
0
?1
51

,k???.
BE
1?3k
2
x
0
k

?x
0
?ky
0
?k?0,
即
15k5k
2
??k?0,又k?0,?k?7

22
1?3k1?3k
故所求k=±
7
. 为了求出
k
的值, 需要通过消元, 想法设法建构
k
的方程.
例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F
1
、F
2
在x轴上，点P为椭圆上的 一个动点，且∠F
1
PF
2
的最大值为90°，直线l过左焦点F
1
与椭圆交于A、B两点，△ABF
2
的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程．
讲解：（1）设
|PF
1
|?r
1
,|PF
2
|?r
2
,|F
1
F
2
|?2c
, 对
?PF
1
F
2
,
由余弦定理, 得
2
r
1
1
?r
2
2
?4c
2
(r
1
?r
2
)
2
?2r
1
r
2
?4 c
2
4a
2
?4c
2
4a
2
?4c
2
cos?F
1
PF
2
????1??1
?1?2e?0
，
r?r
2r
1
r
2
2r
1
r
2
2r
1
r
2
2(
12
)
22
解出
e?
2

.
2
（2）考虑直线
l
的斜率的存在性，可分两种情况：
i) 当k存在时，设l的方程为
y?k(x?c)
………………①
x
2
y
2
椭圆方程为
2
?
2
?1,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
由
e?
2
.
得
a
2
?2c
2
,b
2
?c
2
.
ab
2
于是椭圆方程可转化为
x
2
?2y
2< br>?2c
2
?0
………………②

将①代入②，消去
y
得
x
2
?2 k
2
(x?c)
2
?2c
2
?0
,
(1 ?2k
2
)x
2
?4ck
2
x?2c
2
( k
2
?1)?0
. 整理为
x
的一元二次方程，得
22c1?k
2
22c(1?k
2
)
，
2
则x
1
、x
2
是上述方程的两根．且
|x
2
?x
1
|?
，
|AB|?1?k|x?x|?
21
1?2k2
1?2k
2
AB边上的高
h?|F
1
F
2< br>|sin?BF
1
F
2
?2c?
|k|
,

也可这样求解：
1?k
2
1
2
S?|F
1
F
2
|?|y
1
?y
2
|

11?k|k|

2
S?22c()2c
2
1?2k
2
1?k
2

?c?|k|?|x
1
?x
2
|

224
k?k1
2

?22c
2
1?k|k|
?22c
2
?22c?2c
2
.

224
1
1?2k1?4k?4k
4?
4
k?k
2
ii) 当k不 存在时，把直线
x??c
代入椭圆方程得
y??
由①②知S的最大值为
2c
2
由题意得
21
c,|AB|?2c,S?2c?2c
2

22
2c
2
=12 所以
c
2
?62?b
2

a
2
?122

x
2
122
?
y
2
62
?1.
故当△ABF
2
面积最大时椭圆的方程为：
下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：
设过左焦点的直线方程为：
x?my?c
…………①
（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）
22
xy
椭 圆的方程为：
2
?
2
?1,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)

ab
由
e?< br>2
.
得：
a
2
?2c
2
,b
2?c
2
,
于是椭圆方程可化为：
x
2
?2y
2
?2c
2
?0
……②
2
把①代入②并整理得：
( m
2
?2)y
2
?2mcy?c
2
于是
y
1
,y
2
是上述方程的两根.
?0

|AB|?(x1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?1?m
2
|y
2
?y
1
|
?
AB边上的高
h?
2c
1?m
2
2
1?m2
4m
2
c
2
?4c
2
(m
2
?2)
m
2
?2
?
22c(1?m
2
)
,
m
2
?2
,
2c(1?m
2
)2c1?m< br>2
2
??22c
2
m
2
?2(m?2)
2< br>?22c
1?m
2
1
m
2
?1?
1
?2
m?1
2
从而
S?
1
|AB|h?
1
?
2
2
?2c
2
.

当且仅当m=0取等号，即
S
max
?2c
2
.

由题意知
2c
2
?12
, 于是
b
2
?c
2
?62,a
2
?122
.
x
2
122
?
y
2
62
?1.
故当△ABF
2
面积最大时椭圆的方程为：

x
2
y
2
例5 已知直线
y??x?1
与椭圆< br>2
?
2
?1(a?b?0)
相交于A、B两点，且线段AB的中点在直
ab
线
l:x?2y?0
上.（１）求此椭圆的离心率；
（2 ） 若椭圆的右焦点关于直线
l
的对称点的在圆
x
2
?y
2?4
上，求此椭圆的方程.

?
y??x?1，
?
讲 解:（1）设A、B两点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
),B(x< br>2
,y
2
).则由
?
x
2
y
2 得
?
2
?
2
?1
b
?
a
(a
2
?b
2
)x
2
?2a
2
x?a2
?a
2
b
2
?0
,
2a
2
2b
2
,y
1
?y
2
??(x
1
?x
2
)?2?
2
,
根据韦达定理，得
x
1
?x
2
?
2
a?b
2
a?b
2
a
2
b
2
,
∴线段AB的中点坐标为（
2
）.
a?b
2
a
2
?b
2
a
2
2b< br>2
2
222222
??0,?a?2b?2(a?c)?a?2c
e?
由已知得
2
，故椭圆的离心率为 .
222
2
a?ba?b
（2）由（1）知
b?c,
从而椭圆的右焦点坐标为
F(b,0),
设F(b,0)
关于直线
l:x?2y?0
的对称点为
(x
0,y
0
),则
y
0
?0
1
x?by
3 4
???1且
0
?2?
0
?0,
解得
x
0
?b且y
0
?b

x
0
?b222
55
2
0
2
0
x
2
y
2
3
2
4
22
??1
. 由已知得
x?y?4 ,?(b)?(b)?4,?b?4
，故所求的椭圆方程为
84
55


例6 已知⊙M：
x
2
?(y?2)
2
?1 ,Q是x
轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，
（1）如果
|AB|?
42
，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的
3
中点P的轨迹方程.
讲解:（1）由
|AB|?
42
，可得
3
|MP|?| MA|
2
?(
|AB|
2
22
2
1
)?1
2
?()?,
由射影定理，得
233
|MB|
2
?|MP|?|MQ|,得|MQ|?3,
在Rt△MOQ中，

|OQ|?|MQ|
2
?|MO|
2?3
2
?2
2
?5
，故
a?5或a??5
，
所以直线AB方程是
2x?5y?25?0或2x?5y?25?0;

（2）连接MB，MQ，设
P(x,y),Q(a,0),
由点M， P，Q在一直线上，得
2y?2
?,(*)

?ax
由射影定理得< br>|MB|
2
?|MP|?|MQ|,
即
x
2
?(y? 2)
2
?a
2
?4?1,(**)

71
把（* ）及（**）消去a，并注意到
y?2
，可得
x
2
?(y?)
2
?(y?2).

416
适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.
2
。DO⊥AB于O点，OA=OB，
2
例7 如图，在Rt△ ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=
DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持 | PA |+| PB |的值不变.
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2 ）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设
实数
?
的取 值范围．
讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+|
CB | y=
C
DM
?
?
，试确定DN
22
?2
2
?()
2
?22
∴动点P的轨 迹是椭圆∵
22
A O B
x
2
a?2,b?1,c?1
∴曲线E的方程是
?y
2
?1
.
2
（2）设直线L的方程为
y?kx?2
, 代入曲线E的方程
x
2
?2y
2
?2
，得
(2k
2
?1)x
2
?8kx?6?0
设 M
1
（
x
1,
y
1
),N(x
2
,y
2
)
, 则
?
?
??(8k)
2
?4(2k?1)?6?0,
?
8k
?

,
?x
1
?x
2
??
2
2k?1
?
6?
xx?.
12
?
2
2k?1
?
i) L与y轴重合时，
?
?
①

②

③
|DM|1
?

|DN|3
x?x
M
x
DM
3
?
D
?
1
, ii) L与y轴不重合时， 由①得
k
2
?.
又∵
?
?
DNx
D
?x
N
x
2
2
∵
x
2
?x< br>1
?0,
或
x
2
?x
1
?0,
∴0＜
?
＜1 , < br>(x?x
2
)
2
(x
1
?x
2
)< br>2
x
1
x
2
64k
2
1
∴
??
???2?
?
??2
∵
x
1
?x
2< br>x
1
?x
2
x
2
x
1
?
6 (2k
2
?1)
32
1
3(2?
2
)
k< br>

而
k
2
?
31
,
∴
6?3(2?
2
)?8.
∴
4?
2
k
32
3(2?
1
)
k
2
?
16
116,
∴
4?
?
??2?
,
3
?
3
?
?
0?
?
?1,
?
1
110
?

2?
?
??
,
?
?
??2,
?
?
3
?
110
?
?
??,
?
?
3
?
?
1
?
1
?
?
?
? 1.
∴
?
的取值范围是
?
,1
?
.
3
?
3
?
值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.
例8 直线l
过抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点，且与抛物线相交于 A
(x
1
,y
1
)和B(x
2
,y
2)
两点.
（1）求证：
4x
1
x
2
? p
2
;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直
平分 线.
讲解: （1）易求得抛物线的焦点
F(
P
,0)
. 若l⊥x轴，则l的方程为
x?
2
PP
2
,显然x
1
x
2
?
24
.若l不垂直于x
P
2
P
2
. 综上可知
4xx?p
2
. 轴，可设
y?k(x?
P
)
,代入抛物线方程整理得
x
2
?P(1?
2P
)x??0,则x
1
x
2
?
12
2
2
k< br>44
22
22
（2）设
C(
c
,c),D(
d
,d)且c?d
，则CD的垂直平分线
l
?
的方程为
y?
c?d
??
c?d
(x?
c?d
)

2p 2p
22p4p
22
c?dc?dpc?d
222
?
假设< br>l
过F，则
0???(?)
整理得
(c?d)(2p?c?d)?0

?p?0

22p24p?2p
2
?c
2
?d
2
?0
，
?c? d?0
. 这时
l
?
的方程为y=0，从而
l
?
与 抛物线
y
2
?2px
只相交于原点. 而l与
抛物线有两个不同的交 点，因此
l
?
与l不重合，l不是CD的垂直平分线.
此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是
高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！