(word完整版)高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义,推荐文档

第二章 圆锥曲线与方程
一、曲线与方程的定义：
设曲线C，方程F
?
x,y
?
=0，满足以下两个条件：

①曲线C上?一点的坐标
?
x,y
?
满足F
?
x, y
?
=0；

②方程F
?
x,y
?
=0? 解
?
x,y
?
都在曲线C上.


则曲线C称是方 程F
?
x,y
?
=0的曲线，方程F
?
x,y
?< br>=0是曲线C的方程.
二、求曲线方程的两种类型：
1、已知曲线求方程；
?
用待定系数法
?

2、未知曲线求 方程
①设动点
?
x,y
?
;
②建立等量关系；
③用 含x,y的式子代替等量关系；
④化简；
?
别出现不等价情况
?
⑤证 明；
?
高中不要求
?

椭圆
一、椭圆及其标准方程
1、画法 2、定义：
?
PPF
1
?PF
2
?2a,F
1
F
2
?2a
?
3、方程

x
2
y
2
①
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
ab
或
y
2
x
2
②
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
ab


x
2
y
2
二、几何性质：
2
+
2
?1
?
a?b?0
?
ab
1、范围：x?a,y?b.


2、对称性：关于x、y、原点O对称.

3、顶点A
1
?
?a,0
?
,A
2
?
a,0
?
,B1
?
0,b
?
,B
2
?
0,?b
?< br>.

4、a,b,c之间的关系：a
2
?b
2
?c
2

cb
2
5、离心率：e??1?
2
?
0?e?1
?
aa


e?0越圆,e?1越扁

扩展：

x
2
y
2
x
2
y
2
①与椭圆2
+
2
=1有相同焦点的椭圆方程为
2
+
2
= 1
?
m?b
2
?
aba?mb?m

x
2
y
2
y
2
x
2
②有相同离心率的椭圆为
2
?
2
?1
?
k?0
?
或
2
?2
?1
?
k?0
?
kakbkakb

③椭圆上的点到焦点的最小距离是a?c，最大距离是a?c.

④P为椭圆上一动点，当点P为短轴端点时，?F
1
PF
2
最大.


⑤AB为过焦点F的弦，则VABF
2
的周长为4a.


⑥直线y?kx?b与圆锥曲线相交于A
?
x
1
,y
1
?< br>,B
?
x
2
,y
2
?
两点，则当直线的斜率 存在时，弦长l为:
l?1?k
2
x
1
?x
2
?< br>
2
2
?
1?kx?x
??
??
?
12
?4x
1
x
2
?
?


或当 k存在且不为0时，l?1?
11
2
?
y?y?1??y?y?4y
1
y
2
?
??
1212
22
??
kk

⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为Ax
2
?By2
?1
?
A?0,B?0
?
.

双曲线
一、双曲线及其标准方程
1、画法
2、定义：< br>?
PPF
1
?PF
2
?2a,F
1
F
2
?2a
?
3、方程：

x
2
y
2①
2
?
2
?1
?
a,b?0
?
ab< br>或

y
2
x
2
②
2
?
2< br>?1
?
a,b?0
?
ab


x
2
y
2
二、几何性质：
2
?
2
?1
?
a,b?0
?
ab
1、范围：x?a,y?R


2、对称性：关于x轴、y轴、原点O对称.

3、顶点：A
1< br>?
?a,0
?
,A
2
?
a,0
?
实 轴A
1
A
2
=2a，虚轴B
1
B
2
?2b .

4、a、b、c之间的关系：c
2
?a
2
?b
2
.

cb
2
5、离心率:e??1?
2
?
e?1
?
aa
e越大，开口越阔


b
?
y
2
x
2
a
?
6、渐近线：y??x
?
2
?
2
?1的渐近线为y??x
?
a
?
abb?
x
2
y
2
x
2
y
2
说明：
2
?
2
?1与
2
?
2
?m
?m?0
?
有相同离心率.
abab

抛物线
一、抛物线及其标准方程
?PF?
1、定义：P且F?l
??
d
P?l
??

2、标准方程及几何性质
标准方程
y
2
?2px
?
p?0
?

y
2
??2px
?
p?0
?

x
2
?2py
?
p?0
?

x
2
??2py
?
p?0
?

简图

焦点


?
p
?
?
,0
?
?
2
?

?
p
?
?
?,0
?
?
2
?

?
p
?
?
0、
?
?
2
?

p
??
0、?
??
2
?

?
准线
范围
对称性
顶点
离心率

x??
p
2

x?
p
2

y??
p
2

y?
p
2

x?0

x?0

y?0

y轴

y?0

x轴

?
0,0
?

e?1

说明：①P越大，开口越阔.
②抛物线无限向外延展，但它无渐进线.

扩展：

1、设Q点分别位于抛物线开口以内，抛物线上，以及开口以外，问过Q点且 和抛物线只有一个交点的直线有几条？

答：①当Q位于抛物线开口以内，1个交点的直线只有 一条
?
主轴或其平行线
?
.

1个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线.

②当Q位于抛物线上，
1个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线.

③当Q位于抛物线外，

2、过焦点的弦长

如图，AB?AF?BF
?
p< br>??
p
?
?
?
?x
A
?
?
?
?x
B
?
?
2
??
2
?
?p?
?
x
A
?x
B
?