高考资源网高中数学教学片断-高中数学联赛二试怎么准备
圆锥曲线的性质及对偶性质 (必背的经典结论)
高三数学备课组
一、切线
2
222
1.①圆
x?y?R(R?0)
上点<
br>P
0
(x
0
,y
0
)
处的切线方程为
x
0
x?y
0
y?R
。
x
2
y
2
xxyy
②若
P
0
(x
0
,y
0)
在椭圆
2
?
2
?1
上,则过
P
0<
br>的椭圆的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
。 <
br>ab
ab
x
2
y
2
xxyy
③若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上,则过
P
0
的双曲线的切线方
程是
0
2
?
0
2
?1
。
ab
a
b
2
④抛物线
y?2px
上点
P
0
(x
0
,y
0
)
处的切线方程为
y
0
y?p(x?x0
)
;
抛物线
x?2py
上点
P
0
(x
0
,y
0
)
处的切线方程为
x
0
x?
p(y?y
0
)
。
2.①若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
x?y?R(R?0)
外 ,则过
P
0
作圆的两条切线切点为
P
1
、
P
2
,
则切
2
点弦
P
1
P
2
的直线方程是
x<
br>0
x?y
0
y?R
。
2
222
x
2
y
2
P
2
,②若
P
0
(x
0<
br>,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
外 ,
则过
P
0
作椭圆的两条切线切点为
P
1
、则切点弦
P
1
P
2
ab
xxyy
的直线方程是
0
2
?
0
2
?1
。
ab
x
2y
2
③若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
外
,则过
P
0
作双曲线的两条切线切点为
P
1
、
a
b
x
0
xy
0
y
P
2
,则切点弦
PP
的直线方程是
?
2
?1
。
12
2
a
b
2
④若
P
0
(x
0
,y
0
)<
br>在
y?2px
外,则过
P
0
作抛物线的的两条切线切点为P
1
、
P
2
,则切点弦
P
1
P
2
的
直线方程是为
y
0
y?p(x?x
0
)<
br>;若
P
0
(x
0
,y
0
)
在
x?2py
外,则过
P
0
作抛物线的的两条切线
切点为
P
1
、
P
2
,则切点弦
P
1
P
2
的直线方程是为
x
0
x?p(y?y
0
)
。
2
二、焦半径及焦点弦
x
2
y
2
3.①
F
1
(?c,0)
、
F
2
(c,0)
,
M
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?
1(a?b?0)
上,椭圆的焦半径(坐标式)
ab
公式:
|MF
1
|?a?ex
0
,
|MF
2
|?a?ex
0()。
x
2
y
2
x
2
y
2
F
1
(?c,0)
、
F
2
(c,0)
,
M
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?
1(a?b?0)
上,椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
<
br>abba
的焦半径(坐标式)公式:
|MF
1
|?a?ey
0
,
|MF
2
|?a?ey
0
。
记忆规律:左?
右
?
、下
?
上
?
。
x
2
y
2
②
F
1
(?c,0)
、
F
2
(c,0)
,双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的焦半径(坐标式)公式:
ba
当
M(x
0
,y
0<
br>)
在右支上时,
|MF
1
|?e|x
0
|?a?ex
0
?a
,
|MF
2
|?e|x
0
|?a?
ex
0
?a
;
当
M(x
0
,y
0
)
在左支上时,
|MF
1
|?e|x
0
|?a??ex<
br>0
?a
,
|MF
2
|?e|x
0
|?a??
ex
0
?a
。
x
2
y
2
F
1
(0,?c)
、
F
2
(0,c)
,双曲线2
?
2
?1(a?0,b?0)
的焦半径(坐标式)公式:
b
a
当
M(x
0
,y
0
)
在上支上时,
|M
F
1
|?e|y
0
|?a?ey
0
?a,|MF
2
|?e|y
0
|?a?ey
0
?a
;
当
M(x
0
,y
0
)
在下支上时,
|MF
1
|?e|y
0
|?a??ey
0
?a,|MF
2
|?e|y
0
|?a??ey
0
?a
。
记忆规律:左
?右
?
、下
?
上
?
,长正短负。
③抛物线焦半径(坐标式)公式(
p?0
):
抛物线
焦半径
y
2
?2px
y
2
??2px
x
2
?2py
x
2
??2py
p
?|y|
2
x
2
y
2
epb
2
?
④椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的
焦半径(倾斜角式)公式:
|MF|?
。
ab1?ecos
?
a?
ccos
?
x
2
y
2
epb
2
?
椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的焦半径(倾斜角式)公式:
|MF|?
。
ba1?esin
?
a?csin
?
记忆
规律:长(焦半径)
?
短(焦半径)
?
。
x
2
y
2
⑤
F
1
(?c,0)
、
F
2
(
c,0)
,双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的焦半径
(倾斜角式)公式:
ab
epb
2
|MF|??
。
|
1?ecos
?
||a?ccos
?
|
|PF|?|PF|?
x
2
y
2
F
1
(0,?c)
、
F
2
(0,c)
,双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)<
br>的焦半径(倾斜角式)公式:
ba
epb
2
|MF|??
。
|1?esin
?
||a?csin
?
|
记忆规律:长(焦
半径)
?
短(焦半径)
?
。
⑥抛物线的焦半径(倾斜角式)公式(
p?0
):
pp
(焦点在
x
轴上);
|PF|?
(焦点在
y
轴上)。
|PF|?
1?cos<
br>?
1?sin
?
p
?|x|
2
4.过圆锥曲线一焦点
F
的焦点弦
AB
的倾斜角为
?
(k?tan
?
),且
AF?
?
FB(
?
?0)
,则
当焦点
F
在
x
轴上时
e?1?k|
当焦点
F
在
y
轴上时
e?1?
2
?
?1<
br>?
?11
?
?1
|?1?tan
2
?
||?
||
;
?
?1
?
?1|cos
?
|
?<
br>?1
1
?
?11
?
?11
?
?1
|
|?1?||?||
。
k
2
?
?1tan
2
??
?1|sin
?
|
?
?1
5.①椭圆:以焦
点弦
PQ
为直径的圆必与对应准线相离。
②双曲线:以焦点弦
PQ
为直径的圆必与对应准线相交。
6.①椭圆:以焦点半径
PF
1
为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切。 <
br>②双曲线:以焦点半径
PF
1
为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切(内切:<
br>P
在右支;外切:
P
在左支)。
x
2
y
2
7.①
P
为椭圆
2
?
2
?1(a?0,
b?0)
上任一点,
F
1
、
F
2
为二焦点,
A
为椭圆内一定点,则
ab
2a?|AF
2
|?|PA|?|P
F
1
|?2a?|AF
1
|
,当且仅当
A,F
2<
br>,P
三点共线时,等号成立。
x
2
y
2
②
P
为双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上任一点,F
1
、
F
2
为二焦点,
A
为双曲线内一定点,
ab
则
|AF
2
|?2a?|PA|?|PF
1
|
,当且仅当
A,F
2
,P
三点共线且
P
和
A,F
2
在
y
轴同侧时,等号成立。
三、焦点三角形
8.①椭圆
xy
??1(a?b?0)
的左右焦点
分别为
F
1
、
F
2
,点
P
为椭圆上任意一
点
?F
1
PF
2
?
?
,
a
2
b
2
2
22
则椭圆的焦点角形的面
积为
S
?F
1
PF
2
?btan
?
2。
x
2
y
2
②双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左右焦点分别为
F
1
、
F
2<
br>,点
P
为双曲线上任意一点,
ab
?F
1
PF2
?
?
,则双曲线的焦点角形的面积为
S
?F
1
PF
2
?b
2
cot
?
2
。
x
2
y
2
9.①设
P
点是椭圆
2
?
2?1(a?0,b?0)
上异于长轴端点的任一点,
F
1
、
F<
br>2
为其焦点,记
ab
2b
2
?
2
?F1
PF
2
?
?
,则 ⑴
|PF
1
|
|PF
2
|?
;⑵
S
?PF
1
F
2
?btan
。
1?cos
?
2
x
2
y
2
②设
P
点是双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0
)
上异于实轴端点的任一点,
F
1
、
F
2
为其焦点
,
ab
2b
2
?
2
记
?F
1
P
F
2
?
?
,则 ⑴
|PF
1
||PF
2
|?
;⑵
S
?PF
1
F
2
?bcot。
1?cos
?
2
x
2
y
2
10.
①若
P
为椭圆
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上异
于长轴端点的任一点,
F
1
、
F
2
是焦点,
ab
?PF
1
F
2
?
?
,
?PF
2<
br>F
1
?
?
,则
a?c
??
?tancot<
br>。
a?c22
x
2
y
2
②若
P
为
双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
右(或左)支上除顶点外的任
一点,
F
1
、
F
2
是焦点,
ab
?PF
1
F
2
?
?
,
?P
F
2
F
1
?
?
,则
c?a
??
c
?a
??
?tancot
(或
?tancot
)。
c?a
22c?a22
x
2
y
2
11.①设椭圆
2
?2
?1(a?0,b?0)
的两个焦点为
F
1
、
F2
,
P
(异于长轴端点)为椭圆上任意
ab
?F
1<
br>F
2
P?
?
,一点,在
?PF
1
F
2
中,记
?F
1
PF
2
?
?
,
?PF
1
F
2
?
?
,则有
sin
?
c
??e
。
sin
?
?sin
?
a
x
2
y
2
②设双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的两个焦点为
F
1
、
F
2
,
P
(异于长轴端点)为双曲线上
ab
任意一点。在
?F
1
PF
2
中,记
?F
1
PF
2
?
?
,?PF
1
F
2
?
?
,?F
1
F
2
P?
?
,则有
sin
?
c
??e< br>。
?(sin
?
?sin
?
)a
x
2y
2
12.①设
A
、
B
是椭圆
2
?< br>2
?1(a?0,b?0)
的长轴两端点,
P
是椭圆上的一点,
?PAB?
?
,
ab
?PBA?
?
,
?BP A?
?
,
c
、
e
分别是椭圆的半焦距离心率,则有: 2ab
2
|cos
?
|
2a
2
b
2< br>2
cot
?
。 ⑴
|PA|?
2
;⑵
tan
?
tan
?
?1?e
;⑶
S
?PAB
?< br>2
a?c
2
cos
2
?
b?a
2
x
2
y
2
②设
A
、
B
是双曲线
2< br>?
2
?1(a?0,b?0)
的长轴两端点,
P
是双曲线上的 一点,
ab
?PAB?
?
,
?PBA?
?
,?BPA?
?
,
c
、
e
分别是双曲线的半焦距离心率, 则有:
2ab
2
|cos
?
|
2a
2
b
2
2
cot
?
。 ⑴
|PA|?
2
;⑵< br>tan
?
tan
?
?1?e
;⑶
S
?PAB
?
22
|a?c
2
cos
2
?
|
b?a
x
2
y
2
13.①若椭圆
2
?
2< br>?1(a?0,b?0)
的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
,左准线为
l
,则当
ab
0?e?2?1
时,可在椭 圆上求一点
P
,使得
PF
1
是
P
到对应准线距离< br>d
与
PF
2
的比例中项。
x
2
y
2
②若双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左、右焦点 分别为
F
1
、
F
2
,左准线为
l
,则当
ab
1?e?2?1
时,可在双曲线上求一点
P
,使得
PF
1
是
P
到对应准线距离
d
与
PF
2
的比例中项。
四、直线与圆锥曲线、弦中点的轨迹方程或中点弦方程
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
x
2< br>y
2
14.①若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
内,则被
P
0
所平分的中点弦的方程是
2
?
2
?
2
?
2
。
ababab
x
2
y
2
②若
P0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?2
?1(a?0,b?0)
内,则被
P
0
所平分的中点弦的方程 是
ab
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
?
2
?
2
?
2
。
2
abab
x
2
y
2
x
2
y
2< br>x
0
xy
0
y
15.①若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1< br>内,则过
P
0
的弦中点的轨迹方程是
2
?
2
?
2
?
2
。
ababab
x
2
y
2
②若
P
0
(x
0
,y
0
)
在 双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
内,则过
P
0
的弦中点的轨迹方程是
ab
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
?
2
?
2
?
2。
2
abab
(x?x
0
)
2
(y?y
0
)
2
??1
与直线
Ax?By?C?0
有公共点的充要条件是 16.①椭圆
22
ab
2222
Aa?Bb?(A
x
0
?By
0
?C)
2
。
x
2
y
2
②双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
与直
线
Ax?By?C?0
有公共点的充要条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?C
2
。
五、斜
率乘积为常数(
?(e
2
?1)
、
?1
)、斜率和为常数(
0
)
x
2
y
2
b
2
M(x0
,y
0
)
为
AB
的中点,17.①
AB是椭圆
2
?
2
?1
的不平行于对称轴的弦,则
k
OM
?k
AB
??
2
,
aba
b
2<
br>x
0
即
k
AB
??
2
。
ay0
x
2
y
2
②
AB
是双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的不平行于对称轴的弦,
M(x
0<
br>,y
0
)
为
AB
的中点,
ab
b
2
x
0
b
2
x
0
则
k
OM
?k
AB
?
2
,即
k
AB
?
2
。
ay
0
ay
0
x
2
y
2
18
.①过椭圆
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆
abb
2
x
0
于
B
、
C
两点,则直线BC
有定向,且
k
BC
?
2
(常数)。
ay
0
x
2
y
2
②过双曲线
2
?
2<
br>?1(a?0,b?0)
上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直线交双曲
ab
b
2
x
0
线于
B
、
C
两点,则直线
BC
有定向且
k
BC
??
2
(常数)。
ay
0
x
2
y
2
19.①
A
1
,A
2
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的左右顶点,点
P
是
C
上异于
A
1
,A
2
的任意一点,
ab
b
2
x
2
y
2
则
k
PA
?kPA
??
2
(焦点在
x
轴上);
A
1
,A
2
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)的左右顶点,
12
aba
a
2
点
P
是
C
上异于
A
1
,A
2
的任意一点,则
k
PA
?k
PA
??
2
(焦点在
y
轴上)。
12
b
x
2
y
2
②
A
1
,A<
br>2
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左右顶点,点
P
是
C
上异于
A
1
,A
2
的任意一点,
ab
b
2
y
2
x
2则
k
PA
?k
PA
?
2
(焦点在
x<
br>轴上);
A
1
,A
2
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左右顶点,
12
aab
a
2
点
P
是
C
上异于
A
1
,A2
的任意一点,则
k
PA
?k
PA
?
2
(焦点在
y
轴上)。
12
b
x
2
y
2
③
M,N
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b
?0)
的两动点,点
P
是
C
上异于
M,N
的任意一
点,
ab
则
M,N
两点关于椭圆中心对称
?kPM
?k
PN
M,N
两点关于椭圆中心对称
?k<
br>PM
?k
PN
b
2
??
2
(焦点在
x
轴上);
a
a
2
??
2
(焦点在
y
轴上)。 b
x
2
y
2
④
M,N
是椭圆
C:2
?
2
?1(a?0,b?0)
的两动点,点
P
是C
上异于
M,N
的任意一点,
ab
b
2
则<
br>M,N
两点关于椭圆中心对称
?k
PM
?k
PN
?<
br>2
(焦点在
x
轴上);
a
a
2
M,N
两点关于椭圆中心对称
?k
PM
?k
PN
?
2
(焦点在
y
轴上)。
b
20.
A,B
是圆
锥曲线上的两动点,
M
是一定点,其中
?
,
?
分别为
MA,MB
的倾斜角,则
AB
恒过定点
?MA?MB
为定值
?k
MA
?k
MB
为定值
?
?
?<
br>?
?
?
(0?
?
?
?
)
。
x
2
y
2
①
A,B
是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上异于右顶点
D
的两动点,其中
?
,
?
分别为
DA,DB
的
ab
ac
2
?<
br>?k?k??1
,0)
倾斜角,则
AB
恒过定点
(
2
。
?|
?
?
?
|?
?DA?DB
DB<
br>DA
2
a?b
2
x
2
y
2
②一动直
线与椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
交于
A,B
(
A,B
不是椭圆左右顶点),
O
为椭圆中
ab
心,则AB
过原点
?k
OA
?k
OB
b
2
?
?
2
。
a
x
2
y
2
③
A,B<
br>是双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上异于右顶点
D
的两动点,其中
?
,
?
分别为
ab
DA,DB
的倾斜角,则
ac
2
?
?k?k
??1
,0)
?|
?
?
?
|?
?
AB恒过定点
(
2
。
?DA?DB
DB
DA
2<
br>b?a
2
④
A,B
是抛物线
y?2px(p?0)
上
的两动点,
O
是抛物线顶点,其中
?
,
?
分别为
O
A,OB
的
倾斜角,则
AB
恒过定点
(2p,0)
?OA?OB
?k
OA
?k
OB
??1
?|
?
?
?
|?
2
?
2
。
x
2
y
2
21.①
E,F
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b
?0)
上异于
C
上定点
P(x
0
,y
0
)
(x
0
?0)
的两动点,其中
ab
O
为椭
圆中心,
?
,
?
分别为
PE,PF
的倾斜角,则
k
PE
?k
PF
?0
?k
OP
?k
EF<
br>b
2
?
2
?
?
?
?
?
?<
br>。
a
x
2
y
2
②
E,F
是椭圆<
br>C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上异于
C
上定点
P(x
0
,y
0
)(x
0
?0)
的两动点,其中
ab
O
为双曲线中心,
?
,
?
分
别为
PE,PF
的倾斜角,则
k
PE
?k
PF
?
0
?k
OP
?k
EF
b
2
??
2
?
?
?
?
?
?
。
a
③
E,F<
br>是抛物线
C:y?2px(p?0)
上异于
C
上定点
P(x<
br>0
,y
0
)(x
0
?0)
的两动点,其中
O
为抛物线中心,
?
,
?
分别为
PE,PF
的倾斜
角,则
k
PE
?k
PF
?0
?k
OP
?
k
EF
??
p
?
?
?
?
?
?。
x
0
六、向量与圆锥曲线
22.椭圆中心为
O
。
x
2
y
2
①M,N
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
上两动点,点
P
是平面上异于
M,N
的任意一动点,
ab
b
2
22
且
OP?
?
OM?
?
ON
,则“
P
在
C
上、
?
?
?
?1
、
k
OM
?k
ON
??
2
(焦点在
x轴上)”
a
中两个成立,可得出另一个成立。
x
2
y
2
M,N
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
上两动点,点
P
是平面上异于
M,N
的任意一动点,
ba
且
OP?
?
OM?
?
ON
,则“<
br>P
在
C
上、
?
?
?
?1
、
k
OM
?k
ON
中两个成立,可得出另一个成立。
22
a
2
??
2
(焦点在
y
轴上)” <
br>b
x
2
y
2
②
M,N
是双曲线
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上两动点,点
P
是
平面上异于
M,N
的任意一动
ab
b
2
22
?
?
?
?1
、<
br>k
OM
?k
ON
?
2
(焦点在
x
轴
上)点,且
OP?
?
OM?
?
ON
,则“
P
在
C
上、”
a
中两个成立,可得出另一个成立。
y
2
x
2
M,N
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上两动点,点
P
是平面上异于
M,N
的任意一动点,
ab
a
2
22
且
O
P?
?
OM?
?
ON
,则“
P
在
C
上、
?
?
?
?1
、
k
OM
?k
ON
?
2
(焦点在
y
轴上)”
b
中两个成立,可得出另一个成立。
x
2
y
2
2
3.①
M,N
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0
)
上两动点,点
P(x,y)
是平面上异于
M,N
的任意
ab
b
2
x
2
y
2
22
一动点,且
OP?
?
OM?
?
ON
,则
k
OM
?k
ON
??
2
?
2
?
2
?
?
?
?
(焦点在
x
轴上)”
aab
x
2
y
2
M,N
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?
b?0)
上两动点,点
P
是平面上异于
M,N
的任意一动点, ba
a
2
x
2
y
2
22
且
O
P?
?
OM?
?
ON
,则
k
OM
?kON
??
2
?
2
?
2
?
?
?
?
(焦点在
y
轴上)”
bba
x
2
y<
br>2
②
M,N
是双曲线
C:
2
?
2
?
1(a?0,b?0)
上两动点,点
P(x,y)
是平面上异于
M,N
的任意
ab
b
2
x
2
y
2
22
一动点,且
OP?
?
OM?
?
ON
,则
k
OM
?k
ON
?
2
?
2
?
2
?
?
?
?
(焦点在
x
轴上)。
aab
y
2
x
2
M,N
是椭圆
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上两动点,点
P
是平面上异于
M,N
的任意一动点,
ab
a
2
x
2
y
2
22
且
OP?
?
OM?
?
ON
,则
k
OM
?k
ON
?
2
?
2
?
2
?
?
?
?
(焦点在
y
轴上
)。
bba
a
2
乘积为常数
(
c??a
2
。)
c
x
2
y
2
a
2
?a<
br>2
。)24.(焦点在
x
轴或
y
轴上的椭圆或双曲线)曲线<
br>E:
2
?
2
?1(ab?0)
。(注:
c?
abc
①曲线
E
的左右顶点
A(?a,0),B(a,0)
,点
Q(m,n)(mn?0,|m|?a)
不在
E
上,
QA,QB
分别
交
E
于点
C,D
,直线
CD
交x
轴于点
P
,则
OP?OQ?a
。
②曲线
E
的左右顶点
A(?a,0),B(a,0)
,过点
M(s,t)
的直
线
l
与
E
交于点
C,D
两点,与
x
轴 <
br>2
交于点
P
,直线
AC
、
BD
交于点
Q
1
、直线
AD
、
BC
交于点
Q
2
,则
OP?OQ
1
?OP?OQ
2
?a
2
,
且直线
Q
1
Q
2
垂直于
x
轴。
③
A,B
为
E
上的动点且
AB
垂直于
x
轴
,
M(t,0)
为一定点,连接
MA
交
E
于点
N<
br>,则
BN
恒
a
2
2
过定点
P(,0),此时
OP?OM?a
。
t
④
A,B
为
E:
y?2px(p?0)
上的动点且关于
x
轴对称,
M(t,0)
为一
定点,连接
MA
交
E
于
点
N
,则
BN<
br>恒过定点
P(?t,0)
,此时
OP?OM??t
。
2x
2
y
2
25.过曲线
E:
2
?
2<
br>?1(ab?0)
内部一点
A(t,0)(t?0)
的直线与曲线
E<
br>相交于
M,N
两点,
ab
a
2
过
M,N<
br>向直线
l:x?
作垂线,垂足分别为
M
0
,N
0,记
?AMM
0
,?AM
0
N
0
,?ANN<
br>0
的面积
t
2
分别为
S
1
,S
2
,S
3
,则
S
2
?4S
1
S
3<
br>。
x
2
y
2
26.过曲线
E:
2
?
2
?1(ab?0)
内部一点
P(m,0)(m?0)
的直线与曲
线
E
相交于
A,B
两点,
ab
2
交定直线
x?n
于点
M
,设
MA?
?
1
AP,MB??
2
BP
,则
?
1
?
?
2
?
0?mn?a
。
x
2
y
2
a
2
27.①
设
M(m,0)(m?0)
是曲线
E:
2
?
2
?1
(ab?0)
对称轴上一点,定直线
l:x?
,过定
abm
点M
作直线交曲线
E
于
A,B
两点,
N
是定直线
l
上任意一点,则直线
AN,MN,BN
的斜率成
等差数列。 <
br>②设
M(m,0)(m?0)
是抛物线
E:y?2px(p?0)
对称
轴上一点,定直线
l:x??m
,过定点
M
作直线交抛物线
E于
A,B
两点,
N
是定直线
l
上任意一点,则直线AN,MN,BN
的斜率成
等差数列。
七、其它:面积、离心率、准线
p>
x
2
y
2
28.①已知椭圆
2
?
2
?1(a?0,b?0)
,
O
为坐标原点,
P(x
1<
br>,y
1
)
、
Q(x
2
,y
2
)为椭圆上两动
ab
b
2
ab
?x
1
2
?x
2
2
?a
2
?y
1
2
?y
2
2
?b
2
。 点,则
k
OP
?k
OQ<
br>??
2
?S
?OPQ
?
a2
x
2
y
2
②已知双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
,
O
为坐标原点,
P
、
Q
为双曲线上两动点,则。
ab
x
2
y
2
29.①已知椭圆
2
?
2<
br>?1(a?0,b?0)
,
O
为坐标原点,
P
、
Q<
br>为椭圆上两动点,
O
在
PQ
上
ab
射影为
D
,
O
到
PQ
的距离为
d
,
OP?OQ<
br>,则
1111
???
⑴
OP?OQ
?
|OP|
2
|OQ|
2
a
2
b
2
a
2b
2
?d?
?D
的轨迹是
x?y?
22
; <
br>22
a?b
a?b
a
2
b
2
1
⑵<
br>S
?OPQ
的最小值是
2
、最大值为
ab
;
a?b
2
2
4a
2
b
2
2ab
2222
?|PQ|?a
2
?b
2
;
?|OP|?|OQ|?a?
b
⑶
2
?
2
a?b
a
2
?b
2<
br>ab
22
⑷。
x
2
y
2
②已知双曲线2
?
2
?1(0?a?b)
,
O
为坐标原点,
P
、
Q
为双曲线上两动点,
O
在
PQ
上
ab
射影为
D
,
O
到
PQ
的距离为
d,且
OP?OQ
。
a
2
b
2
1111
ab
22
???
?d?
则⑴
OP?OQ?
?D
的轨迹是
x?y?
22
;
22
b?a
|OP|2
|OQ|
2
a
2
b
2
b?a
a2
b
2
4a
2
b
2
22
⑵
S
?OPQ
的最小值是
2
;
⑶
|OP|?|OQ|
的最小值为
2
; ⑷。
22
b?ab?a
x
2
y
2
③已知椭圆
2
?
2
?1(a?0,b?0)
,
O
为坐标原点,
P
、
Q
为椭圆上两动点,
O
在
PQ
上
ab
射影为D
,
O
到
PQ
的距离为
d
,则
ab
1111
?
?d?
???
。
0??POQ?
?OP?OQ?0
?
2222
22
|OP||OQ|ab
2
a?b
x
2
y
2
30.①过椭圆
2
?2
?1(a?0,b?0)
的右焦点
F
作直线交该椭圆右支于
M
、
N
两点,弦
MN
ab
|PF|e
?
。 的垂直平分线交
x
轴于
P<
br>,则
|MN|2
x
2
y
2
②过双曲线
2?
2
?1(a?0,b?0)
的右焦点
F
作直线交该双曲线的右
支于
M
、
N
两点,弦
ab
|PF|e
?
。
MN
的垂直平分线交
x轴于
P
,则
|MN|2
x
2
y
2
31.①已知椭圆
2
?
2
?1(a?0,b?0)
,A
、
B
是椭圆上的两点,线段
AB
的垂直平分线与
x<
br>轴
ab
a
2
?b
2
a
2
?b2
?x
0
?
相交于点
P(x
0
,0)
,则
?
。
aa
x
2
y
2
②已知双曲线<
br>2
?
2
?1(a?0,b?0)
,
A
、
B<
br>是双曲线上的两点,线段
AB
的垂直平分线与
ab
a
2?b
2
a
2
?b
2
x
轴相交于点
P(
x
0
,0)
,
则
x
0
?
或
x
0
??
。
aa<
br>x
2
y
2
32.①已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的右准线
l
与
x
轴相交于点
E
,过椭圆右焦点
F
的直线与
ab
椭圆相交于
A
、
B
两点,点
C
在右准线
l
上,且
BC?x
轴,则直
线
AC
经过线段
EF
的中点。
x
2
y
2
②已知双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的右准线l
与
x
轴相交于点
E
,过双曲线右焦点
F
的直
ab
线与双曲线相交于
A
、
B
两点,点
C
在右准线
l
上,且
BC?x
轴,则直线
AC
经过线段
EF
的
中点。
33.①椭圆:点
P
处的切线
PT平分
?F
1
PF
2
在点
P
处的外角。
②双曲线:点
P
处的切线
PT
平分
?F
1
PF<
br>2
在点
P
处的内角。
34.①
椭圆:
PT
平分
?F
1
PF
2
在点
P处的外角,则焦点在直线
PT
上的射影
H
点的轨迹是以长轴
为直
径的圆,除去长轴的两个端点。
②双曲线:
PT
平分
?F
1
PF
2
在点
P
处的内角,则焦点在直线
PT
上的射影H
点的轨迹是以长
轴为直径的圆,除去长轴的两个端点。
35.①设过椭圆焦
点
F
作直线与椭圆相交
P
、连结
AP
和
AQ
Q
两点,
A
为椭圆长轴上一个顶点,
分别交相应于焦点
F
的椭圆准线于
M
、
N
两点,则
MF?NF
。 <
br>②设过双曲线焦点
F
作直线与双曲线相交
P
、
Q
两点
,
A
为双曲线长轴上一个顶点,连结
AP
和
AQ
分别交相应于焦点
F
的双曲线准线于
M
、
N
两点,则
MF?NF
。
x
2
y
2
③曲线
E:
2
?
2
?1
的左(右)顶点为
A
,
ab
过右(左)焦点
F
的直线交椭圆于
B,C
两点,
直线
AB,AC
分别交右(左)准线于点
M,N
,
则以
MN
为直径的圆必过焦点
F
。
④过抛物线的焦点的弦
MN
的端点分别向准线作垂线,垂足分别为
M
0
,N
0,则以
M
0
N
0
为直
径的圆过焦点。
36.①过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的
连线必与切线垂直。
②过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点
的连线必与切线垂直。
37.①过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线
于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互
相垂直。
②过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径
互相垂直。
38.①过椭圆一个焦点
F
的直线与椭圆交于两点
P<
br>、
Q
,
A
1
、
A
2
为椭圆长轴上的
顶点,
A
1
P
和
A
2
Q
交于点
M
,
A
2
P
和
A
1
Q
交于点N
,则
MF?NF
。
②过双曲线一个焦点
F
的直线与
双曲线交于两点
P
、
Q
,
A
1
、
A2
为双曲线实轴上的顶点,
A
1
P
和
A2
Q
交于点
M
,
A
2
P
和
A
1
Q
交于点
N
,则
MF?NF
。
x
2
y
2
39.①椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,A
2
(a,0)
,与
y
轴平行的直线交椭圆于
ab<
br>x
2
y
2
P
1
、
P
2
时<
br>A
1
P
1
与
A
2
P
2
交点
的轨迹方程是
2
?
2
?1
。
ab
x
2<
br>y
2
②双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a,0
)
,与
y
轴平行的直线交双
ab
x
2
y
2
曲线于
P
1
、
P
2
时
A
1P
1
与
A
2
P
2
交点的轨迹方程是
2
?
2
?1
。
ab
40.①椭圆
焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
e
(离心率)。
(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点)。
②双
曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
e
(离心率)。
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点)。
41.①椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比
e
。
②双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比
e
。
42.①椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项。
②双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项。