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高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 06:26
tags:高中数学圆锥曲线

高中数学求导教案-高中数学公式大全 二项式

2020年9月22日发(作者:宗蔚生)


圆锥曲线
1.圆锥曲线的两定义:
第一定义中要重视“括号”内的限制条件 :椭圆中,
与两个定点F
1
,F
2
的距离的和等于常数
2a
,且此常

2a
一定要大于
F
1
F
2,当常数等于
F
1
F
2
时,轨迹
是线段F
1< br>F
2
,当常数小于
F
1
F
2
时,无轨迹;双 曲线
中,与两定点F
1
,F
2
的距离的差的绝对值等于常数
2a

且此常数
2a
一定要小于|F
1
F
2
|,定义中的“绝对值”

2a
<|F
1
F
2
| 不可忽视。若
2a
=|F
1
F
2
|,则轨迹是
以F
1
,F
2
为端点的两条射线,若
2a
﹥|F
1F
2
|,则轨
迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线
的一 支。
如方程
(x?6)
2
?y
2
?(x?6)
2
?y
2
?8
表示的
曲线是_____(答:双曲线的左支)

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在
原点,坐标轴为对称轴时的 标准位置的方程):
:焦点在
x
轴上时
x
2
1)椭圆y
2

a
2
?
b
2
?1
b? 0
),焦点在
y
轴上时
y
2
x
2

a?
a
2
?
b
2
=1

a?b?0)。方程
Ax
2
?By
2
?C
表示椭圆的充要条
件是什么(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。

x,y?R
,且< br>3x
2
?2y
2
?6
,则
x?y
的最大值是____,
x
2
?y
2
的最小值是___(答:
5 ,2

(2)双曲线:焦点在
x
轴上:
x
2
y< br>2
a
2
?
b
2
=1,焦
y
2x
2
点在
y
轴上:
a
2
?
b
2
=1(
a?0,b?0
)。方程
Ax
2
?By
2
?C
表示双曲线的充要条件是什么(ABC≠
0,且A,B异号)。
如设中 心在坐标原点
O
,焦点
F
1

F
2
在坐标 轴
上,离心率
e?2
的双曲线C过点
P(4,?10)
,则C
的方程为_______(答:
x
2
?y
2
?6
(3)抛物线:开口向右时
y
2
?2px(p?0)
,开
口向左 时
y
2
??2px(p?0)
,开口向上时
x
2
? 2py(p?0)
,开口向下时
x
2
??2py(p?0)


3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后
再判断):
(1 )椭圆:由
x
2
,
y
2
分母的大小决定,焦点在
分 母大的坐标轴上。
x
2
y
2
如已知方程
m?1
?
2?m
?1
表示焦点在y轴
上的椭圆,则m的取值范围是__(答:
(??,?1)?(1,
3
2
)

(2)双曲线:由
x< br>2
,
y
2
项系数的正负决定,焦
点在系数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项
的符号决定开口方向。
提醒:在椭 圆中,
a
最大,
a
2
?b
2
?c
2
,在双曲
线中,
c
最大,
c
2
?a
2
? b
2


4.圆锥曲线的几何性质:
22
(1)椭圆( 以
x
a
2
?
y
b
2
?1

a?b?0
)为例):
①范围:
?a?x?a,?b?y?b
;②焦点:两 个焦点
(?c,0)
;③对称性:两条对称轴
x?0,y?0
,一个对
称中心(0,0),四个顶点
(?a,0),(0,?b)
,其中长轴长
2
a
,短轴长为2
b
;④准线:两条准线
x??
a
2

c

⑤离心率:
e?
c
a
,椭圆
?< br>0?e?1

e
越小,椭圆
越圆;
e
越大,椭圆越扁 。
如(1)若椭圆
x
2
5
?
y
2
10< br>m
?1
的离心率
e?
5
,则
m
的值是__( 答:3或
25
3
);
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角
形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:
22

22
( 2)双曲线(以
x
a
2
?
y
b
2
?1
a?0,b?0
)为
例):①范围:
x??a

x? a,y?R
;②焦点:两个
焦点
(?c,0)
;③对称性:两条对称轴
x?0,y?0
,一
个对称中心(0,0),两个顶点
(?a,0)
,其中 实轴长为
2
a
,虚轴长为2
b
,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为
?y?k,k?0
;④准线:两条准线
x??
a
2
x
22
c
; ⑤
离心率:
e?
c
a
,双曲线
?
e?1
,等轴双曲线
?
e?2< br>,
e
越小,开口越小,
e
越大,开口越大;
⑥两条渐近线:< br>y??
b
a
x

(3)抛物线(以
y
2< br>?2px(p?0)
为例):①范围:
x?0,y?R
;②焦点:一个焦点(
p
2
,0)
,其中
p
的几
何意义是:焦点到 准线的距离;③对称性:一条对称轴
y?0
,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线 :
一条准线
x??
p
2
; ⑤离心率:
e?
c
a
,抛物线
?
e?1

如设
a?0,a?R
,则抛物线
y?4ax
2
的焦点坐标为
________(答:
(0,
1
16a
)
);
P(x
x
2
y
2
5、点
0
,y
0
)和椭圆
a
2
?
b
2
?1

a?b?0
)的
2
关系:(1)点
P(x
xy
2
00
0
,y
0
)
在椭圆外
?
a
2
?
b
2
?1
;(2)

P(xy
x
22
0y
0
0
,
0
)
在椭圆上
?
a
2
?
b
2
=1;(3)点
P(xy
x
22
0
y
0
0
,
0
)
在椭圆内
?
a< br>2
?
b
2
?1


6.直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)相交:
??0
?
直线与椭圆相交;
??0?
直线与 双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有
??0
,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双 曲
线相交且只有一个交点,故
??0
是直线与双曲线相交
的充分条件,但不是 必要条件;
??0?
直线与抛物
线相交,但直线与抛物线相交不一定有
??0
,当直线
与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一
个交点,故
? ?0
也仅是直线与抛物线相交的充分条
件,但不是必要条件。
(2)相切:
??0
?
直线与椭圆相切;
??0
?

线与双曲线相切;< br>??0
?
直线与抛物线相切;
(3)相离:
??0
?
直线与椭圆相离;
??0
?

线与双曲线相离;
??0
?
直线与抛物线相离。

提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点
时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双
曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有 一个
交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相
x
2
y
2
交,也只有一个交点;(2)过双曲线
a
2
?
b
2
=1外一

P(x
0
,y
0
)
的直线与双曲线只有 一个公共点的情况如
下:①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内
时,有两条与渐近线平 行的直线和分别与双曲线两支相
切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包
含双曲线 的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只
与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行
的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这 样的直线;
(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有
一个公共点:两条切线和一条 平行于对称轴的直线。
7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点
所构成的三角形)问题:
S?b< br>2
tan
?
2
?c|y
0
|
,当
| y
0
|?b

P
为短轴端点时,
S
max
的最大值为bc;对
2
于双曲线
S?
b
。 如 (1)短轴长为
5

tan
?
2
练习:点P是双曲线上< br>x
2
?
y
2
12
?1
上一点,
F< br>1
,F
2

双曲线的两个焦点,且
PF
1
P F
2
=24,求
?PF
1
F
2
的周
长。
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)


以过焦点的弦为直径 的圆和准线相切;(2)设AB为焦
点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)< br>设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A
1
,B
1

若P为A
1
B
1
的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线
交准 线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行
(6)若抛物线
y?2px(p?0)
的焦点弦为AB,
2

A(x
1
,y
1
),B( x
2
,y
2
)
,则①
|AB|?x
1
?x
2
?p

p
2
,y
1
y
2
??p
2

x
1
x
2
?
4

2
62k
设A(x
A
,y
A
),B(x
B
,y
B
),则x
A
?x
B
?,x
A
?x
B
?
1?3k
2
1?
uuuruuur
由O A?OB?6得x
A
x
B
?y
A
y
B
?6 ,而
x
A
x
B
?y
A
y
B
?x< br>A
x
B
?(kx
A
?2)(kx
B
?2)< br>(7)若OA、OB是过抛物线
y?2px(p?0)
顶点

于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。

9、弦长公式:若直线
y?kx?b
与圆锥曲线相交于两
点A、B ,且
x
1
,x
2
分别为A、B的横坐标,则
AB

1?k
2
x
1
?x
2
,若
y
1< br>,y
2
分别为A、B的纵坐标,则
AB

1?
1k
2
y
1
?y
2
,若弦AB所在直线方程设为
x?ky?b
,则
AB

1?k
2
y
1
? y
2
。特别地,焦
点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用
弦长 公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和
后,利用第二定义求解。

10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦
达定理”或“点差法”求解。
x
2
y
2
在椭圆
a
2
?
b
2< br>?1
中,以
P(x
0
,y
0
)
为中点的弦所 在
直线的斜率k=-
b
2
x
0
a
2
y
0
弦所在直线的方程: 垂直平分线的
方程:
x
2
y
2
在双曲线
a
2
?
b
2
?1
中,以
P(x
0
,y0
)
为中点的弦所在
直线的斜率k=
b
2
x
0
a
2
y
;在抛物线
y
2
?2px(p?0)
中,
0

P(x
p
0
,y
0
)
为中点的弦所在直线的斜率k=
y

0
提醒:因为
??0
是直线与圆锥曲线相交于两点的必要
条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检
验< br>??0


11.了解下列结论
(1)双曲线
x
2
y
2
的渐近线方程为
x
a
2
?
b
2
?1
a
?
y
b
?0

(2)以y??
b
a
x
为渐近线(即与双曲线
x
2
y< br>2
共渐近线)的双曲线方程为
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
a
2
?
b
2
?
?
(
?
为参数,
?
≠0)。
(3)中心在原点 ,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲
线方程可设为
mx
2
?ny
2
?1

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称
2b
2
轴的弦)为
a
,焦准距(焦点到相应准线的距离)
b
2

c
,抛物线的通径为
2p
,焦准距为
p

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的
弦;
O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点
(2p,0)

?(k
2
?1)x
A
x
B
?2k(x
A
?x
B
)?2

?(k
2
?1)?
?9
12.圆锥曲线中线段的最值问题:
1?3k
2
?2k?
62k
1?3k
2
?2
< br>?
3k
2
?7
.
例1、(1)抛物线C:y
2
=4x上一点P到点A(3,4
2
)
3k
2
?1
2
与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为
于是
3k?715k
2
?13< br>3k
2
?1
?6,即
3k
2
?1
?0.解此不等式得
______________
k
2
?
13
或k
2
1
(2)抛物线C: y
2
=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦
15
?
3
.< br> ③
点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。 由①、②、③得
1
4
?k
2
?
113
3

15
?k
2
?1.

分析:(1)A在抛物线外,如图 ,连PF,则
故k的取值
Q
A
范围为
H
PH?PF
,因而易发现,当A、P、F三点共线时,
P
B
F
距离和最小。
(2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当
B、Q、R三点共线时,距离和最小。 解:(1)(2,
2

(?1,?
13
15
)U(?
3
3
,?
1
2
)U(
1
2
,
3
3
)U(
13
15
,1)

(2)(
1
4
,1

2、在平面直角坐标系xOy中,已 知点A(0,-1),B点在
1、已知椭圆
C
x
2
1
的方程 为
4
?y
2
?1
,双曲线
C
2
的左、直线y = -3上,M点满足MB以
u
MA
uur
=(-x,-1-y),
u
右焦点分别为
C
1
的左、右顶点,而
C
2
的左、右 顶点分
MB
uur
=(0,-3-y),
u
AB
uur< br>=(x,-2).再由愿意得知
别是
C
1
的左、右焦点。

u
MA
uur
+
u
MB
uur
)?
u
AB
uur
=0,即(-x,-4-2y)
(1) 求双曲线
C
2
的方程;
? (x,-2)=0.
(2) 若直线
l

y?kx?2
与椭圆
C
所以曲线C的方程式为y =
1
1
及双曲线
C
2
4
x
2
-2 . (Ⅱ)设P(x
0
,y
0
)
恒有两个不同的交点,且
l

C
2
的两个交点
A

B

为曲 线C:y=
1
2'
1
4
x-2上一点,因为y=
2
x,所以
l


OA?OB?6
(其中
O
为原点) ,求
k
的取值范围。
斜率为
1
2
x
0
因 此直线
l
的方程为
解:(Ⅰ)设双曲线C的方程为
x
22
2
a
2
?
y
b
2
?1
,则
y?y?
1
0
x
0
(x?x
0
)
,即
x< br>2
2
0
x?2y?2y
0
?x?0

a< br>2
?4?1?3,再由a
2
?b
2
?c
2
得 b
2
?1.

则O点到
l
的距离
|2y?x
2
d?
00
|
.又
1
2
x
2
y
0
?
0
?4
4
x
0
?2

故C的方程为
x
2
2
3
?y
2
?1.
( II)将
1
x
2
0
?4
所以
d?
2
1
2
4
y?kx?2代入
x
2
?y
2
? 1得(1?4k
2
)x
2
4
?82kx?4?0.
x
2
?(x
0
?4?
2
)?2,

0
?4
2
x
0
?4


x
2
0
=0时取等号,所以O点到
l
距离的最小值为2.
由直线
l
与椭圆C
1
恒有两个不同的交点得
3设双曲线< br>x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
(a>0,b>0)的渐近线与抛物
?
1
?(82)
2
k< br>2
?16(1?4k
2
)?16(4k
2
?1)?0,
1
线y=x
2
+1相切,则该双曲线的离心率等于( )

k
2
?
4
.

4、过椭 圆
x
2
y
2
2
2
?
2
?1
(
将y?kx?2代入
x
3
?y
2
?1得(1?3k2
)x
2
?62kx?9?0
ab
a?b?0
)的左焦 点
F
1

x

的垂线交椭圆于点
P
F

?F
o
2
为右焦点,
1
PF
2< br>?60

.由直线
l
与双曲线C
2
恒有两个不同的交 点A,B得
则椭圆的离心率为
?
?
?
1?3k
2
?0,

1
?
?
?
222
k
2
?
2
?(?62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.
3
且k
2
?1.
22
5、已知双曲线
x
2
?
y
b
2
?1(b?0)
的左、右焦点分别



F
1

F
2
,其一条渐近线方程为
y?x
,点
P(3 ,y
0
)
在双曲线上.则
PF
1
·
PF
2
=( )0

6、已知直线
y?k
?
x?2
??
k?0
?
与抛物线
C:y
2
?8x
相交于A、B
两点,
F

C
的焦点,若
|FA|?2|FB|
,则
k?
( )

7、已知直线
l
1
:4x?3y?6?0
和直线
l
2
:x??1
,抛
物线< br>y
2
?4x
上一动点
P
到直线
l
1
和直线
l
2
的距离之
和的最小值是( )

8、设已 知抛物线
C
的顶点在坐标原点,焦点为
F
(1,
0),直线
l
与抛物线
C
相交于
A

B
两点。若
AB
的中点
为(2,2),则直线
l
的方程为_____________. < br>9、椭圆
x
2
y
2
9
?
2
?1的焦点为
F
1
,F
2
,点
P
在椭圆上,

|PF
1
|?4
,则
|PF
2
|?

?F
1
PF
2
的大小
为 .

10、过抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点
F
作倾斜角为
45
o
的直线交抛物线于
A

B
两点, 若线段
AB
的长为8,

p?
________________
【解析】设切点
P(x
'
0
,y
0
)
,则 切线的斜率为
y|
x?x
0
?2x
0
.
由题意有< br>y
0
x
?2x
0

y
2
0
?x
0
?1
解得:
0
x
2
0
?1,?< br>b
a
?2,e?1?(
b
a
)
2
?5

2
双曲线
x
2
a
2
?
y
b< br>2
?1
的一条渐近线为
y?
b
a
x
,由方程 组
?
?
b
?
y?
a
x
,消去y,得
x
2
?
b
?
?
y?x
2
?1
a
x?1?0
有唯一解,所以△
=
(
b
a
)
2
?4?0
,所以
b
?2
,
e?
c
?a
2
?b
2
?1?(
b
)
2
a
aaa
?5

由渐近线方程为
y?x
知双曲线是等轴双曲线,∴双 曲线方程

x
2
?y
2
?2
,于是两焦点坐标分别 是(-2,0)和(2,0),

P(3,1)

P(3,?1)
. 不妨去
P(3,1)
,则
PF
1
?(?2?3,?1)
,< br>PF
2
?(2?3,?1)
.

PF
1
·
PF
2

(?2?3,?1)(2?3,?1)??(2?3)(2?3)? 1?0
【解析】设抛物线
C:y
2
?8x
的准线为
l:x? ?2
直线
y?k
?
x?2
??
k?0
?
恒过定点
P
?
?2,0
?
.如图过
A、B
分 别作
AM?l

M
,
BN?l

N
, 由
|FA|?2|FB|
,则
|AM|?2|BN|
,点B为AP的中点.连结
OB
,则
|OB|?
1
2
|AF|
,

?|OB|?|BF|

B
的横坐标为
1
, 故点
B
的坐标为
(1,22)?k?
22?022
1?(?2)
?
3
, 故选D
A
?
xyx
?
?
y
2
1
?4x
1
1
,
1
?
,B
?
2
,y
2
?
,则有x
1
?x
2

?
?< br>?
y
2
2
?4x
2
两式相减得,y
22y
1
?y
2
4
1
?y
2
?4
?
x
1
?x
2
?
,?
x
?
?y< br>?1

1
?x
2
y
12
?直线l的方程为y -2=x-2,即y=x


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