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高考数学二次曲线的经典性质

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 06:30
tags:高中数学圆锥曲线

高考资源网高中数学教学片断-高中数学联赛二试怎么准备

2020年9月22日发(作者:宣哲)


圆锥曲线的性质及对偶性质 (必背的经典结论)
高三数学备课组
一、切线
2
222
1.①圆
x?y?R(R?0)
上点< br>P
0
(x
0
,y
0
)
处的切线方程为
x
0
x?y
0
y?R

x
2
y
2
xxyy
②若
P
0
(x
0
,y
0)
在椭圆
2
?
2
?1
上,则过
P
0< br>的椭圆的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
。 < br>ab
ab
x
2
y
2
xxyy
③若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上,则过
P
0
的双曲线的切线方 程是
0
2
?
0
2
?1

ab
a b
2
④抛物线
y?2px
上点
P
0
(x
0
,y
0
)
处的切线方程为
y
0
y?p(x?x0
)

抛物线
x?2py
上点
P
0
(x
0
,y
0
)
处的切线方程为
x
0
x? p(y?y
0
)

2.①若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
x?y?R(R?0)
外 ,则过
P
0
作圆的两条切线切点为
P
1

P
2
, 则切
2
点弦
P
1
P
2
的直线方程是
x< br>0
x?y
0
y?R

2
222
x
2
y
2
P
2
,②若
P
0
(x
0< br>,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
外 , 则过
P
0
作椭圆的两条切线切点为
P
1
、则切点弦
P
1
P
2

ab
xxyy
的直线方程是
0
2
?
0
2
?1

ab
x
2y
2
③若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
外 ,则过
P
0
作双曲线的两条切线切点为
P
1

a b
x
0
xy
0
y
P
2
,则切点弦
PP
的直线方程是
?
2
?1

12
2
a b
2
④若
P
0
(x
0
,y
0
)< br>在
y?2px
外,则过
P
0
作抛物线的的两条切线切点为P
1

P
2
,则切点弦
P
1
P
2

直线方程是为
y
0
y?p(x?x
0
)< br>;若
P
0
(x
0
,y
0
)

x?2py
外,则过
P
0
作抛物线的的两条切线
切点为
P
1

P
2
,则切点弦
P
1
P
2
的直线方程是为
x
0
x?p(y?y
0
)

2
二、焦半径及焦点弦
x
2
y
2
3.①
F
1
(?c,0)

F
2
(c,0)

M (x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
? 1(a?b?0)
上,椭圆的焦半径(坐标式)
ab
公式:
|MF
1
|?a?ex
0
,
|MF
2
|?a?ex
0()。
x
2
y
2
x
2
y
2
F
1
(?c,0)

F
2
(c,0)

M (x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
? 1(a?b?0)
上,椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
< br>abba
的焦半径(坐标式)公式:
|MF
1
|?a?ey
0
,
|MF
2
|?a?ey
0

记忆规律:左?

?
、下
?

?

x
2
y
2

F
1
(?c,0)

F
2
(c,0)
,双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的焦半径(坐标式)公式:
ba

M(x
0
,y
0< br>)
在右支上时,
|MF
1
|?e|x
0
|?a?ex
0
?a
,
|MF
2
|?e|x
0
|?a? ex
0
?a


M(x
0
,y
0
)
在左支上时,
|MF
1
|?e|x
0
|?a??ex< br>0
?a
,
|MF
2
|?e|x
0
|?a?? ex
0
?a


x
2
y
2
F
1
(0,?c)

F
2
(0,c)
,双曲线2
?
2
?1(a?0,b?0)
的焦半径(坐标式)公式:
b a

M(x
0
,y
0
)
在上支上时,
|M F
1
|?e|y
0
|?a?ey
0
?a,|MF
2
|?e|y
0
|?a?ey
0
?a


M(x
0
,y
0
)
在下支上时,
|MF
1
|?e|y
0
|?a??ey
0
?a,|MF
2
|?e|y
0
|?a??ey
0
?a

记忆规律:左
?
?
、下
?

?
,长正短负。
③抛物线焦半径(坐标式)公式(
p?0
):
抛物线
焦半径
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

p
?|y|

2
x
2
y
2
epb
2
?
④椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的 焦半径(倾斜角式)公式:
|MF|?

ab1?ecos
?
a? ccos
?
x
2
y
2
epb
2
?
椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的焦半径(倾斜角式)公式:
|MF|?

ba1?esin
?
a?csin
?
记忆 规律:长(焦半径)
?
短(焦半径)
?

x
2
y
2

F
1
(?c,0)

F
2
( c,0)
,双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的焦半径 (倾斜角式)公式:
ab
epb
2
|MF|??

| 1?ecos
?
||a?ccos
?
|
|PF|?|PF|?
x
2
y
2
F
1
(0,?c)

F
2
(0,c)
,双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)< br>的焦半径(倾斜角式)公式:
ba
epb
2
|MF|??

|1?esin
?
||a?csin
?
|
记忆规律:长(焦 半径)
?
短(焦半径)
?

⑥抛物线的焦半径(倾斜角式)公式(
p?0
):
pp
(焦点在
x
轴上);
|PF|?
(焦点在
y
轴上)。
|PF|?
1?cos< br>?
1?sin
?
p
?|x|

2

4.过圆锥曲线一焦点
F
的焦点弦
AB
的倾斜角为
?
k?tan
?
),且
AF?
?
FB(
?
?0)
,则
当焦点
F

x
轴上时
e?1?k|
当焦点
F

y
轴上时
e?1?
2
?
?1< br>?
?11
?
?1
|?1?tan
2
?
||? ||

?
?1
?
?1|cos
?
|
?< br>?1
1
?
?11
?
?11
?
?1
| |?1?||?||

k
2
?
?1tan
2
??
?1|sin
?
|
?
?1


5.①椭圆:以焦 点弦
PQ
为直径的圆必与对应准线相离。
②双曲线:以焦点弦
PQ
为直径的圆必与对应准线相交。
6.①椭圆:以焦点半径
PF
1
为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切。 < br>②双曲线:以焦点半径
PF
1
为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切(内切:< br>P
在右支;外切:
P

在左支)。
x
2
y
2
7.①
P
为椭圆
2
?
2
?1(a?0, b?0)
上任一点,
F
1

F
2
为二焦点,
A
为椭圆内一定点,则
ab
2a?|AF
2
|?|PA|?|P F
1
|?2a?|AF
1
|
,当且仅当
A,F
2< br>,P
三点共线时,等号成立。
x
2
y
2

P
为双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上任一点,F
1

F
2
为二焦点,
A
为双曲线内一定点,
ab

|AF
2
|?2a?|PA|?|PF
1
|
,当且仅当
A,F
2
,P
三点共线且
P

A,F
2

y
轴同侧时,等号成立。

三、焦点三角形


8.①椭圆
xy
??1(a?b?0)
的左右焦点 分别为
F
1

F
2
,点
P
为椭圆上任意一 点
?F
1
PF
2
?
?

a
2
b
2
2
22

则椭圆的焦点角形的面 积为
S
?F
1
PF
2
?btan
?
2
x
2
y
2
②双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左右焦点分别为
F
1

F
2< br>,点
P
为双曲线上任意一点,
ab
?F
1
PF2
?
?
,则双曲线的焦点角形的面积为
S
?F
1
PF
2
?b
2
cot
?
2

x
2
y
2
9.①设
P
点是椭圆
2
?
2?1(a?0,b?0)
上异于长轴端点的任一点,
F
1

F< br>2
为其焦点,记
ab
2b
2
?
2
?F1
PF
2
?
?
,则 ⑴
|PF
1
| |PF
2
|?
;⑵
S
?PF
1
F
2
?btan

1?cos
?
2
x
2
y
2
②设
P
点是双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0 )
上异于实轴端点的任一点,
F
1

F
2
为其焦点 ,
ab
2b
2
?
2

?F
1
P F
2
?
?
,则 ⑴
|PF
1
||PF
2
|?
;⑵
S
?PF
1
F
2
?bcot
1?cos
?
2
x
2
y
2
10. ①若
P
为椭圆
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上异 于长轴端点的任一点,
F
1

F
2
是焦点,
ab
?PF
1
F
2
?
?

?PF
2< br>F
1
?
?
,则
a?c
??
?tancot< br>。
a?c22
x
2
y
2
②若
P
为 双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
右(或左)支上除顶点外的任 一点,
F
1

F
2
是焦点,
ab
?PF
1
F
2
?
?
,
?P F
2
F
1
?
?
,则
c?a
??
c ?a
??
?tancot
(或
?tancot
)。
c?a 22c?a22
x
2
y
2
11.①设椭圆
2
?2
?1(a?0,b?0)
的两个焦点为
F
1

F2

P
(异于长轴端点)为椭圆上任意
ab
?F
1< br>F
2
P?
?
,一点,在
?PF
1
F
2
中,记
?F
1
PF
2
?
?
,
?PF
1
F
2
?
?
,则有
sin
?
c
??e

sin
?
?sin
?
a

< p>
x
2
y
2
②设双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的两个焦点为
F
1

F
2
,
P
(异于长轴端点)为双曲线上
ab
任意一点。在
?F
1
PF
2
中,记
?F
1
PF
2
?
?
,?PF
1
F
2
?
?
,?F
1
F
2
P?
?
,则有
sin
?
c
??e< br>。
?(sin
?
?sin
?
)a
x
2y
2
12.①设
A

B
是椭圆
2
?< br>2
?1(a?0,b?0)
的长轴两端点,
P
是椭圆上的一点,
?PAB?
?
,
ab
?PBA?
?

?BP A?
?

c

e
分别是椭圆的半焦距离心率,则有: 2ab
2
|cos
?
|
2a
2
b
2< br>2
cot
?
。 ⑴
|PA|?
2
;⑵
tan
?
tan
?
?1?e
;⑶
S
?PAB
?< br>2
a?c
2
cos
2
?
b?a
2
x
2
y
2
②设
A

B
是双曲线
2< br>?
2
?1(a?0,b?0)
的长轴两端点,
P
是双曲线上的 一点,
ab
?PAB?
?

?PBA?
?
,?BPA?
?

c

e
分别是双曲线的半焦距离心率, 则有:
2ab
2
|cos
?
|
2a
2
b
2
2
cot
?
。 ⑴
|PA|?
2
;⑵< br>tan
?
tan
?
?1?e
;⑶
S
?PAB
?
22
|a?c
2
cos
2
?
|
b?a
x
2
y
2
13.①若椭圆
2
?
2< br>?1(a?0,b?0)
的左、右焦点分别为
F
1

F
2
,左准线为
l
,则当
ab
0?e?2?1
时,可在椭 圆上求一点
P
,使得
PF
1

P
到对应准线距离< br>d

PF
2
的比例中项。
x
2
y
2
②若双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左、右焦点 分别为
F
1

F
2
,左准线为
l
,则当
ab
1?e?2?1
时,可在双曲线上求一点
P
,使得
PF
1

P
到对应准线距离
d

PF
2
的比例中项。
四、直线与圆锥曲线、弦中点的轨迹方程或中点弦方程
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
x
2< br>y
2
14.①若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
内,则被
P
0
所平分的中点弦的方程是
2
?
2
?
2
?
2

ababab
x
2
y
2
②若
P0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?2
?1(a?0,b?0)
内,则被
P
0
所平分的中点弦的方程 是
ab
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
?
2
?
2
?
2

2
abab
x
2
y
2
x
2
y
2< br>x
0
xy
0
y
15.①若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1< br>内,则过
P
0
的弦中点的轨迹方程是
2
?
2
?
2
?
2

ababab
x
2
y
2
②若
P
0
(x
0
,y
0
)
在 双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
内,则过
P
0
的弦中点的轨迹方程是
ab
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
?
2
?
2
?
2
2
abab


(x?x
0
)
2
(y?y
0
)
2
??1
与直线
Ax?By?C?0
有公共点的充要条件是 16.①椭圆
22
ab
2222
Aa?Bb?(A x
0
?By
0
?C)
2

x
2
y
2
②双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
与直 线
Ax?By?C?0
有公共点的充要条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?C
2

五、斜 率乘积为常数(
?(e
2
?1)

?1
)、斜率和为常数(
0

x
2
y
2
b
2
M(x0
,y
0
)

AB
的中点,17.①
AB是椭圆
2
?
2
?1
的不平行于对称轴的弦,则
k
OM
?k
AB
??
2

aba
b
2< br>x
0

k
AB
??
2

ay0
x
2
y
2

AB
是双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的不平行于对称轴的弦,
M(x
0< br>,y
0
)

AB
的中点,
ab
b
2
x
0
b
2
x
0

k
OM
?k
AB
?
2
,即
k
AB
?
2

ay
0
ay
0
x
2
y
2
18 .①过椭圆
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆
abb
2
x
0

B

C
两点,则直线BC
有定向,且
k
BC
?
2
(常数)。
ay
0
x
2
y
2
②过双曲线
2
?
2< br>?1(a?0,b?0)
上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直线交双曲
ab
b
2
x
0
线于
B

C
两点,则直线
BC
有定向且
k
BC
??
2
(常数)。
ay
0
x
2
y
2
19.①
A
1
,A
2
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的左右顶点,点
P

C
上异于
A
1
,A
2
的任意一点,
ab
b
2
x
2
y
2

k
PA
?kPA
??
2
(焦点在
x
轴上);
A
1
,A
2
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)的左右顶点,
12
aba
a
2

P

C
上异于
A
1
,A
2
的任意一点,则
k
PA
?k
PA
??
2
(焦点在
y
轴上)。
12
b
x
2
y
2

A
1
,A< br>2
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左右顶点,点
P

C
上异于
A
1
,A
2
的任意一点,
ab
b
2
y
2
x
2
k
PA
?k
PA
?
2
(焦点在
x< br>轴上);
A
1
,A
2
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左右顶点,
12
aab
a
2

P

C
上异于
A
1
,A2
的任意一点,则
k
PA
?k
PA
?
2
(焦点在
y
轴上)。
12
b
x
2
y
2

M,N
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b ?0)
的两动点,点
P

C
上异于
M,N
的任意一 点,
ab



M,N
两点关于椭圆中心对称
?kPM
?k
PN

M,N
两点关于椭圆中心对称
?k< br>PM
?k
PN
b
2
??
2
(焦点在
x
轴上);
a
a
2
??
2
(焦点在
y
轴上)。 b
x
2
y
2

M,N
是椭圆
C:2
?
2
?1(a?0,b?0)
的两动点,点
P
C
上异于
M,N
的任意一点,
ab
b
2
则< br>M,N
两点关于椭圆中心对称
?k
PM
?k
PN
?< br>2
(焦点在
x
轴上);
a
a
2

M,N
两点关于椭圆中心对称
?k
PM
?k
PN
?
2
(焦点在
y
轴上)。
b
20.
A,B
是圆 锥曲线上的两动点,
M
是一定点,其中
?
,
?
分别为
MA,MB
的倾斜角,则

AB
恒过定点
?MA?MB
为定值
?k
MA
?k
MB
为定值
?
?
?< br>?
?
?
(0?
?
?
?
)

x
2
y
2

A,B
是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上异于右顶点
D
的两动点,其中
?
,
?
分别为
DA,DB

ab
ac
2
?< br>?k?k??1
,0)
倾斜角,则
AB
恒过定点
(
2

?|
?
?
?
|?
?DA?DB
DB< br>DA
2
a?b
2
x
2
y
2
②一动直 线与椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
交于
A,B

A,B
不是椭圆左右顶点),
O
为椭圆中
ab
心,则AB
过原点
?k
OA
?k
OB
b
2
? ?
2

a
x
2
y
2

A,B< br>是双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上异于右顶点
D
的两动点,其中
?
,
?
分别为
ab
DA,DB
的倾斜角,则
ac
2
?
?k?k ??1
,0)
?|
?
?
?
|?

AB恒过定点
(
2

?DA?DB
DB
DA
2< br>b?a
2

A,B
是抛物线
y?2px(p?0)
上 的两动点,
O
是抛物线顶点,其中
?
,
?
分别为
O A,OB

倾斜角,则
AB
恒过定点
(2p,0)
?OA?OB
?k
OA
?k
OB
??1
?|
?
?
?
|?
2
?
2

x
2
y
2
21.①
E,F
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b ?0)
上异于
C
上定点
P(x
0
,y
0
) (x
0
?0)
的两动点,其中
ab


O
为椭 圆中心,
?
,
?
分别为
PE,PF
的倾斜角,则
k
PE
?k
PF
?0
?k
OP
?k
EF< br>b
2
?
2
?
?
?
?
?
?< br>。
a
x
2
y
2

E,F
是椭圆< br>C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上异于
C
上定点
P(x
0
,y
0
)(x
0
?0)
的两动点,其中
ab
O
为双曲线中心,
?
,
?
分 别为
PE,PF
的倾斜角,则
k
PE
?k
PF
? 0
?k
OP
?k
EF
b
2
??
2
?
?
?
?
?
?

a

E,F< br>是抛物线
C:y?2px(p?0)
上异于
C
上定点
P(x< br>0
,y
0
)(x
0
?0)
的两动点,其中
O
为抛物线中心,
?
,
?
分别为
PE,PF
的倾斜 角,则
k
PE
?k
PF
?0
?k
OP
? k
EF
??
p
?
?
?
?
?
?
x
0
六、向量与圆锥曲线

22.椭圆中心为
O

x
2
y
2
M,N
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
上两动点,点
P
是平面上异于
M,N
的任意一动点,
ab
b
2
22

OP?
?
OM?
?
ON
,则“
P

C
上、
?
?
?
?1

k
OM
?k
ON
??
2
(焦点在
x轴上)”
a
中两个成立,可得出另一个成立。
x
2
y
2
M,N
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
上两动点,点
P
是平面上异于
M,N
的任意一动点,
ba



OP?
?
OM?
?
ON
,则“< br>P

C
上、
?
?
?
?1

k
OM
?k
ON
中两个成立,可得出另一个成立。
22
a
2
??
2
(焦点在
y
轴上)” < br>b
x
2
y
2

M,N
是双曲线
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上两动点,点
P
是 平面上异于
M,N
的任意一动
ab
b
2
22
?
?
?
?1
、< br>k
OM
?k
ON
?
2
(焦点在
x
轴 上)点,且
OP?
?
OM?
?
ON
,则“
P

C
上、”
a
中两个成立,可得出另一个成立。
y
2
x
2

M,N
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上两动点,点
P
是平面上异于
M,N
的任意一动点,
ab
a
2
22

O P?
?
OM?
?
ON
,则“
P

C
上、
?
?
?
?1

k
OM
?k
ON
?
2
(焦点在
y
轴上)”
b
中两个成立,可得出另一个成立。
x
2
y
2
2 3.①
M,N
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0 )
上两动点,点
P(x,y)
是平面上异于
M,N
的任意
ab
b
2
x
2
y
2
22
一动点,且
OP?
?
OM?
?
ON
,则
k
OM
?k
ON
??
2
?
2
?
2
?
?
?
?
(焦点在
x
轴上)”
aab
x
2
y
2
M,N
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a? b?0)
上两动点,点
P
是平面上异于
M,N
的任意一动点, ba
a
2
x
2
y
2
22

O P?
?
OM?
?
ON
,则
k
OM
?kON
??
2
?
2
?
2
?
?
?
?
(焦点在
y
轴上)”
bba
x
2
y< br>2

M,N
是双曲线
C:
2
?
2
? 1(a?0,b?0)
上两动点,点
P(x,y)
是平面上异于
M,N
的任意
ab
b
2
x
2
y
2
22
一动点,且
OP?
?
OM?
?
ON
,则
k
OM
?k
ON
?
2
?
2
?
2
?
?
?
?
(焦点在
x
轴上)。
aab
y
2
x
2

M,N
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上两动点,点
P
是平面上异于
M,N
的任意一动点,
ab
a
2
x
2
y
2
22

OP?
?
OM?
?
ON
,则
k
OM
?k
ON
?
2
?
2
?
2
?
?
?
?
(焦点在
y
轴上 )。
bba
a
2
乘积为常数

c??a
2
。)

c
x
2
y
2
a
2
?a< br>2
。)24.(焦点在
x
轴或
y
轴上的椭圆或双曲线)曲线< br>E:
2
?
2
?1(ab?0)
。(注:
c?

abc
①曲线
E
的左右顶点
A(?a,0),B(a,0)
,点
Q(m,n)(mn?0,|m|?a)
不在
E
上,
QA,QB
分别

E
于点
C,D
,直线
CD
x
轴于点
P
,则
OP?OQ?a

②曲线
E
的左右顶点
A(?a,0),B(a,0)
,过点
M(s,t)
的直 线
l

E
交于点
C,D
两点,与
x
轴 < br>2


交于点
P
,直线
AC

BD
交于点
Q
1
、直线
AD

BC
交于点
Q
2
,则
OP?OQ
1
?OP?OQ
2
?a
2

且直线
Q
1
Q
2
垂直于
x
轴。

A,B

E
上的动点且
AB
垂直于
x
轴 ,
M(t,0)
为一定点,连接
MA

E
于点
N< br>,则
BN

a
2
2
过定点
P(,0),此时
OP?OM?a

t

A,B

E: y?2px(p?0)
上的动点且关于
x
轴对称,
M(t,0)
为一 定点,连接
MA

E


N
,则
BN< br>恒过定点
P(?t,0)
,此时
OP?OM??t

2x
2
y
2
25.过曲线
E:
2
?
2< br>?1(ab?0)
内部一点
A(t,0)(t?0)
的直线与曲线
E< br>相交于
M,N
两点,
ab
a
2

M,N< br>向直线
l:x?
作垂线,垂足分别为
M
0
,N
0,记
?AMM
0
,?AM
0
N
0
,?ANN< br>0
的面积
t
2
分别为
S
1
,S
2
,S
3
,则
S
2
?4S
1
S
3< br>。
x
2
y
2
26.过曲线
E:
2
?
2
?1(ab?0)
内部一点
P(m,0)(m?0)
的直线与曲 线
E
相交于
A,B
两点,
ab
2
交定直线
x?n
于点
M
,设
MA?
?
1
AP,MB??
2
BP
,则
?
1
?
?
2
? 0?mn?a

x
2
y
2
a
2
27.① 设
M(m,0)(m?0)
是曲线
E:
2
?
2
?1 (ab?0)
对称轴上一点,定直线
l:x?
,过定
abm
M
作直线交曲线
E

A,B
两点,
N
是定直线
l
上任意一点,则直线
AN,MN,BN
的斜率成
等差数列。 < br>②设
M(m,0)(m?0)
是抛物线
E:y?2px(p?0)
对称 轴上一点,定直线
l:x??m
,过定点
M
作直线交抛物线
E
A,B
两点,
N
是定直线
l
上任意一点,则直线AN,MN,BN
的斜率成
等差数列。
七、其它:面积、离心率、准线


x
2
y
2
28.①已知椭圆
2
?
2
?1(a?0,b?0)

O
为坐标原点,
P(x
1< br>,y
1
)

Q(x
2
,y
2
)为椭圆上两动
ab
b
2
ab
?x
1
2
?x
2
2
?a
2
?y
1
2
?y
2
2
?b
2
。 点,则
k
OP
?k
OQ< br>??
2
?S
?OPQ
?
a2
x
2
y
2
②已知双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)

O
为坐标原点,
P

Q
为双曲线上两动点,则。
ab
x
2
y
2
29.①已知椭圆
2
?
2< br>?1(a?0,b?0)

O
为坐标原点,
P

Q< br>为椭圆上两动点,
O

PQ

ab
射影为
D

O

PQ
的距离为
d

OP?OQ< br>,则
1111
???

OP?OQ
?
|OP|
2
|OQ|
2
a
2
b
2
a
2b
2
?d?
?D
的轨迹是
x?y?
22
; < br>22
a?b
a?b
a
2
b
2
1
⑵< br>S
?OPQ
的最小值是
2
、最大值为
ab

a?b
2
2
4a
2
b
2
2ab
2222
?|PQ|?a
2
?b
2

?|OP|?|OQ|?a? b

2
?
2
a?b
a
2
?b
2< br>ab
22
⑷。
x
2
y
2
②已知双曲线2
?
2
?1(0?a?b)

O
为坐标原点,
P

Q
为双曲线上两动点,
O

PQ

ab
射影为
D

O

PQ
的距离为
d,且
OP?OQ

a
2
b
2
1111
ab
22
???
?d?
则⑴
OP?OQ?

?D
的轨迹是
x?y?
22

22
b?a
|OP|2
|OQ|
2
a
2
b
2
b?a
a2
b
2
4a
2
b
2
22

S
?OPQ
的最小值是
2
; ⑶
|OP|?|OQ|
的最小值为
2
; ⑷。
22
b?ab?a
x
2
y
2
③已知椭圆
2
?
2
?1(a?0,b?0)

O
为坐标原点,
P

Q
为椭圆上两动点,
O

PQ

ab
射影为D

O

PQ
的距离为
d
,则
ab
1111
?
?d?
???

0??POQ?
?OP?OQ?0
?
2222
22
|OP||OQ|ab
2
a?b
x
2
y
2
30.①过椭圆
2
?2
?1(a?0,b?0)
的右焦点
F
作直线交该椭圆右支于
M

N
两点,弦
MN

ab
|PF|e
?
。 的垂直平分线交
x
轴于
P< br>,则
|MN|2
x
2
y
2
②过双曲线
2?
2
?1(a?0,b?0)
的右焦点
F
作直线交该双曲线的右 支于
M

N
两点,弦
ab
|PF|e
?

MN
的垂直平分线交
x轴于
P
,则
|MN|2


x
2
y
2
31.①已知椭圆
2
?
2
?1(a?0,b?0)
A

B
是椭圆上的两点,线段
AB
的垂直平分线与
x< br>轴
ab
a
2
?b
2
a
2
?b2
?x
0
?
相交于点
P(x
0
,0)
,则
?

aa
x
2
y
2
②已知双曲线< br>2
?
2
?1(a?0,b?0)

A

B< br>是双曲线上的两点,线段
AB
的垂直平分线与
ab
a
2?b
2
a
2
?b
2
x
轴相交于点
P( x
0
,0)
, 则
x
0
?

x
0
??

aa< br>x
2
y
2
32.①已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的右准线
l

x
轴相交于点
E
,过椭圆右焦点
F
的直线与
ab
椭圆相交于
A

B
两点,点
C
在右准线
l
上,且
BC?x
轴,则直 线
AC
经过线段
EF
的中点。
x
2
y
2
②已知双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的右准线l

x
轴相交于点
E
,过双曲线右焦点
F
的直
ab
线与双曲线相交于
A

B
两点,点
C
在右准线
l
上,且
BC?x
轴,则直线
AC
经过线段
EF

中点。
33.①椭圆:点
P
处的切线
PT平分
?F
1
PF
2
在点
P
处的外角。
②双曲线:点
P
处的切线
PT
平分
?F
1
PF< br>2
在点
P
处的内角。



34.① 椭圆:
PT
平分
?F
1
PF
2
在点
P处的外角,则焦点在直线
PT
上的射影
H
点的轨迹是以长轴
为直 径的圆,除去长轴的两个端点。
②双曲线:
PT
平分
?F
1
PF
2
在点
P
处的内角,则焦点在直线
PT
上的射影H
点的轨迹是以长
轴为直径的圆,除去长轴的两个端点。
35.①设过椭圆焦 点
F
作直线与椭圆相交
P
、连结
AP

AQ

Q
两点,
A
为椭圆长轴上一个顶点,
分别交相应于焦点
F
的椭圆准线于
M

N
两点,则
MF?NF
。 < br>②设过双曲线焦点
F
作直线与双曲线相交
P

Q
两点 ,
A
为双曲线长轴上一个顶点,连结
AP


AQ
分别交相应于焦点
F
的双曲线准线于
M

N
两点,则
MF?NF

x
2
y
2
③曲线
E:
2
?
2
?1
的左(右)顶点为
A

ab
过右(左)焦点
F
的直线交椭圆于
B,C
两点,
直线
AB,AC
分别交右(左)准线于点
M,N

则以
MN
为直径的圆必过焦点
F

④过抛物线的焦点的弦
MN
的端点分别向准线作垂线,垂足分别为
M
0
,N
0,则以
M
0
N
0
为直
径的圆过焦点。
36.①过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的
连线必与切线垂直。
②过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点
的连线必与切线垂直。


37.①过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线 于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互
相垂直。
②过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径
互相垂直。
38.①过椭圆一个焦点
F
的直线与椭圆交于两点
P< br>、
Q

A
1

A
2
为椭圆长轴上的 顶点,
A
1
P

A
2
Q
交于点
M

A
2
P

A
1
Q
交于点N
,则
MF?NF

②过双曲线一个焦点
F
的直线与 双曲线交于两点
P

Q
,
A
1

A2
为双曲线实轴上的顶点,
A
1
P


A2
Q
交于点
M

A
2
P

A
1
Q
交于点
N
,则
MF?NF



x
2
y
2
39.①椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,A
2
(a,0)
,与
y
轴平行的直线交椭圆于
ab< br>x
2
y
2
P
1

P
2
时< br>A
1
P
1

A
2
P
2
交点 的轨迹方程是
2
?
2
?1

ab
x
2< br>y
2
②双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a,0 )
,与
y
轴平行的直线交双
ab
x
2
y
2
曲线于
P
1

P
2

A
1P
1

A
2
P
2
交点的轨迹方程是
2
?
2
?1

ab



40.①椭圆 焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
e
(离心率)。
(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点)。
②双 曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
e
(离心率)。
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点)。
41.①椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比
e

②双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比
e

42.①椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项。
②双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项。

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本文更新与2020-09-22 06:30,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/407940.html

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