【专题复习】人教A版 高中数学2020届 高考复习专题--圆锥曲线(含解析)

2020年9月22日发(作者：艾育华)

圆锥曲线
一、知识结构
1.方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与
一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条
曲线叫 做方程的曲线.
点与曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P
0
(x
0
,y
0
)在曲线C上
?
f(x
0
, y
0
)=0；
点P
0
(x
0
,y
0< br>)不在曲线C上
?
f(x
0
,y
0
)≠0
两条曲线的交点 若曲线C
1
，C
2
的方程分别为f
1< br>(x,y)=0,f
2
(x,y)=0,则
f
1
(x
0
,y
0
)=0
点P
0
(x
0
,y
0
)是C
1
，C
2
的交点< br>?

f
2
(x
0
,y
0
) =0
方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲
线就没有 交点.
2.圆
圆的定义
点集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.
圆的方程
(1)标准方程
圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是
222
(x-a)+(y-b)=r
圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是
222
x+y=r
(2)一般方程
22
当D+E-4F＞0时，一元二次方程
22
x+y+Dx+Ey+F=0
D
E
叫做圆的一般方程，圆心为 (-,-，半径是
2
2
x+y+Dx+Ey+F=0化为
22
D< br>2
?E
2
-4F
.配方，将方程
2
D
2E
2
D
2
?E
2
-4F
(x+)+(y+)=
4
2
2
当D+E-4F=0时，方程表示一个点
(-
22
22
D
E
,-);
2
2
当D+E-4F＜0时，方程不表示任何图形.
点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x
0
,y
0
)，则
｜MC｜＜r
?
点M在圆C内，
第 1 页 共 65 页

｜MC｜=r
?
点M在圆C上，
｜MC｜＞r
?
点M在圆C内，
其中｜MC｜=
(x
0
-a)?(y
0
-b)
.
(3)直线和圆的位置关系
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系
直线与圆相交
?
有两个公共点
直线与圆相切
?
有一个公共点
直线与圆相离
?
没有公共点
②直线和圆的位置关系的判定
(i)判别式法
(ii)利用圆心C(a,b)到直 线Ax+By+C=0的距离d=
22
Aa?Bb?C
A?B
22
与 半径r的大小关系
来判定.
3.椭圆、双曲线和抛物线
椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.

曲

线
椭 圆 双曲线

性

质
点集：({M｜｜MF< br>1
+｜点集：{M｜｜MF
1
｜-｜
轨迹条件 MF
2
｜=2a,｜F
1
F
2
｜＜MF
2
｜.
2a＝ =±2a,｜F
2
F
2
｜＞2a}.



圆 形



抛物线
点集{M｜ ｜MF｜=点M
到直线l的距离}.

x
2
y
2
+=1(a＞b＞0)
标准方程
a
2
b
2
顶 点
轴
A
1
(-a,0),A
2
(a,0);
B
1
(0,-b),B
2
(0,b)
对称轴x=0,y=0
长轴长：2a
短轴长：2b
F
1
(-c,0),F
2
(c,0)
焦点在长轴上
｜F
1
F
2
｜=2c，
c=
a2-b2

x
2
y
2
-
2
=1(a＞0,b＞
2a
b
0)
A
1
(0,-a),A
2
(0,a)
对称轴x=0,y=0
实轴长：2a 虚轴长：
2b
F
1
(-c,0),F
2
(c,0)
焦点在实轴上
｜F
1
F
2
｜=2c,
c=
a2?b2


y
2
=2px(p＞0)
O(0,0)
对称轴y=
F(
焦 点
P
，0)
2
焦点对称轴上
焦 距
准 线
a
2
x=±
c
a
2
x=±
c
第 2 页 共 65 页
x=-
p

2
准线与焦点位于顶点

准线垂直于长轴，且
在椭圆外.
离心率
e=
准线垂直于实轴，且在
两顶点的内侧.
e=
两侧，且到顶点的距
离相等.
e=1
c
,0＜e＜1
a
c
,e＞1
a

4.圆锥曲线的统一定义
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定 点的一条定直线l的
距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.
其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.
当0＜e＜1时，轨迹为椭圆
当e=1时，轨迹为抛物线
当e＞1时，轨迹为双曲线
5.坐标变换
坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)
叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只
改变点 的坐标与曲线的方程.
坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的
变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.
坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新
坐标系x ′O′y′中的坐标 是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标
是(h,k)，则
x=x′+h x′=x-h
(1) 或(2)
y=y′+k y′=y-k
公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.
中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程
中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.

方 程 焦 点 焦 线 对称轴
(x-h)
2
a
2
椭圆
(x-h)
2
b
2
(x-h)
2
a
2
双曲线
(y- k)
2
a
2
2
(y-k)
2
+
b
2
(y-k)
2
+
a
2
(y-k)
2
-< br>b
2
(x-h)
2
-
b
2
=1
(±c+h,k)
=1
(h,±c+k)
=1
=1
(±c+h,k)
(h,±c+h)
(y-k)=2p(x-h)
抛物线 (y-k)=-2p(x-h)
(x-h)=2p(y-k)
2
2
p
+h,k)
2
p
(-+h,k)
2
p
(h, +k)
2
(
第 3 页 共 65 页
a
2
x=±+h
c
a
2
y=±+k
c
a
2
=±+k
c
a
2
y=±+k
c
p
x=-+h
2
p
x=+h
2
p
y=-+k
2
x=h
y=k
x=h
y=k
x=h
y=k
x=h
y=k
y=k
y=k
x=h

(x-h)=-2p(y-k)
2
(h,-
p
+k)
2
y=
p
+k
2
x=h

二、知识点、能力点提示
(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点
说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是
在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲
线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.

三、考纲中对圆锥曲线的要求：
考试内容：
. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；
. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；
. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；
考试要求：
. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；
. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；
. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；
. (4)了解圆锥曲线的初步应用。
四．对考试大纲的理解
高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计22分左右, 考查
的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查
以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下， 一般较容易得分，解答题常作为数
学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻 辑推理等诸方面的
能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重
考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。
求圆锥曲线的方程
【复习要点】
求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价
第 4 页 共 65 页

转化、分类讨论、逻辑推理、合理运 算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌
握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与 对称问题、弦长问题、最值问题等综
合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法 .
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.
定式——根据“形”设方程的形式，注 意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定
在哪个坐标轴上时，可设方程为mx
2
+ ny
2
=1(m＞0,n＞0).
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大
小.
【例题】
x
2
y
2
双曲线=1(b∈N)的两个焦点F< br>1
、F
2
，P为双曲线上一点，
?
4
b
2
【例1】
|OP|＜5,|PF
1|,|F
1
F
2
|,|PF
2
|成等比数列，则b2
=_________.
解：设F
1
(－c,0）、F
2
(c,0)、P(x,y),则 < br>|PF
1
|
2
+|PF
2
|
2
=2 (|PO|
2
+|F
1
O|
2
)＜2(5
2
+c
2
),
即|PF
1
|
2
+|PF
2
|
2
＜50+2c
2
,
又∵|PF
1
|
2
+|PF
2
|
2
=(|PF
1
|－| PF
2
|)
2
+2|PF
1
|·|PF
2
|,
依双曲线定义，有|PF
1
|－|PF
2
|=4,
依已知条件有|PF
1
|·|PF
2
|=|F
1
F
2
|
2
=4c
2

∴16+8c
2
＜50 +2c
2
,∴c
2
＜
又∵c
2
=4+b
2
＜
答案：1
【例2】
x
2
a
2
?y
2
b
2
17
,
3
5
17
,∴b
2
＜,∴b
2
=1. < br>3
3
已知圆
C
1
的方程为
?
x?2
?
2
?
?
y?1
?
2
?
20
，椭 圆
C
2
的方程为
3
?1
?
a?b?0
?
，
C
2
的离心率为
2
，如果
C
1
与
C
2
相交于
A
、
B
两点，且线段
AB< br>2
恰为圆
C
1
的直径，求直线
AB
的方程和椭圆C
2
的方程。
2c2
2
,得?
,
a?
2
c
2
,
b
2
?c
2
.

2a2
解：由
e?
第 5 页 共 65 页

设椭圆方程为
x
2
2b
2
?y
2
b
2
?
1.

设
A
(< br>x
1
,
y
1
).
B
(
x
2
,
y
2
).
由圆心为
(2,1).

?x
1
?x
2
?4,y
1
?y
2
?2.< br>
y
又
2
x
1
2b
2
?
2
y
1
b
2
?1,
2
x
2
2b< br>2
?
2
y
2
b
2
?
1,

A
C
1
两式相减，得
22
x
1
?x
2
2b
2
?
22
y
1
?y
2
b
2
?
0.

F
2
O
F
1
B
x
(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?2(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?0,

又
x
1
?x
2
?
4.
y
1
?y
2
?
2.
得
y
1
?y
2
??
1.

x
1
?x
2
?直线AB的方程为y?1??(x?2)..

即
y??x?3

x
2
2b
2
y
2
b
2
将
y??x?3
代入
??
1,得

3x
2
?12x?18?2b
2
?0.

?直线AB与椭圆C
2
相交.???24b
2
?72?0.

20
.

3
由
AB?2x
1
?x
2
?2(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?
24b
2
?72
?
得
2?
3
20
.

3
x
2
y
2
??1.

解得
b?
8.
故所有椭圆方程
168
2

第 6 页 共 65 页

【例3】 过点(1，0) 的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为
2
的
2
椭圆C相交于A、B 两点，直线y=
1
x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与
2
右焦点关 于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.
c2
a
2
?b
21
解法一：由e=
?
,得
?
,从而a
2
=2b
2
,c=b.
2
2
a2
a
设椭圆方程为x
2
+2y
2
=2b
2
,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)在椭圆上.
则x
1
2
+2y
1
2
=2b
2
,x
2
2
+2y
2
2
=2b
2
,两式相减得，
(x
1< br>2
－x
2
2
)+2(y
1
2
－y
2
2
)=0,
y
1
?y
2
x?x
2
??
1
.

x
1
?x
2
2(y
1
?y
2
)
设AB中点为(x
0
,y
0
), 则k
AB
=－
x
0
,
2y
0
B
y
y=
1
2
x
11
又(x
0
,y
0
)在直线y=x上，y
0
=x
0
,
22
于是－
x
0
=－1,k
AB
=－1,
2y
0
F
2
o
F
1
A
x
设l的 方程为y=－x+1.
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),
?
y
?
?1
?
?
x
?
?1
?
x?
?b

则
?
解得
?
?
?< br>?
y?1?b
y
x?b
?
?
???1
?2
?
2
由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)
2
= 2b
2
,b
2
=
9
2
9
,a?
.
168
8x
2
16
2
∴所求椭圆C的方程为
?y< br> =1,l的方程为y=－x+1.
99
c2a
2
?b
2< br>1
解法二：由e=
?,得?
,从而a
2
=2b
2,c=b.
2
a22
a
设椭圆C的方程为x
2
+2y
2
=2b
2
,l的方程为y=k(x－1),
将l的方程代入C的 方程，得(1+2k
2
)x
2
－4k
2
x+2k
2
－2b
2
=0,
则x
1
+x
2
=
4k
2
1?2k
2
,y
1
+y
2
=k( x
1
－1)+k(x
2
－1)=k(x
1
+x
2< br>)－2k=－
2k
1?2k
2
.
x
1
?x
2
y
1
?y
2
1
?k12k
2
直 线l：y=x过AB的中点(),则,
,
??
2
22
1?2k2
2
1?2k
2
解得k=0，或k=－1.
若k=0,则l的 方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C
第 7 页 共 65 页

上，所以k=0舍去，从而k=－1，直 线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.
解法3：设椭圆方程为
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?
1 (
a?b?
0)(1)

直线
l
不平行于
y
轴，否则
AB
中点在
x
轴上与直线
y
?
1
x过AB
中点矛盾。
2
故可设直线
l的方程为y?k(x?1)(2)

(k
2
a
2
?b
2
)x
2
?2k
2
a< br>2
x?a
2
k
2
?a
2
b
2
?0(3)

(2)代入(1)消y整理得：
2k
2
a
2
ka?b
222
设A(x
1
，y
1
)B(x
2
，y
2
)
，
知：x
1
?x
2
?


又y
1
?y
2
?k(x
1
?x
2
)?2k代入上式得：
2k1
2
k
2
a2
?b
2
1b
2
1
k??
，
?k?2 k?
，，
又e?
??k?k??
22
2
2
2x
1
?x
2
2
2
2ka
ka
2b2
a
2
?k????
2(a
2
?c
2
)
a
2
??2?2e
2
??1
，
?直线l的方程为 y?1?x
，
此时a
2
?2b
2
，
方程(3)化 为3x
2
?4x?2?2b
2
?0
，
??16?24(1? b
2
)?8(3b
2
?1)?0

?b?
3
，
椭圆C的方程可写成：x
2
?2y
2
?2b
2
(4)
，
又c
2
?a
2
?b
2
?b
2
，
3
?右焦点F(b，0)
，
设点F关于直线l的对称点(x
0
，y
0
)
，
?
y
0
?
x?b
?1
?
?
x
0
?1，
y
0
?1?
b
，
则
?
0
?
y
0
? 1?
x
0
?b
?
2
?
2
33
，
?
43
1?2(1?b)?2b
2
，
?b?
又点( 1，1?b)在椭圆上，代入(4)得：
?b
2
?
99
，
a
2
?

168
第 8 页 共 65 页

x
2
y
2
所以所求的椭圆方程为：
??
1

99
816

【例4】 如图，已知△P
1
OP
2
的面积为
27
，P为线段P
1
P
2
的一个三等分点，
4
求以直线OP
1
、OP
2
为渐近线且过点P的离心率为
13
的双曲线方程.
2
解：以O为原点，∠P
1
OP
2
的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.
设双曲线 方程为
由e
2
=
c
2
x
2
a
2< br>?
y
2
b
2
=1(a＞0,b＞0)
y
P
2
b
2
13
2
b3
，得
?1?()?()
?
.
2
a2
a2
a
∴两渐近线OP
1< br>、OP
2
方程分别为y=
33
x和y=－x
22
o
P
x
P
1
33
设点P
1
(x
1< br>, x
1
),P
2
(x
2
,－x
2
)(x
1
＞0,x
2
＞0),
22
则由点P分
P
1
P
2
所成的比
λ
=
得P点坐标为(
P< br>1
P
=2,
PP
2
x
1
?2x
2
x
1
?2x
2
,
),
32
又点P在双曲 线
所以
(x
1
?2x
2
)
2
9a
2
x
2
a
2
?
4y
2
9a
29a
2
=1上，
=1,
?
(x
1
?2x< br>2
)
2
即(x
1
+2x
2
)
2－(x
1
－2x
2
)
2
=9a
2
,整 理得8x
1
x
2
=9a
2
①
9
2
139
x
1
?x
1
,|OP|?x
2
2
?x
2
2
?
424
3
2?
2tanP< br>1
Ox
2
?
12
sinP
1
OP
2
??
1?tan
2
P
1
Ox
1?
9
13
4
111312
?S
?P
1
OP
2
?|OP
1
|?|OP
2
|?sinP
1
OP
2< br>??x
1
x
2
??
22413
又|OP
1< br>|?x
1
2
?
13
x
2
2

27
,
4
即x
1
x
2
=
9

2
②
由①、②得a
2
=4,b
2
=9
x
2
y
2
?
故双曲线方程为=1.
49
第 9 页 共 65 页

【例5】 过椭圆C：
y
2
a
2
?
x
2
b
2
?
1(
a?b?
0)
上一动点P 引圆O：
x
2
+
y
2
=
b
2
的
两条切线P
A
、P
B
，
A
、
B
为切点，直线
AB
与
x
轴，
y
轴分别交于M、N两点。(1 ) 已
知P点坐标为(
x
0
，
y
0
)并且
x
0
y
0
≠0，试求直线
AB
方程；(2) 若
椭圆的短轴长为8，并且
a
2
|OM|
2
?
b< br>2
|ON|
2
?
25
16
，求椭圆C的方
程 ；(3) 椭圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相
垂直？若存在，请求出存在的条件；若 不存在，请说明理由。
解：(1)设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)
切线P
A
：
x
1
x?y
1
y?b
2
，P
B
：
x
2
x?y
2
y?b
2

∵P点在切线P
A
、P
B< br>上，∴
x
1
x
0
?y
1
y
0
?b
2
x
2
x
0
?y
2
y
0< br>?b
2

∴直线
AB
的方程为
x
0
x?y
0
y?b
2
(
x
0
y
0
?
0)

(2)在直线
AB
方程中，令
y
=0，则M (
b
2
x
，0)；令
x
=0，则N(0，
b
2
)
0
y
0
∴
a
2
b
2a
2
y
0
2
x
0
2
a
225
|OM|
2
?
|ON|
2
?
b
2
(
a
2
?
b
)?
2
b
2
?
16
①
∵2
b
=8 ∴
b
=4 代入①得
a
2
=25,
b
2
=16
∴椭圆 C方程：
y
2
x
2
25
?
16
?
1(
xy?
0)
（注：不剔除
xy
≠0，可不扣分）
(3) 假设存在点P(
x
0
，
y
0
)满足PA
⊥P
B
，连接O
A
、O
B
由|P
A
|=|P
B
|知，
四边形P
A
O
B
为正 方形，|OP|=
2
|O
A
| ∴
x
0
2
?y
0
2
?2b
2
①
第 10 页 共 65 页

22
?b
2
y
0
?a
2
b
2
②
又∵P点在椭圆C上 ∴
a
2
x
0
由①②知
x
2
0
?
b
2
(a
2
?2b
2
)
a
2
?b
2
,
2
y
0
?
a
2
b
2
a
2
?b
2

∵
a
>
b
>0 ∴
a
2
－
b
2
>0

(1)当
a
2
－2
b
2
>0，即
a
>
2
b
时，椭圆C上存在点，由 P点向
圆所引两切线互相垂直；
(2)当
a
2
－2
b2
<0，即
b
<
a
<
2
b
时，椭圆C 上不存在满足条件的P点
【例6】
应的准线的距离为
得|F
2
B|=3|F
2
A|.
已知椭圆C的焦点是F
1
（－
3
，0）、F
2
（
3
，0），点F
1
到相
3
，过F
2
点且倾斜角为锐 角的直线
l
与椭圆C交于A、B两点，使
3
（1）求椭圆C的方程；（2）求直线
l
的方程.
解：（1）依题意，椭圆中心为O（0，0），
c?3

2
点F1
到相应准线的距离为
b
?3,?b
2
?
3
? 3?1
，
c3
a
2
=
b
2
+
c
2
=1+3=4
y
l
P
A
M
x
N
∴所求椭圆方程为
x
?y
2
?1

4
2
（2）设椭圆的右准线
l
?
与
l
交于点P，作AM⊥
l
?
，AN⊥
F
1
O
B
F
2
l
?
，垂足
分别为M、N. 由椭圆第二定义，
得
|AF
2
|
?e?|AF
2
|?e|AM|

|AM|
同理|BF
2
|=e|BN|
第 11 页 共 65 页

由Rt△PAM～Rt△PBN，得
| PA|?
1
2
|AB|?2|F
2
A|?2e|AM|
…9 分
?cos?PAM?
|AM|1
??
|PA|2e
1
2 ?
3
2
?
3
?l
的斜率
k?tan?PAM?2< br>.
3
∴直线
l
的方程
y?2(x?3)即2x?y?6?0

【例7】 已知点B（－1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足
|PC|?|B C|?PB?CB.

（1）求点P的轨迹C对应的方程；
（2）已知点A（m,2 ）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判
断：直线DE是否过定点？试证 明你的结论.
（3）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD， AE的斜
率
k
1
、
k
2
满足
k
1
·
k
2
=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.
解：（1 ）设
P
(
x
,
y
)
代入
|
PC< br>|
?
|
BC
|
?PB?CB得
(
x?
1)
2
?y
2
?
1
?x
,
化简得y2
?
4
x
.

(2)将A(m,2)代入y
2
?4x得m?1,?点A的坐标为(1,2).
设直线AD的方程为y?2?k(x?1)代入 y
2
?4x,得y
2
?
由y
1
?2可得y
2
?
48
y??4?0,
kk
444
?2,?D(
2
?1,?2).
kk
k
1
同理可设直线AE:y?2??(x?1 ),代入y
2
?4x得E(4k
2
?1,?4k?2).

k
4
?4k
k
则直线DE方程为:y?4k?2?(x?4k
2?1),化简得
4
k
2
?4k
k
2
(y?2) ?k(x?5)?(y?2)?0,
即y?2??
k
k?1
2
(x? 5),过定点(5,?2).
第 12 页 共 65 页

(3)将A(m,2)代入y
2
?4x得m?1,
设直线DE的方程 为y?kx?b,D(x
1
,y
1
),E(x
1
,y
1
)
?
?
y?kx?b

由
?
2
得k
2
x
2
?2(kb?2)x?b
2
?0,
?
?
y?4x
y?2y
2
?2
?k
AD
?k
AE
?2,?
1
??2(x
1
,x
2
?1 ),
x
1
?1x
2
?1
且y
1
?kx1
?b,y
2
?kx
2
?b
?(k
2
?2)x
1
x
2
?(kb?2k?2)(x
1
?x
2
)?(b?2)
2
?2?0,
将x
1
?x
2?
?2(kb?2)
k
2
,x
1
x
2
?
b
2
k
2
代入化简得b
2
?(k?2)
2
,?b??(k?2).
?b??(k?2).
将b?k?2代入y?kx?b得y ?kx?k?2?k(x?1)?2,过定点(?1,?2).
将b?2?k代入y?kx?b得y?k x?2?k?k(x?1)?2,过定点(1,2),不合,舍去,
?定点为(?1,?2)
x
2
a
2
y
2
b
2

【例8】
0）、
已知曲线
??1(a?0,b?0)的离心率e?
23
，直 线
l
过A（
a
，
3
B（0，－b）两点，原点O到
l
的距离是
3
.

2
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（ Ⅱ）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若
OM?ON??23
，求直线m的方程.

解：（Ⅰ）依题意，
l方程
x
?
y
?1,即bx ?ay?ab?0,
由原点O到
l
的距离
a?b
为
3
，得
2
ab
a?b
22
?
c23

?b
ab3
又
e??
?
a3
c2
?1,a?3

故所求双曲线方程为
x
2
?y
2
?1

3
（Ⅱ）显然直线m不与
x
轴垂直，设m方程为
y
= k
x
－1，则点M、N坐标（
x
1
,y
1
）、
第 13 页 共 65 页

?
y?kx?1
（
x
2
,y
2
）是方程组
?
2
的解
?
x
2
?
?y?1< br>?
3
消去
y
，得
(1
?
3
k
2
)
x
2
?
6
kx?
6
?
0< br> ①
依设，
1
?
3
k?
0,
由根与系 数关系，知
x
1
?x
2
?
2
6k6
,xx?
12
3k
2
?13k
2
?1
OM?O N?(x
1
,y
1
)?(x
2
,y
2
)? x
1
x
2
?y
1
y
2
?x
1x
2
?(kx
1
?1)(kx
2
?1)

22
=
(1
?k
2
)
x
1
x
2
?k
(
x
1
?x
2
)< br>?
1
=
6(1?k)
?
6k
?1

22
3k?13k?1
=
6
3k?1
2
?1

?OM?ON??23
∴
1
=－23，k=±
?1
2
3k
2
?1
6
当k=±
1
时，方程①有两个不等的实数根
2
故直线
l
方程为
y?
1
x?1,或y??
1
x?1

22
x
2
y
2
【例9】 已知动点
P
与双 曲线
??
1
的两个焦点
F
1
、
F
2
的距离之和为
23
1
定值，且
cos?F
1
PF
2
的最小值为
?
．
9
（1）求动点
P
的轨迹方程；
（2）若已知
D(0, 3)
，
M
、
N
在动点
P
的轨迹上且
DM?
?
DN
，求实数
?
的取值范
围．
a
2< br>?a
2
?(2c)
2
2a
2
1

9
解：（1）由已知可得：
c?5
，
??
∴
a
2
?
9,
b
2
?a
2
?c
2< br>?
4

第 14 页 共 65 页

x
2
y
2
∴ 所求的椭圆方程为
??
1
.
94
(2)方法一：
由题知点D、M、N共线，设为直线m，当直线m的斜率存在时，设为k，则直线m的方
程为
y
= k
x
+3 代入前面的椭圆方程得
(4+9k
2
)
x

2
+54 k +45 = 0 ①
由判别式
??
(54
k
)
2
?
4< br>?
(4
?
9
k
2
)
?
45
?
0
，得
k
2
?
5
.
9
再设M (
x
1
,
y

1
), N (
x

2
,
y

2
)，则一方面有
DM?(x
1
,y
1
?3)?
?
DN?
?
(x
2
,y
2
?3)?(?
x
2
,
?
(y
2
?3))
，得
?
x
1
?
?
x
2

?
y?3?
?
(y?3)
2
?
1
另一方面有
x1
?x
2
??
54k
4?9k
2
，
x
1
x
2
?
45
4?9k
2
②
将
x
1
?
?
x
2
代入②式并消去
x
2
可得
324
?
5(1?
?
)2
4
k
2
?9
，由前面知，
0?
4
k
2
36

5
?
?
∴
9?
324
?
5(1?
?
)
2
?
81
1
，解得
?
?
?
5
.
5
5
1
5又当直线m的斜率不存在时，不难验证：
?
?或
?
?
5
,
所以
1
?
?
?
5
为所求。
5
方法二:同上得
第 15 页 共 65 页

?
?
x
1
?
?
x
2

?
y
1
?3?
?
(y
2
?3)
设点M (3cosα，2sinα)，N (3cosβ,2sinβ)
?
cos
?< br>?
?
cos
?
则有
?

2sin
?
?3?
?
(2sin
?
?3)
?
由上式消去α并整 理得
13
?
2
?18
?
?5
12(
?< br>2
?
?
)
13
?
2
?18
?
?5
12(
?
2
?
?
)
sin
?
?
, 由于
?1?sin
?
?1

∴
?1??
1
， 解得
1
?
?
?
5
为所求.
5
方法三：设法求出椭圆上的点到点D的距离的最大值为5，最小值为1.
进而推得
?
的取值范围为
1
?
?
?
5
。
5
【求圆锥曲线的方程练习】
一、选择题
1．已知直线x+2y－3=0 与圆x
2
+y
2
+x－6y+m=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若< br>OP⊥OQ，则m等于( )
A.3




D.－1
B.－3 C.1
2．中心在原点，焦点在坐标为(0，±5
2
)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点
的横坐标为
1
， 则椭圆方程为( )
2

2x
2
2y
2
2 x
2
2y
2
A.??1 B.??1
25757525
C.
yy
xx
??1 D.??1
25757525
2
2
2
2
二、填空题
3．直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x
2
－4y< br>2
=3的焦点
第 16 页 共 65 页

作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.
4．已 知圆过点P(4，－2)、Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4
3
，则该
圆的方程为_________.
三、解答题
5．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任
意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上 存在着以y=x为轴的对称点M
1
和
M
2
，且|M
1
M
2
|=
410
，试求椭圆的方程.
3
6．某抛物线形 拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求
其中最长的支柱的长.

7．已知圆C
1
的方程为(x－2)
2
+(y－1)
2=
x
2
a
2
y
2
b
2
20< br>,椭圆C
2
的方程
3
为
?
=1(a＞b＞0)，C< br>2
的离心率为
2
，如果C
1
与C
2
相交2
于A、B两点，且线段AB恰为圆C
1
的直径，求直线AB的方程和椭圆C2
的方程.

参考答案
一、1.解析：将直线方程变为x=3－2y ,代入圆的方程x
2
+y
2
+x－6y+m=0,
得(3－2y)
2
+y
2
+(3－2y)+m=0.
整理 得5y
2
－20y+12+m=0,设P(x
1
,y
1
)、 Q(x
2
,y
2
)
则y
1
y
2
=
12?m
,y
1
+y
2
=4.
5
又∵P、Q在直线x=3－2y上，
∴x
1
x
2
=(3－2y
1
)(3－2y
2
)=4y
1
y
2
－6(y
1
+y
2
)+9
故y
1
y2
+x
1
x
2
=5y
1
y
2
－6(y
1
+y
2
)+9=m－3=0，故m=3.
答案：A
第 17 页 共 65 页

2.解析： 由题意，可设椭圆方程为：
即方程为
y
2
50?b
2
y2
a
2
?
x
2
b
2
=1,且a
2
=50+b
2
,
?
x
2
b
2
=1.
将直线3x－y－2=0代入，整理成关于x的二次方程.
由x
1
+x2
=1可求得b
2
=25,a
2
=75.
答案：C
二、3.解析：所求椭圆的焦点为F
1
(－1,0),F
2
(1,0 ),2a=|PF
1
|+|PF
2
|.
欲使2a最小，只需在直线 l上找一点P.使|PF
1
|+|PF
2
|最小，利用对称性可解.
x
2
y
2
答案： =1
?
54
4.解析 ：设所求圆的方程为(x－a)
2
+(y－b)
2
=r
2

?
(4?a)
2
?(?2?b)
2
?r
2
?
a?1
?
a?5
?
??
?
则有
?
(?1?a)
2
?(3?b)
2
?r
2

?
?
b?0或
?
b?4

?
2
?
2
?
2
22
|a|?(23)?r
r?13
???
r?27
?
由此可写所求圆的方程.
答案：x
2
+y
2
－2x－12=0或x
2
+y
2
－10x－8y+4 =0
三、5.解：|MF|
max
=a+c,|MF|
min
=a －c,则(a+c)(a－c)=a
2
－c
2
=b
2
,
∴b
2
=4,设椭圆方程为

y
2
??1

2
4
a
x
2

①
设过M
1
和M
2
的直线方程为y=－x+m
②
将 ②代入①得：(4+a
2
)x
2
－2a
2
mx+a
2
m
2
－4a
2
=0
③

设M
1
(x
1
,y
1
)、M
2
(x2
,y
2
),M
1
M
2
的中点为(x
0
,y
0
),
1
a
2
m
4m
则x
0
= (x
1
+x
2
)=,y.
0
=－x
0
+ m=
2
2
2
4?a
4?a
代入y=x,得
由于a
2
m
4?a
2
?
4m
4?a
2,
x
1
+x
2
=0,x
1
x
2=－
410
,
3
4a
2
4?a
2
a
2
＞4,∴m=0,∴由③知,
又|M
1
M
2
| =
2(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?
第 18 页 共 65 页

< p>
x
2
y
2
代入x
1
+x
2
, x
1
x
2
可解a=5,故所求椭圆方程为： =1.
?
54
2
6.解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，
如 图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A
、
B坐标分别为(－10，－4）、(10 ，－4）
设抛物线方程为x
2
=－2py,将A点坐标代入，得100=－2p×( －4),解得p=12.5,
于是抛物线方程为x
2
=－25y.
由题意知E点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16,从而|EE′|=
(－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.
2
y
2
x
2
7.解：由e=,可设椭圆方程为
2
?
2
=1,
2
2bb
又设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=4,y1
+y
2
=2,
又
x
1
2
2b2
?
y
1
2
b
2
?1,
x
2
2
2b
2
?
y
2
2
b
2
=1,两式相减，得
x
1
2
?x
2
2
2b
2
?
y
1
2
?y
2
2
b
2
=0,
即(x
1
+x
2
)(x
1
－x
2
)+2(y
1
+y
2
)(y
1
－y
2< br>)=0.
化简得
y
1
?y
2
=－1,故直线AB的 方程为y=－x+3,
x
1
?x
2
代入椭圆方程得3x
2
－12x+18－2b
2
=0.
有
Δ
=24b
2
－72＞0,又|AB|=
2(x
1
?x
2
)
2< br>?4x
1
x
2
?
24b
2
?7220
?
得
2?
，解得b
2
=8.
93
20
,
3
x
2
y
2
?
故所求椭圆方程为=1.
168
直线与圆锥曲线
第 19 页 共 65 页

【复习要点】
直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高 档题、压轴题出现，主要涉及位
置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查 了数形结合、分类
讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、 计
算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.
1.直线与圆锥曲线有无公共 点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成
的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时 要注意用好分类讨论和数形结合的思想方
法.
2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题， 常用“韦达定理法”设而不求计算弦长
(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而 不求，将弦所在直线的斜
率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻 找量与量间
的关系灵活转化，往往就能事半功倍.

【例题】
【例1】 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭
10
，求椭圆方程. < br>2
圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
解：设椭圆方程为mx
2
+ny
2
=1(m＞0,n＞0)，P(x
1
,y
1
),Q (x
2
,y
2
)
?
?
y?x?1
由
?
2
得(m+n)x
2
+2nx+n－1=0,
2
?
?
mx? ny?1
Δ
=4n
2
－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,
由OP⊥OQ,所以x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,即2x
1
x
2
+(x
1
+x
2)+1=0,
∴

又2
2(n?1)
2n
?
+1=0,∴m+n=2
m?nm?n

①
4(m?n?mn)
10
2
?()
,
m?n2
3
将m+n=2,代入得m·n=
4



②


第 20 页 共 65 页

由①、②式得m=
3
131
,n=或m=,n=
222
2
31
x
2
3
2
故椭圆方程为+y =1或x
2
+y
2
=1.
22
2
2

【例2】
角为
如图所示，抛物线y
2
=4x的顶点为O，点A的坐 标为(5，0)，倾斜
?
的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两 点，求△
4
AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.
解：由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.
由方程组
?
?< br>?
y?x?m
,消去y,得x
2
+(2m－4)x+m
2=0……………①
2
?
?
y?4x
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式
Δ
=(2m－4)
2
－4m
2
=16( 1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)则x
1
+x
2
=4－2m，x
1
·x
2
=m
2< br>,
∴|MN|=4
2(1?m)
.
点A到直线l的距离为d=
5?m
2
.
∴S
△
= 2(5+m)
1?m
,从而S
△
2
=4(1－m)(5+m)
2

=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2(
2?2m?5?m?5?m< br>3
)=128.
3
∴S
△
≤8
2
,当且仅 当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8
2
.
【例3】 已 知双曲线C：2x
2
－y
2
=2与点P(1，2)。(1)求过P(1，2) 点的直线l
的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点。(2)若Q(1，1)，
试判断以Q为中点的弦是否存在.
解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,
与曲线C有一个交点.
当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),
代入C的方程，并整理得
第 21 页 共 65 页

(2－k
2
)x
2
+2(k
2
－2 k)x－k
2
+4k－6=0………………(
*
)
(ⅰ)当2－k
2
=0,即k=±
2
时，方程(
*
)有一个根，l与C有一 个交点
(ⅱ)当2－k
2
≠0,即k≠±
2
时
Δ
=［2(k
2
－2k)］
2
－4(2－k
2
)(－k2
+4k－6)=16(3－2k)
①当
Δ
=0,即3－2k=0,k =
②当
Δ
＞0,即k＜
3
时，方程(
*
)有一个实 根，l与C有一个交点.
2
33
,又k≠±
2
,故当k＜－
2
或－
2
＜k＜
2
或
2
＜k＜时，
22
方程(
*
)有两不等实根，l与C有两个交点.
③当
Δ
＜ 0，即k＞
3
时，方程(
*
)无解，l与C无交点.
2
3
，或k不存在时，l与C只有一个交点；
2
综上知：当k=±
2
,或k=
当
2
＜k＜
当k＞
3
,或－< br>2
＜k＜
2
,或k＜－
2
时，l与C有两个交点；
2
3
时，l与C没有交点.
2
(2)假设以Q为中点的弦存在，设 为AB，且A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2< br>)，则2x
1
2
－y
1
2
=2,2x
22
－y
2
2
=2
两式相减得：2(x
1
－x< br>2
)(x
1
+x
2
)=(y
1
－y
2
)(y
1
+y
2
)
又∵x
1
+x2
=2,y
1
+y
2
=2
∴2(x
1
－x
2
)=y
1
－y
1

即k
AB
=
y
1
?y
2
=2
x
1
?x
2
但渐近线斜率为±
2
,结合图形知直线AB与C无 交点，所以假设不正确，即以Q为
中点的弦不存在.
【例4】 如图，已知某椭圆的焦点是F
1
(－4，0)、F
2
(4，0)，过点F
2
并垂直
于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F
1
B|+|F
2
B|=10， 椭圆上不同的两点
A(x
1
,y
1
),C(x
2
, y
2
)满足条件：|F
2
A|、|F
2
B|、|F
2
C|成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦AC中点的横坐标；
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，
求m的取值范围.
F
1
o
F
2
B'
A
B
C
x
y第 22 页 共 65 页

解：(1)由椭 圆定义及条件知，2a=|F
1
B|+|F
2
B|=10,得a=5,又c= 4,所以b=
a
2
?c
2
=3.
x
2
y
2
故椭圆方程为=1.
?
259
(2)由点B(4,y
B
)在椭圆上，得|F
2
B|=|y
B
|=
根据椭圆定义，有|F
2
A|=
9
4
25
. 因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，
4
5
5
4
25
4< br>25
(－x
1
),|F
2
C|=(－x
2
) ，
5
4
5
4
由|F
2
A|、|F
2B|、|F
2
C|成等差数列，得
4
25
4
259
(－x
1
)+(－x
2
)=2×,由此得出：x
1< br>+x
2
=8.
5
4
5
4
5
设弦A C的中点为P(x
0
,y
0
),则x
0
=
x
1
?x
2
=4.
2
(3)解法一：由A(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
)在椭圆上.
22< br>?
?
9x
1
?25y
1
?9?25
得
?

22
?
?
9x
2
?25y
2?9?25

①
②
①－②得9(x
1
2－x
2
2
)+25(y
1
2
－y
2
2
)=0,
即9×
(
将
(k≠0)
即k=
x1
?x
2
y?y
2
y?y
2
)?25(
1
)?(
1
)
=0(x
1
≠x
2
) < br>22x
1
?x
2
x
1
?x
2
y?y
2
y?y
2
1
1
?x
0
?4,
1
?y
0
,
1
??
(k≠0)代入上式，得9×4+25y
0
(－)=0
k
22x
1
?x
2
k
25
y
0
(当k=0时也成立).
36
16
25
y
0
=－y
0
.
9
9
由点P(4，y
0
)在弦AC的垂直平分线上，得y
0
=4k+m,
所以m=y
0
－4k=y
0
－
由点P(4， y
0
)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，
得－
991616
＜y
0
＜,所以－＜m＜.
55
55
解法二：因为弦AC的中点为P(4,y
0
)，所以直线AC的方程为
y－y
0
=－

1
(x－4)(k≠0)
k



③


x
2
y
2
?
将③代入椭圆方程=1,得
259< br>(9k
2
+25)x
2
－50(ky
0
+4)x+2 5(ky
0
+4)
2
－25×9k
2
=0
第 23 页 共 65 页

所以x
1
+x
2
=
50(k
0
?4)
9k
2
?2 5
=8,解得k=
25
y
0
.(当k=0时也成立)
36
(以下同解法一).
【例5】 已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆< br>x
2
?y
2
?10x?20?0
相切．过点
P
?
?4,0
?
作斜率为
1
的直线
l
，使得
l
和
G
交于
4
2
A,B
两点，和
y轴交于点
C
，并且点
P
在线段
AB
上，又满足
PA?PB?PC
．
（1）求双曲线
G
的渐近线的方程；
（2）求双曲线
G
的方程；
（3）椭圆
S
的中心在原点， 它的短轴是
G
的实轴．如果
S
中垂直于
l
的平行弦的中点的轨迹恰好是
G
的渐近线截在
S
内的部分，求椭圆
S
的方程．
解：（1）设双曲线
G
的渐近线的方程为：
y?kx
，
则由渐近线与圆
x?y?10x?20?0
相切可得：
22
5kk?1
2
?5
．
所以，
k??
1
．
2
双曲线
G
的渐近线的方程为：
y??
1
x
．
2
22
（2）由（1）可设双曲线
G
的方程为：
x?4y? m
．
把直线
l
的方程
y?
1
?
x?4< br>?
代入双曲线方程，整理得
3x
2
?8x?16?4m?0
．
4
则
x
A
?x
B
?
816?4m
（＊）
, x
A
x
B
??
33
2
∵
PA?PB?P C
，
P,A,B,C
共线且
P
在线段
AB
上，
∴
?
x
P
?x
A
??
x
B?x
P
?
?
?
x
P
?x
C
?
，
2
第 24 页 共 65 页

< p>
即：
?
x
B
?
4
??
?
4< br>?x
A
?
?
16
，整理得：
4
?
x
A
?x
B
?
?x
A
x
B
?32? 0

将（＊）代入上式可解得：
m?28
．
x
2
y
2
??1
．
所以，双曲线的方程为
287
x
2
y
2
?
2
?1a?27
．下 面我们来求出
S
中垂直
（3）由题可设椭圆
S
的方程为：
2 8
a
于
l
的平行弦中点的轨迹．
设弦的两个端点分别为
M
?
x
1
,y
1
?
,N
?
x
2
,y
2
?
，
MN
的中点为
P
?
x
0
,y
0
?
，则
??
?
x
1
2
y
1
2
?
2
?1
?
?
28
a
．
?
22
?
x
2
?
y
2
?1
?
?
28
a
2
两式作差得：
?
x
1
?x
2
??
x
1
?x
2
??
y
1
?y
2
??
y
1
?y< br>2
?
28
?
a
2
?0

由于
y
1
?y
2
??4
，
x
1
?x
2
?2x
0
,y
1
?y
2
?2y
0

x
1
?x
2
所以，
x
0
4y
0
??0
，
28
a
2
x4y
??0
截在椭圆S内的部分．
2 8
a
2
所以，垂直于
l
的平行弦中点的轨迹为直线
a
2
1
?
．所以，
又由题，这个轨迹恰好是
G
的渐近线截在
S
内的部分，所以，
1122
x
2
y
2
? ?1
．
a?56
，椭圆S的方程为：
2856
2
第 25 页 共 65 页

点评：解决直线与圆锥曲线的问 题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为
横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题 的手段；有关弦中点的问题，常常用
到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问 题的常用工具）．

【例6】 设抛物线过定点
A
?
?1,0?
，且以直线
x?1
为准线．
（1）求抛物线顶点的轨迹
C
的方程；
（2）若直线
l
与 轨迹
C
交于不同的两点
M,N
，且线段
MN
恰被直线
x??
设弦
MN
的垂直平分线的方程为
y?kx?m
，试求
m
的取值范围．
解：（1）设抛物线的顶点为
G
?
x,y?
，则其焦点为
F
?
2x?1,y
?
．由抛物线的定< br>1
平分，
2
义可知：
AF?点A到直线x?1的距离＝2
．
所以，
4x
2
?y
2
?2
．

y
2
?1

?
x?1
?
．
所 以，抛物线顶点
G
的轨迹
C
的方程为：
x?
4
2< br> （2）因为
m
是弦
MN
的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由
MN
所唯一确定．所
以，要求
m
的取值范围，还应该从直线
l与轨迹
C
相交入手．
显然，直线
l
与坐标轴不可能平行，所以 ，设直线
l
的方程为
l:y??
圆方程得：
1
x?b，代入椭
k
?
4k
2
?1
?
2
2bx
?b
2
?4?0

??
x?
2
k
?
k
?
第 26 页 共 65 页

由于
l
与轨迹
C
交于不同的两点
M,N
，所以，
?
4k
2
?1
?
2
4b
2
222
??
2
?4
?
b?4?0
，即：
4k?kb?1?0
?
k?0
?
．（＊）
??
?
2
k
?
k
?
又线段
MN
恰被直线
x??
2bk
1
?
1
?
?2?< br>平分，所以，
x
M
?x
N
?
?
?
?
．
4k
2
?1
2
?
2
?

4k
2
?1
所以，
bk?
．
?2
33
?k?
?
k?0
?
．
22
代入（＊）可解得：
?
下面，只需找到
m
与
k
的关系，即可求出
m
的取值范围．由于
y?kx?m
为弦
MN
的
垂直平分线，故可考虑弦
MN
的中点
P
?
? ,y
0
?
．
?
1
?
2
?
?114k
2
?1
11
?b????2k
．
在
l:y??x?b
中，令
x??
，可解得：
y
0
?
2k2k2k
k2
将点
P
?
?
3k
?
1< br>?
,?2k
?
代入
y?kx?m
，可得：
m??．
2
?
2
?
3333
?m?且m?0
． < br>44
所以，
?
从以上解题过程来看，求
m
的取值范围，主要有 两个关键步骤：一是寻求
m
与其它参
数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式． 从这两点出发，我们可以得到下面的另
一种解法：
解法二．设弦
MN
的中点 为
P
?
?,y
0
?
，则由点
M,N
为椭圆 上的点，可知：
?
1
?
2
?
?
22
?< br>?
4x
M
?y
M
?4
．
?
22< br>?
?
4x
N
?y
N
?4
第 27 页 共 65 页

两式相减得：
4
?x
M
?x
N
??
x
M
?x
N
?
?
?
y
M
?y
N
??
y
M?y
N
?
?
0

又由于
x
M
?x
N
?2?
?
?
y
M
?y
N
1
?
1
?
??1, y?y?2y, ＝?
，代入上式得：
MN0
?
2x?xk
??
MN
k??
y
0
．
2
B
又点
P
?
?,y
0
?
在弦
MN
的垂直平分线上，所
以，
y
0
??
?
1
?
2
?
?
Ｎ
1
k?m
．
2
13
k?y
0
．
24
Ｐ
Ｍ
所以，
m?y
0
?
B＇
由点
P
?
?,y
0
?
在线段BB’上（B’、B为直线
?
1
?2
?
?
1
x??
与椭圆的交点，如图），所以，
yB'
?y
0
?y
B
．
2
也即：
?3?y
0
?3
．
所以，
?
3333
?m?且m?0

44
点评：解 决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨
论二次项系数和判别式，有时 借助图形的几何性质更为方便．
涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须 以直线与圆锥曲
线相交为前提，否则不宜用此法．
从构造不等式的角度来说，“将直线
l
的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与
“弦
MN
的中点
P
?
?,y
0
?
在椭圆内”是等价的．
?
1
?
2
?
?
【例7】 设抛物线
y2
?
2
px
(
p?
0)
的焦点为
F< br>，经过点
F
的直线与抛物线交
第 28 页 共 65 页

于
A
、
B
两点．又
M
是 其准线上一点．试证：直线
MA
、
MF
、
MB
的斜率成等差 数列．

证明 依题意直线
MA
、
MB
、
M F
的斜率显然存在，并分别设为
k
1
，
k
2
，k
3

点
A
、
B
、
M
的坐标 分别为
A
（
x
1
，
y
1
），
B< br>（
x
2
，
y
2
），
M
（
?
由“
AB
过点
F
（
p
，0）”得
2
p
，
m
）

2
l
AB
：
x?ty?
p

2
将上式代入抛物线
y
2
?
2px
中得：
y
2
?2pty?p
2
?0

可知
y
1
?
y
2
??p
2

又依“< br>y
1
2
?2px
1
及
y
2
2
?2px
2
”可知
2
p
y
1
p
1x
1
????(y
1
2
?p
2
)
< br>22p22p
2
p
y
2
pp
4
pp
2
2
x
2
??????(y?p)

1
22p2< br>2py
1
2
2
2y
1
2
因此
k< br>1
?k
2
?
y
1
?my
2
?m
?
pp
x
1
?x
2
?
22
?
2p
2
(y
1
?m)
p(y
1
2
?p
2
)
?
p
2
2y
1
(??m)y
1
2
p(y
1
2
?p
2
)
??
2m

p
而
k
3
?
0?mm
??

p p
p
?(?)
22
故
k
1
?k
2
?2k
3

即直线
MA
、
MF
、
MB
的斜率成等差数列．
【例8】 已知
a
=(x,0)，
b
=(1，y)
(a?3 b)?(a?3b)

(1)求点P(x，y)的轨迹C的方程；
(2)若直线l
：y=kx+m(km≠0)与曲线C交于A、B两端，D(0，－1),且有|AD|=|BD |，
试求m的取值范围。
解：（1）
a?3b?(x,0)?3(1,y)?(x?3,3y)

a?3b?(x,0)?3(1,y)?(x?3,?3y)

第 29 页 共 65 页

∵
(a?3b)?(a?3b)
∴
(a?3b)?(a?3b)
=0
x
2
?y
2
?1
∴
(x?3)(x?3)?3y?(?3y)?0
得
3
x
2
∴P点的轨迹方程为
?y
2
?1

3
?
y?kx?m
?
（2）考虑方程组
?
x
2
消去y，得(1－3k
2
)x
2
－6kmx－3m
2
－3=0(*)
2
?
?y?1
?
3
显然1－3k
2
≠0 △=（6km）
2
－4(－3m
2
－3)=12(m
2
+1 )－3k
2
>0
设
x
1
,
x
2
为方程*的两根，则
x
1
?x
2
?
6km

1?3k
2
?x
0
?
x
1
?x
2
3kmm
?y?kx?m?

00
2
1?3k< br>2
1?3k
2
3kmm
，)
1?3k
2
1 ?3k
2
m13km
?(?)(x?)

k
1?3k
2
1?3k
2
故AB中点M的坐标为(
∴线段AB的垂直平分线方程为：< br>y?
将D(0，－1)坐标代入，化简得：4m=3k
2
－1
22< br>?
?
m?1?3k?0
故m、k满足
?
，消去k
2< br>得：m
2
－4m>0
2
?
?
4m?3k?1
解得：m<0或m>4
又∵4m=3k
2
－1>－1 ∴m>－
故m
?(?,0)?(4,??)
.


【直线与圆锥曲线练习】
一、选择题
x
2
1．斜率为1的直线l 与椭圆+y
2
=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )
4
1

4
1
4
第 30 页 共 65 页

A.2






D.
B.
810

5
45

5
C.
410

5
2．抛物线y=ax
2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x
1
,x
2
,
直线与x轴交点的横坐标是x
3
,则恒有( )
A.x
3
=x
1
+x
2
C.x
1
+x
2
+x
3
=0
二、填空题
3．已知两点M(1，
②x
2
+y
2
=3,③
__ _______.
4．正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y
2
=x上，则正方形
ABCD的面积为_________.
5．在抛物线y
2
=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是
_________ .
三、解答题
6．已知抛物线y
2
=2px(p＞0),过动点M(a, 0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的
两点A、B，且|AB|≤2p.
(1)求a的取值范围.
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，
求△NAB面积的最大值.
7．已知中心在原点，顶点A
1
、A
2
在x轴上，离心率
e=
21
的双曲线过点P(6，6).
3
N
o
F
B
x
y
A
< br>B.x
1
x
2
=x
1
x
3
+x2
x
3

D.x
1
x
2
+x
2
x
3
+x
3
x
1
=0
55
)、N(－4，－)，给出下列曲线方程：①4x+2y－1=0,
44
x
2
2
x
2
+y=1,④－y
2
=1,在曲线上 存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是
2
2
(1)求双曲线方程. (2)动直线l经过△A
1
PA
2
的重心G，与双曲线交于不同的两点< br>M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论.
8．已知双曲线C的两条渐 近线都过原点，且都以点A(
2
，0)为圆心，1为半径的圆
相切，双曲线的一个顶点 A
1
与A点关于直线y=x对称.
第 31 页 共 65 页

(1)求双曲线C的方程.
(2)设直线l过点A，斜率为k,当 0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直
线l的距离为
2
，试求k的值及 此时B点的坐标.

直线与圆锥曲线参考答案
410
4?5?t
2
一、1.解析：弦长|AB|=
2?
≤.
5
5
答案：C
?
kbb
?
y?ax
2
2.解析：解方程组
?,得ax
2
－kx－b=0,可知x
1
+x
2
=,x< br>1
x
2
=－,x
3
=－,代入验
aak
?< br>?
y?kx?b
证即可.
答案：B
二、3.解析：点P在线段MN 的垂直平分线上，判断MN的垂直平分线于所给曲线是
否存在交点.
答案：②③④
4.解析：设C
、
D所在直线方程为y=x+b,代入y
2
=x,利用弦长公 式可求出|CD|的长，利
用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的 值，再代入求出|CD|的长.
答案：18或50
5.解析：设所求直线与y
2< br>=16x相交于点A
、
B，且A(x
1
,y
1
),B (x
2
,y
2
),代入抛物线方程得
y
1
2
=16x
1
,y
2
2
=16x
2
,两式相减得， (y
1
+y
2
）(y
1
－y
2
)=16( x
1
－x
2
).
即
y
1
?y
2
16
??
k
AB
=8.
x
1
?x
2
y
1
?y
2
故所求直线方程为y=8x－15.
答案：8x－y－15=0
三、6.解：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线 方程得(x－a)
2
=2px,即x
2
－
2(a+p)x+a
2
=0
∴|AB|=
2?4(a?p)
2
?4a
2≤2p.∴4ap+2p
2
≤p
2
,即4ap≤－p
2

又∵p＞0,∴a≤－
p
.
4
(2)设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)，AB的中点 C(x,y),
第 32 页 共 65 页

< br>由(1)知，y
1
=x
1
－a,y
2
=x
2
－a,x
1
+x
2
=2a+2p,
则有x=
x< br>1
?x
2
y?y
2
x
1
?x
2?2a
?a?p,y?
1
?
=p.
222
∴线段AB 的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）
点N到AB的距 离为
从而S
△
NAB
=
|a?2p?a|
2
?2p

1
?2?4(a?p)
2
?4a
2
?2p?2p 2ap?p
2

2
p
时，S有最大值为
2
p
2
.
4当a有最大值－
x
2
y
2
6
2
6
2< br>a
2
?b
2
21
2
7.解：(1)如图，设双曲线方 程为
2
?
2
=1.由已知得
2
?
2
?1, e?
,解
?
2
3
ab
aba
得a
2
=9,b
2
=12.

x
2
y
2
所以所求双曲线方程为=1.
?
912
(2)P、A
1
、A
2
的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－ 3，0），
∴其重心G的坐标为(2，2）
假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN ，设M(x
1
,y
1
)，N(x
2
,y
2
).则有
?
12x
1
2
?9y
1
2
?1 08
?
4
y
1
?y
2
124
?
1 2x
2
2
?9y
2
2
?108
，∴k=
???
l
?
3
x?x93
12
?
x
1?x
2
?4
?
y?y?4
2
?
1
∴l 的方程为y=
4
(x－2)+2,
3
?
12x
2
?9y
2
?108
?
由
?
,消去y,整理得x
2
－4x+28=0.
4
?
y?(x?2)
3
?
∵
Δ
=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在.
8.解：(1)设双曲线的渐近线 为y=kx,由d=
|2k|
k?1
2
=1,解得k=±1.
第 33 页 共 65 页

即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，
2
).
∴a=
2
=b,所求双曲线C的方程为x
2
－y
2
=2.
(2)设直线l：y=k(x－
2
)(0＜k＜1
)
,依题 意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的
距离为
2
.
设直线l′：y= kx+m,应有
|2k?m|
k?1
2
?2
,化简得m
2< br>+2
2
km=2.
②
把l′代入双曲线方程得(k
2
－1)x
2
+2mkx+m
2
－2=0,
由
Δ
=4m
2
k
2
－4(k
2
－1)(m
2< br>－2)=0.
可得m
2
+2k
2
=2 ③
②、③两式相减得k=
?mk
k?1
2
2
m,代入③得m< br>2
=
2
1025
,解设m=,k=,此时x=
55
5
?22
,y=
10
.故B(2
2
,
10
) .
直线与圆锥曲线
【复习要点】
直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多 以高档题、压轴题出现，主要涉
及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出 考查了数形结
合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问
题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.
1.直线与圆锥曲线有无 公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程
组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题， 此时要注意用好分类讨论和数形结合
的思想方法.
2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问 题，常用“韦达定理法”设而不求计算
弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法” 设而不求，将弦所在
直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件 ，
寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.

第 34 页 共 65 页

【例题】
【例9】
已知椭 圆的中心在坐标原点
O
，焦点在坐标轴上，直线
y
=
x
+1
10
，求椭圆方程.
2
与椭圆交于
P
和
Q
，且
OP
⊥
OQ
，|
PQ
|=
解：设椭圆方程为
mx
2
+
ny
2
=1(
m
＞0,
n
＞0)，
P
(
x
1
,
y
1
),
Q
(
x
2
,
y
2
)
由
?
?
?
y?x?1
得(
m
+
n
)
x
2
+2
nx
+
n
－1=0, 22
?
?
mx?ny?1
Δ
=4
n
2
－4(
m
+
n
)(
n
－1)＞0,即
m
+
n
－
mn
＞0,
由
OP
⊥
OQ
,所以
x
1
x
2
+
y
1
y
2=0,即2
x
1
x
2
+(
x
1
+x
2
)+1=0,
∴

又2
2(n?1)
2 n
?
+1=0,∴
m
+
n
=2
m?nm?n

①
4(m?n?mn)
10
2
?(
)
,
m?n2
3

4
将
m
+
n
=2, 代入得
m
·
n
=




②

由①、②式得
m
=
3
131
,
n
=
或
m
=
,
n
=
222
2
331
x
2
故椭圆方程为
+
y
2
=1或
x
2
+
y
2
=1.
222
2

【例10】
如图所示，抛物线
y
2< br>=4
x
的顶点为
O
，点
A
的坐标为(5，0)，倾斜角为
?
的直线
l
与线段
OA
相交(不经过点
O
或点
A
)且
4
交抛物线于
M
、
N两点，求△
AMN
面积最大时直线
l
的方程，
并求△
A MN
的最大面积.
解：由题意，可设
l
的方程为
y
=x
+
m
,－5＜
m
＜0.
由方程组
?
?
?
y?x?m
,消去
y
,得
x
2
+( 2
m
－4)
x
+
m
2
=0……………①
2
?
?
y?4x
第 35 页 共 65 页

∵直线
l
与抛物线有两个不同交点
M
、< br>N
，
∴方程①的判别式
Δ
=(2
m
－4)
2
－4
m
2
=16(1－
m
)＞0,
解得
m
＜1,又－5＜
m
＜0,∴
m
的范围为(－5，0)
设
M
(
x
1
,
y
1
),
N
(
x
2
,
y
2
)则
x
1
+x
2
=4－2
m
，
x
1
·
x
2
=
m
2
,
∴|
MN
|=4
2(1?m)
.
点
A
到 直线
l
的距离为
d
=
5?m
2
.
∴S
△
=2(5+
m
)
1?m
,从而
S
△
2
=4(1－
m
)(5+
m
)
2
=2(2－2
m
)·(5+
m
)(5+
m
)≤2(2?2m?5?m?5?m
3
)=128.
3
∴
S
△
≤8
2
,当且仅当2－2
m
=5+
m
,即
m
=－1时取等号.
故直线
l
的方程为
y
=
x< br>－1，△
AMN
的最大面积为8
2
.
【例11】
已知双曲线
C
：2
x
2
－
y
2
=2与点< br>P
(1，2)。(1)求过
P
(1，2)点的
直线
l
的斜率取值范围，使
l
与
C
分别有一个交点，两个交点，没有交点。(2)若
Q
(1，1)，试判断以
Q
为中点的弦是否存在.
解：(1)当直 线
l
的斜率不存在时，
l
的方程为
x
=1,
与曲线
C
有一个交点.
当
l
的斜率存在时，设直线
l
的方程为
y
－2=
k
(
x
－1),
代入
C
的方程，并整理得
(2－
k
2
)
x
2
+2(
k
2
－2
k
)
x
－< br>k
2
+4
k
－6=0………………(
*
)
(ⅰ)当2－
k
2
=0,即
k
=±
2
时，方程(< br>*
)有一个根，
l
与
C
有一个交点
(ⅱ)当2－
k
2
≠0,即
k
≠±
2
时
Δ
=［2(
k
2
－2
k
)］
2
－ 4(2－
k
2
)(－
k
2
+4
k
－6)= 16(3－2
k
)
①当
Δ
=0,即3－2
k
=0 ,
k
=
3
时，方程(
*
)有一个实根，
l
与
C
有一个交点.
2
第 36 页 共 65 页

②当
Δ
＞0,即
k
＜
33
,又
k
≠±
2
,故当
k
＜－
2
或－2
＜
k
＜
2
或
2
＜
k
＜时，
22
方程(
*
)有两不等实根，
l
与
C< br>有两个交点.
③当
Δ
＜0，即
k
＞
3
时， 方程(
*
)无解，
l
与
C
无交点.
2
综 上知：当
k
=±
2
,或
k
=
当
2
＜
k
＜
当
k
＞
3
，或
k
不存在时 ，
l
与
C
只有一个交点；
2
3
,或－
2
＜
k
＜
2
,或
k
＜－
2
时，l
与
C
有两个交点；
2
3
时，
l
与
C
没有交点.
2
(2)假设以
Q
为中点的弦存在，设为
AB
，且
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2,
y
2
)，则2
x
1
2
－
y
1
2
=2,2
x
2
2
－
y
2
2< br>=2两式相减得：2(
x
1
－
x
2
)(
x< br>1
+
x
2
)=(
y
1
－
y
2
)(
y
1
+
y
2
)
又∵
x< br>1
+
x
2
=2,
y
1
+
y
2
=2
∴2(
x
1
－
x
2
)=
y
1
－
y
1

即
k
AB
=
y
1
?y
2
=2 < br>x
1
?x
2
但渐近线斜率为±
2
,结合图形知直线< br>AB
与
C
无交点，所以假设不正确，即以
Q
为中点的弦不存在 .
【例12】
如图，已知某椭圆的焦点是
F
1
(－4，0)、< br>F
2
(4，0)，过点
F
2
并
垂直于
x轴的直线与椭圆的一个交点为
B
，且
y
|
F
1
B
|+|
F
2
B
|=10，椭圆上不同的两点
A
(
x
1
,
y
1
),
C
(
x
2
,
y
2
)满足条
件：|
F
2
A
|、|
F
2
B
|、|
F
2
C
|成等差数列 .
(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦
AC
中点的横坐标；
(3)设弦
AC
的垂直平分线的方程为
y
=
kx
+
m
，
求
m
的取值范围.
解：(1)由椭圆定义及条件知，2a
=|
F
1
B
|+|
F
2
B
|=10,得
a
=5,又
c
=4,所以
b
=
a2
?c
2
=3.
F
1
o
A
B
C
F
2
B'
x
第 37 页 共 65 页

x
2
y
2
故椭圆方程为
=1.
?
259
(2)由点
B
(4,
y
B
)在椭 圆上，得|
F
2
B
|=|
y
B
|=
为9
25
.因为椭圆右准线方程为
x
=,离心率
4
544
25
4
25
，根据椭圆定义，有|
F
2
A
|=(
－
x
1
),|
F
2
C
|= (
－
x
2
)，
55
4
5
4
由|
F
2
A
|、|
F
2
B
|、|
F< br>2
C
|成等差数列，得
4
25
4
25
9< br>(
－
x
1
)+(
－
x
2
)=2×, 由此得出：
x
1
+
x
2
=8.
5
45
4
5
设弦
AC
的中点为
P
(
x0
,
y
0
),则
x
0
=
x
1
?x
2
=4.
2
(3)解法一：由
A
(
x
1
,
y
1
),
C
(
x
2
,
y
2
)在椭圆上.
22
?
?
9x
1
?25y
1
?9?25
得
?
2

2?
?
9x
2
?25y
2
?9?25

①
②
①－②得9(
x
1
2
－
x
2
2
)+25(
y
1
2
－
y
2
2
)=0,
即9×
(
将
1
)=0
k
x
1
?x
2
y?y
2
y?y
2
)?25(< br>1
)
?
(
1
)
=0(
x
1
≠
x
2
)
22x
1
?x
2
x
1
?x
2
y?y
2
y?y
2
1
?x
0
?4,
1
?y
0
,
1
??
(
k
≠0)代入上式，得9×4+25
y
0
(－
22x
1?x
2
k
(
k
≠0)
即
k
=
25
y
0
(当
k
=0时也成立).
36
由点< br>P
(4，
y
0
)在弦
AC
的垂直平分线上，得
y
0
=4
k
+
m
,
所以
m
=
y
0
－4
k
=
y
0
－
16
25
y
0
=－
y
0
.
9
9
由 点
P
(4，
y
0
)在线段
BB
′(
B′与
B
关于
x
轴对称)的内部，
得－
991616< br>＜
y
0
＜,所以－
＜
m
＜
.
55
55
解法二：因为弦
AC
的中点为
P
(4,
y0
)，所以直线
AC
的方程为
第 38 页 共 65 页

y
－
y
0
=－(
x
－4 )(
k
≠0)

1
k

③

x
2
y
2
将③代入椭圆方程
=1,得
?
259
(9
k
2
+25)
x
2
－50(
k y
0
+4)
x
+25(
ky
0
+4)
2< br>－25×9
k
2
=0
所以
x
1
+
x
2
=
50(k
0
?4)
9k
2
?25< br>=8,解得
k
=
25
y
0
.(当
k
=0时也成立)
36
(以下同解法一).
【例13】 已知双曲线G的中心在原点 ，它的渐近线与圆
x
2
?y
2
?10x?20?0
相切．过 点
P
?
?4,0
?
作斜率为
1
的直线
l< br>，使得
l
和
G
交于
4
2
A,B
两点 ，和
y
轴交于点
C
，并且点
P
在线段
AB
上，又满足
PA?PB?PC
．
（1）求双曲线
G
的渐近线的方程；
（2）求双曲线
G
的方程；
（3）椭圆
S
的中心在原点， 它的短轴是
G
的实轴．如果
S
中垂直于
l
的平行弦的中点的轨迹恰好是
G
的渐近线截在
S
内的部分，求椭圆
S
的方程．
解：（1）设双曲线
G
的渐近线的方程为：
y?kx
，
则由渐近线与圆
x?y?10x?20?0
相切可得：
22
5kk?1
2
?5
．
所以，
k??
1
．
2
1
x
．
2
22
双曲线
G
的渐 近线的方程为：
y??
（2）由（1）可设双曲线
G
的方程为：
x? 4y?m
．
第 39 页 共 65 页

把直线
l
的方程
y?
1
?
x?4
?代入双曲线方程，整理得
3x
2
?8x?16?4m?0
．
4
则
x
A
?x
B
?
816?4m
（＊）
, x
A
x
B
??
33
2
∵
PA?PB?P C
，
P,A,B,C
共线且
P
在线段
AB
上，
∴
?
x
P
?x
A
??
x
B?x
P
?
?
?
x
P
?x
C
?
，
2
即：
?
x
B
?
4
???
4
?x
A
?
?
16
，整理得：
4< br>?
x
A
?x
B
?
?x
A
x
B
?32?0

将（＊）代入上式可解得：
m?28
．
x
2
y
2
??1
．
所以，双曲线的方程为
287
x
2
y
2
?
2
?1a?27
．下 面我们来求出
S
中垂直
（3）由题可设椭圆
S
的方程为：
2 8
a
于
l
的平行弦中点的轨迹．
设弦的两个端点分别为
M
?
x
1
,y
1
?
,N
?
x
2
,y
2
?
，
MN
的中点为
P
?
x
0
,y
0
?
，则
??
?
x
1
2
y
1
2
?
2
?1
?
?
28
a
．
?
22
?
x
2
?
y
2
?1
?
?
28
a
2
两式作差得：
?
x
1
?x
2
??
x
1
?x
2
??
y
1
?y
2
??
y
1
?y< br>2
?
28
?
a
2
?0

y
1
?y
2
??4
，
x
1
?x
2
? 2x
0
,y
1
?y
2
?2y
0

由于
x
1
?x
2
所以，
x
0
4y
0
??0
，
28
a
2
第 40 页 共 65 页

所以，垂直于
l
的平行弦中点的轨迹为直线
x4y
??0
截在椭圆S内的部分．
28
a
2
a
21
?
．所以，
又由题，这个轨迹恰好是
G
的渐近线截在
S
内的部分，所以，
1122
x
2
y
2
??1．
a?56
，椭圆S的方程为：
2856
2
点评：解决直线与 圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为
横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常 用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用
到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线 与圆锥曲线问题的常用工具）．

【例14】 设抛物线过定点
A
?
?1,0
?
，且以直线
x?1
为准线．
（1）求抛物线顶点的轨迹
C
的方程；
（2）若直线
l
与 轨迹
C
交于不同的两点
M,N
，且线段
MN
恰被直线
x??
设弦
MN
的垂直平分线的方程为
y?kx?m
，试求
m
的取值范围．
解：（1）设抛物线的顶点为
G
?
x,y?
，则其焦点为
F
?
2x?1,y
?
．由抛物线的定< br>1
平分，
2
义可知：
AF?点A到直线x?1的距离＝2
．
所以，
4x
2
?y
2
?2
．

y
2
?1

?
x?1
?
．
所 以，抛物线顶点
G
的轨迹
C
的方程为：
x?
4
2< br> （2）因为
m
是弦
MN
的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由
MN
所唯一确定．所
以，要求
m
的取值范围，还应该从直线
l与轨迹
C
相交入手．
第 41 页 共 65 页

显然，直线
l
与坐标轴不可能平行，所以，设直线
l
的方程为
l:y??
圆方程得：
1
x?b
，代入椭k
?
4k
2
?1
?
2
2bx
?b2
?4?0

??
x?
2
k
?
k
?
由于
l< br>与轨迹
C
交于不同的两点
M,N
，所以，
?
4k2
?1
?
2
4b
2
222
??
2?4
?
b?4?0
，即：
4k?kb?1?0
?
k?0
?
．（＊）
??
?
2
k
?
k
?
又线段
MN
恰被直线
x??
2bk
1
?
1
?
?2?< br>平分，所以，
x
M
?x
N
?
?
?
?
．
4k
2
?1
2
?
2
?

4k
2
?1
所以，
bk?
．
?2
33
?k?
?
k?0
?
．
22
代入（＊）可解得：
?
下面，只需找到
m
与
k
的关系，即可求出
m
的取值范围．由于
y?kx?m
为弦
MN
的
垂直平分线，故可考虑弦
MN
的中点
P
?
? ,y
0
?
．
?
1
?
2
?
?114k
2
?1
11
?b????2k
．
在
l:y??x?b
中，令
x??
，可解得：
y
0
?
2k2k2k
k2
将点
P
?
?
3k
?
1< br>?
,?2k
?
代入
y?kx?m
，可得：
m??．
2
?
2
?
3333
?m?且m?0
． < br>44
所以，
?
从以上解题过程来看，求
m
的取值范围，主要有 两个关键步骤：一是寻求
m
与其它参
数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式． 从这两点出发，我们可以得到下面的另
一种解法：
第 42 页 共 65 页

解法二．设弦
MN
的中点为
P
?
?,y
0
?
，则由点
M,N
为椭圆上的点，可知：
?1
?
2
?
?
22
?
?
4x
M
?y
M
?4
．
?
22
?
?
4x
N
?y
N
?4
两式相减得：
4
?
x
M
?x
N
??
x
M
?x
N
?
?
?
y
M
?y
N
??
y
M
?yN
?
?
0

y
M
?y
N
1< br>?
1
?
＝?
，代入上式得：
又由于
x
M?x
N
?2?
?
?
?
??1, y
M
?y
N
?2y
0
,
x
M
?x
N
k
?
2
?
k??
y
0
．
2
B
又点
P
?
?,y
0
?
在弦
MN
的垂直平分线上，所
以，
y
0
??
?
1
?
2
?
?
Ｎ
1
k?m
．
2
13
k?y
0
．
24
Ｐ
Ｍ
所以，
m?y
0
?
B＇
由点
P
?
?,y
0
?
在线段BB’上（B’、B为直线
?
1
?2
?
?
1
x??
与椭圆的交点，如图），所以，
yB'
?y
0
?y
B
．
2
也即：
?3?y
0
?3
．
所以，
?
3333
?m?且m?0

44
点评：解 决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨
论二次项系数和判别式，有时 借助图形的几何性质更为方便．
涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须 以直线与圆锥
曲线相交为前提，否则不宜用此法．
第 43 页 共 65 页

从构造不等式的角度来说，“将直线
l
的方程与椭圆方程联 立所得判别式大于0”与
“弦
MN
的中点
P
?
?,y
0
?
在椭圆内”是等价的．
?
1
?
2
?
?
【例15】 设抛物线
y< br>2
?
2
px
(
p?
0)
的焦点为
F
，经过点
F
的直线与抛物线交
于
A
、
B
两 点．又
M
是其准线上一点．试证：直线
MA
、
MF
、
MB
的斜率成等差数列．

证明 依题意直线
MA
、
MB
、
MF
的斜率显然存在，并分别设为
k
1
，
k
2
，
k
3

点
A
、
B
、
M
的坐标分别为
A
（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），M
（
?
由“
AB
过点
F
（
p
，0）”得
2
p
，
m
）

2
l
AB
：
x?ty?
p

2
将上式代入抛物线
y
2
?
2px
中得：
y
2
?2pty?p
2
?0

可知
y
1
?
y
2
??p
2

又依“< br>y
1
2
?2px
1
及
y
2
2
?2px
2
”可知
2
p
y
1
p
1x
1
????(y
1
2
?p
2
)
< br>22p22p
2
p
y
2
pp
4
pp
x
2
??????(y
1
2
?p
2
)

22
22p2
2py
1
2
2y
1
因此 < br>k
1
?k
2
?
y
1
?my
2
?m

?
pp
x
1
?x
2
?
2 2
?
2p
2
(y
1
?m)
p(y
1
2
?p
2
)
?
p
2
2y
1
(? ?m)
y
1
2
p(y
1
2
?p
2
)
??
2m

p
而
k
3
?
0?mm
??

p p
p
?(?)
22
故
k
1
?k
2
?2k
3

即直线
MA
、
MF
、
MB
的斜率成等差数列．
【例16】 已知
a
=(x,0)，
b
=(1，y)
(a? 3b)?(a?3b)

第 44 页 共 65 页

(1)求点P(x，y)的轨迹C的方程；
(2)若直线
l
：y=kx+m(km≠0)与曲线C交于A、B两端，D(0，－1),且有|AD|=|BD|，
试 求m的取值范围。
解：（1）
a?3b?(x,0)?3(1,y)?(x?3,3y)

a?3b?(x,0)?3(1,y)?(x?3,?3y)

∵
(a?3b)?(a?3b)
∴
(a?3b)?(a?3b)
=0
x
2
?y
2
?1
∴
(x?3)(x?3)?3y?(?3y)?0
得
3
x
2
∴P点的轨迹方程为
?y
2
?1

3
?
y?kx?m
?
（2）考虑方程组
?
x
2
消去y，得(1－3k
2
)x
2
－6kmx－3m
2
－3=0(*)
2
?
?y?1
?
3
显然1－3k
2
≠0 △=（6km）
2
－4(－3m
2
－3)=12(m
2
+1 )－3k
2
>0
设
x
1
,
x
2
为方程*的两根，则
x
1
?x
2
?
6km

2
1?3k
?x
0
?
x
1
?x
2
3kmm
?y?kx?m?

00
22
2
1?3k1?3k
3kmm
，)
22
1?3k1?3k
m13km
?(?)(x?)

22
k
1?3k1?3k
故AB中点M的坐标为(
∴线段AB的垂直平分线方程为 ：
y?
将D(0，－1)坐标代入，化简得：4m=3k
2
－1
2 2
?
?
m?1?3k?0
故m、k满足
?
，消去k
2
得：m
2
－4m>0
2
?
?
4m?3k?1
解得：m<0或m>4
又∵4m=3k
2
－1>－1 ∴m>－
故m
?(?,0)?(4,??)
.
1

4
1
4
第 45 页 共 65 页

【直线与圆锥曲线练习】
一、选择题
x2
1．斜率为1的直线
l
与椭圆+
y
2
=1相交于A
、
B
两点，则|
AB
|的最大值为( )
4
A.2







B.
D.
45

5
810

5
C.
410
5
2．抛物线
y
=
a x
2
与直线
y
=
kx
+
b
(
k< br>≠0)交于
A
、
B
两点，且此两点的横坐标分别为
x
1
,
x
2
,直线与
x
轴交点的横坐标是
x
3
,则恒有( )
A.
x
3
=
x
1
+
x
2


B.
x
1
x
2
=
x
1
x
3
+
x
2
x
3

C.
x
1
+
x
2
+
x
3
=0
D.
x
1
x
2
+
x
2
x
3
+
x
3
x
1
=0
二、填空题
3．已知两点
M
(1，
22

55
)、
N
(－4，－)，给出下列曲线方程：①4
x
+2
y
－1=0,
44
x
2
x
2
2
②
x
+
y
=3,③+
y
=1,④
－
y
2
=1,在曲线上存 在点
P
满足|
MP
|=|
NP
|的所有曲线方
2< br>2
程是_________.
4．正方形
ABCD
的边
AB
在直线
y
=
x
+4上，
C
、D两点在抛物线
y
2
=
x
上，则正方
形
ABCD
的面积为___ ______.
5．在抛物线
y
2
=16
x
内，通过点( 2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是
_________.
三、解答题
6．已知抛物线
y
2
=2
px
(
p
＞0),过动点
M
(
a
,0)且斜率为1的
直线
l
与该抛物线交于 不同的两点
A
、
B
，且|
AB
|≤2
p
.
(1)求
a
的取值范围.
(2)若线段
AB
的垂直平分线交
x
轴于点
N
，
o
F
B
N
x
y
A
第 46 页 共 65 页

求△
NAB
面积的最大值.
7．已知中心在原点，顶点
A
1
、
A
2
在
x
轴上，离心率
e
=
6).
(1)求双曲线方程.
(2 )动直线
l
经过△
A
1
PA
2
的重心
G< br>，与双曲线交于不同的两点
M
、
N
，问：是否存
在直线
l
,使
G
平分线段
MN
，证明你的结论.
8．已知双曲 线
C
的两条渐近线都过原点，且都以点
A
(
2
，0)为圆心 ，1为半径
的圆相切，双曲线的一个顶点
A
1
与
A
点关于直 线
y
=
x
对称.
(1)求双曲线
C
的方程. < br>(2)设直线
l
过点
A
，斜率为
k
,当0＜
k
＜1时，双曲线
C
的上支上有且仅有一点
B
到直线
l的距离为
2
，试求
k
的值及此时
B
点的坐标.

直线与圆锥曲线参考答案
410
4?5?t
2
一、1. 解析：弦长|
AB
|=
2?
≤
.
5
5
2 1
的双曲线过点
P
(6，
3
答案：C
?
kbb< br>?
y?ax
2
2.解析：解方程组
?
,得
ax
2
－
kx
－
b
=0,可知
x
1
+
x
2
=,
x
1
x
2
=－,
x
3
=－,
aak
?
?
y?kx?b
代入验证即可.
答案：B
二、3.解析：点
P
在线段
MN
的垂直平分线上 ，判断
MN
的垂直平分线于所给曲线
是否存在交点.
答案：②③④
4.解析：设
C、D
所在直线方程为
y
=
x
+
b
,代入
y
2
=
x
,利用弦长公式可求出|
CD|的
长，利用|
CD
|的长等于两平行直线
y
=
x+4与
y
=
x
+
b
间的距离，求出
b
的值，再代入
求出|
CD
|的长.
答案：18或50
第 47 页 共 65 页

5.解析：设所求直线与
y
2
=16
x
相交于点
A、B
，且
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),代入抛物线方
程得
y
1
2< br>=16
x
1
,
y
2
2
=16
x2
,两式相减得，(
y
1
+
y
2
）(
y
1
－
y
2
)=16(
x
1
－
x
2
).
即
y
1
?y
2
16
?< br>?
k
AB
=8.
x
1
?x
2
y< br>1
?y
2
故所求直线方程为
y
=8
x
－15 .
答案：8
x
－
y
－15=0
三、6.解：(1)设直 线
l
的方程为：
y
=
x
－
a
,代入抛物线 方程得(
x
－
a
)
2
=2
px
,即
x
2
－
2(
a
+
p
)
x
+a
2
=0
∴|
AB
|=
2?4(a?p)
2
?4a
2
≤2
p
.∴4
ap
+2
p
2
≤
p
2
,即4
ap
≤－
p
2

又∵
p
＞0,∴
a
≤－
p
.
4
(2)设
A
(
x
1
,
y
1
)、
B
(
x
2
,
y
2
)，
AB
的中点
C
(
x
,
y
),
由(1)知，
y
1
=
x
1
－
a
,
y
2
=
x
2
－
a
,
x
1
+
x
2
=2
a
+2
p
,
则有
x
=
x
1
?x
2
y?y
2
x
1
?x
2
? 2a
?a?p,y?
1
?
=
p
.
222
∴线段
AB
的垂直平分线的方程为
y
－
p
=－(
x
－
a
－
p
),从而
N
点坐标为(
a
+2
p
,0）

点
N
到
AB
的距离为< br>1
2
|a?2p?a|
2
?2
p

从而S
△
NAB
=
?2?4(a?p)
2
?4a
2
?2p?2p2ap?p
2

当
a
有最大值－
p< br>时，
S
有最大值为
2
p
2
.
4
x
2
y
2
6
2
6
2
a
2
? b
2
21
2
7.解：(1)如图，设双曲线方程为
2
?2
=1.由已知得
2
?
2
?1,e?
,
?3
ab
aba
2
解得
a
2
=9,
b< br>2
=12.

第 48 页 共 65 页

x
2
y
2
所以所求双曲线方程为
=1. < br>?
912
(2)
P
、
A
1
、
A2
的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），
∴其重心
G
的坐标为(2，2）
假设存在直线
l
，使G
(2，2)平分线段
MN
，设
M
(
x
1,
y
1
)，
N
(
x
2
,
y< br>2
).则有
?
12x
1
2
?9y
1
2
?108
?
4
y?y
2
124
?
12 x
2
2
?9y
2
2
?108
?
1
??
，∴
k
l
=
?
3
x
1
?x
2
93
?
x
1
?x
2
?4
?y?y?4
2
?
1
∴
l
的方程为
y
=
4
(
x
－2)+2,
3
?
12x
2< br>?9y
2
?108
?
由
?
4
,消去
y
,整理得
x
2
－4
x
+28=0.
?
y?(x?2)
3
?
∵
Δ
=16－4×28＜0,∴所求直线
l
不存在.
8.解：(1)设双曲线的渐近线为
y
=
kx
,由
d
=
|2k|
k?1
2
=1,解得
k
=±1.
即渐近线为
y
=±
x
,又点
A
关于< br>y
=
x
对称点的坐标为(0，
2
).
∴
a
=
2
=
b
,所求双曲线
C
的方程为
x2
－
y
2
=2.
(2)设直线
l
：
y
=
k
(
x
－
2
)(0＜
k
＜1
)
,依题意
B
点在平行的直线
l
′上，且
l
与
l
′间的
距离为
2
.
设直线
l
′：
y
=
kx
+
m
,应有
②
|2k?m |
k?1
2
?
2
,化简得
m
2
+2
2
k
m=2.
把
l
′代入双曲线方程得(
k
2
－1)
x
2
+2
mkx
+
m
2
－2=0,
由
Δ
=4
m
2
k
2
－4(< br>k
2
－1)(
m
2
－2)=0.
可得
m
2
+2
k
2
=2 ③ ②、③两式相减得
k
=
2
m
,代入③得
m
2< br>=
?mk
k?1
2
2
1025
,解设
m=,
k
=,此时
x
=
55
5
?22
,
y
=
10
.故
B
(2
2
,
10< br>).
第 49 页 共 65 页

直线与圆锥曲线
【复习要点】
直线与圆锥曲线联系在一 起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉
及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问 题、轨迹问题等.突出考查了数形结
合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分 析问题和解决问
题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.
1 .直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程
组成的方程是否有实数解 成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合
的思想方法.
2.当直线与圆锥曲 线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算
弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点 问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在
直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充 分挖掘题目的隐含条件，
寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.

【例题】
【例17】
已知椭圆的中心在坐标原点
O
，焦点在坐标 轴上，直线
y
=
x
+1
10
，求椭圆方程.
2< br>与椭圆交于
P
和
Q
，且
OP
⊥
OQ
，|
PQ
|=
解：设椭圆方程为
mx
2
+
ny2
=1(
m
＞0,
n
＞0)，
P
(
x
1
,
y
1
),
Q
(
x
2
,
y
2
)
由
?
?
?
y?x?1
得(
m
+
n
)
x
2
+2
nx
+< br>n
－1=0,
22
?
?
mx?ny?1
Δ
=4
n
2
－4(
m
+
n
)(
n
－ 1)＞0,即
m
+
n
－
mn
＞0,
由
O P
⊥
OQ
,所以
x
1
x
2
+
y< br>1
y
2
=0,即2
x
1
x
2
+(< br>x
1
+
x
2
)+1=0,
∴

2 (n?1)
2n
?
+1=0,∴
m
+
n
=2
m?nm?n

①
第 50 页 共 65 页

又2
4(m?n?mn)
10
2
?()
,
m?n2
3

4
将
m
+
n
=2,代入得
m
·
n
=




②

由①、②式得
m
=
3
1 31
,
n
=
或
m
=
,
n
= 222
2
331
x
2
故椭圆方程为
+
y
2
=1或
x
2
+
y
2
=1.
222
2

【例18】
如图所示，抛物线
y
2< br>=4
x
的顶点为
O
，点
A
的坐标为(5，0)，倾斜角为
?
的直线
l
与线段
OA
相交(不经过点
O
或点
A
)且
4
交抛物线于
M
、
N两点，求△
AMN
面积最大时直线
l
的方程，
并求△
A MN
的最大面积.
解：由题意，可设
l
的方程为
y
=x
+
m
,－5＜
m
＜0.
由方程组
?
?
?
y?x?m
,消去
y
,得
x
2
+( 2
m
－4)
x
+
m
2
=0……………①
2
?
?
y?4x
∵直线
l
与抛物线有两个不同交点
M
、
N
，
∴方程①的判别式
Δ
=(2
m
－4)
2
－4
m
2
=16(1－
m
)＞0, 解得
m
＜1,又－5＜
m
＜0,∴
m
的范围为(－5， 0)
设
M
(
x
1
,
y
1
),< br>N
(
x
2
,
y
2
)则
x
1
+
x
2
=4－2
m
，
x
1
·x
2
=
m
2
,
∴|
MN
|=4
2(1?m)
.
点
A
到 直线
l
的距离为
d
=
5?m
2
.
∴S
△
=2(5+
m
)
1?m
,从而
S
△
2
=4(1－
m
)(5+
m
)
2
=2(2－2
m
)·(5+
m
)(5+
m
)≤2(2?2m?5?m?5?m
3
)=128.
3
∴
S
△
≤8
2
,当且仅当2－2
m
=5+
m
,即
m
=－1时取等号.
第 51 页 共 65 页

故直线
l
的方程为
y
=
x
－1，△AMN
的最大面积为8
2
.
【例19】
已知双曲线
C
：2
x
2
－
y
2
=2与点
P
( 1，2)。(1)求过
P
(1，2)点的
直线
l
的斜率取值范围，使
l
与
C
分别有一个交点，两个交点，没有交点。(2)若
Q
(1，1)，试判断以
Q
为中点的弦是否存在.
解：(1)当直线
l
的斜率不存在时，
l
的方程为
x
=1,
与曲线
C
有一个交点.
当
l
的斜率存在时，设直线
l
的方程为
y
－2=
k
(
x
－1),
代入
C
的方程，并整理得
(2－
k
2
)
x
2
+2(
k
2
－2
k
)
x
－< br>k
2
+4
k
－6=0………………(
*
)
(ⅰ)当2－
k
2
=0,即
k
=±
2
时，方程(< br>*
)有一个根，
l
与
C
有一个交点
(ⅱ)当2－
k
2
≠0,即
k
≠±
2
时
Δ
=［2(
k
2
－2
k
)］
2
－ 4(2－
k
2
)(－
k
2
+4
k
－6)= 16(3－2
k
)
①当
Δ
=0,即3－2
k
=0 ,
k
=
②当
Δ
＞0,即
k
＜
3
时 ，方程(
*
)有一个实根，
l
与
C
有一个交点.
2
33
,又
k
≠±
2
,故当
k
＜－
2
或－
2
＜
k
＜
2
或
2
＜k
＜
时，
22
方程(
*
)有两不等实根，
l< br>与
C
有两个交点.
③当
Δ
＜0，即
k
＞< br>3
时，方程(
*
)无解，
l
与
C
无交点.
2
3
，或
k
不存在时，
l
与
C
只 有一个交点；
2
综上知：当
k
=±
2
,或
k=
当
2
＜
k
＜
当
k
＞
3,或－
2
＜
k
＜
2
,或
k
＜－
2
时，
l
与
C
有两个交点；
2
3
时，
l
与
C
没有交点.
2
(2)假设以
Q
为中点的弦存在，设为
AB
，且
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2,
y
2
)，则2
x
1
2
－
y
1
2
=2,2
x
2
2
－
y
2
2< br>=2两式相减得：2(
x
1
－
x
2
)(
x< br>1
+
x
2
)=(
y
1
－
y
2
)(
y
1
+
y
2
)
又∵
x< br>1
+
x
2
=2,
y
1
+
y
2
=2
第 52 页 共 65 页

< br>∴2(
x
1
－
x
2
)=
y
1
－
y
1

即
k
AB
=
y
1
?y
2
=2 < br>x
1
?x
2
但渐近线斜率为±
2
,结合图形知直线< br>AB
与
C
无交点，所以假设不正确，即以
Q
为中点的弦不存在 .
【例20】
如图，已知某椭圆的焦点是
F
1
(－4，0)、< br>F
2
(4，0)，过点
F
2
并
垂直于
x轴的直线与椭圆的一个交点为
B
，且
y
|
F
1
B
|+|
F
2
B
|=10，椭圆上不同的两点
A
(
x
1
,
y
1
),
C
(
x
2
,
y
2
)满足条
件：|
F
2
A
|、|
F
2
B
|、|
F
2
C
|成等差数列 .
(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦
AC
中点的横坐标；
(3)设弦
AC
的垂直平分线的方程为
y
=
kx
+
m
，
求
m
的取值范围.
解：(1)由椭圆定义及条件知，2a
=|
F
1
B
|+|
F
2
B
|=10,得
a
=5,又
c
=4,所以
b
=
a2
?c
2
=3.
F
1
o
A
B
C
F
2
B'
x
x
2
y
2
?故椭圆方程为
=1.
259
(2)由点
B
(4,
y< br>B
)在椭圆上，得|
F
2
B
|=|
y
B|=
为
9
25
.因为椭圆右准线方程为
x
=,离心率< br>4
5
44
25
4
25
，根据椭圆定义，有|
F
2
A
|=(
－
x
1
),|
F
2
C
|=(
－
x
2
)，
55
4
5
4
由|
F
2
A
|、|
F
2
B|、|
F
2
C
|成等差数列，得
4
25
4< br>25
9
(
－
x
1
)+(
－
x
2
)=2×,由此得出：
x
1
+
x
2
=8. < br>5
4
5
4
5
设弦
AC
的中点为
P< br>(
x
0
,
y
0
),则
x
0
=
x
1
?x
2
=4.
2
(3)解法一：由
A
(
x
1
,
y
1
),
C
(x
2
,
y
2
)在椭圆上.
22
?
?
9x
1
?25y
1
?9?25
得
?
2
2
?
?
9x
2
?25y
2
?9? 25

①
②
第 53 页 共 65 页

①－②得9(
x
1
2
－
x
2
2
)+25(
y
1
2
－
y
2
2
)=0,
即9×
(
将
1
)=0
k
x
1
?x
2
y?y
2
y?y
2
)?25(< br>1
)
?
(
1
)
=0(
x
1
≠
x
2
)
22x
1
?x
2
x
1
?x
2
y?y
2
y?y
2
1
?x
0
?4,
1
?y
0
,
1
??
(
k
≠0)代入上式，得9×4+25
y
0
(－
22x
1?x
2
k
(
k
≠0)
即
k
=
25
y
0
(当
k
=0时也成立).
36
由点< br>P
(4，
y
0
)在弦
AC
的垂直平分线上，得
y
0
=4
k
+
m
,
所以
m
=
y
0
－4
k
=
y
0
－
16
25
y
0
=－
y
0
.
9
9
由 点
P
(4，
y
0
)在线段
BB
′(
B′与
B
关于
x
轴对称)的内部，
得－
991616< br>＜
y
0
＜,所以－
＜
m
＜
.
55
55
解法二：因为弦
AC
的中点为
P
(4,
y0
)，所以直线
AC
的方程为
y
－
y
0=－(
x
－4)(
k
≠0)

1
k

③

x
2
y
2
?
将③代入椭圆方程
=1,得
259
(9
k
2
+25)
x
2
－50(
k y
0
+4)
x
+25(
ky
0
+4)
2< br>－25×9
k
2
=0
所以
x
1
+
x
2
=
50(k
0
?4)
9k
2
?25< br>=8,解得
k
=
25
y
0
.(当
k
=0时也成立)
36
(以下同解法一).
【例21】 已知双曲线G的中心在原点 ，它的渐近线与圆
x
2
?y
2
?10x?20?0
相切．过 点
P
?
?4,0
?
作斜率为
1
的直线
l< br>，使得
l
和
G
交于
4
2
A,B
两点 ，和
y
轴交于点
C
，并且点
P
在线段
AB
上，又满足
PA?PB?PC
．
（1）求双曲线
G
的渐近线的方程；
第 54 页 共 65 页

（2）求双曲线
G
的方程；
（3）椭圆
S
的中心在原点，它的短轴是
G
的实轴．如果
S
中垂直于
l
的平行弦的中
点的轨迹恰好是
G
的渐近线截在
S
内的部分， 求椭圆
S
的方程．
解：（1）设双曲线
G
的渐近线的方程为：
y?kx
，
则 由渐近线与圆
x?y?10x?20?0
相切可得：
22
5k
k?1
2
?5
．
所以，
k??
1
．
2
1
x
．
2
22
双曲线
G
的渐 近线的方程为：
y??
（2）由（1）可设双曲线
G
的方程为：
x? 4y?m
．
把直线
l
的方程
y?
1
?
x ?4
?
代入双曲线方程，整理得
3x
2
?8x?16?4m?0．
4
则
x
A
?x
B
?
816?4m
（＊）
, x
A
x
B
??
33
2
∵
PA?PB?P C
，
P,A,B,C
共线且
P
在线段
AB
上，
∴
?
x
P
?x
A
??
x
B?x
P
?
?
?
x
P
?x
C
?
，
2
即：
?
x
B
?
4
???
4
?x
A
?
?
16
，整理得：
4< br>?
x
A
?x
B
?
?x
A
x
B
?32?0

将（＊）代入上式可解得：
m?28
．
x
2
y
2
??1
．
所以，双曲线的方程为
287
第 55 页 共 65 页

x
2
y
2
?
2
?1a? 27
．下面我们来求出
S
中垂直
（3）由题可设椭圆
S
的方 程为：
28
a
于
l
的平行弦中点的轨迹．
设弦的两个端点 分别为
M
?
x
1
,y
1
?
,N
?
x
2
,y
2
?
，
MN
的中点为
P
?
x
0
,y
0
?
，则
??
?< br>x
1
2
y
1
2
?
2
?1
?
?
28
a
．
?
22
?
x
2?
y
2
?1
?
?
28
a
2
两 式作差得：
?
x
1
?x
2
??
x
1
?x
2
??
y
1
?y
2
??
y
1
?y
2
?
28
?
a
2
?0
< br>y
1
?y
2
??4
，
x
1
?x2
?2x
0
,y
1
?y
2
?2y
0< br>
由于
x
1
?x
2
所以，
x
04y
0
??0
，
28
a
2
x4y
??0
截在椭圆S内的部分．
2 8
a
2
所以，垂直于
l
的平行弦中点的轨迹为直线
a
2
1
?
．所以，
又由题，这个轨迹恰好是
G
的渐近线截在
S
内的部分，所以，
1122
x
2
y
2
? ?1
．
a?56
，椭圆S的方程为：
2856
2
点评：解 决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为
横坐标（或纵坐标）之间的关 系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用
到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是 解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）．

【例22】 设抛物线过定点
A
?
?1,0
?
，且以直线
x?1
为准线．
（1）求抛物线顶点的轨迹
C
的方程；
第 56 页 共 65 页

（2）若直线
l
与轨迹
C
交于不同的两点
M,N
，且线段
MN
恰被直线
x??
设弦
MN的垂直平分线的方程为
y?kx?m
，试求
m
的取值范围．

1
平分，
2
解：（1）设抛物线的顶点为
G
?
x, y
?
，则其焦点为
F
?
2x?1,y
?
．由抛物线 的定
义可知：
AF?点A到直线x?1的距离＝2
．
所以，
4x
2
?y
2
?2
．

y
2
?1

?
x?1
?
．
所 以，抛物线顶点
G
的轨迹
C
的方程为：
x?
4
2< br> （2）因为
m
是弦
MN
的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由
MN
所唯一确定．所
以，要求
m
的取值范围，还应该从直线
l与轨迹
C
相交入手．
显然，直线
l
与坐标轴不可能平行，所以 ，设直线
l
的方程为
l:y??
圆方程得：
1
x?b，代入椭
k
?
4k
2
?1
?
2
2bx
2
x??b?4?0

??
2
k
?
k
?
由于
l
与轨迹
C
交于不同的两点
M,N
，所以，
?
4k
2
?1
?
2
4b
2
222
??
2
?4??
?
b?4
?
?0
，即：
4k?kb?1?0
?
k?0
?
．（＊）
2
k
?
k
?
又线段
MN
恰被直线
x??
2bk
1
?
1
?
?2?
平分，所以，x
M
?x
N
?
?
?
?
．
2
4k?1
2
?
2
?

4k
2
?1
所以，
bk?
．
?2
33
?k?
?
k?0
?
．
22
第 57 页 共 65 页
代入（＊）可解得：
?

下面，只需找到
m
与
k
的关系，即可求出
m
的取值范围．由于
y?kx?m
为弦
MN
的
垂直平分线，故可考虑弦
MN
的中点
P
?
?,y
0
?
．
?
1
?
2
?
?< br>114k
2
?1
11
?b????2k
．
在
l:y??x?b
中，令
x??
，可解得：
y
0
?
2k2k2k
k2
将点
P
?
?
3k
?
1
?
,?2k
?
代入
y?kx?m
，可得：
m??< br>．
2
?
2
?
3333
?m?且m?0
．
44
所以，
?
从以上解题过程来看，求
m
的取值范围，主要 有两个关键步骤：一是寻求
m
与其它参
数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式 ．从这两点出发，我们可以得到下面的另
一种解法：
解法二．设弦
MN
的中 点为
P
?
?,y
0
?
，则由点
M,N
为椭 圆上的点，可知：
?
1
?
2
?
?
22
?
?
4x
M
?y
M
?4
．
?
22
?
?
4x
N
?y
N
?4
两式相减得：4
?
x
M
?x
N
??
x
M
? x
N
?
?
?
y
M
?y
N
??y
M
?y
N
?
?
0

又由于
x
M
?x
N
?2?
?
?
y
M
?y
N
1
?
1
?
??1, y?y?2y, ＝?< br>，代入上式得：
MN0
?
2x?xk
??
MN
k??
y
0
．
2
B
Ｎ
?
1
?又点
P
?
?,y
0
?
在弦
MN
的垂直 平分线上，所
?
2
?
以，
y
0
??
1k?m
．
2
Ｐ
Ｍ
第 58 页 共 65 页

B＇

所以，
m?y
0
?
13< br>k?y
0
．
24
1
与椭圆的交点，如图），所以，
2
由点
P
?
?,y
0
?
在线段BB’上（B’、B 为直线
x??
?
1
?
2
?
?
y
B '
?y
0
?y
B
．
也即：
?3?y
0
?3
．
所以，
?
3333
?m?且m?0

44
点评：解 决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨
论二次项系数和判别式，有时 借助图形的几何性质更为方便．
涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须 以直线与圆锥
曲线相交为前提，否则不宜用此法．
从构造不等式的角度来说，“将直线
l
的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与
“弦
MN
的中点
P
?
?,y
0
?
在椭圆内”是等价的．
?
1
?
2
?
?
【例23】 设抛物线
y< br>2
?
2
px
(
p?
0)
的焦点为
F
，经过点
F
的直线与抛物线交
于
A
、
B
两 点．又
M
是其准线上一点．试证：直线
MA
、
MF
、
MB
的斜率成等差数列．

证明 依题意直线
MA
、
MB
、
MF
的斜率显然存在，并分别设为
k
1
，
k
2
，
k
3

点
A
、
B
、
M
的坐标分别为
A
（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），M
（
?
由“
AB
过点
F
（
p
，0）”得
2
p
，
m
）

2
l
AB
：
x?ty?
p

2
将上式代入抛物线
y
2
?
2px
中得：
y
2
?2pty?p
2
?0

可知
y
1
?
y
2
??p
2

第 59 页 共 65 页

又依“
y
1< br>2
?2px
1
及
y
2
2
?2px
2
”可知
2
2
p
y
1
p
1
py
2
pp
4
pp
2
2
2
x
1
????(y
1
?p)

x
2
??????(y?p
2
)

1
22
22p22p
22p2
2py
1
2
2y
1
因此
k
1
?k
2
?
y
1
?my
2
?m

?
pp
x
1
?x
2
?< br>22
?
2p
2
(y
1
?m)
p(y
1
2
?p
2
)
?
p
2
2y
1(??m)
y
1
2
p(y
1
2
?p
2
)
??
2m

p
而
k
3
?
0?mm
??

p p
p
?(?)
22
故
k
1
?k
2
?2k
3

即直线
MA
、
MF
、
MB
的斜率成等差数列．
【例24】 已知
a
=(x,0)，
b
=(1，y)
(a? 3b)?(a?3b)

(1)求点P(x，y)的轨迹C的方程；
(2)若直线< br>l
：y=kx+m(km≠0)与曲线C交于A、B两端，D(0，－1),且有|AD|=|B D|，
试求m的取值范围。
解：（1）
a?3b?(x,0)?3(1,y)?(x?3,3y)

a?3b?(x,0)?3(1,y)?(x?3,?3y)

∵
(a?3b)?(a?3b)
∴
(a?3b)?(a?3b)
=0
x
2
?y
2
?1
∴
(x?3)(x?3)?3y?(?3y)?0
得
3
x
2
∴P点的轨迹方程为
?y
2
?1

3
?
y?kx?m
?
（2）考虑方程组
?
x
2
消去y，得(1－3k
2
)x
2
－6kmx－3m
2
－3=0(*)
2
?
?y?1
?
3
显然1－3k
2
≠0 △=（6km）
2
－4(－3m
2
－3)=12(m
2
+1 )－3k
2
>0
设
x
1
,
x
2
为方程*的两根，则
x
1
?x
2
?
6km

1?3k
2
第 60 页 共 65 页

?x
0
?
x
1
?x
2
3kmm< br>
?y?kx?m?
00
22
2
1?3k1 ?3k
3kmm
，)
22
1?3k1?3k
m13km
?(?)(x?)

22
k
1?3k1?3k
故AB中点M的坐标为(
∴线段AB的垂直平分线方程为 ：
y?
将D(0，－1)坐标代入，化简得：4m=3k
2
－1
2 2
?
?
m?1?3k?0
故m、k满足
?
，消去k
2
得：m
2
－4m>0
2
?
?
4m?3k?1
解得：m<0或m>4
又∵4m=3k
2
－1>－1 ∴m>－
故m
?(?,0)?(4,??)
.
1

4
1
4


【直线与圆锥曲线练习】
一、选择题
x
2
1．斜率为1的直线
l
与椭圆+
y
2
=1相交于
A
、
B
两点，则|
AB
|的最大值为( )
4
A.2







B.
D.
45

5
810

5
C.
410
5
2．抛物线
y
=
a x
2
与直线
y
=
kx
+
b
(
k< br>≠0)交于
A
、
B
两点，且此两点的横坐标分别为
x
1
,
x
2
,直线与
x
轴交点的横坐标是
x
3
,则恒有( )
A.
x
3
=
x
1
+
x
2


B.
x
1
x
2
=
x
1
x
3
+
x
2
x
3

C.
x
1
+
x
2
+
x
3
=0
D.
x
1
x
2
+
x
2
x
3
+
x
3
x
1
=0
二、填空题
3．已知两点
M
(1，

55
)、
N
(－4，－)，给出下列曲线方程：①4
x
+2
y
－1=0,
44
第 61 页 共 65 页

x
2
x
2
2
②
x
+
y
=3,③ +
y
=1,④
－
y
2
=1,在曲线上存在点
P满足|
MP
|=|
NP
|的所有曲线方
2
2
程 是_________.
22
4．正方形
ABCD
的边
AB
在直线
y
=
x
+4上，
C
、D两点在抛物线
y< br>2
=
x
上，则正方
形
ABCD
的面积为______ ___.
5．在抛物线
y
2
=16
x
内，通过点(2，1 )且在此点被平分的弦所在直线的方程是
_________.
三、解答题
6．已 知抛物线
y
2
=2
px
(
p
＞0),过动点
M
(
a
,0)且斜率为1的直线
l
与该抛物线交于
不同的 两点
A
、
B
，且|
AB
|≤2
p
.
(1)求
a
的取值范围.
(2)若线段
AB
的垂直平分线交
x
轴于点
N
，
求△
NAB
面积的最大值.
7．已知中心在原点，顶点
A
1
、
A
2
在
x
轴上，离心
率
e
=
21
的双曲线过点
P
(6，6).
3
o
F
B
N
x
y
A
(1)求双曲线方程.
(2)动直线
l
经过△
A
1
PA
2
的重心
G
，与双曲 线交于不同的两点
M
、
N
，问：是否存
在直线
l
, 使
G
平分线段
MN
，证明你的结论.
8．已知双曲线
C< br>的两条渐近线都过原点，且都以点
A
(
2
，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点
A
1
与
A
点关于直线
y< br>=
x
对称.
(1)求双曲线
C
的方程.
(2)设 直线
l
过点
A
，斜率为
k
,当0＜
k
＜1 时，双曲线
C
的上支上有且仅有一点
B
到直线
l
的距离为< br>2
，试求
k
的值及此时
B
点的坐标.

直线与圆锥曲线参考答案
410
4?5?t
2
一、1.解析：弦长 |
AB
|=
2?
≤
.
5
5
第 62 页 共 65 页

答案：C
?
kb b
?
y?ax
2
2.解析：解方程组
?
,得
ax< br>2
－
kx
－
b
=0,可知
x
1
+< br>x
2
=,
x
1
x
2
=－,
x
3
=－,
aak
?
?
y?kx?b
代入验证即可.
答案：B
二、3.解析：点
P
在线段
MN
的垂直平分线上 ，判断
MN
的垂直平分线于所给曲线
是否存在交点.
答案：②③④
4.解析：设
C、D
所在直线方程为
y
=
x
+
b
,代入
y
2
=
x
,利用弦长公式可求出|
CD|的
长，利用|
CD
|的长等于两平行直线
y
=
x+4与
y
=
x
+
b
间的距离，求出
b
的值，再代入
求出|
CD
|的长.
答案：18或50
5.解析： 设所求直线与
y
2
=16
x
相交于点
A、B
，且< br>A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),代入抛物线方
程得
y1
2
=16
x
1
,
y
2
2
= 16
x
2
,两式相减得，(
y
1
+
y
2< br>）(
y
1
－
y
2
)=16(
x
1< br>－
x
2
).
即
y
1
?y
2
16
?
?
k
AB
=8.
x
1
?x2
y
1
?y
2
故所求直线方程为
y
=8
x
－15.
答案：8
x
－
y
－15=0
三、 6.解：(1)设直线
l
的方程为：
y
=
x
－
a< br>,代入抛物线方程得(
x
－
a
)
2
=2
px
,即
x
2
－
2(
a
+
p
)
x
+
a
2
=0
∴|
AB
|=
2?4( a?p)
2
?4a
2
≤2
p
.∴4
ap
+ 2
p
2
≤
p
2
,即4
ap
≤－
p
2

又∵
p
＞0,∴
a
≤－
p
.
4
(2)设
A
(
x
1
,
y
1)、
B
(
x
2
,
y
2
)，
A B
的中点
C
(
x
,
y
),
由(1)知 ，
y
1
=
x
1
－
a
,
y
2
=
x
2
－
a
,
x
1
+
x
2
=2
a
+2
p
,
则有
x
=
x
1
?x
2
y?y
2
x
1
?x< br>2
?2a
?a?p,y?
1
?
=
p
. 222
∴线段
AB
的垂直平分线的方程为
y
－
p
=－(
x
－
a
－
p
),从而
N
点坐标为 (
a
+2
p
,0）

第 63 页 共 65 页

点
N
到
AB
的距离为
1
2
|a?2p?a|
2
?2
p

从而
S
△
NAB
=
?2?4(a?p)
2
?4a
2
?2p? 2p2ap?p
2

当
a
有最大值－
p
时，
S
有最大值为
2
p
2
.
4
x
2
y
2
6
2
6
2
a
2
?b
221
2
7.解：(1)如图，设双曲线方程为,
a
2
?
b
2
=1.由已知得
a
2
?
b
2
?1,e ?
解得
a
2
=9,
b
2
=12.
所以所求双曲线方程为
x
2
y
2
9
?
12=1.
(2)
P
、
A
1
、
A
2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），
∴其重心
G
的坐标为(2，2）
假设存在直线
l
，使G
(2，2)平分线段
MN
，设
M
(
x
1,
y
1
)，
N
(
x
2
,
y< br>2
).则有
?
12x
22
?
1
?9y1
?108
?
12x
2
?
2
?9y
2
2
?108
?
y
1
?y
2
?
12
?
4
，∴
k
l
=
4

?
?
x
1
?x
2
?4
x
1
?x
2< br>93
3
?
y
1
?y
2
?4
∴
l
的方程为
y
=
4
3
(
x
－2)+2,
?
由
?
12x
2
?9 y
2
?108
?
?
y?
4
3
(x?2)< br>,消去
y
,整理得
x
2
－4
x
+28=0.
?
∵
Δ
=16－4×28＜0,∴所求直线
l
不存在. < br>8.解：(1)设双曲线的渐近线为
y
=
kx
,由
d
=
|2k|
k
2
=1,解得
k
=±1.
?1即渐近线为
y
=±
x
,又点
A
关于
y
=
x
对称点的坐标为(0，
2
).
第 64 页 共 65 页

a
2
?
3

∴
a
=
2
=
b
,所求双曲线
C
的方程为
x
2
－
y
2
=2.
(2)设直线
l
：
y
=k
(
x
－
2
)(0＜
k
＜1
)
,依题意
B
点在平行的直线
l
′上，且
l
与
l< br>′间的
距离为
2
.
设直线
l
′：
y
=
kx
+
m
,应有
②
|2k?m|
k?1
2
?
2
,化简得
m
2
+2
2
k< br>m=2.
把
l
′代入双曲线方程得(
k
2
－1)
x
2
+2
mkx
+
m
2
－2=0, 由
Δ
=4
m
2
k
2
－4(
k
2
－1)(
m
2
－2)=0.
可得
m
2
+2
k
2
=2 ③ ②、③两式相减得
k
=
2
m
,代入③得
m
2< br>=
?mk
k?1
2
2
1025
,解设
m=,
k
=,此时
x
=
55
5
?22
,
y
=
10
.故
B
(2
2
,
10< br>).




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