高中数学圆锥曲线专题

圆锥曲线专题
【考纲要求】

一、直线
1. 掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关
系中的作用；
2. 会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二
次 方程的图像是直线；
3. 会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）；
4. 会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。

二、圆锥曲线
1. 理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以
及求曲线交点；
2. 掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的
推导过程；
3. 理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本
方 法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问
题；
4. 能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用
解析法解决相应的 几何问题。

【知识导图】

【精解名题】

一、弦长问题

x
2
?y
2
?1
及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）例1 如图，已知椭圆
2
BD与椭圆交于C、D两点
（1）确定直线BD斜率的取值范围
（2）若割线BD过椭圆的左焦点
F
1
,F
2
是椭圆的右焦 点，求
?CDF
2
的面积

y
D
F1OF2
x
C
B

二、轨迹问题
例2 如图，已知平行四边形ABCO，O是坐标原 点，点A在线段MN上移动，
x
2
y
2
?1
上移动，求点B 的轨迹方程
x=4,y=t

(?3?t?3)
上移动，点C在双曲线?
169
y
M
B
C
A
O
x
N







三、对称问题
x
2
y
2
??1
，问椭圆上是否存在相异两点A、B，关于直例3 已知直线l：
y?kx?2,C:
169
线l对称，请说明理由









四、最值问题
例4 已知抛物线
C:x??2(y?m)
，点A、B及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA与PB
的倾斜角互补
（1）求证：直线AB的斜率为定值
（2）当直线AB在y轴上的截距为正值时，求
?ABP
面积的最大值




五、参数的取值范围
2

例5 已知
a?(x,0),b?(1,y),

(a?3b)
⊥
(a?3b)

（1）求点P（x, y）的轨迹C的方程
（2）直线
l:y?kx?m(k?0,m?0)
与曲线C交于 A、B两点，且在以点D（0，-1）为圆
心的同一圆上，求m的取值范围












六、探索性问题
例6 设x, y∈R，
i,j
为直角坐标平面内x, y轴正方向上的单位向量，若向量
?
??
??????
a?xi?(y?2 )j
，且
b?xi?(y?2)j
且
a?b?8

?????
??
（1）求点M（x, y）的轨迹方程
（2）过点(0，3 )作直线l与曲线C交于A、B两点，设
OP?OA?OB
，是否存在这样的直
线l， 使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由















七、与代数的综合
???

1
例7 如图，
B
1
,B
2
,...B
n
,...,
顺次为二次曲线
y?(x?0)
上的点，
A
1< br>,A
2
,...A
n
,...
顺次为x
x
轴 正方向上的点，且
?A
1
B
2
A
2
,...,?A
n?1
B
n
A
n
,...,
均为等腰直角三角形（ 其中
B
1
,B
2
,...B
n
,...,
为直角顶点）设
A
n
的坐标为
(x
n
,0)
，（< br>n?1,2,...
）
（1）求数列
{x
n
}
的通项
（2）设
S
n
为数列
{
（
a?0,a?1
）
Y
1
1
}
的前n项和，试比较
log
a
(S
n
?1)< br>与
log
a
(n?1)
的大小
x
n
2
B1
B2
B3
OA1
A2
A3
X














【巩固练习】
1. 已知抛物线
y?2px(p?0)
，过动点M(a, 0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的
2

两点A、B
（1）若
ABAB?2p
，求a的取值范围
（2）若线段AB的垂直平分线 交AB于点Q，交x轴于点N，试求Rt
?MNQ
的面积








y
2
b
2
2
?1
,点P（a, b）的坐标满足
a??1
，过点P的直线l与椭圆交2. 已知椭圆C:
x?
22
2
于A、B两点，点M为线段AB的中点，求点M的轨迹方程








3. 直线< br>y?ax?1
与双曲线
3x?y?1
相交于A、B两点，是否存在这样的实数a ，使得A、
B关于直线y=2x对称？如果存在，求出实数a，如果不存在，请说明理由









4.
如图，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中
22
uuuruuur
uuuruuur
心O，且
AC?BC?0
，
BC ?2AC
。
（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围
成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数?

uuuruuur
使
PQ?
?
AB
？请给出证明。
















5. 已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A（
图1
2
，0）为圆心，1为半 径
的圆相切，双曲线S的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称.设直线l过点A，斜率为k.
（1）求双曲线S的方程；
（2）当k=1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离为
2
；
2
，（3）当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为
求斜率 k的值及相应的点B的坐标





图8—10










6. （2002京皖文，理，22）已知某椭圆的焦点是F
1
（－4，0）、F2
（4，0），过点F
2
并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1
B|＋|F
2
B|＝10．椭圆上不同的两点A（x
1
，y
1
）、C（x
2
，y
2
）满足条件：|F
2
A|、|F
2
B|、|F
2
C|成等差数列．

（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标；
（Ⅲ）设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．









【二模专题】
一、求曲线方程
1.（上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科19）（满分16分 ）本题有2小题，第1
小题6分，第2小题10分．
如图，平面上定点
F
到 定直线
l
的距离
|FM|?2
，
P
为该平面上的动点，过< br>P
作直线
l
的垂线，垂足为
Q
，且
PQ?FQ?1
|QF|
2
．
2
（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动 点
P
的轨迹
C
的方程；
（2）过点
F
的直线交轨 迹
C
于
A
、
B
两点，交直线
l
于点
N
，
已知
NA?
?
1
AF
，
NB?< br>?
2
BF
，求证：
?
1
?
?
2为定值．







2. （ 上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟文科）（本题满分16分，第一小题8分；第
二小题8分）

??
rr
?
rr
?
(x?3)i?yj(x?3 )i?yj
,且满
i,j
已知是
x,y
轴正方向的单位向量，设a
=,
b
=
r
rr
足
b?i?a
.
(1) 求点
P
?
x,y
?
的轨迹方程；[来源:学&科&网]
(2) 过点

二、曲线的性质
1.（上海市奉贤区2010年4月高三质 量调研文科20）（本题满分14分，第（1）小题6分，
?
3,0
的直线
l
交上述轨迹于
A,B
两点,且
AB?83
,求直线
l
的方程.
?

第（2）小题8分）
已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知
A(?3,0)
,
B(3,0)
,
p
(x
p
，y
p
)
是椭圆C在第一象限部分上的一动点，且
? APB
是钝角，求
x
p
的取值范围。





2. （上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科22）（本题满分16分， 第（1）小题4分，
第（2）小题8分，第（3）小题4分）
3
，焦点坐标分别为< br>F
1
(?2,0)
,
F
2
(2,0)
。 < br>5
x
2
y
2
已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左右焦点分别为
F
1
,F
2
，短轴 两个端点为
A,B
，
ab
且四边形
F
1
AF
2
B
是边长为2的正方形。
（1）求椭圆方程；
（2）若
C, D
分别是椭圆长轴的左右端点，动点
M
满足
MD?CD
，连接
CM
，交椭圆于
点
P
。证明：
OM?OP
为定值；[来源 :学|科|网]
（3）在（2）的条件下，试问
x
轴上是否存在异于点
C< br>的定点
Q
，使得以
MP
为直径的圆
恒过直线
DP,M Q
的交点，若存在，求出点
Q
的坐标；若不存在，请说明理由。

三、直线与圆锥曲线综合
1. (上海市松江区2010年4月高考模拟理科21)（本题1 6分，其中第（1）小题8分，第
（2）小题8分）
??
x
2
y< br>2
已知椭圆
E
的方程为
2
?
2
?1(a?b ?0)
，长轴是短轴的2倍，且椭圆
E
过点
ab
r
2
(2,)
，斜率为
k
的直线
l
过点
A(0,2)
，
n
为直线
l
的一个法向量，坐标平面上的点
B
满
2
ruuurr
足条件
n?AB?n
．
（1）写出椭圆
E
方程，并求点
B
到直线
l
的距离；
（2）若椭圆
E
上恰好存在3个这样的点
B
，求
k
的值．

2. （上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科22）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
x
2
y
2
c5?1
已知椭圆
C
：
2
?
2
?1< br>（
a?b?0
），其焦距为
2c
，若
?
（
? 0.618
），则称椭圆
a2
ab

C
为“黄金椭圆”。
x
2
y
2
（1）求证：在黄 金椭圆
C
：
2
?
2
?1
（
a?b?0）中，
a
、
b
、
c
成等比数列；
ab
x
2
y
2
（2）黄金椭圆
C
：
2
?2
?1
（
a?b?0
）的右焦点为
F
2
(c, 0)
，
P
为椭圆
C
上的任意
ab
uuuruuuu r
RP??3PF
2
？若存在，一点．是否存在过点
F
、
P
的直线
l
，使
l
与
y
轴的交点
R
满足求直
2
线
l
的斜率
k
；若不存在，请说明理由； x
2
y
2
（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆
C
：
2
?
2
?1
（
a?b?0
）的左、右焦
ab
点分别是
F
1
(?c,0)
、
F
2
(c,0)
，以
A(?a,0)
、
B(a,0)
、
D(0, ?b)
、
E(0,b)
为顶点的菱形
ADBE
的内切圆过焦点
F
1
、
F
2
．
试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述 命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加
以证明．






3. （上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试文科22）（本题满分16分 ）本题共有3个小
题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
x
2
y
2
已知椭圆
C
：
2
?
2
? 1
（
a?b?0
），其左、右焦点分别为
F
1
(?c,0)
、
F
2
(c,0)
，且
a
、
b
、
ab
c
成等比数列．
c
（1）求的值．[来源:学科网ZXXK]
a
（2）若椭圆
C
的上顶点、右顶点分别为
A
、
B
，求证：
?F
1
AB?90?
．
（3）若
P为椭圆
C
上的任意一点，是否存在过点
F
2
、
P
的直线
l
，使
l
与
y
轴的交点
R
uuu ruuuur
RP??2PF
2
？若存在，求直线
l
的斜率
k
；若不存在，请说明理由． 满足

4. （上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科22） （本题满分16分，第（1）小题
4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知
A(?3,0)
,
B(3,0)
,
P
是椭圆C上异于
A< br>、
B
的任意一点，直线
AP
、
BP
分别交
y 轴于
M
、
N
,求
OM?ON
的值；
3
， 焦点坐标分别为
F
1
(?2,0)
,
F
2
(2,0 )
。
5
uuuuruuur
（3）在（2）的条件下，若
G(s, 0)
,
H(k,0)
,且
GM?HN
，
(s?k)
，分别以OG、OH为
边作两正方形，求此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时的G、H点 坐标。







5. （上海市 嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科23）(本题满分18分)本题共有3个小题，
第1小题满分6分 ，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
x
2
y
2
??1
，常数
m
、
n?R
?
，且
m?n
．[来源:学科 网ZXXK] 已知椭圆
mn
（1）当
m?25，n?21
时，过椭圆左焦点
F
的直线交椭圆于点
P
，与
y
轴交于点
Q
，
uuuruuur
若
QF?2FP
，求直线
PQ
的斜率；
x
2
y
2
+=
1
的交点为
（2）过原点且 斜率分别为
k
和
?k
（
k?1
）的两条直线与椭圆
mn
，试用
k
表示四边形
ABCDA、B、C、D
（按逆时针顺序排 列，且点
A
位于第一象限内）
的面积
S
；[来源:学_科_网Z_X _X_K]
（3）求
S
的最大值．
6. （上海市长宁区2010年高三 第二次模拟文科23）（本题满分18分，第（1）小题4分，
第（2）小题6分，第（2）小题8分）
x
2
y
2
已知双曲线C：
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的一个焦点是
F
2
(2,0)
，且
b?3a
。
ab
（1）求双曲线C的方程；
（2）设经过焦点
F
2
的直线
l
的一个法向量为
(m,1)
，
当直线< br>l
与双曲线C的右支相交于
A,B

不同的两点时，求 实数
m
的取值范围；并证明
AB
中点
M
在曲线
3( x?1)?y?3
上。
（3）设（2）中直线
l
与双曲线C的右支相交于< br>A,B
两点，问是否存在实数
m
，使得
?AOB
为锐角？若存 在，请求出
m
的范围；若不存在，请说明理由。









7. （上海市徐汇区2010年4月高三第二 次模拟理科22）（本题满分16分；第（1）小题
5分，第（2）小题5分，第（3）小题6分） < br>设
P
?
a,b
??
a?b?0
?
、
R
?
a,2
?
为坐标平面
xoy
上的点，直线
OR
（
O
为坐标原点）与抛物
线
y
2
?
22< br>4
x
交于点
Q
(异于
O
).
ab
2
（1） 若对任意
ab?0
，点
Q
在抛物线
y?mx?1
?
m?0
?
上，试问当
m
为何值时， 点
P
在某一圆上，并求出该圆方程
M
；
（2） 若点
P( a,b)
?
ab?0
?
在椭圆
x?4y?1
上，试问：点< br>Q
能否在某一双曲线上，若
22
能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；
（3） 对（1）中点
P
所在圆方程
M
，设
A
、< br>B
是圆
M
上两点，且满足
OA?OB?1
，
试问：是 否存在一个定圆
S
，使直线
AB
恒与圆
S
相切.









8. （2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟22）
（本题满分16分）本题共有 3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题
满分8分．
x
2
y
2
已知
F
1
,F
2
为椭圆
C:
2
?
2
?1
,
?
a?b?0
?
的左右焦 点，
O
是坐标原点，过
F
2
作垂
ab
直于
x
轴的直线
MF
2
交椭圆于
M
，设
MF
2
?d
.

（1）证明：
d,b,a
成等比数列；
(2)若
M
的坐标为
?
2,1
，求椭圆C
的方程；
?
uuuruuur
（3）[文科]在(2)的椭圆中，过
F
1
的直线
l
与椭圆
C
交于
A
、
B
两点，若
OA?OB?0
，求
直线
l
的方程．
[理科]在(2)的椭圆中，过
F
1
的直线
l
与椭圆
C
交于
A
、
B
两点，若椭圆
C
上存在点
P
，
uuuruuuruuur
使得

OP?OA?OB
，求直线
l
的方程．









【专题小结】


1. 求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a、b、p等。要充分认识椭圆中参数a、b、
c的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关；
2. 涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用到曲线的定义；
3. 直线与圆锥曲 线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为
一元二次方程，利用判别式、韦 达定理来求解或证明；
4. 对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置 、形状、大小
等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等；
5. 与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明。
【专题测试】
1、以原点为顶点，
x
轴为对称轴且焦点在
2x?4 y?3?0
上的抛物线方程是
y
2
?1
中心为 顶点，右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_____________

2、以椭圆
x?
5
2
x
2
y
2
3、已知
A
为 双曲线
??1
的右顶点，F是双曲线的右焦点，则|AF|=_______
97

x
2
y
2
y
2x
2
4、设联结双曲线
2
?
2
?1
与
2
?
2
?1
（
a?0
，的
4
个顶点的四边 形面积为
S
1
，
b?0
）
abba
联结其
4
个焦点的四边形面积为
S
2
，则
S
1
的最大值为
S
2
x
2
y
2
5、已知
P(x，y)是椭圆
??1
上的一个动点，则
x?y
的最大值是
169
x
2
y
2
6、如图，已知椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的焦点和上
ab
顶点分别为F
1
、
F
2
、
B
，我们称
?F
1
BF
2
为椭圆
C
的特征
三角形。如果两个椭圆的特征三 角形是相似的，则称这两个
椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为 椭圆的相似比.
x
2
x
2
y
2
2
?y?1
和
C2
:??1
，（1）已知椭圆
C
1
:
判断
C< br>2
4164
与
C
1
是否 相似，如果相似则求出C
2
与
C
1
的相似比，若不相似请说明理由；
（2） 已知直线
l:y?x?1
,与椭圆
C
1
相似且半短轴长为
b
的椭圆
C
b
的方程，在椭圆
C
b
上
是否存 在两点
M
、
N
关于直线
l
对称，若存在，则求出函数
f
?
b
?
?MN
的解析式.
（3）根据与椭圆
C
1
相似且半短轴长为
b
的椭圆
C
b
的方程，提出 你认为有价值的
相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；