高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f (x,y)=0的实数解建立了如下
的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个 方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；
这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P
0
(x
0
,y
0
)在曲线C上
?
f(x
0
,y
0
)=0；点P
0
(x
0
,y
0
)不在曲线C上
?< br>f(x
0
,y
0
)
≠0。
两条曲线的交点：若曲线 C
1
，C
2
的方程分别为f
1
(x,y)=0,f
2
(x,y)=0,则点P
0
(x
0
,y
0
)是C
1
，C
2
的交点
?
{
个不同的实数解，两条曲线就 有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：
1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.
2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)+(y-b)=r
圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x+y=r
( 2)一般方程：①当D+E-4F＞0时，一元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为
(?
2222
222
222
f
1
(x
0< br>,y
0
)?0
f
2
(x
0
,y
0< br>)?0
方程组有n
DE
,?)
半径是
22
D
2
?E
2
?4F
。配方，将方程x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0化为(x+
2
22
DE
)+(y+
222
22
2
)=
D?E-4F

4
②当D+E- 4F=0时，方程表示一个点(-
22
DE
,-
22
);
③当D+E-4F＜0时，方程不表示任何图形.
（3）点与圆的位置关系 已知圆心C( a,b),半径为r,点M的坐标为(x
0
,y
0
)，则｜MC｜＜r
?
点M在圆C内，｜MC｜=r
?
点M在
圆C上，｜MC｜＞r
?
点M在圆C内，其中｜MC｜=
一个公共点；直线与圆相离
?
没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C =0的距离
d
小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨
迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称 为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，
轨迹为抛物线；当e＞1时 ，轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线：
椭圆
1．到两定点F
1
,F
2
的距离之和为
定义
定值2a(2a>|F
1
F
2
|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为
定值e的点的轨迹.（0双曲线
1．到两定点F
1
,F
2
的距离之差的绝对
值为定值2a(0<2 a<|F
1
F
2
|)的点的轨
迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e
的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的
轨迹.
抛物线
(x
0
- a)
2
?(y
0
-b)
2
。
（4）直线和圆的位 置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交
?
有两个公共点；直线与 圆相切
?
有
?
Aa?Bb?C
A?B
22
与半径r 的大

轨迹条件
点集：({M｜｜MF
1
+｜MF
2
｜
=2a,｜F
1
F
2
｜＜2a＝
点集：{M｜｜MF
1
｜-｜MF
2
｜.
=±2a,｜F
2
F
2
｜＞2a}.
点集{M｜ ｜MF｜=点M到直线l
的距离}.

图形

方


程
标准
方程
x
2
y
2
?< br>2
?1
(
a?b
>0)
2
ab
x
2
y
2
?
2
?1
(a>0,b>0)
2
ab
y
2
?2px


参数
方程
?
x?acos
?
?
y?bsin
?

?
(参数
?
为离心角）
?
x?asec
?
?
y?btan
?

?
(参数
?
为离心角）
?
x?2pt
2
?
y?2pt
?
(t为参数)
范围 ─a?x?a，─b?y?b |x| ? a，y?R x?0
中心 原点O（0，0）
(a,0), (─a,0), (0,b) ,
(0,─b)
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
原点O（0，0）
顶点 (a,0), (─a,0)
x轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.
(0,0)
对称轴 x轴
焦点 F
1
(c,0), F
2
(─c,0) F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
p
F(,0)

2
p
2
准 线
a
x=±
c
2

a
2
x=±
c
侧.
2c （c=

x=-
准线垂直于长轴，且在椭圆外.
准线垂直于实轴，且在两顶点的内准线与焦点位于顶点两侧，且到
顶点的距离相等.

焦距
2c （c=
a
2
?b
2
）
a
2
?b
2
c
(e?1)

a
）

离心率
e?
c
(0?e?1)

a
e?
e=1

【备注1】双曲线：
222
⑶等轴双曲线：双曲线
x?y??a
称为等轴双曲线，其渐近线方程为
y??x，离心率
e?2
.
x
2
y
2
x
2< br>y
2
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线 的共轭双曲线.
2
?
2
?
?
与
2
?
2
??
?
ab
ab
互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：x
2
a
2
?
y
2
b
2
?0< br>.
x
2
a
2
y
2
b
2
⑸ 共渐近线的双曲线系方程：
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?
?
(
?
?0)
的渐近线方程为
? ?0
如果双曲线的渐近线为
x
y
??0
时，它的双曲
ab< br>线方程可设为
x
2
a
2
?
y
2
b< br>2
?
?
(
?
?0)
.
【备注2】抛物线：
（1）抛物线
y
2
=2px(p>0)的焦点坐标是(
p
2
,0)，准线方程x=-
p
2
，开口向右；抛物线
y
2< br>=-2px(p>0)的焦点坐标是(-
p
2
,0)，
准线方程x=< br>p
2
，开口向左；抛物线
x
=2py(p>0)的焦点坐标是(0,< br>2
p
2
)，准线方程y=-
p
2
，开口向上； < br>抛物线
x
=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-
2
p
2
），准线方程y=
p
2
，开口向下.
（2）抛物线
y2
=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离
MF?x
0
?
p
2
；抛物线
y
=-2px(p>0)上的点M(x0,y0) 与焦点F的
2
距离
MF?
p
?x
0

2< br>y
2
=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为（3）设抛物线的标准方程 为
p.
（4）已知过抛物线
p
2
，顶点到准线的距离
p< br>2
，焦点到准线的距离为
y
2
=2px(p>0)焦点的直线交抛物线 于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长
AB
=
x
1
?x
2
+p或
五、坐标的变换：
2pAB?
sin
2
?
p
2
p
,AF?x
1
?
(
AF
(α为直线AB的倾斜角)，
y
1
y< br>2
??p
，
x
1
x
2
?
42
2
叫做焦半径).
（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的 位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的
位置，曲线的形状、大小、位置都不改变， 仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原 点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。
（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意 一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是
(x
'
,y
'
)
.
设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是 (h,k)，则
叫做平移(或移轴)公式.
（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：
x?x'?h
y?y'?k
或
x'?x?h
y'?y?k

方 程 焦 点 焦 线 对称轴
x=h
y=k
(x-h)
2
(y-k)
2
+
2
ab
2
椭圆
=1
(±c+h,k)
a
2
x=±
c
a
2
y =±
c
a
2
x=±
c
a
2
y=±
c
x=-
+h
(x-h)
2
(y-k)
2
+2
ba
2
(x-h)
2
(y-k)
2
-
a
2
b
2
双曲线
=1
(h,±c+k)
+k
x=h
y=k
=1
(±c+h,k)
+k
x=h
y=k
(y-k)
2
(x-h)
2
-< br>a
2
b
2
(y-k)=2p(x-h)
2
=1
(h,±c+h)
+k
x=h
y=k
(
p
2
+h,k)
p
2
+h
y=k
(y-k)=-2p(x-h)
抛物线
(x-h)=2p(y-k)
2
2
(-
p
2
+h,k) x=
p
2
+h
y=k
(h,
p
2
+k) y=-
p
2
+k
x=h
(x-h)=-2p(y-k)
2
(h,-
p
2
+k) y=
p
2
+k
x=h
六、椭圆的常用结论：
1.
2.
3.
4.
点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.
x
2y
2
x
0
xy
0
y
(x,y)
P??1
若
P
在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是
?
2
? 1
.
000
0
a
2
b
2
a
2< br>b
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
P
(x,y)
??1
若
P
在椭圆外，则过作椭圆的两条切线 切点为P、P，则切点弦PP的直线方程是
?
2
?1
.
0
000
a
2
b
2
a
2
b
1212
6.
7.
x
2
y
2
椭圆
2
?
2
?1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为F，F
ab
1 2
，点P 为椭圆上任意一点
?F
1
PF
2
?
?
，则椭圆的焦 点角形的面积
为
S
?FPF
12
?b
2
tan?
2
.
8.
9.
x
2
y
2椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的焦半径公式
|MF< br>1
|?a?ex
0
,
|MF
2
|?a?ex
0
(
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0 )
M(x
0
,y
0
)
).
ab
设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、

N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A
1
、A
2
为椭圆长轴上 的顶点，A
1
P和A
2
Q交于点M，A
2
P和A
1
Q交于点N，则MF
⊥NF.
11.
x
2
y
2
b
2
AB是椭圆
2
?
2
?1
的不平行于对 称轴的弦，M
(x
0
,y
0
)
为AB的中点，则
k
OM
?k
AB
??
2
aba
，即
K
AB
b
2
x
0
??
2
ay
0
。
12.
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
x
2
y
2
?
2
?
2
?
2
若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
内，则被Po所平分的中点弦的方程 是
2
abab
ab
；
【推论】：
x
2
y
2
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
x
2
y
2
?
2
。椭圆
2
?< br>2
?1
（a＞b1、若
P
0
(x
0
,y0
)
在椭圆
2
?
2
?1
内，则过Po的弦中点 的轨迹方程是
2
?
2
?
aba
2
b
aba b
＞o）的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2< br>(a,0)
，与y轴平行的直线交椭圆于P
1、2
x
2
y2
P时AP与AP交点的轨迹方程是
2
?
2
?1
. < br>ab
1122
x
2
y
2
2、过椭圆
2
?
2
?1
(a＞0, b＞0)上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且
ab
k
BC
b
2
x
0
?
2
ay< br>0
（常数）.
x
2
y
2
3、若P为椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F, F
ab
1 2
是焦点,
?PF
1
F
2
?
?
,
?PF
2
F
1
?
?
，则
a?c
??
?tancot
.
a?c22
x
2
y
2
4、设椭圆
2< br>?
2
?1
（a＞b＞0）的两个焦点为F、F,P（异于长轴端点）为椭圆上任 意一点，在△PFF中，记
?F
1
PF
2
?
?
,
ab
1212
?PF
1
F
2
?
?
,
?F
1
F
2
P?
?
，则有
sin
?
c
??e
.
sin
?
?sin
?
a
12
x
2
y
2
5、若椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F、F，左准线为L，则当0＜e≤
2?1< br>时，可在椭圆上求一点P，使
ab
得PF
1
是P到对应准线距离d与P F
2
的比例中项.
x
2
y
2
6、P为椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）上任一点,F,F为二焦点，A为椭圆内一定点 ，则
2a?|AF
2
|?|PA|?|PF
1
|?2a?|AF1
|
,
ab
12
当且仅当
A,F
2
, P
三点共线时，等号成立.
(x?x
0
)
2
(y?y0
)
2
??1
与直线
Ax?By?C?0
有公共点的充 要条件是
A
2
a
2
?B
2
b
2
? (Ax
0
?By
0
?C)
2
. 7、椭圆
22ab
x
2
y
2
1111
???
8、已知椭圆< br>2
?
2
?1
（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点， 且
OP?OQ
.（1）
|OP|
2
|OQ|
2
a< br>2
b
2
ab
4a
2
b
2
（2）|O P|+|OQ|的最大值为
2
a?b
2
22
;
a
2
b
2
;（3）
S
?OPQ
的最小值是
2
a ?b
2
.

x
2
y
2
|PF|e
?
. 9、过 椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M ,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则
|MN|2
ab
x
2
y
2
10、已知椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点
P(x
0
,0)< br>, 则
ab
a
2
?b
2
a
2
?b< br>2
??x
0
?
aa
.
x
2
y2
11、设P点是椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）上 异于长轴端点的任一点,F、F为其焦点记
?F
1
PF
2
?
?
ab
12
，则
2b
2
(1)
|PF
1< br>||PF
2
|?
1?cos
?
.(2)
S
?PFF
12
?b
2
tan
?
2
.
x< br>2
y
2
12、设A、B是椭圆
2
?
2
?1< br>（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，
?PAB?
?
,
?PBA?
?
,
?BPA?
?
ab
，
2ab2
|cos
?
|
c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)
|PA|?
2
a?c
2
cos
2
?
.(2)
tan
?
tan
?
?1?e
2
.(3)
S
?PAB
2a
2
b
2
?
2
cot
?
b?a
2
.
x
2
y
2
13、已知椭 圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）的右准线
l
与x轴 相交于点
E
，过椭圆右焦点
F
的直线与椭圆相交于A、B两点,点
C
在
ab
右准线
l
上，且
BC?x
轴，则直线AC经 过线段EF 的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交 点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
七、双曲线的常用结论：
1、点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的内角.
2、PT平分△PF
1
F
2
在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF
1
为 直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
(x,y)
??1
P
5、若
P
在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是
?
2
?1
.
000
0
22
2
ab
ab
x
2
y
2
6、若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
（ a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方
ab
1212
程是
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
1 2
x
2
y
2
7、双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞o）的左右焦点分 别为F，F，点P为双曲线上任意一点
?F
1
PF
2
?
?< br>，则双曲线的焦点角形
ab
的面积为
S
?FPF
12
?b
2
cot
?
2
.

x
2
y
2
8、双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞o） 的焦半径公式：(
F
1
(?c,0)
,
F
2
( c,0)
）当
M(x
0
,y
0
)
在右支上时，ab
|MF
1
|?ex
0
?a
,
|MF
2
|?ex
0
?a
；当
M(x
0
,y
0
)
在左支上时，
|MF
1
|??ex
0
?a
,
|MF
2
|??ex
0
?a
。
9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线
准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A
1
、A
2< br>为双曲线实轴上的顶点，A
1
P和A
2
Q交于点M，A
2P和A
1
Q交于点N，
则MF⊥NF.
b
2
x
0
x
2
y
2
11、AB是双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M
(x
0
,y0
)
为AB的中点，则
K
OM
?K
AB
?2
ab
ay
0
K
AB
b
2
x
0
?
2
ay
0
。
，即
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
x
2
y
2
?
2
?
2
?
2
12、若
P< br>0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?< br>2
?1
（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是
2
a babab
x
2
y
2
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
?
2
. 13、若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
2
?
2
?
2
ab
abab
【推论】：
.
x
2
y
2
1、双曲线
2
?
2
?1
（a＞0, b＞0）的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
( a,0)
，与y轴平行的直线交双曲线于P
ab
x
2
y
2< br>点的轨迹方程是
2
?
2
?1
.
ab
1、2
P时A
1
P
1
与A
2
P
2
交x
2
y
2
2、过双曲线
2
?
2
?1< br>（a＞0,b＞o）上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意 作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定
ab
向且
k
BC
b
2
x
0
??
2
ay
0
（常 数）.
x
2
y
2
3、若P为双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F, F
ab
1 2
是焦点,
?PF
1
F
2
?
?
,
?PF
2
F
1
?
?
，
则
c?a
??
c?a
??
?tancot
（或
?tancot
）.
c?a22 c?a22
1212
x
2
y
2
4、设双曲线
2?
2
?1
（a＞0,b＞0）的两个焦点为F、F,P（异于长轴端点）为双曲线 上任意一点，在△PFF中，记
?F
1
PF
2
?
?
,
ab
?PF
1
F
2
?
?
,
? F
1
F
2
P?
?
，则有
sin
?
c
??e
.
?(sin
?
?sin
?
)a
12
x
2
y
2
5、若双曲线
2
?
2?1
（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F、F，左准线为L，则当1＜e≤
2?1< br>时，可在双曲线上求一点
ab
P，使得PF
1
是P到对应准线距离d与 PF
2
的比例中项.
x
2
y
2
6、P为双曲线< br>2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）上任一点,F,F为二焦点，A为双曲 线内一定点，则
|AF
2
|?2a?|PA|?|PF
1
|
,当
ab
12

且仅当
A,F
2
,P
三点共线且
P
和
A,F
2
在y轴同侧时，等号成立.
x< br>2
y
2
22222
7、双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）与直线
Ax?By?C?0
有公共点的充要条件是
Aa?Bb?C
.
ab
x
2
y
2
8、已知双曲线
2
?
2
?1
（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且
OP?OQ
.
ab
1 111
???
（1）
|OP|
2
|OQ|
2
a2
b
2
4a
2
b
2
;（2）|OP|+|OQ |的最小值为
2
b?a
2
22
a
2
b
2< br>;（3）
S
?OPQ
的最小值是
2
b?a
2
.
x
2
y
2
9、过双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x 轴于P，则
ab
|PF|e
?
.
|MN|2
x
2
y
2
10、已知双曲线
2
?
2
?1
（a＞ 0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点
P(x
0,0)
, 则
ab
a
2
?b
2
x
0< br>?
a
a
2
?b
2
或
x
0
? ?
a
.
x
2
y
2
11、设P点是双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F、F为其焦点记
?F
1
PF
2
?
?
ab
12
，则
2b
2
(1)
|PF
1
||PF
2
|?< br>1?cos
?
.(2)
S
?PFF
12
?b
2
cot
?
2
.
x
2
y
2
1 2、设A、B是双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的长轴两端点 ，P是双曲线上的一点，
?PAB?
?
,
?PBA?
?
,
?BPA?
?
ab
，
2ab
2
|cos
?
|
c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)
|PA|?
.
|a
2
?c
2
cos
2
?
|
(2)
tan
?
tan
?
?1?e
2
.(3)
S
?PAB
2a
2
b
2
?
2
cot
?
2
b?a
.
x
2
y
2
13、已知双 曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的右准线
l
与 x轴相交于点
E
，过双曲线右焦点
F
的直线与双曲线相交于A、B两点,ab
点
C
在右准线
l
上，且
BC?x
轴，则直 线AC经过线段EF 的中点.
14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相 交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应 准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
八、抛物线的常用结论：

4ac?b
2
b
①
ay?by?c?x
顶点
(?)
.
4a2a
2
22②
y?2px(p?0)
则焦点半径
PF?x?
P
;
x ?2py(p?0)
则焦点半径为
PF?y?
P
.
22
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
?
x?2pt
2
?
x?2pt
④
y?2px
（或
x?2py
）的 参数方程为
?
（或
?
）（
t
为参数）.
2
?
y?2pt
?
y?2pt
22

y
2
?2px

y
2
??2px

▲
x
2
?2py

x
2
??2py

▲
y
y
▲
y
▲
y
图形
O
x
x
O
x
O
x
O




焦点
准线
范围
对称轴
顶点
离心率
焦点



















p
F(,0)

2
p

2
x?0,y?R

x??
x
轴
F(?
p
,0)

2
F(0,
p
)

2
p
F(0,?)

2
p

2
x?R,y?0

y?
p

2
x?0,y?R

x?
p

2
x?R,y?0

y??
y
轴
（0,0）
e?1

PF?
p
?x
1

2
PF?
p
?x
1

2
PF?
p
?y
1

2
PF?
p
?y
1

2

圆锥曲线的性质对比
圆锥曲线
标准方程
范围
对称性
顶点
焦点
椭圆
(x^2a^2)+(y^2b^2)=1 a>b>0
x∈[-a,a] y∈[-b,b]
关于x轴,y轴,原点对称
(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)
(c,0),(-c,0)
【其中c^2=a^2-b^2】
双曲线
(x^2a^2)-(y^2b^2)=1 a>0,b>0
x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) y∈R
关于x轴,y轴,原点对称
(a,0),(-a,0)
(c,0),(-c,0)
【其中c^2=a^2+b^2】
x=±(a^2)c
y=±(ba)x
e=ca,e∈(1,+∞)
∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a
∣
p=(b^2)c
(2b^2)a
x=a·secθ
y=b·tanθ,θ为参数
(x0xa^2)-(y0·yb^2)=1
抛物线
y^2=2px p>0
x∈[0,+∞) y∈R
关于x轴对称
(0,0)
(p2,0)
准线
渐近线
离心率
焦半径
x=±(a^2)c
——————————
e=ca,e∈(0,1)
∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex
x=-p2
—————
e=1
∣PF∣=x+p2
焦准距
通径
参数方程
p=(b^2)c
(2b^2)a
x=a·cosθ y=b·sinθ，θ为参
数
p
2p
x=2pt^2 y=2pt,t
为参数
过圆锥曲
线上一点
(x0·xa^2)+(y0·yb^2)=1
(x0,y0)的切线方程
y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2]
y0·y=p(x+x0)
斜率为k
的切线方
程





y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2] y=kx+p2k
椭圆

10
x
2
y
2
??1
的离心率
e?1. 已知椭圆，则
m
的值为
5
5m
（A）3 （B）
25
515
或
15
（C）
5
（D）或3
3
3
x
2
y
2
2. 已知直线
x?2y?2?0
经过椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的 一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程
ab
为 ，离心率为_______．
x
2
y
2
??1
的焦点为< br>F
1
,F
2
,过F
2
垂直于x轴的直线交椭圆于一点 P，那么|PF
1
|的值是 . 3. 椭圆
2516
4. 设 椭圆的两个焦点分别为
F
1
，
F
2
，过
F
2
作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为
P
，若△
F
1< br>PF
2
为
等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
A.
2?1
B.
2?12
C.
22
D.
2
2

5. 椭圆的两焦点及短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的离心率为_______.

6. 椭圆两焦点为
F
1
(?4,0)
，
F
2
(4,0 )
，
P
在椭圆上，若△
PF
1
F
2
的面积 的最大值为12，则该椭圆的标准方程为
x
2
y
2
x
2< br>y
2
x
2
y
2
x
2
y
2< br>??1
B.
??1
C.
??1

??1
D. A.
2592516
106
169
x
2
y
2
??1
的焦点为
F
1
,F
2
，点P在椭圆上，若
|PF
1
|?4
，则
|PF
2
|?
；
?F
1
PF
2
的大小7. 椭圆
92
为 .
x
2
?y
2
?1
的左焦点，直线
l:y?x? 1
与椭圆
C
交于
A、B
两点，那么
|F
1
A|?|F
1
B|
的8. 已知
F
1
为椭圆
C:
2
值为_______.
9. 已知三角形ABC的周长是8，B、C两点的坐标分别为(－1，0)、(1，0)，则顶点A的 轨迹方程为
__________________．
3
10. 若椭圆
x ?my?1
的离心率为
2
，则它的长半轴长为_______________. < br>22
x
2
y
2
??1
m
4
11．椭 圆的焦距是2，则m的值为( )
A．5
C．5或3


B．3
D．20
22
x?ky?2
表示焦点在
y
轴上的椭圆，那么实数
k
的取值范围是（ ） 12．如果
A．
?
0,??
?
B．
?
0,2
?
C．
?
1,??
?
D．
?
0,1
?

x
2
y
2
??1
0
AFF
AFF?45
F,F
97
12< br>12
A
13． 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且∠，则Δ
12
的面积为（ ）
7
7
75
A．
7
B．
4
C．
2
D．
2

x
2
y
2??1
4924
14．椭圆上一点
P
与椭圆的两个焦点
F
1
、
F
2
的连线互相垂直，则△
PF
1
F
2
的面积为（ ）
A．
20
B．
22
C．
28
D．
24

x
2
y
2
??1
的中心作直线 与椭圆交于A、B两点，F
1
为椭圆的焦点，则三角形F
1
AB面积的最大值 15．过椭圆
2516
为( )
A．6

B．12 C．24 D．48
x
2
16．P为椭圆
?y
2
?1上任一点，则P到直线x＋y－5＝0的最短距离是______．
3

17． 圆P经过点B(0，3)且与圆A：x
2
＋(y＋3)
2
＝100内切，求圆 心P的轨迹方程．








双曲线

1. 已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，一个焦点在直线x＋y＝ 6上，且焦距是实轴长的2倍，则此双曲
线的标准方程为____________．
x2
y
2
2．以双曲线
??1
的右焦点为圆心，且与渐近线相切的 圆的方程是______．
916
3．动点
P
到点
M(1,0)< br>及点
N(3,0)
的距离之差为
2
，则点
P
的轨迹是 （ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
x
2
y
2
??1
表示双曲线，则k的取值范围是( ) 4．已知方程
1?k1?k
A．－1＜k＜1
B．k≥0


B．k＞0
D．k＞1或k＜－1
22
8kx?ky?8
的一个 焦点为
(0,3)
，则
k
的值为______________。 5．双曲 线
22
tx?y?1
的一条渐近线与直线
2x?y?1?0
垂直，则 这双曲线的离心率为___。7．若双曲线的两6．双曲线
条渐近线相交所成的锐角为60°，则它的离 心率为( )

A．
3

3
3
或2
3
B．2
C． D．
23
或2
3
8．过双曲 线的一个焦点
F
2
作垂直于实轴的弦
PQ
，
F
1< br>是另一焦点，若∠
（ ）
A．
2?1
B．
2
C．
2?1
D．
2?2

PF1
Q?
?
2
，则双曲线的离心率
e
等于
9．若 直线
y?kx?2
与双曲线
x?y?6
的右支交于不同的两点，那么
k
的取值范围是（ ）
22
?
A．（
15151515
15
,?,0?,?1
0,
3
33
） B．
3
3
） C．（（） D．（）
22
x?y?4
始终有公共点，则
k
取值范围是 。
y?kx?1
10．若直线与双曲线
11．若一直线l平行于双曲线的一条渐近线 ，则l与双曲线的公共点个数为( )
A．0或1 B．1 C．0或2 D．1或2
x
2
y
2
??1
上的一点P到左焦点的距离为6，则这样的点P有 ______个． 12．双曲线
12
4

抛物线

1. 若抛物线 上一点M到该抛物线的焦点F的距离
|MF|?5
，则点M到x轴的距离为
A. 1 B．2
3
C．
26
D. 4

2. 已知抛物线
y?4x
上一点P(3，y)，则点P到抛物线焦点的距离为 ．

3. 设斜率为
k
的直线
l
过抛物线
y?8x
的焦 点F，且和
y
轴交于点A，若△OAF (O为坐标原点)的面积为4，
则实数
k
的值为 ( ).
A．
?2
B．
?4
C．
2
D．
4



4．动点P(x，y)(x≥0)到定点F(2，0 )的距离比它到y轴的距离大2，则动点P的轨迹方程是( )
A．y
2
＝16x B．y
2
＝8x
C．y
2
＝2x D．y
2
＝4x
5．在抛物线y2
＝8x上有一点P，它到焦点的距离是20，则P点坐标是______．
6 ．焦点到准线的距离为
2
2
3
的抛物线的标准方程为___________ _______．
2
7．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程是( )
A．y
2
＝16x或x
2
＝16y B．y
2
＝16x或x
2
＝－16y
C．x
2
＝－8y或y
2
＝x D．x
2
＝8y或y
2
＝－x

8．抛物 线的顶点在原点，焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程为______．
22
x?y?2x?6y?9?0
的圆心的抛物线的方程是（ ） 9．以坐标 轴为对称轴，以原点为顶点且过圆
2
222222
y??9x
y?3xy?? 3xy?3xy?3xy??3xy?9x
A．或 B． C．或 D．或
2
y?2px(p?0)
的焦点的弦，则
AB
的最小值为（ ）
AB
10．设为过抛物线
p
A．
2
B．
p
C．
2p
D．无法确定
2
y?4x
交于
A
、
B
两点，则线段
AB
的中点坐标是___ ___。
x?y?2
11．若直线与抛物线
2
2
PQ?a
y?4xy?2x
Q
P(a,0)
a
12．对于抛物线上任意一点，点都满足 ，则的取值范围是13．抛物线上
两点
A(x
1
,y
1
)< br>、
B(x
2
,y
2
)
关于直线
y?x?m< br>对称，且
x
1
?x
2
??
1
2
，则
m
等于（ ）
35
A．
2
B．
2
C．
2
D．
3

2
y?8x
交于
A
、
B
两点，若线段
AB
的中点的横坐标是
2
，则
AB?
______。
y?kx?2< br>14．若直线与抛物线
2
y?2x
的焦点，点
M
在抛物线上移 动时，使
MF?MA
取得最小
(3,2)
A
F
15．若点的 坐标为，是抛物线
值的
M
的坐标为（ ）
?
1
?
?
,1
?
??
0,0
A． B．
?
2
?
C．
1,2
D．
?
2,2
?

??
2
y?8x
上的点 到直线
AB
的最短距离为__________。
A(0,?4),B(3,2)
16．已知，抛物线




1．双曲线与椭圆有共同的焦点
椭圆的方程。

2．
k
代表实数，讨论方程
kx?2y?8?0
所表示的曲线

22
00
x?ycos
?
?1
怎样变化？ ?
从0到180
3．当变化时，曲线
22
F
1
(0,? 5),F
2
(0,5)
，点
P(3,4)
是双曲线的渐近线与椭圆的 一个交点，求渐近线与

主要题型：
（5）弦长、中点、面积

3.在平面直角坐 标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于
?
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问 ：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，说明理由。









1
.
3
3
x
2
y
2
4.已知椭 圆
2
?
2
?1(a?b?0）
的离心率
e?
，连接 椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
2
ab
（5）求椭圆的方程；
（ 6）设直线
l
与椭圆相交于不同的两点
A,B
，已知点
A
的 坐标为（
?a,0
），点
Q(0,y
0
)
在线段
A B
的垂直
uuuruuur
QB?4
，求
y
0
的值 平分线上，且
QA
g










二.范围、最值
1.已知双曲线C：3x
2
－y
2
＝1，过点M(0，－1)的直线l与双曲线C交于A，B两点．
(1)若|AB|＝
10
，求直线l的方程；
(2)(2)若点A，B在y轴的同一侧，求直线l的斜率的取值范围．

x
2
m
2
?0
，椭圆
C:
2
?y
2
? 1
，
F
1,
F
2
分别为椭圆
C
的左、右焦 点. 2.已知m＞1，直线
l:x?my?
m
2
（Ⅰ）当直线
l
过右焦点
F
2
时，求直线
l
的方程；
（Ⅱ）设直 线
l
与椭圆
C
交于
A,B
两点，
?AF
1
F
2
，
?BF
1
F
2
的重心分别为
G,H
.若原点
O
在以线段
GH
为直
径的圆内，求实数< br>m
的取值范围.










三.证明、求定点、定值
x
2
y
2
1.设点M在x轴上，若对过椭圆
C:
2
?
2
?1(a? b?0)
左焦点F的任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，都有
ab
MF为△AMB的 一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
a
2
(1)有人说：“点M(?
c
，0)
是椭圆的‘左特征点’'”．请指出这个观点是否正确，并给出证 明过程；
x
2
y
2
(2)(2)参考椭圆的“左特征点”定义，给 出双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的“左特征点”定义，并指 出该点坐
ab
标．

x
2
y
2
2.己知斜率为1的直线
l
与双曲线C
：
2
?
2
?1
?
a＞0，b＞0
?
相交于
B
、
D
两点，且
BD
的中点为
M< br>?
1,3
?
．
ab
（Ⅰ）求
C
的离心率；
（Ⅱ）设
C
的右顶点为
A< br>，右焦点为
F
，
DFgBF?17
，证明：过
A
、< br>B
、
D
三点的圆与
x
轴相切．










3.已知以原 点O为中心，
F
?
5,0
为右焦点的双曲线C的离心率
e?
?
5
。
2
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2) 如题（20）图，已知过点
M
?
x
1
,y
1
?的直线
l
1
:x
1
x?4y
1
y?4
与过点
N
?
x
2
,y
2
?
（其中
x
2
?x
）的直线
l
2
:x
2
x?4y< br>2
y?4
的交点E在双曲线C上，直线MN
与两条渐近线分别交与G、H两点， 求
?OGH
的面积。

x
2
y
2
??1
的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（
t,m
）4.在平面直角坐标系
xoy
中，如图，已知椭圆
95
的直线TA、TB 与椭圆分别交于点M
(x
1
,y
1
)
、
N(x2
,y
2
)
，其中m>0,
y
1
?0,y2
?0
。
（1）设动点P满足
PF?PB?4
,求点P的轨迹；
（2）设
x
1
?2,x
2
?
22
1
，求点T的坐标；
3
标与m无关）。
（3）设
t?9
,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐













2
x
2
y
2
5. 如图，已知椭圆
2< br>?
2
?1(a＞b＞0)
的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F
1
,F
2
为顶点的
2
ab
三角形的周长为< br>4(2?1)
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设
P
为该双曲线上异于顶 点的任一点，直线
PF
1
和
PF
2
与椭圆的交点分别为A、B
和
C、D
.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
k
2
?1
； （Ⅱ）设直线< br>PF
1
、
PF
2
的斜率分别为
k
1
、
k
2
，证明
k
1
·
（Ⅲ）是否存在常数
?
，使得
AB?CD?
?
AB·CD
恒成立？若存在，求
?
的值；若不存在，请说明理由.













四.求轨迹:定义法、直接法、相关点法、参数法
3
?
，
C
?
3，3
?
，以点
C
为焦点作过
A、B
两点的椭 圆。
?1
?
，
B
?
0，
1.已知定点
A
?
0，
(1)求另一焦点
D
的轨迹
G
的方程； < br>(2)过点
A
的直线
l
交曲线
G
于
P、Q< br>两点，若
PA?3AQ
，求直线
l
的方程。













2.已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆
4x?5y?80
上，且点A是 椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴
22

上）.
(1) 若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
(2)若角A为
90?
，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.














x
2
y
2
C
1
:
2
?
2
?1(a?b?0)
C
2
:x
2< br>?by?b
2
ab
3. 设椭圆，抛物线。
（1） 若
C< br>2
经过
C
1
的两个焦点，求
C
1
的离心率；
（2） 设A（0，b），
Q
?
33，
?
,又M、N为C
1
与
C
2
不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为
B
?
0，b
?
，
且△QMN的重心在
C
2
上，求椭圆
C
1
和抛物线
C
2
的方程。
【













五.向量化归
1.椭圆的两个焦点分别为F
1（0，－1）、F
2
（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点P在椭圆上，设
|PF
1
|?|P F
2
|?m(m?1)
，试用m表示
PF
1
?PF
2
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求




?
?
5
?
4
?
?
?
3
?
4
?
PF
1
?PF
2
|PF
1
|?|P F
2
|
的最大值和最小值。

2.如图已知
△
OPQ的面积为S，且
OP?PQ?1
.
（Ⅰ）若
S?(,
13
),求向量OP与PQ的夹角
?
的取值范围；
22
（Ⅱ）设
|OP|?m,S?
3
m,以O
为中心 ，P为焦点的椭圆经过点Q，当m≥2时，求
|OQ|
的最小值，并
4
求出此时的椭圆方程.

















uuuruuur
3.已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1 ，0）、（1，0），动点A、M、N满足
|AE|?m|EF|
（
m?1
） ，
uuuuruuuruuuuruuur
uuur
1
uuuruuurMN
?
AF?0
，
ON?(OA?OF)
，
AMME< br>．
2
（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程；
uuuruuur
m
（Ⅱ）点
P(,y
0
)
在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且
P F?
?
FQ
，若
1
≤
?
≤
2
，求 实数
m
的
2
范围．

x
2
y
2
4.设直线
l:y?x?1
与椭圆
??1(a?b ?0)
相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F.
a
2
b
2
（I）证明：
a
2
?b
2
?1;

（II）若F是椭圆的一个焦点，且
AF?2FB
，求椭圆的方程.