高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1] (1)

圆锥曲线
1.圆锥曲线的两定义：
第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F< br>1
，F
2
的距离的和等于常数
2a
，
且此常数
2a
一定要大于
F
1
F
2
，当常数等于
F
1
F
2
时，轨迹是线段F
1
F
2
，当常数小于< br>F
1
F
2
时，无
轨迹；双曲线中，与两定点F
1，F
2
的距离的差的绝对值等于常数
2a
，且此常数
2a
一定要小于|F
1
F
2
|，
定义中的“绝对值”与
2a< br>＜|F
1
F
2
|不可忽视。若
2a
＝|F
1
F
2
|，则轨迹是以F
1
，F
2
为端点的两条射< br>线，若
2a
﹥|F
1
F
2
|，则轨迹不存在。若去掉 定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程
(x?6)
2
?y2
?(x?6)
2
?y
2
?8
表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
x
2
y
2
y
2
x
2
（1）椭圆： 焦点在
x
轴上时
2
?
2
?1
（
a?b?0
），焦点在
y
轴上时
2
?
2
＝1（
a?b ?0
）。
abab
22
方程
Ax?By?C
表示椭圆的充要 条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
若
x,y?R
，且
3x
2
?2y
2
?6
，则
x?y
的最大值 是____，
x?y
的最小值是___（答：
5,2
）
22
x
2
y
2
y
2
x
2
（2）双曲线：焦点 在
x
轴上：
2
?
2
=1，焦点在
y
轴上 ：
2
?
2
＝1（
a?0,b?0
）。方程
abab
Ax
2
?By
2
?C
表示双曲线的充要条件是什么？（AB C≠0，且A，B异号）。
如设中心在坐标原点
O
，焦点
F
1、
F
2
在坐标轴上，离心率
e?
则C的方程为_______（ 答：
x
2
?y
2
?6
）
（3）抛物线：开口向右 时
y?2px(p?0)
，开口向左时
y??2px(p?0)
，开口向上时
22
2
的双曲线C过点
P(4,?10)
，
x
2< br>?2py(p?0)
，开口向下时
x
2
??2py(p?0)
。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭 圆：由
x
,
y
22
分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 < br>x
2
y
2
如已知方程
??1
表示焦点在y轴上的椭圆 ，则m的取值范围是__（答：
m?12?m
3
(??,?1)?(1,)
）
2
22
（2）双曲线：由
x
,
y
项系数的正负决定 ，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
提醒：在椭圆中，< br>a
最大，
a?b?c
，在双曲线中，
c
最大，
c?a ?b
。

4.圆锥曲线的几何性质：
222222
x
2
y
2
（1）椭圆（以
2
?
2
?1
（
a?b?0
）为例）：①范围：
?a?x?a,?b?y?b
；②焦点：两
ab
个焦点
(?c,0)
；③对称性：两条对称轴
x?0,y?0
， 一个对称中心（0,0），四个顶点
(?a,0),(0,?b)
，
a
2c
其中长轴长为2
a
，短轴长为2
b
；④准线：两条准线
x??
； ⑤离心率：
e?
，椭圆
?
0?e?1
，
c
a
e
越小，椭圆越圆；
e
越大，椭圆越扁。

如（1）若椭圆
25
xy
10
，则
m
的值是__（答：3或）；
??1
的离心率
e?
3
5
5m
22
（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭 圆长轴的最小值为
__（答：
22
）
x
2
y
2< br>（2）双曲线（以：①范围：
x??a
或
x?a,y?R
；②焦点：< br>??1
（
a?0,b?0
）为例）
a
2
b
2
两个焦点
(?c,0)
；③对称性：两条对称轴
x?0,y?0
，一 个对称中心（0,0），两个顶点
(?a,0)
，其
中实轴长为2
a
，虚轴长为2
b
，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为
a
2
c
22
x?y?k,k?0
；④准线：两条准线
x??
； ⑤离心率：
e?
，双曲线
?
e?1
，等轴双曲线
c
a
b
?
e?2
，
e
越小，开口越小，
e
越大，开口越大；⑥两条渐近线：
y??x
。
a
p
2< br>（3）抛物线（以
y?2px(p?0)
为例）：①范围：
x?0,y?R；②焦点：一个焦点
(,0)
，其中
p
2
的几何意义是：焦点到 准线的距离；③对称性：一条对称轴
y?0
，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；
c
p
④准线：一条准线
x??
； ⑤离心率：
e?
，抛物线
?
e?1
。
a
2
如设
a?0,a?R
，则抛物线
y?4ax
的焦点坐标为________ （答：
(0,
2
1
；
)
）
16a
22< br>x
0
y
0
x
2
y
2
5、点
P(x
0
,y
0
)
和椭圆
2
?
2
?1
（
a?b?0
）的关系：（1）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆外
?
2
?
2
?1
；
ab
ab
22
22
x
0
y
0
x
0
y
0
（2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆上
?
2
?
2
＝1；（3）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆内
?
2
?
2
?1

ab
ab

6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：
??0
?
直线与椭圆相交；
??0?
直线与 双曲线相交，但直线与双曲线相交不一
定有
??0
，当直线与双曲线的渐近线平行时， 直线与双曲线相交且只有一个交点，故
??0
是直线与
双曲线相交的充分条件，但不是 必要条件；
??0?
直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定
有
??0
，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故
??0
也仅 是直线
与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
（2）相切：
??0
?
直线与椭圆相切；
??0
?
直线与双曲线相切；
??0
?< br>直线与抛物线相
切；
（3）相离：
??0
?
直线与椭圆相离 ；
??0
?
直线与双曲线相离；
??0
?
直线与抛物线相< br>离。

提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形： 相切和相交。如果
直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物 线的轴平行时,直线
x
2
y
2
与抛物线相交,也只有一个交点；（2 ）过双曲线
2
?
2
＝1外一点
P(x
0
,y
0
)
的直线与双曲线只有一个
ab
公共点的情况如下：①P点在两条渐近线 之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线
和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条 ；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，
有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切 的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原
点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条 是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）
过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公 共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：
S?btan当
|y
0
|?b
即
P
为短轴端点时，
S
max
的最大值为bc；对于双曲线
S?
2
?
2
?c|y
0
|
，
b
2
tan
?
2
。 如 （1）短轴长为
5
，
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过 焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设
AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠B MF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影
分别为A
1
，B
1，若P为A
1
B
1
的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线 于C，则BC平行于x轴，
反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

9、弦长公式：若直线
y?kx?b
与圆锥曲线相交于两点A、B，且x
1
,x
2
分别为A、B的横坐标，则
AB
＝
1?k
2
x
1
?x
2
，若
y
1
, y
2
分别为A、B的纵坐标，则
AB
＝
1?
2
1< br>y
1
?y
2
，若弦AB所在直线
k
2
方程设 为
x?ky?b
，则
AB
＝
1?ky
1
?y
2
。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计
算，一般不用弦长公式计算，而是将 焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
抛物线：





10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
b2
x
0
x
2
y
2
在椭圆
2
?
2
?
1
中，以
P(x
0
,y
0
)
为中点的弦所在直线的斜率k=－
2
；
ab
ay
0
弦所在直线的方程： 垂直平分线的方程：








b
2
x
0
x
2
y
2
在双曲线2
?
2
?1
中，以
P(x
0
,y
0< br>)
为中点的弦所在直线的斜率k=
2
；在抛物线
ab
ay0
p
y
2
?2px(p?0)
中，以
P(x
0
,y
0
)
为中点的弦所在直线的斜率k=。
y
0
提醒：因为
??0
是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时， 务必别
忘了检验
??0
！

11．了解下列结论
22
22
yy
xx
（1）双曲线
??1
的渐近线方程为
2
?
2
?0< br>；
a
2
b
2
ab
22
22
byy
xx
（2）以
y??x
为渐近线（即与双曲线
??1
共渐近线）的双曲线方程为
2
?
2
?
?
(
?为
a
a
2
b
2
ab
参数，
?
≠0）。
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为
mx?ny?1
； < br>22
2b
2
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准 距（焦点到相应准线的距
a
b
2
离）为，抛物线的通径为
2p
，焦准距为
p
；
c
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
2
（6）若抛物线
y?2px(p?0)
的焦点弦为AB，
A(x
1
,y
1< br>),B(x
2
,y
2
)
，则①
|AB|?x
1
?x
2
?p
；
p
2
,y
1
y< br>2
??p
2
②
x
1
x
2
?
4
（7）若OA、OB是过抛物线
y?2px(p?0)
顶点O的两条互相垂直的弦 ，则直线AB恒经过定点
2
(2p,0)


12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
??
（1） 给出直线的方向向 量
u?
?
1,k
?
或
u?
?
m,n
?
；
（2）给出
OA?OB
与
AB
相交,等于已知OA?OB
过
AB
的中点;
?
PM?PN?0
（3） 给出,等于已知
P
是
MN
的中点;
（4）给出
AP?AQ ?
?
BP?BQ
,等于已知
P,Q
与
AB
的中点三 点共线;
（5） 给出以下情形之一：①
ABAC
；②存在实数
?
,使AB?
?
AC
；③若存在实数
??
?
,
?,且
?
?
?
?1,使OC?
?
OA?
?
OB
,等于已知
A,B,C
三点共线.
（6） 给出
MA?MB ?0
,等于已知
MA?MB
,即
?AMB
是直角,给出
MA ?MB?m?0
,等于已
知
?AMB
是钝角, 给出
MA?MB?m?0
,等于已知
?AMB
是锐角,
??
?
MAMB
?
（8）给出
?
?
?
?
?M P
,等于已知
MP
是
?AMB
的平分线
?
MAM B
?
??
（9）在平行四边形
ABCD
中，给出
(AB?A D)?(AB?AD)?0
，等于已知
ABCD
是菱形;
（10） 在平行 四边形
ABCD
中，给出
|AB?AD|?|AB?AD|
，等于已知
ABCD
是矩形;
（11）在
?ABC
中，给出
OA?OB?O C
，等于已知
O
是
?ABC
的外心（三角形外接圆的圆
心， 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在
?ABC
中，给出< br>OA?OB?OC?0
，等于已知
O
是
?ABC
的重心（三角 形的重心是
三角形三条中线的交点）；
（13）在
?ABC
中，给出
OA?OB?OB?OC?OC?OA
，等于已知
O
是
?ABC
的 垂心（三角形
的垂心是三角形三条高的交点）；
222

（14）在
?ABC
中，给出
OP?OA?
心；
?
(
ABAC
?)
(
?
?R
?
)
等于已知
AP
通过
?ABC
的内
|AB||AC|
（15）在
?ABC
中，给出
a?OA?b?OB?c?OC?0,
等于已知
O
是
?ABC
的内心（三角形内切
圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交 点）；
（16） 在
?ABC
中，给出
AD?
1
AB?AC
,等于已知
AD
是
?ABC
中
BC
边的 中线;
2
（3）已知A,B为抛物线x
2
=2py(p>0)上异于原点 的两点，
OA?OB?0
，点C坐标为（0，2p）
??
（1）求证：A,B,C三点共线；
（2）若
AM
＝
?
BM
（
?
?R
）且
OM?AB?0
试求点M的 轨迹方程。
x
1
2
x
2
2
（1）证明：设
A(x
1
,),B(x
2
,)
，由
OA?OB?0
得
2p2p
x
1
2
x
2
2
?x
1
2
x
1
2
x
2
2
2
)

x
1
x
2
??0,?x
1
x
2
??4p
，又
AC?(?x
1
,2p?),AB?(x
2
?x
1
,
2p2p
2p2p
x
2
2
?x< br>1
2
x
1
2
??x
1
??(2p?)?(x
2
?x
1
)?0
，
?ACAB
，即A,B,C三点 共线。
2p2p
（2）由（1）知直线AB过定点C，又由
OM?AB?0
及
AM
＝
?
BM
（
?
?R
）知OM?AB ，垂
足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x
2< br>+(y-p)
2
=p
2
(x?0，
y?0)。

13.圆锥曲线中线段的最值问题：
例1、(1)抛物线C:y
2
=4x上 一点P到点A(3,4
2
)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为
______________
(2)抛物线C: y
2
=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。
分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则
PH?PF
，因而易发现，
当A、P、F三点共线时，距离和最小。
（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线
时，距离和最小。 解：（1）（2，
2
）（2）（
A
Q
H
P
F
B
1
,1
）
4
x
2
?y
2
? 1
，双曲线
C
2
的左、右焦点分别为
C
1
的左、右 顶点，而
C
2
的左、右1、已知椭圆
C
1
的方程为
4
顶点分别是
C
1
的左、右焦点。
(1) 求双曲线
C
2
的方程；
(2) 若直线
l
：y?kx?2
与椭圆
C
1
及双曲线
C
2
恒有两 个不同的交点，且
l
与
C
2
的两个交点
A

< br>
和
B
满足
OA?OB?6
(其中
O
为原点 )，求
k
的取值范围。
22
xy
解：（Ⅰ）设双曲线C
2
的方程为
?
，则
a
2
?4?1?3,再由a
2?b
2
?c
2
得b
2
?1.

?1< br>a
2
b
2
x
2
x
2
2
?y ?1.
?y
2
?1得(1?4k
2
)x
2
?82k x?4?0.
故C
2
的方程为（II）将
y?kx?2代入
34
由直线
l
与椭圆C
1
恒有两个不同的交点得
1?
1
?(82)
2
k
2
?16(1?4k
2< br>)?16(4k
2
?1)?0,
即
k
2
?.
①
4
x
2将y?kx?2代入?y
2
?1得(1?3k
2
)x
2
?62kx?9?0
.由直线
l
与双曲线C
2
恒有两个不
3
2
?
1
?
1?3k?0,
22
即k?且k?1.< br> 同的交点A，B得
?
222
3
?
?
?
2< br>?(?62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.
62k?9
,x?x?AB
1?3k
2
1?3k
2

由OA?OB?6得x< br>A
x
B
?y
A
y
B
?6,而
设A( x
A
,y
A
),B(x
B
,y
B
),则x
A
?x
B
?
x
A
x
B
?y
A
y
B
?x
A
x
B
?(kx
A
?2)(kx
B
?2)
?(k
2
?1)x
A
xB
?2k(x
A
?x
B
)?2

?(k?1)?
2
?962k
?2k??2

22
1?3k1?3k
3k
2
?7
?
2
.
3k?13k
2
?715k
2
?13
131
22
于是< br>2
?6,即?0.
解此不等式得
k?或k?.
③ < br>3k?13k
2
?1
153
由①、②、③得
1113
?k
2
?或?k
2
?1.

4315
故k的取值范 围为
(?1,?
13311313
)(?,?)(,)(,1)

15322315
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MBOA， MA?AB = MB?BA，
M点的轨迹为曲线C。
（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。 (Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以
MA
=（-x, -1-y）,
MB
=(0,-3-y),
AB
=(x,-2).再

由愿意得知（
MA
+
MB
）?
AB
=0,即（-x,-4-2y）? (x,-2)=0.
1
2
11
x-2. (Ⅱ)设P(x
0
,y
0)为曲线C：y=x
2
-2上一点，因为y
'
=x,所
442< br>1
1
2
以
l
的斜率为x
0
因此直线
l
的方程为
y?y
0
?x
0
(x?x
0
)
，即
x
0
x?2y?2y
0
?x?0
。
2
2
所以曲线C的方程式为y=
1
2
x
0
?4|2y
0
?x|
1
2
14
2
2
则O点 到
l
的距离
d?
.又
y
0
?x
0
?2
，所以
d??(x
0
?4?)?2,

2
22
4
x
0
?4
x
0
?4
2
x
0
?4
2
0
当
x
0
=0时取等号，所以O点到< br>l
距离的最小值为2.
2
x
2
y
2
2 < br>设双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y =x+1相切，则该双曲线的离心率等于( )
ab
x
2
y
2
设双曲线
2
?
2
?1
的一条渐近线，则双曲线的离心率为( ).
ab
x
2
y
2
过椭圆
2
?
2
?1
(
a?b?0
)的左焦点
F
1
作
x< br>轴的垂线交椭圆于点
P
，
F
2
为右焦点，若
ab?F
1
PF
2
?60
，则椭圆的离心率为
x
2
y
2
?
2
?1(b?0)
的左、右焦点分别是
F
1
、
F
2
，其一条渐近线方程为
y?x
，点已知双 曲线
2
b
P(3,y
0
)
在双曲线上.则
PF1
·
PF
2
＝( )0

已知直线
y? k
?
x?2
??
k?0
?
与抛物线
C:y?8x< br>相交于
A、B
两点，
F
为
C
的焦点，若
2< br>|FA|?2|FB|
，则
k?
( )

已知直线l
1
:4x?3y?6?0
和直线
l
2
:x??1，抛物线
y?4x
上一动点
P
到直线
l
1
和直 线
l
2
的距离之
和的最小值是（ ）

设已知抛物线 C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的
中点为（2 ，2），则直线l的方程为_____________.
2

x< br>2
y
2
??1
的焦点为
F
1
,F
2
，点P在椭圆上，若
|PF
1
|?4
，则
|PF
2
|?
；
?F
1
PF
2
的大椭圆
92
小为 .

过抛物线
y?2px(p?0)
的焦点F作倾斜角为
45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为
8，则
p?
_________ _______
【解析】设切点
2
P(x
0
,y
0< br>)
，则切线的斜率为
y|
x?x
?2x
0
0
'
.由题意有
y
0
?2x
0
又
y
0
?x
0
2
?1
解得:
x
0
x
0
2
?1,?
bb
?2,e?1?()
2
?5
aa

y,得
x
2
b
?
y?x
x
2
y< br>2
b
?
x
,由方程组
?
双曲线
2
?
2
?1
的一条渐近线为
y?
a
,消去
a
a b
2
?
?
y?x?1
b
b
2
ca
2
?b
2
b
=
()?4?0
,所以
?2
,
e???1?()
2
?5
a
a
aaa

由 渐近线方程为
?
b
x?1?0
有唯一解,所以△
a
y?x< br>知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是
x
2
?y
2
?2，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和
P(3,1)
或（2，0），且
P(3, ?1)
.不妨去
P(3,1)
，则
PF
1
?(?2?3,? 1)
，
PF
2
?(2?3,?1)
.
∴
PF1
·
PF
2
＝
(?2?3,?1)(2?3,?1)??(2? 3)(2?3)?1?0

【解析】设抛物线
C:y
2
?8x
的准线为
l:x??2
直线
P
y?k
?
x?2
??
k?0
?
恒过定点
AM?l
于
?
?2,0< br>?
.如图过
A、B
分 别作
N
, 由
M
,
BN?l
于
|FA|?2|FB|
,则
|AM|?2|BN|
,点B为AP的中点.连结
OB
,则
|OB|?

?|OB|?|BF|
点
B
的横坐标为
1
, 故点
B
的坐标为
1
|AF|
,
2

(1,22)?k?
22?022
, 故选D
?
1?(?2)3
2
?
?
y
1
?4x1
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,则有x
1
?x
2
，
?
2
?
?
y
2
?4x
2
y?y
2
4
2
两式相减得，y
1
2
?y
2
?4
?
x
1
?x
2
?
，?
1< br>??1

x
1
?x
2
y
1
?y2
?直线l的方程为y-2=x-2,即y=x