高中数学讲义-圆锥曲线

高中数学讲义-圆锥曲线

高中数学讲义 圆锥曲线
【知识图解】





曲圆

线锥








【方法点拨】
抛物

椭圆
定义
标准
几何
定义
双曲
几何
标准
圆锥曲
定义
标准
几何


解析 几何是高中数学的重要内容之一，也是
衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是
解析几何 的重要内容，因而成为高考考查的重
点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两
大特征。它 的方程形式具有代数的特性，而它的

图像具有典型的几何特性，因此，它是代 数与几
何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲
线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线 。圆锥
曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，
解题方法的规律性比较强，但是运算过程 往往比
较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形
结合能力及综合运用各种数学知识和方法 的能
力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的
思想方法，二要 数形结合，既熟练掌握方程组理
论，又关注图形的几何性质.
2.着力抓好运算关，提高运算 与变形的能力，解
析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决
问题的思路分析出来以后，往 往因为运算不过关
导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探
究简化运算的基本途径与方法 ，并在克服困难的
过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能
力.
3.突出主体 内容，要紧紧围绕解析几何的两大任
务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中
待定系数法 是重要方法，二是通过方程研究圆锥
曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起

重视.
4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形
结合思想的归纳提炼 ，达到优化解题思维、简化
解题过程


第1课 椭圆A
【考点导读】
1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的
标准方程,会求椭 圆的标准方程,掌握椭圆简
单的几何性质;
2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想
方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理
一些简单的实际问题.
【基础练习】
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆
x
2
?y
2
?13
上，
顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦
点在BC边上，则△ABC 的周长是______
2.椭圆
x

3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（－2
3
，
0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的
标准方程是___ ___
2
?4y
2
?1
的离心率为______

4. 已知椭圆
______
x
2
y
2
??1< br>k?89
的离心率
e?
1
，则
k
的值为
2< br>【范例导析】
5
例1.（1）求经过点
(?
3
,)
，且
9x
22
2
?4y
2
?45
与椭圆有
共同焦点的椭圆方程。
（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是
短轴长的3倍，点P（ 3,0）在该椭圆上，求椭
圆的方程。
【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步
骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②
定量，即根据条件列出基本量a
、
b
、
c的方程组，
解方程组求得a
、
b的值;③写出方程.
解：（1）∵椭圆焦点在
y
轴上，故设椭圆的标准
yx
??1
（a?b?0
）方程为
a
，
b
22
22
由椭圆的定义知，
353531
2a?(?)
2
?(?2)
2
?(?)
2
?(?2)
2
?10?10?210
222222
，
∴
a?10
，又∵
c?2
，∴
b
2
?a
2
?c
2
?10?4 ?6
y
2
x
2
??1
106
，
所以，椭圆的标准方程为。
（2）方法一：①若焦点在x轴上，设方程为
x
2
y
2
??1
?
a?b?0
?
a
2
b
2
，

∵点P（3,0）在该椭圆上∴
a9
∴
b
2
2
?1
即
a
2
?9
又
a?3b
，
?1
∴椭圆的方程为
x
2
? y
2
?1
9
.
y
2
x
2
?2
?1
?
a?b?0
?
2
ab
②若焦点在y轴 上，设方程为
∵点P（3,0）在该椭圆上∴
b
9
a?81
2
，
2
?1
即
b
2
?9
又
a?3b，∴
∴椭圆的方程为
y
2
x
2
??1
819< br>2

.∵点方法二：设椭圆方程为
Ax?By
2
?1
?
A?0,B?0,A?B
?
P（3,0）在该椭圆上∴9A=1，即
A?< br>1
,又
a?3b
∴
9
1
B?1或
81
，
a
2
?81
∴椭圆的方程为
x
2
?y
2
?1
9
或
y
2
x
2
??1
81 9
.
【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，
若焦点在x轴上，设方程为点在y轴上，设方程为
运算方便，也可设为
Ax
A?0,B?0,A?B
2
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b? 0
?
2
ab
，若焦
y
2
x
2
?? 1
?
a?b?0
?
a
2
b
2
，有时为了< br>?By
2
?1
，其中
长轴的左、右端
.
x
2
y
2
??1
3620
例2.点A、B分别是椭圆
点，点 F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且
位于
x
轴上方，
PA?PF
。
（1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到 直线
AP的距离等于
|MB|
，求椭圆上的点到点M的距
离
d
的最小值。
【分析】①列方程组求得P坐标；②解几中的最
值问题通常可转化为函数的最值 来求解，要注意
椭圆上点坐标的范围.
解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
设点P(
x
,
y
),则
由已知可得

?
x
2
y
2
?1
?
?
?
3620
?
(x?6)(x?4)?y
2
?0
?
uuur
AP
=（
x
+6,
y
）,=（
x
－4,
y
）,
uuur
FP
则2
x
+9
x
－18=0,
x
=
3
或
x
=－
2
2
6.
53
由于
y
>0,只能
x
=
3
,于是. ∴点P的坐标是
y
=
2
2
53
(
3
,)
2
2
(2) 直线AP的方程是
x
－
3
y
+6=0. 设点
?6
M(
m
,0),则M到直线AP的距离是
m
2
.
?6
于是
m
2
=
m?6
,又－6≤
m< br>≤6,解得
m
=2. 椭圆上的
点(
x
,
y
)到点M的距离
d
有
549
x?(x?)

d?(x?2)?y?x?4x?4?20?
992
222222
?15
,
15
由于－6≤
m
≤6, ∴当
x
=
9
时,d取得最小值
2

点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距
离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.

【反馈练习】
1.如果
x?ky?2
表示焦点在y轴上的椭圆， 那么实
数k的取值范围是______
2.设椭圆的两个焦点分别为F
1
、
、F
2
，过F
2
作椭
22
圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F
1
PF
2
为等腰
直角三角形，则椭圆的离心率是____ __
x
2
y
2
3.椭圆
?
123
=1的 焦点为F
1
和F
2
，点P在椭圆上.
如果线段PF
1
的中点在y轴上，那么|PF
1
|是|PF
2
|
的______倍
4.若椭圆
______
5.．椭圆
______
6.与椭圆
x
2
y
2
??1
43
x
2
y2
??1
43
x
2
y
2
??1
5m< br>的离心率
e?
10
5
,则
m
的值为
的距离为 的右焦点到直线
y?3x
具有相同的离心率且过点（2，
-
3
）的椭 圆的标准方程是_____
7.椭圆
x
2
y
2
??1164
上的点到直线
x?2y?2?0
的最大距
离是______

8. 已知
P
点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点
P
到两焦点的距离分别为
4
3
5
和
2
3
5
，过
P
点作焦点
所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭
圆方 程．



第2课 椭圆B
【考点导读】
1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解
决椭圆的有关问题;
2. 能解决椭圆有关的综合性问题.
【基础练习】
1.曲线
（ ）
A 焦点相同 B 离心率相等
C准线相同 D 焦距相等
xy
??1
上的点A到右焦点的距离等2.如果椭圆
251 6
22
x
2
y
2
??1
?
m?6
?
10?m6?m
与曲线
x
2
y
2
??1
?
5?n?9
?
5?n9?n
的
于4,那么点A 到两条准线的距离分别是______
3 离心率
e?
程是______
5
3
，一条准线为
x?3
的椭圆的标准方

【范例导析】
xy
??1
（a>b>0）的二个焦点F
1
(-c，例1.椭圆
ab
22
22
0)，F
2
(c，0)， M是椭圆上一点，且
FM?FM?0
。
求离心率e的取值范围.
分析:离心率与椭圆的基本量a
、b、
c有关，所
以本题可以用基本量表示椭 圆上点的坐标，再借
助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的
不等式，从而确定离心率的范 围.
解：设点M的坐标为(x，y)，则
FM?(x?c,y)
，
222< br>FM?(x?c,y)
。由
FM?FM?0
，得x-c+y=0，即
2 22
x-c=-y。 ①
22
b
又由点M在椭圆上，得y=b?
a
x
，代入①，得
12
1
212
2
2
2
x-c
22
b
2
2
?
2
x? b
2
a
2
2
，即
∵0≤
x
≤
a< br>，∴0≤
0≤
e
1
2
?1
≤1，解得
又∵0 ＜
e
＜1，∵
a
2
b
2
x?a?
2
c
a
2
b
2
2
a
?
2
c
2
e
2
2
e
2
22
。
≤
a< br>，即0≤
2
a
2
?c
2
c
2
≤1，
≤≤1。
≤≤1.
例2.如图，已知某椭圆的焦点是F
1
(－4 ，0)、F
2
(4，
0)，过点F
2
并垂直于x轴的直线与椭圆的一 个
交点为B，且|F
1
B|+|F
2
B|=10，椭圆上不同的两< br>点A(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2)满足条件：|F
2
A|、|F
2
B|、|F
2
C|< br>成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦AC中点的横坐标.

分析：第一问直接可有第一定义得出基本量
a，从而写出方程；第二 问涉及到焦半径问
题，可以考虑利用第二定义的得出焦
半径表达式，结合等差数列的定
义解决.
解：(1)由椭圆定义及条件知，
2a=|F
1
B|+|F
2
B|=10,得a=5,又c=4,所以b=
y
故椭圆方程为
x
=1.
?
259
2
2
y
例
A
B
C
F
1
o
F
2
B'
x
a
2
?c
2
=3.



(2)由点B(4,y
B
)在椭圆上，得|F
2
B|=|y
B
|=
9
.因为 椭
5
4
圆右准线方程为x=
25
,离心率为，根据椭圆定
4
5
4
25
4
25
义，有|F
2
A|=5
(
4
－x
1
),|F
2
C|=
5< br>(
4
－x
2
)，
4
由|F
2
A| 、|F
2
B|、|F
2
C|成等差数列，得
5
(
2 5
－
4
4
25
x
1
)+
5
(4
－x
2
)=2×
9
,由此得出：x
1
+x< br>2
=8.
5
设弦AC的中点为P(x
0
,y
0),则x
0
=
x

1
?x
2
2
=4.
【反馈练习】
1.在给定椭 圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为
2
，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离
心 率为______

2．已知F
1
、F
2
为椭圆
x
2
?y
2
?1
2
的两个焦点，过F
1
作倾斜角为
?
的弦AB，则△F
2
AB的面积为
4______
3.已知正方形
ABCD
，则以
A，B
为焦点， 且过
C，D
两
点的椭圆的离心率为______
xy
??1
上的点P到它的左准线的距离是4.椭圆
10036
22
10，那么点P 到它的右焦点的距离是
______
xy
?
9
?
??1
上不同三点
A
?
x，y
?
，
B
?
4，
?
，
C
?
x，y
?
与5.椭圆
259
5
2
2
11
??
22
0
?
的距离成等差数列． 焦点
F
?
4，
求证:
x?x?8
；
12





第3课 双曲线
【考点导读】
1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了
解其几何性质
2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些
简单的实际问题.
【基础练习】

1.双曲线
mx
m??
1
4
2< br>?y
2
?1
的虚轴长是实轴长的2倍，则

y
2
x
2
??1
k?3k?3
2. 方程表示双曲线，则
k
的范围是
______
3．已知中心在原点，焦点在 y轴的双曲线的渐
近线方程为
y??
1
x
，则此双曲线的离心率为< br>2
______
4. 已知焦点
F(5,0),F(?5,0)
，双 曲线上的一点
P
到
F,F
1212
的距离差的绝对值等于
6
，则双曲线的标准方程
为______
【范例导析】
例1. (1) 已 知双曲线的焦点在
y
轴上，并且双
曲线上两点
P,P
坐标分别为(3,?4
12
9
2),(,5)
4
，求双曲线
的标准 方程;
（2）求与双曲线
x
2
y
2
??1
169
共渐近线且过
A
?
23，?3
?
点的
双曲线方程及 离心率．
分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步
骤是：①定位,即确定双曲线的焦点 在哪轴上；
②定量，即根据条件列出基本量a
、
b
、
c的方程
组，解方程组求得a
、
b的值;③写出方程.

解：（1 ）因为双曲线的焦点在
y
轴上，所以设所
yx
??1(a?0,b?0)①； 求双曲线的标准方程为
ab
22
22
∵点
P,P
在双曲线上，∴点
P,P
的坐标适合方程
①。
将
(3,?42), (
9
,5)
分别代入方程①中，得方程组：
4
1212
?< br>(?42)
2
3
2
?
2
?1
?
2< br>ab
?
?
9
2
()
?
25
4
?
2
?
2
?1
b
?
a

1?
1
?
?
?
a
2
16
?
?< br>1
?
1
?
?
b
2
9
将
a< br>1
和
b
1
看着整体，解得
22
，
y
2
x
2
??1
169
∴
2
?
?
a?16
?
2
?
?
b?9
即双曲线的标准方程为
2 2
。
点评：本题只要解得
a,b
即可得到双曲线的
方程，没有必要 求出
a,b
的值；在求解的过程中也
可以用换元思想，可能会看的更清楚。
（2）解法一：双曲线
3
y??x
4
x
2
y
2??1
169
的渐近线方程为：


当焦点在x轴时，设所求双 曲线方程为
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
2
ab
a33
∵
b
?
， ∴
b?a
①
44
∵
A< br>?
2
2
3，?3
?
在双曲线上
②
9
∴
12
?
ab
2
?1

由①－②，得方程组无解
当焦点在y轴时，设双曲线方程为
∵
③
∵
A
?
23，?3
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2


b3
?
a4
，∴
b?
4
a
3
?< br>在双曲线上，∴
a
9
?
12
?1
④
b
22
由③④得
a
2
?
9
4
，
b
2
?4

y
2
x
2
??1< br>9
4
4
∴所求双曲线方程为：
解法二：设与双曲线
程为：∵点
A
?
2
x
2
y
2
??
?
?
?
?0
?
169
3，?3
且离心率
e?
5

3
x
2
y
2
??1
169< br>共渐近线的双曲线方

91
?
在双曲线上，∴
?
?
12
???

1694
x
2
y
2
1
???
1694∴所求双曲线方程为：，即
y
2
x
2
??1
9
4
4
．
点评：一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲
线有相同渐近线的 条件下，利用双曲线系方程
x
2
y
2
?
2
?
?
?
?
?0
?
2
ab
求双曲线方程较为方便．通 常是根据
题设中的另一条件确定参数
?
．
例2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三

个观测点的报告：正西、正北两个观测 点同时听
到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两
观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都
是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时
声音传播的速度为340m s :相关各点均在同一
平面上)
解：如图:
以接报中心为原点O，正东、正北方向为 x轴、
y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是
西、东、北观测点，则A（－1020 ，0），B（1020，
0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C 同时听到巨
响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线
PO上，PO的方程为y= －x，因B点比A点晚
4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由 双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线
x
2
y
2
?
2
?1
上，
2
ab
依题意得a=680, c=1020，
?b
2
?c
2
?a
2
?1020
2
?6 80
2
?5?340
2
x
2
y
2
故双曲线 方程为
2
??1
2
6805?340

y

P

C

o

B

x

用y=－x代入上式，得
x??6805
，∵|PB|>|PA|,
A

?x??6805,y?6805,即P(?6805,6805),故PO?68010

答：巨响发生在接报中心的西偏北45
0
距中心
例2
68010m
处.
例3.双曲线
x
2
y
2
?
2
?1(a?1,b?0)
2
ab
的焦距为2c，直线
l
过
点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线
l
的
4距离与点（－1，0）到直线
l
的距离之和
s?
5
c.
求
双曲线的离心率e的取值范围.
xy
解：直线
l
的方程为
a
??1
，即
b
bx?ay?ab?0.

由点到直线的距离公式，且
a?1，得到点（1，0）
到直线
l
的距离
d
1
?
b (a?1)
a?b
22
，
2
同理得到点（－1，0）到直线
l
的距离
d
s?d
1
?d
2
?
2ab< br>a?b
22
?
b(a?1)
a?b
22

?
2ab
.
c

5ac
2
?a
2
?2c
2
.
42ab4
由
s?
5
c,得? c,
即
c5

于是得
5e
2
? 1?2e
2
,即4e
4
?25e
2
?25?0.
解 不等式，得
围是
5
?e?5.
2
5
?e
2?5.
4
由于
e?1?0,
所以
e
的取值范

点拨：本小题主要考查点到直线距离公式，双曲
线的基本性质以及综合运算能力.

【反馈练习】
1.双 曲线
x
2
?
y
4
??1
的渐近线方程为_____ _
2
2
2.已知双曲线的离心率为
2
，焦点是
(?4，0 )
，
(4，0)
，
则双曲线方程为______
3.已知双曲线的 两个焦点为
F(?
1
5,0)
，
F(
2
5,0)< br>2
，P是
，则该此双曲线上的一点，且
PF
双曲线的方程是_____ _
4. 设P是双曲线
x
2
y
2
－＝1
2
a9
1
1
?PF
2
，
|PF|?|PF
1
|?2
上一点，双曲线的一条
2
渐近线方程为
3x?2y?0
，< br>F
、
F
分别是双曲线左右焦
点，若
PF
=3,则PF
=______
1
2
5.与椭圆
x
2
y
2
??1
255
共焦点且过点
(32,2)
的双曲线的方程______
6. （1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点
P
?1，?3
?
且离心率为
2
的双曲线标准方程．
2
（2）求以曲线
2x
标准方程．
?y
2
?4x ?10?0
和
y
2
?2x?2
的交点与原
点的连线为渐近线 ，且实轴长为12的双曲线的

7.设双曲线
(a,0)
x
2
y
2
?< br>2
?1
(0?a?b)
2
ab
的半焦距为
c
，直线
l
过
3
c
4
、
(0,b)
两点，且 原点到直线
l
的距离为，求
双曲线的离心率．
分析：由两点式得直线
l
的方程，再由双曲线中
a
、
b
、
c
的关系及原 点到直线
l
的距离建立等式，从
c
而解出
a
的值．





8.已知双曲线的中心在原点，焦点
F ,F
在坐标轴
上，离心率为
2
，且过点
?
4,?10
?
．
12
（1）求双曲线方程；（2）若点
M
?
3,m
?
在双曲线上，

求证：
uuuuruuuurMF
1
?MF
2
?0
；
12
（3）对于（2）中的点
M
，求
?FMF
的面积．

第4课 抛物线
【考点导读】
1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四
种形式和抛物线的简单几何性质.
2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单
的实际问题.
【基础练习】
1.焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方
程是______
2.若抛物 线
y
2
?2px
的焦点与椭圆
x
2
y
2< br>??1
62
的右焦点
重合，则
p
的值为______
3.抛物线
y
4.抛物线
y
2
?4ax(a?0)
?12 x
的焦点坐标是______
2
上与焦点的距离等于9的点的坐
2
标是______
5．点
P
是抛物线
y

【范例导析】
例1. 给 定抛物线y
2
=2x，设A（a，0），a＞0，
?4x
上一动点，则点P
到点
A(0,?1)
的距离与
P
到直线
x??1的距离和的最小值______

P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求d的最
小值．
解：设P（x
0
，y
0
）（x
0
≥0），则y
0
2
=2x
0
，
∴d=｜PA｜=
=
(x
0
?a)
2
?2x
0
2
(x
0
?a)
2
?y
0

． =
[x
0
?(1?a)]
2
?2a?1
∵a＞0，x
0
≥0，
∴（1）当0＜a＜1时，1－a＞0，
此时有x
0
=0时，d
min
=
(1?a)
2
?2 a?1
=a．
（2）当a≥1时，1－a≤0，
此时有x
0
=a －1时，d
min
=
1
2
2a?1
．
12
例2.如图所示，直线
l
和
l
相交于点M，
l
⊥
l
，点
N?l
1
，以A
、
B为端点的曲线段C上的任一点到
l
2
的距离与到点N的距离相等，若△AMN
为锐角三角形，
AM? 7
，
AN?3
，且
BN?6
，
建立适当的坐标系，求曲线段 C的方程．
分析：因为曲线段C上的任一点是以点
N为焦点，以
l
为准线的 抛物线的一段，所以本
2
题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物
线方程．
解：以
l
为x轴，MN的中点为坐标原点O，建
1
立直角坐标系．
例

由题意，曲线段C是N为焦点，以
l
为准线的抛
2
物线的一段，其中A
、
B分别为曲线段的两端点．
∴设曲线段C 满足的抛物线方程为：
y
2
?2px(p?0)(x
A
?x?xB
,y?0),
其中
x
、
x
为A
、
B 的横坐标
AB
pp
令
MN?p,
则
M(?
2,0),N(,0)
，
?AM?
2
17,AN?3

∴ 由两点间的距离公式，得方程组：
?
(x?
?
?
A
?
?
(x?
A
?
?
p
2
)?2px
A?17
2
p
2
)?2px
A
?9
2
解得
?
p?4
?
?
x
A
?1
或
?
p?2
?
?
x
A
?2

p
∵△A MN为锐角三角形，∴
2
?x
，则
p?4
，
x
A< br>A
?1

又B在曲线段C上，
?x
则曲线段C的方程为
y

【反馈练习】
1.抛物线
y
2
x?
8
2
2
B
?BN?
p
?6?2?4
2

?8x(1?x?4,y?0).

的准线方程是______
2.抛物线
y?ax(a?0)
的焦点到其准线的距离是
______ 3.设O为坐标原点，F为抛物线
y?4x
的焦点，A
2

为抛物线上的一点，若
OA?AF??4
，则点A的坐标
为______ < br>4.抛物线
y??x
上的点到直线
4x?3y?8?0
距离的最小值是______
5.若直线l过抛物线
y?ax
(a>0)的焦点，并且与y
轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则
a=______
6.某抛物线形拱 桥跨度是20米，拱高4米，在
2
2
建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的< br>支柱的长.



7.已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正
半轴，且过点P（2,2），过F的直线交抛物线于
A，B两点.（1）求抛物线的方程；
（2）设直线l是抛物线的准线，求证：以AB
为直径的圆与直线l相切．
分析：可 设抛物线方程为
y
2
?2px(p?0)
．用待定系数
法求得方程， 对于第二问的证明只须证

?MM
，明
AB
则以AB 为直径的圆，必与抛物线准
2
1
线相切.






第5课 圆锥曲线的统一定义
【考点导读】
1. 了解圆锥曲线的第二定义.
2. 能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题.
【基础练习】
1.抛物线
y
2
?6x
的焦点的坐标是______, 准线方程
是______
2..如果双曲线的两个焦点分别为
F(?3,0)
、
F(3,0)
，一
12
条渐近线方程为
y?
距离是__ ____

?y
3.若双曲线
x
m
2
2
2x
，那么它的两条准线间的
?1
上的点到左准线的距离是到左
焦点距离的
1
，则
m
= ______
3
4.点M与点F
( 4,0)
的距离比它到直线:
x?5?0
的距离

小1,则点
M
的轨迹方程是______
【范例导析】
例1.已 知双曲线的渐近线方程为
3x?2y?0
，两条准
线间的距离为
16
13
13
，求双曲线标准方程．
分析：（可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，
设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．
解：∵双曲线渐近线方程为
y??
2
x
，∴设双曲线
3方程为
x
2
y
2
??1
?
?
?0?
4
?
9
?
2

2
①若
?< br>?0
，则
a?4
?
，
b?9
?

1 3
?
1613
?
，∴
8
13
，∴
?
?4

13
∴准线方程为：
②若
?
?0
，则a
2
a
2
413
x????
?
c13
??9
?
，
b
2
??4
?

，∴
18?13
?
1613
?
1313
∴准线方程为：
∴
?
??
64

81
a
2
9?13
?y????
c13
，
∴所求双曲线方程为：
x
2
y2
??1
1636
或
9y
2
81x
2
??1
64256

点拨：求圆锥曲线方程时，一般先由条件设出所
求方程， 然后再根据条件列出基本的方程组解方
程组得出结果.
0
?
，
F< br>?
2，0
?
，例2.已知点
A
?
3，
在双曲 线
y
2
x??1
3
2
上求一点

P
，使
PA?
1
PF
的值最小．
2
< br>解：∵
a?1
，
b?3
，∴
c?2
，∴
e? 2

PF
0
?
相应准线的距离为
d
则设点
P
到与焦点
F
?
2，
d
?2
1
∴
1
PF?d
，∴
PA?PF?PA?d

22
至此，将问题转化成在双曲线上求一点
P
，
使
P
到定点
A
的距离与到准线距离和最小．
即到定点A
的距离与准线距离和最小为直线
PA
垂
直于准线时，
解之得 ，点
?
21
?
P
?
2
?
?
3，
?
??
．
点拨：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题
中 ，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学
中应着重培养学生灵活运用知识的能力．

【反馈练习】
?y
1.若双曲线
x
m
2
2
?1
上的点到左准线的距离是到
左焦点距离的
1
，则
m?
______
3
2.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为
2
，焦点 到相应准线的距离为1，则该椭圆的离
心率为______
3.已知双曲线
x
2
?y
2
?1 (a?0)
2
a
的一条准线为
x?
3
，则该
2

双曲线的离心率为______
xy
??1
右支点上的一点P到右焦点的4 双曲线
169
22
距离为2，则P点到左准线的距离为
______


第6课 圆锥曲线综合
【考点导读】
1. 在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性
质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联
系,灵活地运用解析几何的常用方法解决问
题.
2. 通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、
数形结合、分类讨论等数学思想.
3. 能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数

学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运
用圆锥曲线知识解决实际问题.
【基础练习】
1. 给出下列四个结论：
①当a为任意实数时，直线
(a ?1)x?y?2a?1?0
恒过定
点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准
方 程是
x
2
?
4
y
3
；

②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线
方程为
2x?y?0
，则双 曲线的标准方程是
③抛物线
y?ax(a?0)的准线方程为y??
4
1a
；
2
x
2
y
2
??1
520
；
④ 已知双曲线
x
2
y
2
??1
4m
，其离心率
e?(1,2)
，则m的
取值范围是（－12，0）。
其中所有正确结论的个数是______
2.设双曲线以椭圆
x
2
y
2
??1
259
长轴的两个端点为焦
点，其准线过椭圆的焦点，则 双曲线的渐近线的
斜率为______
xy
?
3.如果椭圆
369
22
?1
的弦被点(4，2)平分，则这条
弦所在的直线方程是______
【范例导析】
例1. 已知抛物线
x
线上的两动点，且
（I）证明
uuuuruuur

2
?4y
的焦点为F，A、B是热
过A 、B两点分别
uuuruuur
AF?
?
FB(
?
?0).
作抛物线的切线，设其交点为M。
为定值；
（II）设
?ABM
的面积为S，写出
S?f(
?
)
的表达式，
并求S的最小值。

解：（1）F点的坐标为(0,1)设A点的坐标为< br>B点的坐标为
由
uuuruuur
AF?
?
FB(
?
?0).
2
??
x
2
x,
?
2
?
4
??
?
x
1
2
?
?
x
1
,
?
4
??


可得

2
??
x
2
?
x
1
2
?
?
?x
1
,1?
?
?
?
?
x
2
, ?1
?
4
?
4
???
因此
?
?x
1
?
?
x
2
?
2
?
x
1
2
x
2
?
1??
?
(?1)
?44
过A点 的切线方程为
过B点的切线方程为
uuuuruuur
FMgAB
x
1
2
x
1
y??(x?x
1
)
42
2x
2
x
y??
2
(x?x
2
)
42< br> (1)
(2)
解(1)( 2)构成的方程组可得点M的坐标,从而得
到=0 即为定值
=0可得
uuuur uuur
FM?AB
1
（2）
uuuuruuur
FMgAB
1
三角形面积
S?f(
?
)?
FMgAB
2

FM?
?
?
?
,AB?(
?
?
?
)
2

所以
S?f(
?
)?
FMgAB
11
3
1
3
?(
?
?)??2?4
222
?
当且仅当
?
?1
时取等号
点拨：本题主要考察共线向量的关系,曲线的切
线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点
涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大

【反馈练习】

1.已知双曲线的中心在原点，离心率为
3
.若它的
一条准线与抛物线
y
与抛物线
y
12
2< br>?4x
的准线重合，则该双曲线
的左、右焦点．若点
uuuruuuur
PF
1
?PF
2
?
2
?4x
的交点到原点的距离 是______
y
2
x??1
9
2
2.设
F，F
分别是双曲线
P
在双曲线上，且
uuuruuuur
PF
1
gPF
2
?0
，则______
3.设P是椭圆
x
2
y
2
??1
94
12
上一点，
F
、
F
是椭圆的两
1
2
个焦点，则
cos?FPF
的最 小值是______
4.已知以F
1
（2,0），F
2
（2,0） 为焦点的椭圆与直
线
x?3y?4?0
有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长
2 2
为
27

xy
??1
的焦点相同，离心率5. 双曲线C与椭圆
4924
互为倒数，则双曲线C的渐近线的方程是
______ 6.已知椭圆
x
2
y
2
??1
259
与双曲线
x
2
y
2
??1
97
在第一象限
内的交点 为
P
，则点
P
到椭圆右焦点的距离等于
________ _ < br>7.如图，点A是椭圆C：
x
2
y
2
?
2
? 1(a?b?0)
2
ab
的短轴位
于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线 交椭
圆于B点，点P在y轴上，且BP∥x轴，
AB?AP
＝
9,若点P的坐 标为(0，1)，求椭圆C的方程.

y
P
O
A
B
x







8.在平面直角坐标系
xoy
中，已知圆心在第二象
限 、半径为
22
的圆
C
与直线
y?x
相切于坐标原点
O
．椭圆
x
2
y
2
??1
2
a9
与圆
C
的一个交点到椭圆两焦点的
距离之和为
10
．求圆
C
的方程.





9.
p
?
p
,0
已知动圆过定点
?
，且与直线相切，其
x??
??
2
2
??

中
p?0
,求动圆圆心
C
的轨迹的方程.
解：如图，设< br>M
为动圆圆
p
?
心，
?
?
,0
?< br>为记为
F
，过点
M
2
??
B
y
N< br>作直线
p
x??
2
的垂线，垂足
A
为
N，由题意知：
MF?MN
即
动点
M
到定点
F
与 定直线
x??
p
2
M
o
x
?
p
?
F
?
,0
?
?
2
?
的距离相等
由抛物线的定义知，点
M
的轨迹为抛物线，其中
?
p
?
F< br>?
,0
?
?
2
?
p
x??
2
第9题
p
为焦点，
x??
2
为准线
2
所以轨迹方程为
y

?2px(P?0)
；