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高中数学圆锥曲线经典题型

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 06:17
tags:高中数学圆锥曲线

高中数学没有那种思维能力-高中数学教材课时安排

2020年9月22日发(作者:郝致华)


努力的你,未来可期!
高中数学圆锥曲线经典题型

椭圆
一、选择题:
x
2
y
2
x
2y
2
??1
,双曲线
2
?
2
?1(a?0,b ?0)
的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,1.已知椭圆方程
43ab
则双曲线的离心率为
A.
2
B.
3
C. 2 D. 3


x
2
y
2
2.双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的 左、右焦点分别为F
1
,F
2
,渐近线分别为
l
1
,l
2
,点P在第
ab
一象限内且在
l
1
上,若
l
2
⊥PF
1

l
2
PF
2,则双曲线的离心率是
A.
5

【答案】B
B.2 C.
3

( )
D.
2
bb
x

l
2
:y??x
,因为点P在第
aa
1
l
2
PF
2,
一象限内且在
l
1
上,所以设
P(x
0
,y
0
),x
0
?0
,因为
l
2
⊥PF
1
,所以
PF
1
?P F
2
,即
OP?F
1
F
2
?c

2
bb
2
222
22

x
0
?y
0
?c
,又
y
0
?x
0
,代入得
x
0
?(x
0
)?c
,解得
x
0
?a,y
0
?b
,即
P(a,b)
。所以
aa
bbb
??( ?)??1
b
l
2
aa?ca
k
PF
1
?

l
2
的斜率为,因为⊥PF1,所以,即
a?c
【解析】 双曲线的左焦点
F
1
(?c,0)
,右焦点
F
2
( c,0)
,渐近线
l
1
:y?
b
2
?a(a?c) ?a
2
?ac?c
2
?a
2
,所以
c
2< br>?ac?2a
2
?0
,所以
e
2
?e?2?0
,解得
e?2
,所以双曲线
的离心率
e?2
,所以选B.
x
2
y
2
2
3.已知双曲线
2
?
2?1
?
a?0,b?0
?
的一条渐近线的斜率为
2
,且 右焦点与抛物线
y?43x
的焦
ab
点重合,则该双曲线的离心率等于
A.
2
B.
3
C.2
拼搏很美!
D.2
3


努力的你,未来可期!

4.抛物线
y?4x
上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是
A.
2
7

8
B.
15

16
C.
3

4
D.0

x
2
y
2
??1
的两渐近线围成的三角形的面积为 5.抛物线
y??12x
的准线与双曲线
93
2
A.
3
B.
23
C. 2 D.
33

【答案】D
33
x
2
y
2
x

y??x

??1
的 两渐近线为
y?
【解析】抛物线
y??12x
的准线为
x?3
,双曲线
33
93
2

x?3
,分别解得
y1
?3,y
2
??3
,所以三角形的低为
3?(?3)?23< br>,高为3,所以三角形的
面积为
1
?23?3?33
,选D.
2
2
6.过抛物线
y?4x
的焦点作一条直线与抛物线相交于
A, B
两点,它们到直线
x??2
的距离之和等于5,
则这样的直线
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条


D.不存在
拼搏很美!


努力的你,未来可期!

x
2
y
2
22
7.已知双曲线
2
?
2
?1(a?0, b?0)
的两条渐近线均与
C:x?y?6x?5?0
相切,则该双曲线离心
ab
率等于
A.

B.

35

5
6

2
C.
3

2
D.
5

5

x
2
y
2

8.已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左 、右焦点分别为
F
1
?c,0),F
2
(c,0)
,若椭圆 上存在点P使
ab
ac
?
,则该椭圆的离心率的取值范围为( )
sin?PF
1
F
2
sin?PF
2
F
1

A.(0,
2?1
B.(
22
,1
) C.(0,) D.(
2?1
,1)
22
拼搏很美!


努力的你,未来可期!

x
2
y
2
9.过椭圆
2
?
2
?1
(
a?b?0
)的左焦点
F
1

x
轴的垂线交椭圆于点
P

F2
为右焦点,若
ab
?F
1
PF
2
?60o
,则椭圆的离心率为 ( )
A.
2
3
11
B. C. D.
3
2
23

二、填空题:
10. 若圆
C
以抛物线
y?4x
的焦点为圆心,截此抛物线的准线所得弦长为6,则 该圆的标准方程
是 ;

2
拼搏很美!


努力的你,未来可期!

x
2
y
2
11.设F是抛物线C
1

y?4x
的焦点,点A是抛物线与双曲线C2

2
?
2
?1(a>0,b>0)
的一条渐近线ab
2
的一个公共点,且
AF?x
轴,则双曲线的离心率为
【答案】
5

【解析】抛物线的焦点为
F(1,0)
.双曲 线的渐近线为
y??
bb
x
,不妨取
y?x
,因为
AF?x
,所以
aa
bb
x
A
?1
,所以
y
A
??2
,不妨取
A(1,2)
,又因为点
A(1,2)
也在
y?x
上,所以
?2
,即
b?2a
,所以a
a
b
2
?4a
2
?c
2
?a
2
,即
c
2
?5a
2
,所以
e
2
?5
,即
e?5
,所以双曲线的离心率为
5

x
2
y
2
??1
,则双曲线的离心率是 . 12.已知双曲线的方程为
169

x
2
y
2
1< br>??1
的离心率为,则
m
= . 13.若焦点在x轴上的椭圆
2m
2
【答案】
3

2
22222
【解析】因为焦点在
x
轴上。所以
0?m?2
,所以< br>a?2,b?m,c?a?b?2?m
。椭圆的离心率为
1c
2
2?m
13
2
e?
,所以
e??
2
?
,解得m?

4a2
2
2
14.已知点P是抛物线
y?4x
上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A 的坐标是(4,a),则当
|a|?4
时,
|PA|?|PM|
的最小值是 。
2
拼搏很美!


努力的你,未来可期!

三、解答题:
15. (本小题满分13分)
x
2
y
2
已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
过点
?
0,1
?
,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线
l
ab< br>与
x
轴正半轴和
y
轴分别交于点
Q

P,与椭圆分别交于点
M

N
,各点均不重合且满足
uuuuru uuuruuuruuur
PM?
?
1
MQ,PN?
?
2< br>NQ

(1)求椭圆的标准方程;
(2)若
?
1
?
?
2
??3
,试证明:直线
l
过定点并求此定点.

拼搏很美!


努力的你,未来可期!
(2) 由题意设
P(0,m),Q(x
0
,0),M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
,设
l
方程为
x? t(y?m)


PM?
?
1
MQ

( x
1
,y
1
?m)?
?
1
(x
0
?x
1
,?y
1
)


y
1
?m ??y
1
?
1
,由题意
?
1
?0
,∴?
1
?

m
?1
-----------------7
y
1
uuuruuur
m
? 1
同理由
PN?
?
2
NQ

?
2?
y
2

?
1
?
?
2
??3
,∴
y
1
y
2
?m(y
1
?y
2
)?0
(*) ------8分
?
x
2
?3y
2
?3
2222 2
联立
?

(t?3)y?2mty?tm?3?0

?< br>x?t(y?m)
∴需
??4mt?4(t?3)(tm?3)?0
(**)
24222
2mt
2
t
2
m
2
?3
,y
1
y
2
?
2
且有
y
1< br>?y
2
?
2
(***)-------10分
t?3t?3
(***)代入(*)得
t
2
m
2
?3?m?2mt
2
?0
,∴
(mt)?1

由题意
mt?0
,∴
mt??1
(满足(**)), ----12分

l
方程为
x?ty?1
,过定点(1,0),即
P
为定点. ---------------13分
16.(本大题满分13分)

2
x
2
y
21
已知椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的 离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线
ab
2
x?y?6?0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线
l
与椭圆C相交于A、B两点。



(1)求椭圆C的方程;
(2)求
OA?OB
的取值范围;
(3)若B点在于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点。

(2 )解:由题意知直线
l
的斜率存在,设直线
l
的方程为
y?k(x? 4)

拼搏很美!


努力的你,未来可期!
?
y? k(x?4)
?

?
x
2
得:
(4k
2< br>?3)x
2
?32k
2
x?64k
2
?12?0 4分
y
2
??1
?
3
?
4
??(?32k
2
)
2
?4(4k
2
?3)(64k< br>2
?12)?0
得:
k
2
?
1

4
32k
2
64k
2
?12

A
(
x
1

y
1
),
B
(
x
2
y
2
),则
x
1
?x
2
?
2
① 6分
,x
1
x
2
?
2
4k? 34k?3

y
1
y
2
?k(x
1
?4) k(x
2
?4)?k
2
x
1
x
2
?4k< br>2
(x
1
?x
2
)?16k
2


ab
x
2
y
2
x
2
y
2
17. 若椭圆
E
1
:
2
?
2
?1
和椭圆
E
2
:
2< br>?
2
?1
满足
2
?
2
?m(m?0)
,则称这两个椭圆相似,
a
1
b
1
a
1
b
1
a
2
b
2
m
是相似比
.

x
2
y
2
??1
相似的椭圆的方程; (Ⅰ)求过(
2,6)
且与椭圆
42
(Ⅱ)设过原点的一条射线
l
分别与(Ⅰ) 中的两椭圆交于
A

B
点(点
A
在线段
OB
上).
①若
P
是线段
AB
上的一点,若
OA

OP

OB
成等比数列,求
P
点的轨迹方程;
②求
OAgOB
的最大值和最小值.
拼搏很美!


努力的你,未来可期!
(Ⅱ) ① 当射
线
l
的斜率不存在时
A(0,?2),B(0,?22)
, < br>2
设点P坐标P(0,
y
0
)
,则
y
0?4
,
y
0
??2
.即P(0,
?2
). ………………5分
当射线
l
的斜率存在时,设其方程
y?kx
,P (
x,y)


A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)

4
?
2
y?kx
x?
?
11
1
2
?
?
1?2k
?
2

?

?
x
1
y
1
2
2
?1
?
y
2
?
4k
?
?
?42
?
1
1?2k
2
?
?|OA|?
21?k
2
1?2k
2
同理
|OB|?
41?k
2
1?2k
2
………………………7分
y
2
8(1?
2
)
8(1?k< br>2
)8(x
2
?y
2
)
y
22
x< br>??
2
又点P在
l
上,则
k?
,且由
x?y ?
,
2
22
y
1?2kx?2y
x
1?2
2
x
x
2
y
2
??1
. 即所求方程是
84

Q
(0,
?2
)适合方程,
x
2
y
2
??1
. ………………9分 故所求椭圆的方程是
84
|OB|?
②由①可知,当
l< br>的斜率不存在时,
|OA|g2g22?4
,当
l
的斜率存在
8(1?k
2
)4
|OB|??4?
时,
|OA|
g
,
1?2k
2
1?2k
2
拼搏很美!


努力的你,未来可期!
?4?|OA|g|OB|?8
, ………………11分
综上,
|OA|g|OB|
的最大值是8,最小值是4. ………………12分
18.(本小题满分12分)已知长方形ABCD,
AB?22
,BC=1。以AB的中点O为原点建立如图所示的平
面直角坐标系xoy.
(Ⅰ)求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直 线
l
交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线
l
,使得弦MN为直径的圆 恰好
过原点?若存在,求出直线
l
的方程;若不存在,说明理由。

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线
l
的方程为
y?kx?2(k?0)
.
设M,N两点的坐标分别为
(x
1
,y
1
),(x< br>2
,y
2
)
.
?
y?kx?2
联立方程:
?
2

2
?< br>x?2y?4
22
消去
y
整理得,
(1?2k)x?8kx? 4?0


x
1
?x
2
??
8k4
,xx?
………………7分
12
22
1?2k1?2k
拼搏很美!


努力的你,未来可期!
若以MN为直径的圆恰好过原点,则
OM?O N
,所以
x
1
x
2
?y
1
y
2< br>?0
,…………8分
所以,
x
1
x
2
?( kx
1
?2)(kx
2
?2)?0

(1?k
2
)x
1
x
2
?2k(x
1
?x
2
)?4?0

4(1?k
2
)16k
2
??4?0
所以,
22
1?2k1?2k
8?4k
2
?0
, ……………………9分 即
2
1?2k
2

k?2,k??2
. ……………………10分
所以直线
l
的方程为
y?2x?2
,或< br>y??2x?2
.………………11分
所在存在过P(0,2)的直线
l
y??2x?2
使得以弦MN为直径的圆恰好过原点。
…12分
19.(本小题满分12分)
如图,直线l :y=x+b与抛物线C :x=4y相切于点A。
(1) 求实数b的值;
(11) 求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
2

?
y?x?b
2
【解析】(I)由
?
2

x?4x?4b?0
(
?
)
?
x?4y
因为直线
l
与抛物线C相切, 所以
??(?4)?4?(?4b)?0
,解得
b??1
………………4分
2


拼搏很美!


努力的你,未来可期!
双曲线

题组一 双曲线的定义及标准方程
1.(2010·汕头一模) 中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的
距离为2,则双曲线方 程为 ( )
A.x
2
-y
2
=1 B.x
2
-y
2
=2
1
C.x
2
-y
2
=2 D.x
2
-y
2

2
x
2
y
2
解析:由题意,设双曲线方程为
2

2
=1(a>0),
aa
|2a|
则c=2a,渐近线y=x,∴=2,∴a
2
=2.
2
∴双曲线方程为x
2
-y
2
=2.
答案:B
uuuuruuuur
2.已知双曲线的两个焦点为F
1
(-10,0)、F
2
(10,0),M是此双曲线上的一点,且满足
MF
1
·
MF
2
uuuuruuuur
=0,|
MF
1
|·|
MF
2
|=2,则该双曲线的方程是 ( )
x
2
2
y
2
2
A.-y=1 B.x-=1
99
x
2
y
2
x
2
y2
C.-=1 D.-=1
3773
u uuuruuuuruuuuruuuur
MF
1
·
MF
2
=0,∴
MF
1

MF
2
,∴MF1⊥MF2, 解析:∵
∴|MF1|2+|MF2|2=40,
∴(|MF1|-|MF2|)2=|MF 1|2-2|MF1|·|MF2|+|MF2|2=40-2×2=36,
∴||MF1|-|MF2||=6=2a,a=3,
又c=10,∴b2=c2-a2=1,
x2
∴双曲线方程为-y2=1.
9
答案:A
题组二 双曲线的几何性质
x
2
y
2
3.(2009·宁夏、海南高考)双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为 ( )
412
A.23 B.2 C.3 D.1
x2y2
解析:双曲线-=1的焦点为(4, 0)或(-4,0).渐近线方程为y=3x或y=-3x.由双曲线的对
412
|43+0|
称性可知,任一焦点到任一渐近线的距离相等,d==23.
3+1
答案:A
拼搏很美!


努力的你,未来可期!
x
2
y
2
4.(2010·普宁模拟)已知离心率为e的曲线
2
-=1,其右焦点与抛物线 y
2
=16x的焦点重合,则e的
a7
值为 ( )
3423423
A. B. C. D.
42334
解析:抛物线焦点坐标为(4,0),则a2+7=16,
c4
∴a2=9,∴e==.
a3
答案:C
x
2
y
2
5.(2009·江西高考)设F
1
和F
2
为双曲线
2

2
=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F
1
,F< br>2
,P(0,2b)是正三
ab
角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 ( )
35
A. B.2 C. D.3
22
|PO|
解析:=tan60°,
|F1O|
2bc 2
=3?4b2=3c2?4(c2-a2)=3c2?c2=4a2?=4?e=2.
ca2
答案:B
x
2
y
2
6.(2010·广州 模拟)已知点F是双曲线
2

2
=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该 双曲线的右顶点,过
ab
F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABE是锐角三 角形,则该双曲线的离心率e
的取值范围是 ( )
A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+2) D.(2,1+2)
解析:如图,要使△ABE为锐 角三角形,只需∠AEB为锐角,由双曲线对称性知△ABE为等腰三
角形,从而只需满足∠AEF<4 5°.
又当x=-c时,y=
∴tan∠AEF=
b2

a
|AF|b2
=<1,
|EF|
a(a+c)
∴e2-e-2<0,
又e>1,∴1答案:B
题组三 直线与双曲线的位置关系
x
2
y
2< br>7.(2010·西安调研)过点P(4,4)且与双曲线-=1只有一个交点的直线有 ( )
169
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析:如图所示,满足条件的直线共有3条.
拼搏很美!


努力的你,未来可期!

答案:C
x
2
y
2
8.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F作平行双曲线的一条渐近线的直线 与双曲
916
线交于点B,则△AFB的面积为________.
4
解析:由题意知,A(3,0),F(5,0),渐近线斜率k=±,
3
4
则直线方程为y=(x-5),
3
x2y217
代入-=1,得x=,
9165
321732
∴y=-,即B(,-),
15515
13232
∴S△AFB=×2×=.
21515
32
答案:
15
题组四
9.(2010·德州模拟)P为双曲线x
2

双曲线的综合问题
y
2
=1右支上一点,M、N分别是圆(x+4)
2
+y
2
=4和(x-4)
2
+y
2
=1
15
上的点,则|PM|- |PN|的最大值为________.
解析:双曲线的两个焦点为F1(-4,0)、F2(4,0 ),为两个圆的圆心,半径分别为r1=2,r2=1,|PM|max
=|PF1|+2,|PN|m in=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1 |-|PF2|+3=5.
答案:5
10.(1)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x
2
+y
2
=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线
与双 曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程;
5x
2
y
2
(2)已 知双曲线的离心率e=,且与椭圆+=1有共同的焦点,求该双曲线的 方程.
2133
解: (1)切点为P(3,-1)的圆x2+y2=10的切线方程是3x-y=10.
∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称,
∴两渐近线方程为3x±y=0.
设所求双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0).
∵点P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得λ=80,
x2y2
∴所求的双曲线方程为-=1.
8080
9
(2)在椭圆中,焦点坐标为(±10,0),
拼搏很美!


努力的你,未来可期!
c105
∴c=10,又e===,∴a2=8,b2=2.
aa2
x2y2
∴双曲线方程为-=1.
82
x2
11.已知双曲线C:-y2=1,P是C上的任意点.
4
(1)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;
(2)设点A的坐标为(3,0),求|PA|的最小值.
解:(1)证明:设P(x1,y1)是双曲线上任意一点,
该双曲线的两条渐近线方程分别是
x-2y=0和x+2y=0,
|x1-2y1||x1+2y1|
点P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是和. 55
22
x
1
?4y
1
|x1-2y1||x1+2y 1|
它们的乘积是·=
55
5
4
=.
5
∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
(2)设P的坐标为(x,y),则
x2
|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+-1
4
5124
=(x-)2+.
455
124
∵|x|≥2,∴当x=时,|PA|2的最小值为,
55
25
即|PA|的最小值为.
5
x
2
212.(文)已知椭圆C
1
的方程为+y=1,双曲线C
2
的左、右焦点 分别是C
1
的左、右顶点,而C
2
的左、
4
右顶点分别是C
1
的左、右焦点.
(1)求双曲线C
2
的方程;
uuu ruuur
OB
>2(其中O为原点),(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C
2
恒有两个不同的交点A和B,且
OA
·
求k的取值范围.
x2y2
解:(1)设双曲线C2的方程为-=1,
a2b2
则a2=4-1=3,c2=4,
由a2+b2=c2,得b2=1,
x2
故C2的方程为-y2=1.
3
x2
(2)将y=kx+2代入-y2=1,得
3
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(1-3k2)x2-62kx-9=0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得
?
1-3k2≠0,

?
?
Δ=(-62k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)>0,
1
∴k2≠且k2<1.
3


设A(x1,y1),B(x2,y2),则
-9
62k
x 1+x2=,x1x2=.
1-3k21-3k2
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)
3k2+7
=(k2+1)x1x2+2k(x1+x2)+2=.
3k2-1
uuuruuur
OB
>2,得x1x2+y1y2>2, 又∵
OA
·
3k2+7
∴>2,
3k2-1

-3k2+9
1
>0,解得<k2<3,
3
3k2-1

1
由①②得<k2<1,
3
故k的取值范围为(-1,-
33
)∪(,1).
33
(理)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(3,0).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于 不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过
点A(0,-1),求实数m的取值范围.
x2y2
解:(1)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
a2b2
由已知得a=3,c=2.
又a2+b2=c2,得b2=1.
x2
故双曲线C的方程为-y2=1.
3
y=kx+m
?
?
(2)联立
?
x2
整理得
-y2=1
?
?3
(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点,
?
1-3k2≠0
?

?

?
?
Δ=12(m2+1-3k2)>0
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1
可得m2>3k2-1且k2≠. ①
3
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为B(x0,y0).
则x1+x2=
6km
x1+x2
3km
1-3k2
,x0=
2

1-3k2

y 0=kx0+m=
m
1-3k2
.
由题意,AB⊥MN,
m∵kAB=
1-3k2
+1
1
3km
=-
k
( k≠0,m≠0).
1-3k2
整理得3k2=4m+1.
将②代入①,得m2-4m>0,∴m<0或m>4.
又3k2=4m+1>0(k≠0),即m>-
1
4
.
∴m的取值范围是(-
1
4
,0)∪(4,+∞).

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