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(word完整版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 06:31
tags:高中数学圆锥曲线

2015辽宁高中数学学业水平考试-北师大版高中数学必修2说课

2020年9月22日发(作者:姜俊平)


圆锥曲线二级推论
椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P
处的外角.
Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连
结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭
圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于
2. PT平分△PF
1
F
2
在点P处的外角,则焦
两点P、Q, A1
、A
2
为椭圆长轴上的顶
点在直线PT上的射影H点的轨迹是以
点,A
1
P和A
2
Q交于点M,A
2
P和A
1< br>Q
长轴为直径的圆,除去长轴的两个端
交于点N,则MF⊥NF.
点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线
相离.
4. 以焦点半径PF
1
为直径的圆必与以长
轴为直径的圆内切.
x
2
y
2
5. 若
P
0
(x
0< br>,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
上,则 过
P
0
ab
xxyy
的椭圆的切线方程是
0
2?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
6. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1< br>外 ,则过
ab
x
2
y
2
11. AB是椭圆
2
?
2
?1
的不平行于对称轴
ab
的弦,M
(x
0
,y
0
)
为AB的中点,则
b
2
kOM
?k
AB
??
2

a
b
2x
0

K
AB
??
2

ay
0
双曲线
1. 点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点
P处的内角.
2. PT平分△PF
1
F
2
在点P处的内角,
则焦点在直 线PT上的射影H点的
轨迹是以长轴为直径的圆,除去长
轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应
准线相交.
4. 以焦点半径PF
1
为直 径的圆必与以
实轴为直径的圆相切.(内切:P在
右支;外切:P在左支)
x
2
y
2
5. 若
P
0
(x
0< br>,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
(a >
ab
Po作椭圆的两条切线切点为P
1
、P
2

则切点弦P
1
P
2
的直线方程是
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
2
ab
x
2
y
2
7. 椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的左右焦点
ab
分别为F
1
,F
2
,点P 为椭圆上任意一

?F
1
PF
2
?
?
,则 椭圆的焦点角形的面
积为
S
?FPF
?b
2
tan
.
12
?
2
8. 椭圆
xy
??1
(a>b>0 )的焦半径公
a
2
b
2
22
式:
|MF
1
|?a?ex
0
,
|MF
2
|?a?ex
0(
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)M(x
0
,y
0
)
).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、
1
14


圆锥曲线二级推论
0,b>0)上,则过
P
0
的双 曲线的切
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
2
ab
x
2
y
2
6. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
(a>
ab
为AB的中点,则
K
OM
?K< br>AB

K
AB
b
2
x
0
?
2

ay
0
线方程是
b
2
x
0
?
2

ay
0
0,b>0)外 ,则过Po作双曲线的
两条 切线切点为P
1
、P
2
,则切点弦
P
1
P
2
的直线方程是
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
7. 双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>o)的左
ab
x
2
y
2
12. 若
P
0
(x
0
, y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
(a>
ab
0,b>0)内,则被Po所平分的中点
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
弦的方程是
2
?
2
?
2
?
2
.
abab
x
2
y
2
13. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
(a>
ab
右焦点分别为F
1
,F
2
,点 P为双曲
线上任意一点
?F
1
PF
2
?
?
,则双曲线
的焦点角形的面积为
S
?FPF
?b
2
cot< br>.
12
0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨
x
2
y2
x
0
xy
0
y
迹方程是
2
?
2
?
2
?
2
.
abab
?
2
x
2
y
2
8. 双曲线2
?
2
?1
(a>0,b>o)的焦
ab
半径公式:(
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)

椭圆与双曲线的对偶
性质--椭 圆
x
2
y
2
1. 椭圆
2
?
2
?1
(a>b>o)的两个顶
ab
点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a,0)
,与y轴平行的

M(x
0< br>,y
0
)
在右支上时,
|MF
1
|?ex
0
?a
,
|MF
2
|?ex
0
?a
.
M(x
0
,y
0
)
在左支上时,
|MF1
|??ex
0
?a
,
|MF
2
|??ex< br>0
?a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线
相交 P、Q两点,A为双曲线长轴
上一个顶点,连结AP 和AQ分别
交相应于焦点F的双曲线准线于
M、N两点,则MF⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲
线交于两点P、Q, A
1
、A
2
为双曲线
实轴上的顶点,A
1
P和A
2
Q交于点
M,A2
P和A
1
Q交于点N,则MF
⊥NF.
11. AB是双曲 线
xy
??1
(a>0,b>0)
a
2
b
2
的不平行于对称轴的弦,M
(x
0
,y
0
)
22
直线交椭圆于P
1

P
2
时A
1
P
1与A
2
P
2
x
2
y
2
交点的轨迹方程 是
2
?
2
?1
.
ab
x
2
y
2
2. 过椭圆
2
?
2
?1
(a>0, b>0)上任
ab
一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互
补的 直线交椭圆于B,C两点,则直
线BC有定向且
k
BC
b
2
x
0
?
2
(常数).
ay
0
x
2
y
2
3. 若P为椭圆
2?
2
?1
(a>b>0)上
ab
异于长轴端点的任一点,F1
, F
2
是焦
点,
?PF
1
F
2
?
?
,
?PF
2
F
1
?
?
,则
a?c
??
?tancot
.
a?c22
x
2
y
2
4. 设椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的两个
ab
焦点为F
1< br>、F
2
,P(异于长轴端点)
2
14


圆锥曲线二级推论
为椭圆上任意一点,在△PF
1
F
2
中,

?F
1
PF
2
?
?
,
?PF
1
F
2
?
?
,
?F
1F
2
P?
?
,则有
sin
?
sin
?
?sin
?
?
c
a
?e
.
5. 若椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
? 1
(a>b>0)的左、
右焦点分别为F
1
、F
2
,左准线 为L,
则当0<e≤
2?1
时,可在椭圆上求
一点P,使得PF
1< br>是P到对应准线
距离d与PF
2
的比例中项.
6. P为椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1(a>b>0)上任
一点,F
1
,F
2
为二焦点,A为椭圆内一
定点,则
2a?|AF
2
|?|PA|?|PF
1
|?2a ?|AF
1
|
,当且
仅当
A,F
2
,P
三 点共线时,等号成立.
7. 椭圆
(x?x
0
)
2
(y? y
0
a
2
?
)
2
b
2
?1
与直线
Ax?By?C?0
有公共点的充要条件

A
2
a
2
?B
2
b
2
?(Ax
0
?By
2
0
?C)
.
8. 已知椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
(a>b>0),O
为坐 标原点,P、Q为椭圆上两动点,

OP?OQ
.
1)
1
|OP|
2
?
1
|OQ|
2
?
11
a< br>2
?
b
2
;
2) |OP|
2
+|OQ|
2
的最大值为
4a
2
b
2
a
2
? b
2
;
3)
S
a
2
b
2
?O PQ
的最小值是
a
2
?b
2
.
9. 过椭圆x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1< br>(a>b>0)的右焦
3
14
点F作直线交该椭圆右支于M,N两
点,弦MN的垂直平分线交x轴于
P,则
|PF|
|MN|
?
e< br>2
.
10. 已知椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
( a>b>0)
,A、B、是椭圆上的 两点,线段
AB的垂直平分线与x轴相交于点
x
a
2
?b
2
a
2
?b
2
P(
0
,0)
, 则
?
a
?x
0
?
a
.
11. 设P点是 椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
( a>b>0)
上异于长轴端点的任一点,F
1
、F
2
其焦点记
?F
1
PF
2
?
?
,则
1)
|PF
2b
2
1
||PF
2
|?< br>1?cos
?
.
2)
S
?PF
1
F2
?b
2
tan
?
2
.
12. 设A、B是 椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
( a>b
>0)的长轴两端点,P是椭圆上的
一点,
?PAB?
?
,
?PBA?
?
,
?BPA?
?
,c、e分别是椭
圆 的半焦距离心率,则有
(1)
|PA|?
2ab
2
|cos
?
|
a
2
?c
2
cos
2
?
.( 2)
tan
?
tan
?
?1?e
2
.(3) < br>S
?PAB
?
2a
2
b
2
b
2?a
2
cot
?
.
13. 已知椭圆
x
2< br>y
2
a
2
?
b
2
?1
( a>b> 0)的
右准线
l
与x轴相交于点
E
,过椭圆
右焦点
F
的直线与椭圆相交于A、B
两点,点
C
在右准线
l
上,且
BC?x
轴,则直线AC经过线段EF 的中
点.


圆锥曲线二级推论
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切
线,与以 长轴为直径的圆相交,则
相应交点与相应焦点的连线必与切
线垂直.
15. 过椭圆 焦半径的端点作椭圆的切线
交相应准线于一点,则该点与焦点
的连线必与焦半径互相垂直. < br>16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的
距离与以该焦点为端点的焦半径之
比为常数e( 离心率).
(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点
的内、外角平分线与长轴交点分别称为< br>内、外点.)
17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非
焦顶点连线段分成定比e.
18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外
点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性
质--双曲线
1. 双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
(a>0,b>0)< br>的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a ,0)

与y轴平行的直线交双曲线于
P
1

P
2
时A
1
P
1
与A
2
P
2
交点的轨 迹
方程是
x
2
y
2
a
2
?
b2
?1
.
2. 过双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
(a>0,b>o)
4
14
上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作 两条倾
斜角互补的直线交双曲线于
B,C两点,则直线BC有定向且
k
BC< br>??
b
2
x
0
a
2
y
(常数).
0
3. 若P为双曲线
x
2
y
2
a
2?
b
2
?1
(a>0,b
>0)右(或左)支上除顶点外
的任一点,F
1
, F
2
是焦点,
?PF
1
F
2
?
?
,
?PF
2
F
1
?
?
,则
c?a
??
c?a
?tan
2
cot
2
(或
c?a
c?a
?tan< br>??
2
cot
2
).
4. 设双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
(a>0, b>0)
的两个焦点为F
1
、F
2
,P(异于长
轴端点)为 双曲线上任意一点,
在△PF
1
F
2
中,记
?F
1
PF
2
?
?
,
?PF
1
F
2< br>?
?
,
?F
1
F
2
P?
?
,则有
sin
?
?(sin
?
?sin
?
)
?
c
a
?e
.
5. 若双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
(a>0,b>0)< br>的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,左
准线为L,则当1<e≤
2?1
时,
可在双曲线上求一点P,使得
PF
1
是P到对应 准线距离d与
PF
2
的比例中项.
6. P为双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
(a>0, b>


圆锥曲线二级推论
0)上任一点,F
1< br>,F
2
为二焦点,A
为双曲线内一定点,则
|AF
2
|?2a?|PA|?|PF
1
|
,当且仅当
A,F
2
,P
三点共线且
P

A,F
2
在y
轴同侧时,等号成立 .
7. 双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
(a>0,b>0)
与直线
Ax?By?C?0
有公共点
的充要条件是
A
2
a
2
?B
2
b
2
?C
2
.
8. 已知双曲线
x
2
y< br>2
a
2
?
b
2
?1
(b>a >
0),O为坐标原点,P、Q为双
曲线上两动点,且
OP?OQ
.
(1)
1
|OP|
2
?
111
|OQ|
2
?
a
2
?
b
2
;
(2)|OP|
2< br>+|OQ|
2
的最小值为
4a
2
b
2
b2
?a
2
;
(3)
a
2
b
2
S
?OPQ
的最小值是
b
2
?a
2
.
9. 过双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
(a>0,b>0)
的右焦点F作直线交该双曲线
的右支于 M,N两点,弦MN的
垂直平分线交x轴于P,则
|PF|
|MN|
?
e
2
.
10. 已知双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
(a>0,b>
0),A、B是双 曲线上的两点,
线段AB的垂直平分线与x轴相
交于点
a
2
?b2
P(x
0
,0)
, 则
x
0
?
a< br>或
??
a
2
?b
2
x
0
a
.
11. 设P点是双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
(a>
0,b>0)上异于实轴端点的任一
点 ,F
1
、F
2
为其焦点记
?F
1
PF
2< br>?
?

则(1)
|PF?
2b
2
1
||PF
2
|
1?cos
?
.(2)
5
1 4
S
?
?PF
1
F
2
?b
2
co t
2
.
12. 设A、B是双曲线
x
2
y
2a
2
?
b
2
?1
(a
>0,b>0)的长轴两 端点,P是
双曲线上的一点,
?PAB?
?
,
?PBA?
?
,
?BPA?
?
,c、e分别是
双曲线的半焦距离心率,则有
1)
|PA|?
2ab
2
|cos
?
|
|a
2
?c
2
cos
2
?
|
.
2)
tan
?
tan
?
?1?e
2
.
3)
S
2a
2
b
2
?PAB
?
b
2
?a
2
cot
?
.
13. 已知双曲线x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1< br>(a>0,b>
0)的右准线
l
与x轴相交于点
E

过双曲线右焦点
F
的直线与双
曲线相交于A、B两点,点
C
在右准线
l
上,且
BC?x
轴,则直线
AC经过线段EF 的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲
线的切线,与以长轴为直径的圆
相交,则相应交 点与相应焦点的
连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲
线的切线 交相应准线于一点,则
该点与焦点的连线必与焦半径
互相垂直.
16.双曲线焦三角 形中,外点到一焦
点的距离与以该焦点为端点的
焦半径之比为常数e(离心率).


圆锥曲线二级推论
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶
点 的内、外角平分线与长轴交点分
别称为内、外点).
17.双曲线焦三角形中,其焦点所对
的旁心将外点与非焦顶点连线
段分成定比e.
18.双曲线焦三角形中,半焦距必为
内、外点到双曲线中心的比例中
项.
6
14


圆锥曲线二级推论
圆锥曲线问题解题方法

圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题
时就需要运用多种基础知识、采用 多种数学手段
来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固
然重要,但要做到迅速、准确解题 ,还须掌握一
些方法和技巧。
一. 紧扣定义,灵活解题
灵活运用定义,方法往往直接又明了。
例1. 已知点A(3,2),F(2,0),双曲线
y
2
2
x??1
,P为双曲线上一点。
3
1

|PA|?|PF|
的最小值。
2
解析:如图所示,

?b
2
?pc?pt

再设椭圆短轴端点坐标为P(x,y),则
?
?
x?c?t

?

y?b?pt
?
?
消去t,得轨迹方程
y
2
?px


三. 数形结合,直观显示
将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”
的严密性和“形”的直 观性,以数促形,用形助
数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题
形象化。熟练的使用它 ,常能巧妙地解决许多貌
似困难和麻烦的问题。
例3. 已知
x,y?R
,且满足方程
y?3
,求m范围。
x
2< br>?y
2
?3(y?0)
,又
m?
x?3
y?3
解析:
?m?
的几何意义为,曲线
x?3
x
2
? y
2
?3(y?0)
上的点与点(-3,-3)连线
的斜率,如图所示


?
双曲线离心率为2,F为右焦点,由第
1
二定 律知
|PF|
即点P到准线距离。
2
15

?|PA|?|PF|?|PA|?|PE|?AM?

22

二. 引入参数,简捷明快
参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和
加快问题的解决。
例2. 求共焦点F、共准线
l
的椭圆短轴端点的
轨迹方程。
解:取如图所示的坐标系,设点F到准线
l
的距离为p(定值),椭圆中心坐标为M(t,0)
(t为参数)

k
PA
?m?k
PB


?

3?33?5

?m?
22

?p?

b
,而
c?t

c
2


四. 应用平几,一目了然
用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,
因此,很多“解几”题中的一些图形性质就和“平
几”知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题
就会迎刃而解。
例4. 已知圆
(x?3)
2
?y
2
? 4
和直线
y?mx

交点为P、Q,则
|OP||?OQ|
的值为________。
解:
??OMP~?OQN

?OQ|?|OM||?ON|?5

|OP||

五. 应用平面向量,简化解题
向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因
此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
x
2
y
2
??1
,直线
l
:例5. 已知 椭圆:
2416
xy
??1
,P是
l
上一点,射线OP交椭 圆于一
128
7
14


圆锥曲线二级推论
点 R,点Q在OP上且满足
|OQ||?OP|?|OR|
2
,当
点P在
l
上移动时,求点Q的轨迹方程。
解:设所求圆的方程为:
< br>x
2
?y
2
?6x?4?
?
(x
2
?y
2
?6y?28)?0


(1?
?
) x
2
?(1?
?
)y
2
?6x?6
?
y? (28
?
?4)?0

?3?3
?
则圆心为
(,)
,在直线
1?
?
1?
?
x?y?4?0


?
解得
?
??7

故所求的方程为
x
2
?y
2
?x?7y?32?0


七. 巧用点差,简捷易行
在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用
点差法,此法比其它方法更简捷一些。
例7. 过点A(2,1)的直线与双曲线
y
2
2
x??1
相交于两点P
1
、P
2
,求线段P
1
P
2
中点
2
的轨迹方程。
解:设
P
1
(x
1
,y
1
)

P
2
(x
2
,y2
)
,则
?
2
y
1
2
x
1
??1
?
?
2

?
2
?
x
2
?
y
2
?1
2
?
2
?
<2>-<1>得
?1?

分析:考生见到此题基本上用的都是解析
几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向
量共线的条件便可简便地解出。
???
解:如图,
OQ,OR,OP
共线,设
?????< br>OR?
?
OQ

OP?
?
OQ

O Q?(x,y)
,则
??
OR?(
?
x,
?
y)< br>,
OP?(
?
x,
?
y)


?2?
???
2

?|OQ||?OP|?|OR|

?
2
?
22

?
?
|OQ|?
?
|OQ|



?
?
?
?
2


?
点R在椭圆上,P点在直线
l

?
2
x
2
?
2
y
2
?
x
?
y
??1< br>,
??1

?
2416
128
x
2
y
2
xy
???

2416128
化简整理得点Q的轨迹方程为:
(x?1)
2
(y?1)
2
2
??1
(直线
y??x
上方
55
3
23
部分)

六. 应用曲线系,事半功倍
利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功
倍之效。 所以灵活运用曲线系是解析几何中重要
的解题方法和技巧之一。
例6. 求经过两圆
x
2
?y
2
?6x?4?0

(y
2
?y
1
)(y
1
?y
2
)

2
y?y
1
2(x
1
?x
2
)
?

2

x
2
?x
1
y
1
?y
2
设P
1
P
2
的中点为
M(x
0
,y
0)
,则
y?y
1
2x
0

k
P1
P
2
?
2
?
x
2
?x
1< br>y
0


又,而P
1
、A、M、P
2
共线
y?12x
0
?

?k
P
1
P
2
?k
AM
,即
0
?P
1
P
2
中点 M
x
0
?2y
0

(x
2
?x1
)(x
1
?x
2
)?
的轨迹方程是
2x2
?y
2
?4x?y?0






x
2
?y
2
?6y?28?0的交点,且圆心在直线x?y?4?0
上的圆的方程。
8
14


圆锥曲线二级推论
解析几何题怎么解
高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的
知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆,
圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识
的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基
本知识,这点值得考生在复课时强化.

例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点,AB=2、OT=t (0AA
?
B
?
B
,使
AA
?
垂直且等于A T,使
BB
?
垂直且等于BT,
A
?
B
?
交半圆于P、Q两点,建立如图所
示的直角坐标系.
(1)写出直线
A
?
B
?
的方程; (2)计算出点P、Q的坐标;
(3)证明:由点P发出的光线,经AB反射后,反射光线
通过点Q.
讲解: 通过读图, 看出
A
'
,B
'
点的坐标.

?
?1,1?t
?

(1 ) 显然
A
'
?
1,1?t
?
,
B
于是 直线
A
?
B
?

的方程为
y??tx?1

?
x
2
?y
2
?1,
2
t
1?
t
2
(2)由方程组
?
解出
P(0,1)

Q
(,)

22
1?
t
1?
t
?
y??tx?1,
(3)
k
PT
?
1?01
??
,
k
QT
0?
tt
1?
t
2
?0
2
1?
t
2
1
1?
t
.
???
2
2
t
t
t(
1?
t)
?
t
1?
t
2
由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知,由点P发出的光线经点T反射,反射光线通
过点Q.
需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?
x
2
y
2
例2 已知直线l与椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
有且仅有一个交点Q,且与x轴、y轴分别交于R、S,
ab< br>求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.
讲解:从直线
l
所处的位置, 设出直线
l
的方程,
由已知,直线l不过椭圆的四个顶点,所以设直线l的方程为
y?kx?m(k?0).
代入椭圆方程
b
2
x
2
?a
2
y
2< br>?a
2
b
2


b
2
x
2
?a
2
(k
2
x
2
?2kmx?m< br>2
)?a
2
b
2
.

化简后,得关于
x
的一元二次方程
(a
2
k
2
?b
2
)x
2
?2ka
2
mx?a
2
m
2
?a
2
b
2
?0.

于是其 判别式
??(2ka
2
m)
2
?4(a
2
k
2
?b
2
)(a
2
m
2
?a
2
b
2
)?4a
2
b
2
(a
2
k
2
?b
2
?m
2
).

由已知,得△=0.即
a
2
k
2
?b
2
?m
2
.

在直线方程
y?kx?m
中,分别令y=0,x=0,求得
R(?
m
,0),S(0,m).

k
9
14


圆锥曲线二级推论
my
??
x??,k??,
??
kx
??
令顶点P的坐标为(x,y), 由已知,得
解得
??
?
y?m.
?
m?y.
??
??
22
代入①式并整理,得
a
?
b
?1
, 即为所求顶点P的轨迹方程.
22
xy
方程
a
?
b
?1
形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? < br>22
xy
22
233
x
2
y
2
.< br> 例3已知双曲线
2
?
2
?1
的离心率
e?< br>,过
A(a,0),B(0,?b)
的直线到原点的距离是
32
ab< br> (1)求双曲线的方程;
(2)已知直线
y?kx?5(k?0)
交双曲 线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k
的值.
abab
d???
c23
xy
讲解:∵(1)
22?,
原点到直线AB:
??1
的距离
c
a?b
a3ab
?b?1,a?3.
3
.
2
.
故所求双曲线方程为
x
2
?y
2
?1.

3(2)把
y?kx?5代入x
2
?3y
2
?3
中消去y ,整理得
(1?3k
2
)x
2
?30kx?78?0
.

C(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
),CD
的中点是
E(x
0
,y
0
)
,则

x
0
?
x
1
?x< br>2
?
15k
21?3k
2
?y
0
?kx0
?5?
y?1
51
,k
BE
?
0
? ?.

2
1?3kx
0
k

?x
0< br>?ky
0
?k?0,

15k5k
2
??k?0,又 k?0,?k?7

22
1?3k1?3k
故所求k=±
7
. 为了求出
k
的值, 需要通过消元, 想法设法建构
k
的方程.
例4 已知椭圆C的中心在原点,焦点F
1
、F
2
在x轴上,点P为椭圆上的 一个动点,且∠F
1
PF
2
的最大值为90°,直线l过左焦点F
1
与椭圆交于A、B两点,△ABF
2
的面积最大值为12.
(1)求椭圆C的离心率; (2)求椭圆C的方程.
讲解:(1)设
|PF
1
|?r
1
,|PF
2
|?r
2
,|F
1
F
2
|?2c
, 对
?PF
1
F
2
,
由余弦定理, 得
2
r
1
1
?r
2
2
?4c
2
(r
1
?r
2
)
2
?2r
1
r
2
?4 c
2
4a
2
?4c
2
4a
2
?4c
2
cos?F
1
PF
2
????1??1
?1?2e?0

r?r
2r
1
r
2
2r
1
r
2
2r
1
r
2
2(
12
)
22
解出
e?
2

.
2
(2)考虑直线
l
的斜率的存在性,可分两种情况:
i) 当k存在时,设l的方程为
y?k(x?c)
………………①
x
2
y
2
椭圆方程为
2
?
2
?1,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)

e?
2
.

a
2
?2c
2
,b
2
?c
2
.
ab
2
于是椭圆方程可转化为
x
2
?2y
2< br>?2c
2
?0
………………②
10
14


圆锥曲线二级推论
将①代入②,消去
y

x
2
?2k
2
(x?c)
2
?2c
2
? 0
,
(1?2k
2
)x
2
?4ck
2
x ?2c
2
(k
2
?1)?0
. 整理为
x
的一元二次方程,得
22c1?k
2
22c(1?k
2
)

2
则x
1
、x
2
是上述方程的两根.且
|x
2
?x
1
|?

|AB|?1?k|x
2
?x
1
|?
1?2k
2
1?2k
2
AB边上的高
h?|F
1
F
2
|sin?BF
1
F
2
?2c?
| k|
,

也可这样求解:
1?k
2
1
S?|F< br>1
F
2
|?|y
1
?y
2
|

11?k
2
|k|

S?
2
22c(
1? 2k
2
)
2
1?k
2
2c

?c?|k|?|x

2
?22c
2
1?k|k|?22c
2
k
2
?k
4
1
?x
2|

2
1
1?2k
2
1?4k
2
?4 k
4
?22c
4?
1
?2c
2
.

k
4
?k
2
ii) 当k不存在时,把直线
x??c
代入椭圆方程得
y??
2
2
c,|AB|?2c,S?
1
2
2c?2c
2

由①②知S的最大值为
2c
2
由题意得
2c
2
=12 所以
c
2
?62?b
2

a
2
?122

故当△ABF
2
面积最大时椭圆的方程为:
x
2
y
2
122
?
62
?1.

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣:
设过左焦点的直线方程为:
x?my?c
…………①
(这样设直线方程的好处是什么?还请读者进一步反思反思.)
椭圆的方程为:
x< br>22
a
2
?
y
b
2
?1,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)


e?
2
.
得:
a
2
?2c
2
, b
2
?c
2
,
于是椭圆方程可化为:
x
2
?2y
2
2
?2c
2
?0
……②
把①代入②并整 理得:
(m
2
?2)y
2
?2mcy?c
2
?0< br>
于是
y
1
,y
2
是上述方程的两根.
| AB|?(x
2
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
2
?1?m
2
|y
2
?y
1
|
?1?m
2
4m
2
c
2
?4c
2
(m
2
?2)
?
22c(1?m
2
)
m
2
?2
m
2
?2
,
AB边上的高
h?
2c
,
1?m
2
从而
2c(1?m
2
S?
1
|AB|h?
1
2
?
2)2c1?m
2
2m
2
?2
?
1
1?m
2
?22c
2
(m?2)
2
?22c
2
?2c< br>2
.

m
2
?1?
1
m
2
?1
?2
当且仅当m=0取等号,即
S
max
?2c
2.

由题意知
2c
2
?12
, 于是
b
2
?c
2
?62,a
2
?122
.
故当△ABF
2
面积最大时椭圆的方程为:
x
2
y
2
122
?
62
?1.

11
14


圆锥曲线二级推论

x
2
y
2
例5 已知直线
y??x?1
与椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
相交于A、B两点,且线段AB 的中点在直
ab
线
l:x?2y?0
上.(1)求此椭圆的离心率;
(2 )若椭圆的右焦点关于直线
l
的对称点的在圆
x
2
? y
2
?4
上,求此椭圆的方程.

?
y??x?1,?
讲解:(1)设A、B两点的坐标分别为
A(x
1
,y
1),B(x
2
,y
2
).则由
?
x
2
y
2

?
2
?
2
?1
b
?< br>a
(a
2
?b
2
)x
2
?2a
2< br>x?a
2
?a
2
b
2
?0
, 2a
2
2b
2
,y
1
?y
2
??(x
1
?x
2
)?2?
2
,
根据韦达定理,得 x
1
?x
2
?
222
a?ba?b
a
2
b
2
,
2
∴线段AB的中点坐标为(
2
).
22
a?ba?b
a
2
2b
2
2
2222 22
??0,?a?2b?2(a?c)?a?2c
e?
由已知得
2
,故椭圆的离心率为 .
2
a?b
2
a
2
?b
2
(2)由(1)知
b?c,
从而椭圆的右焦点坐标为
F(b,0),
F(b,0)
关于直线
l:x?2y?0
的对称点为
(x
0,y
0
),则
y
0
?0
1
x?by
3 4
???1且
0
?2?
0
?0,
解得
x
0
?b且y
0
?b

x
0
?b222
55
2
0
2
0
x
2
y
2
3
2
4
22
??1
. 由已知得
x?y?4 ,?(b)?(b)?4,?b?4
,故所求的椭圆方程为
84
55


例6 已知⊙M:
x
2
?(y?2)
2
?1 ,Q是x
轴上的动点,QA,QB分别切⊙M于A,B两点,
(1)如果
|AB|?
42
,求直线MQ的方程;(2)求动弦AB的
3
中点P的轨迹方程.
讲解:(1)由
|AB|?
42
,可得
3
|MP|?| MA|
2
?(
|AB|
2
22
2
1
)?1
2
?()?,
由射影定理,得
233
|MB|
2
?|MP|?|MQ|,得|MQ|?3,
在Rt△MOQ中,

|OQ|?|MQ|
2
?|MO|
2?3
2
?2
2
?5
,故
a?5或a??5

所以直线AB方程是
2x?5y?25?0或2x?5y?25?0;

12
14


圆锥曲线二级推论
(2)连 接MB,MQ,设
P(x,y),Q(a,0),
由点M,P,Q在一直线上,得
2y ?2
?,(*)

?ax
由射影定理得
|MB|
2
?|MP|?|MQ|,

x
2
?(y?2)
2
?a
2
?4?1,(**)

71
把(*)及(**)消去a,并注意到y?2
,可得
x
2
?(y?)
2
?(y?2).

416
适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在,还请读者反思其中的奥妙.
2
。DO⊥AB于O点,OA=OB,
2
例7 如图,在Rt△ ABC中,∠CBA=90°,AB=2,AC=
DO=2,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持 | PA |+| PB |的值不变.
(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;
(2 )过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间,设
实数
?
的取 值范围.
讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+|
CB | y=
C
DM
?
?
,试确定DN
22
?2
2
?()
2
?22
∴动点P的轨 迹是椭圆∵
22
A O B
x
2
a?2,b?1,c?1
∴曲线E的方程是
?y
2
?1
.
2
(2)设直线L的方程为
y?kx?2
, 代入曲线E的方程
x
2
?2y
2
?2
,得
(2k
2
?1)x
2
?8kx?6?0
设 M
1

x
1,
y
1
),N(x
2
,y
2
)
, 则
?
?
??(8k)
2
?4(2k?1)?6?0,
?
8k
?

x?x??,?
12
2
2k?1
?
6
?
xx?.
1 2
?
2
2k?1
?
i) L与y轴重合时,
?
?





|DM|1
?

|DN|3
x?x
M
x
DM
3
?
D
?
1
, ii) L与y轴不重合时, 由①得
k
2
?.
又∵
?
?
DNx
D
?x
N
x
2
2

x
2
?x< br>1
?0,

x
2
?x
1
?0,
∴0<
?
<1 , < br>(x?x
2
)
2
(x
1
?x
2
)< br>2
x
1
x
2
64k
2
1

??
???2?
?
??2

2
x
1
?x< br>2
x
1
?x
2
x
2
x
1
?
6(2k?1)
32
1
3(2?
2
)
k

13
14


圆锥曲线二级推论

k
2
?
31
,

6?3(2?
2
)?8.

4?
2
k
32
3(2?
1
)
2
k
?
16
116,

4?
?
??2?
,
3
?
3
?
?
0?
?
?1,
?
1
110
?

2?
?
??
,
?
?
??2,
?
?
3
?
110
?
?
??,
?
?
3
?
?
1
?
1
?
?
?
? 1.

?
的取值范围是
?
,1
?
.
3
?
3
?
值得读者注意的是,直线L与y轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕.
例8 直线l
过抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点,且与抛物线相交于 A
(x
1
,y
1
)和B(x
2
,y
2)
两点.
(1)求证:
4x
1
x
2
? p
2
;(2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直
平分 线.
讲解: (1)易求得抛物线的焦点
F(
P
,0)
. 若l⊥x轴,则l的方程为
x?
2
PP
2
,显然x
1
x
2
?
24
.若l不垂直于x
P
2
P
2
. 综上可知
4xx?p
2
. 轴,可设
y?k(x?
P
)
,代入抛物线方程整理得
x
2
?P(1?
2P
)x??0,则x
1
x
2
?
12
2
2
k< br>44
22
22
(2)设
C(
c
,c),D(
d
,d)且c?d
,则CD的垂直平分线
l
?
的方程为
y?
c?d
??
c?d
(x?
c?d
)

2p 2p
22p4p
22
假设
l
?
过F,则
0?
c?d
??
c?d
(
p
?
c?d
)
整理 得
(c?d)(2p
2
?c
2
?d
2
)?0

?p?0

22p24p
?2p
2
?c
2
?d
2
?0

?c?d?0
. 这时
l
?
的方程为y=0,从而
l
?
与抛物线
y
2
?2px
只相交于原点. 而l与
抛物线有两个不同的交点,因此
l
?
与l不重合, l不是CD的垂直平分线.
此题是课本题的深化,你能够找到它的原形吗?知识在记忆中积累,能力在联想中提升. 课本是
高考试题的生长点,复课切忌忘掉课本!

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